Corpos finitos, arranjos de Costas, Sudoku e criptografia

Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclusõ
a

1+1=0

Daniel Panario

School of Mathematics and Statistics
Carleton University
daniel@math.carleton.ca

Semana de Cursos e Palestras da Computa¸õ
ca
16 de outubro de 2012

Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University daniel@math.carleton.ca
1+1=0

a

Sobre corpos finitos

Hist´ria dos corpos finitos
o

A teoria de corpos finitos desenvolveu-se extensivamente no sćulo
e
XIX, por´m a sua origem data dos sćulos XVII e XVIII. Os
e e
primeiros pesquisadores a considerar corpos finitos foram:

Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783),
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), Adrien-Marie Legendre
(1752-1833) e Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Na ´poca, os unicos corpos finitos conhecidos eram os corpos
e ´
contendo um n´mero primo de elementos.
u

A apari¸õ em 1830 do artigo Sur la thórie des nombres de
ca e
´
Evariste Galois (1811-1832), foi fundamental para o surgimento de
v´rias quest˜es quanto ` estrutura de corpos finitos em geral.
a o a

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a


´
Areas de aplica¸õ
ca
Muitas sub´reas dos corpos finitos podem ser aplicadas quase que
a
imediatamente a problemas no “mundo real”.

Os corpos finitos sõ usadas hoje em dia extensivamente em ´reas
a a
tais como:
teoria de c´digos (para a recupera¸õ de erros nas
o ca
comunica¸˜es),
co
criptografia (para a transmissõ segura de dados),
a
engenharia el´trica e de comunica¸˜es,
e co
···

A enorme maioria dessas aplica¸˜es trabalham com o corpo finito
co
F2 que sera introduzido a seguir.
1+1=0

a


Grupos

Defini¸õ. Um grupo (G, ∗) ´ um conjunto G munido de uma
ca e
opera¸õ bin´ria ∗ onde
ca a
(a) para todo a, b ∈ G, a ∗ b ∈ G;
(b) para todo a, b, c ∈ G, a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c;
(c) existe um elemento e ∈ G tal que a ∗ e = e ∗ a = a para todo
a ∈ G;
(d) para todo a ∈ G, existe um elemento b ∈ G tal que
a ∗ b = b ∗ a = e.
O grupo G ´ Abeliano se G ´ um grupo e
e e
(e) para todo a, b ∈ G, a ∗ b = b ∗ a.
Exemplos: (Z, +), e (Q {0}, ·).

1+1=0

a


Corpos finitos
Defini¸õ. Um corpo (F, +, ·) ´ um conjunto F junto com duas
ca e
opera¸˜es + e · tais que:
co
(1) (F, +) ´ um grupo Abeliano;
e
(2) (F {0}, ·) ´ um grupo Abeliano;
e
(3) para todo a, b, c ∈ F , temos

a · (b + c) = a · b + a · c,
(b + c) · a = b · a + c · a.

Se #F ´ finito, F ´ um corpo finito.
e e
Exemplo: os inteiros m´dulo um n´mero p formam um corpo se e
o u
somente se p ´ um n´mero primo.
e u
p = 2: ({0.1}, +, ·) ´ o corpo F2 de dois elementos!
e
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a


Exemplos: 1 + 1 = 0, e 1 + 1 + 1 = 0
As tabelas de soma e multiplica¸˜o em F2 s˜o:
ca a

+ 0 1 · 0 1
0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1

1+1=0

a


Exemplos: 1 + 1 = 0, e 1 + 1 + 1 = 0
ca a

+ 0 1 · 0 1
0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1

ca a

+ 0 1 2 · 0 1 2
0 0 1 2 0 0 0 0
1 1 2 0 1 0 1 2
2 2 0 1 2 0 2 1

1+1=0

a


Conteudo dessa palestra

Aplica¸˜es nas seguintes ´reas:
co a
comunica¸õ por radar e sˆnica;
ca o
arranjos militares em dias de parada;
jogos populares como o sudoku;
criptografia.

Comentamos sobre esses problemas e (brevemente) como os
corpos finitos ajudam nas solu¸˜es deles.
co

1+1=0

a

Arranjos de Costas e comunica¸˜es por radar e sˆnicas
co o

Arranjos de Costas

Arranjos de Costas foram introduzidos por John Costas em 1965
para uma aplica¸õ sˆnica. Esses arranjos tˆm baixa
ca o e
auto-ambiguidade usada para contra-atacar ecos. Isso fez que
sejam muito uteis em aplica¸˜es nas comunica¸˜es por radar e
´ co co
sˆnicas, assim como em redes locais de fibra-´ticas como a CDMA
o o
(code-division multiple access).

Um arranjo de Costas de ordem n ´ um arranjo n × n de pontos e
e
espa¸os brancos que satisfaz
c
n pontos, n(n − 1) espa¸os brancos, com exatamente um
c
ponto em cada linha e coluna; e
todos os segmentos entre dois pontos sõ diferentes.
a

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a

co o

A ultima condi¸˜o implica que todos os n(n − 1)/2 vetores entre
´ ca
dois pontos s˜o diferentes.
a

Exemplo
n = 3:

· · · ·
· · · ·
· · · ·

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a

co o

Ecos de radar e sˆnicos
o

1+1=0

a

co o

Por que funcionou?

Quando deslocamos a direita ou esquerda em tempo e pr´ cima ou
a
baixo em frequˆncia, copias do padrõ s´ podem coincidir em 0, 1
e a o
ou todos os n pontos. Isso permite a recupera¸õ da informa¸õ.
ca ca

4, 2, 1, 3, 0

1+1=0

a

co o

Por que funcionou?

Quando deslocamos a direita ou esquerda em tempo e pr´ cima ou
a
baixo em frequˆncia, copias do padrõ s´ podem coincidir em 0, 1
e a o
ou todos os n pontos. Isso permite a recupera¸õ da informa¸õ.
ca ca

4, 2, 1, 3, 0

Para qualquer diferen¸a a, nenhuma diferen¸a aparece mais de
c c
uma vez.
Existem arranjos de Costas para uma infinidade de valores de n,
mas nõ para todo valor de n; o valor menor para o qual nõ se
a a
conhe¸e um arranjo de Costas ´ n = 32.
c e

1+1=0

a

co o

Constru¸oes
c˜
As trˆs constru¸˜es conhecidas de arranjos de Costas (devidas a
e co
Welch, Lempel e Golomb, respectivamente) sõ baseadas em
a
corpos finitos. Existem tamb´m experimentos computacionais.
e
Constru¸õ de Welch: n = p − 1, α um elemento primitivo em Fp .
ca

Exemplo: p = 7, n = 6, α = 3, f (j) = αj , 1 ≤ j ≤ 6:
·
·
·
·
·
·
3 2 6 4 5 1
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a

Sudoku

Hist´ria do Sudoku
o

1 Quebra-cabe¸a moderno desenhado por Howard Garns (`
c a
idade de 74 anos), e publicado primeiramente na Dell
Magazines em 1979 com o nome number place. (Isto foi
redescoberto somente em 2005.)
2 Em Jap˜o, Nikoli, Inc. foi o primeiro a publicar esses
a
quebras-cabe¸a na Monthly Nikolist em 1984.
c
3 Maki Kaji (Nikoli President) originalmente chamou o
quebra-cabe¸a de Suuji Wa Dokushin Ni Kagiru (“os n´meros
c u
devem ser unicos”), e foi depois abreviado como “Sudoku”
´
(Su = n´mero, Doku = unico).
u ´
4 Sudoku ´ um sucesso internacional desde 2005.
e

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a

Sudoku

Deﬁni¸˜o de Sudoku
ca

Um quadrado Sudoku ´ uma matriz 9 × 9 usando os n´meros
e u
1, . . . , 9 arranjados tal que
1 Cada linha tem cada n´mero uma s´ vez.
u o
2 Cada coluna tem cada n´mero uma s´ vez.
u o
3 Cada um dos 9 subquadrados de tamanho 3 × 3 tem cada
n´mero uma s´ vez.
u o

Usamos os n´meros 0, . . . , 8 por conveniˆncia.
u e
H´ muitas generaliza¸˜es de Sudoku incluindo Sudoku diagonal,
a co
Sudoku par-´ ımpar, Sudoku com cores, Sudoku geom´trico (com
e
regi˜es irregulares), e muitos mais.
o

1+1=0

a

Sudoku

Um quadrado Sudoku:

048723561
561048723
723561048
804372156
156804372
372156804
480237615
615480237
237615480
1+1=0

a

Sudoku

Um quebra-cabe¸a Sudoku do quadrado Sudoku anterior
c

23 1
5
7235 04
80 3 2 6
1 680 7
7 15
8 37615
6 02
15 8
1+1=0

a

Sudoku

Quadrados latinos
Seja n um n´mero inteiro positivo. Um quadrado latino de ordem
u
n ´ uma matriz n × n de n s´
e ımbolos distintos tal que cada s´
ımbolo
aparece exactamente uma vez em cada linha e coluna. Exemplos:

0 1 2 0 1 2
1 2 0 2 0 1
2 0 1 1 2 0

Dois quadrados latinos s˜o chamados ortogonais se quando
a
superimpostos cada um dos n2 pares aparece exatamente uma vez:

00 11 22
12 20 01
21 02 10
1+1=0

a

Sudoku

Um conjunto de quadrados latinos {L1 , . . . , Lt } ´ mutualmente
e
ortogonal (MOLS) se Li ´ ortogonal a Lj para todo i = j.
e

Quadrados latinos mutualmente ortogonais foram originalmente
considerados por Euler (1779) para arranjos militares em dias de
parada:

Seis regimentos diferentes tem seis oficiais, cada um de
categoria diferente (de seis categorias diferentes). Podem
esses 36 oficiais ser arranjados numa forma¸õ em
ca
quadrado tais que em cada linha e coluna tenhamos um
oficial de cada categoria e um de cada regimento?

A solu¸õ requer um par de MOLS de ordem 6. A resposta ´
ca e
negativa: nõ podemos ter esse arranjo para n = 6.
a

1+1=0

a

Sudoku

u a ´
Seja N (n) o n´mero m´ximo de MOLS de ordem n. E sabido que
N (n) ≤ n − 1. Bose (1938) provou que se q ´ uma potˆncia de
e e
um n´mero primo entõ N (q) = q − 1.
u a

Idía: seja α ∈ F∗ e definamos um quadrado latino
e q
Lα (i, j) = i + αj, onde i, j ∈ Fq . O conjunto de quadrados latinos
{Lα : α ∈ F∗ } ´ um conjunto de q − 1 MOLS de ordem q.
q e

Problema em aberto (dif´ıcil):
(Conjectura de Potˆncia do N´mero Primo) Existem n − 1 MOLS
e u
de ordem n se e somente se n ´ uma potˆncia de um n´mero
e e u
primo.

1+1=0

a

Sudoku

Rela¸oes
c˜

Quebra-cabe¸as Sudoku sõ um caso especial de quadrado latino;
c a
qualquer solu¸õ de um Sudoku ´ um quadrado latino.
ca e

Sudoku requer a restri¸õ adicional que nove subquadrados 3 × 3
ca
particulares contenham tambem os n´meros 1 a 9.
u

1+1=0

a

Sudoku

Rela¸oes
c˜

Quebra-cabe¸as Sudoku sõ um caso especial de quadrado latino;
c a
qualquer solu¸õ de um Sudoku ´ um quadrado latino.
ca e

Sudoku requer a restri¸õ adicional que nove subquadrados 3 × 3
ca
particulares contenham tambem os n´meros 1 a 9.
u

Mais rela¸˜es: podemos construir classes de Sudokus usando
co
MOLS. Por´m sõ Sudokus fćeis dado que cada subquadrado
e a a
3 × 3 esta perto de ser m´gico . . . como nosso exemplo anterior!!
a

Um quadrado m´gico de ordem n tem cada um dos n´meros
a u
1, . . . , n2 exactamente uma vez, e a soma de cada linha, de cada
coluna, e de cada diagonal, igual a n(n2 + 1)/2.

1+1=0

a

Sudoku

Albrecht D¨rer ‘Melencolia’ (1514)
u

1+1=0

a

Sudoku

La Pasi´n, fachada da Sagrada Familia : 33
o

1 14 14 4
11 7 6 9
8 10 10 5
13 2 3 15

1+1=0

a

Sudoku

La Pasi´n, fachada da Sagrada Familia : 33
o

1 14 14 4 16 3 2 13
11 7 6 9 5 10 11 8
8 10 10 5 9 6 7 12
13 2 3 15 4 15 14 1

1+1=0

a

Sudoku

Alguns n´meros sobre os Sudokus
u

1 L9 = # LSs de ordem 9: 9!8!377, 597, 570, 964, 258, 816

1+1=0

a

Sudoku

u

1 L9 = # LSs de ordem 9: 9!8!377, 597, 570, 964, 258, 816
2 # quadrados Sudokus: 6,670,903,752,021,072,936,960
L9
= 828186

1+1=0

a

Sudoku

u

1 L9 = # LSs de ordem 9: 9!8!377, 597, 570, 964, 258, 816
L9
= 828186
3 # quadrados Sudoku essencialmente diferentes (rota¸˜es,
co
reﬂe¸˜es, permuta¸˜es e troca de rˆtulos); 5,472,730,538.
co co o

1+1=0

a

Sudoku

u

1 L9 = # LSs de ordem 9: 9!8!377, 597, 570, 964, 258, 816
L9
= 828186
3 # quadrados Sudoku essencialmente diferentes (rota¸˜es,
co
refle¸˜es, permuta¸˜es e troca de rˆtulos); 5,472,730,538.
co co o
4 Pode ter 77 das 81 c´lulas cheias e ainda assim nõ ter
e a
solu¸õ unica. Vocˆ consegue achar um exemplo?
ca ´ e

1+1=0

a

Sudoku

5 17 de 81 ´ o n´mero m´
e u ınimo de c´lulas cheias com solu¸˜o
e ca
unica; 49151 tais quebra-cabe¸a s˜o conhecidos (hoje!); um
´ c a
deles ´:
e

1
4
2
5 4 7
8 3
1 9
3 4 2
5 1
8 6
1+1=0

a

Sudoku

6 Problem. Foi provado (busca exhaustiva) em 2011 que nõ
a
h´ solu¸õ unica com 16 dos 81 n´meros dados. Levou um
a ca ´ u
ano de computa¸õ (nõ h´ prova matem´tica desse
ca a a a
resultado).

1+1=0

a

Sudoku

a
a ca ´ u
ca a a a
resultado).
7 Problema. Dada um quadrado solu¸˜o de um Sudoku, como
ca
apagamos n´meros de forma tal que o quebra-cabe¸a Sudoku
u c
resultante tenha sempre uma solu¸˜o unica?
ca ´

1+1=0

a

Sudoku

a
a ca ´ u
ca a a a
resultado).
7 Problema. Dada um quadrado solu¸õ de um Sudoku, como
ca
apagamos n´meros de forma tal que o quebra-cabe¸a Sudoku
u c
resultante tenha sempre uma solu¸õ unica?
ca ´
8 Problema. Dada um quadrado solu¸õ de um Sudoku, quais
ca
c´lulas diferentes podem ser deixadas sem prencher e ainda
e
assim ter uma solu¸õ unica? Por exemplo, no nosso exemplo
ca ´
anterior temos 35 n´meros dados. Quais n´meros (outros que
u u
estes 35) podem ser obtidos usando aquele quadrado?

1+1=0

a

Aplica¸˜es criptogr´ficas
co a

Conceitos b´sicos
a

Uma fun¸õ unidirecional ´ uma fun¸õ com a propriedade de que
ca e ca
´ fćil de us´-la, mas ´ dif´ de invertˆ-la. A seguran¸a da
e a a e ıcil e c
criptografia de chave p´blica depende da existˆncia deste tipo de
u e
fun¸õ. Mas nõ sabemos se fun¸˜es unidirecionais existem!
ca a co

Os candidatos mais importantes a este tipo de fun¸õ sõ a
ca a
multiplica¸õ de dois n´meros primos (a fun¸õ inversa ´ a
ca u ca e
fatora¸õ de n´meros inteiros) e a exponencia¸õ (cuja fun¸õ
ca u ca ca
inversa ´ calcular o logaritmo discreto).
e

RSA ´ um exemplo de uso da multiplica¸õ de dois n´meros
e ca u
primos.

1+1=0

a

co a

Logaritmo discreto

Em v´rias aplica¸˜es criptogr´ﬁcas ´ importante o c´lculo de
a co a e a
potˆncias grandes em Fqn .
e

O Problema do Logaritmo Discreto

Seja α um elemento primitivo de Fq . Dado β ∈ Fq {0} achar um
n´mero inteiro x tal que
u
β = αx .
Para valores grandes de q este ´ um problema computacionalmente
e
dif´
ıcil.

Na pr´tica, q = 2n ou q = p para um n´mero primo p grande.
a u
1+1=0

a

co a

O m´todo de Diffie-Hellman (1976)
e

Suponhamos que Alice (A) e Bob (B) queiram ter uma chave em
comum. Seja α um elemento primitivo em Fq . Suponhamos que A
calcula um valor aleat´rio (privado) a e B calcula um valor
o
aleat´rio (privado) b.
o

Entõ A calcula αA = αa e manda para B, enquanto B calcula
a
αB = αb e transmite para A.

Agora A pode calcular (αB )a = αab e B pode calcular
(αA )b = αab , e entõ eles compartilham a chave k = αab .
a

Calcular a, b ou αab requer achar o logaritmo discreto.

1+1=0

a

co a

P´blico: Fq e um elemento primitivo α.
u

'
A $ '
B $
αA -
a aleat´rio
o b aleat´rio
o

αA = αa αB αB = αb

% %

1+1=0

a

co a

'
A $ '
B $

Calcule Calcule
a
k = αB b
k = αA

% %

k = (αa )b = (αb )a = αab !!!

Intruso: calcule αab , mesmo conhecendo αa e αb .

1+1=0

a

Conclusõ
a

Brevemente comentamos sobre alguns problemas pr´ticos
a
atuais nas comunica¸˜es por radar e sˆnicas e na criptografia,
co o
assim como tamb´m em jogos recreacionais como o Sudoku,
e
onde os corpos finitos tˆm um papel importante tanto nas
e
constru¸˜es desses objetos como nas solu¸˜es desses
co co
problemas.
H´ muitas mais ´reas de aplica¸õ onde os corpos finitos tˆm
a a ca e
um papel fundamental. . .

1+1=0

a

Conclusõ
a

Brevemente comentamos sobre alguns problemas pr´ticos
a
atuais nas comunica¸˜es por radar e sˆnicas e na criptografia,
co o
assim como tamb´m em jogos recreacionais como o Sudoku,
e
onde os corpos finitos tˆm um papel importante tanto nas
e
constru¸˜es desses objetos como nas solu¸˜es desses
co co
problemas.
H´ muitas mais ´reas de aplica¸õ onde os corpos finitos tˆm
a a ca e
um papel fundamental. . .

Obrigado pela sua aten¸õ!
ca

1+1=0

Corpos finitos, arranjos de Costas, Sudoku e criptografia

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