Análise estatística de experimentos fatoriais 2k sem repetições

INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010

FATORIAL 24

Vamos acrescentar agora uma quarta variável ao nosso planejamento:
o pH do meio reacional, nos níveis neutro (7) e levemente acido (6).
Com isto, o numero total de ensaios sobe para 16.

Fatores (-) (+)
1. Temperatura 40 60
1. Catalisador A B
1. Concentração 1.0 1.5
1. pH 7.0 6.0

CAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2K


EXPERIMENTO EXECUTADO
APENAS UMA VEZ PARA
CADA UMA DAS POSSÍVEIS
COMBINAÇÕES:

EXPERIMENTO SEM
REPETIÇÕES



EFEITOS ESTIMADOS:



QUESTÃO:

Como proceder para executar os testes necessários para verificação da
significância dos efeitos estimados?



FATORIAIS 2K

SEM
REPETIÇÕES



INTRODUÇÃO:
Nos experimentos fatoriais 2k o número total de tratamentos pode
ser elevado mesmo quando o número de fatores presentes no estudo
não seja muito grande, conforme podemos ver na tabela abaixo:
No Nro de No De Interações Sobre as Quais é
Efeitos
Fatore Ensaio Obtida Informação
Principai
s s Número de Fatores na Interação
s
K 2k 2 3 4 5 6
3 8 3 3 1
4 16 4 6 4 1
5 32 5 10 10 5 1
6 64 6 15 20 15 6 1
7 128 7 21 35 35 21 7
8 256 8 28 56 70 56 28


INTRODUÇÃO:
Causas:

1. Tempo
2. Recursos Financeiros (Custo)

Uma outra Questão:

Experimento 2k com repetição ou 2k+1 sem repetição?



INTRODUÇÃO:
Problema:

Num experimento sem repetições não é possível obter
uma estimativa da variabilidade devida ao erro
experimental.



INTRODUÇÃO: Exemplo : Fatorial 23 Sem Repetição
Fonte GL
Modelo 7
A 1
B 1
AB 1
C 1
AC 1
BC 1
ABC 1
Erro 0
Total 7



INTRODUÇÃO:
Proposta:

“Selecionar” efeitos a serem excluídos do modelo de forma a gerar
graus de liberdade para estimação dos resíduos.



INTRODUÇÃO:
Alternativas:

1. ASSUMIR QUE INTERAÇÕES DE MAIOR ORDEM SÃO NÃO
SIGNIFICATIVAS;

2. IDENTIFICAR EFEITOS NÃO SIGNIFICATIVOS;

3. ADIÇÃO DE OBSERVAÇÕES NO PONTO CENTRAL DE UM
FATORIAL 2K



PROCEDIMENTOS PARA EXPERIMENTOS SEM REPETIÇÃO:
ASSUMIR QUE INTERAÇÕES DE MAIOR ORDEM SÃO NÃO SIGNIFICATIVAS;

PRINCÍPIO:
Interações de ordem mais elevada não são significativas, ou seja,
quando combinados um grande número de fatores os efeitos são
diluídos e conseqüentemente tornam-se não significativos

PROBLEMA:
Como nenhum procedimento formal é executado, efeitos
significativos podem ser excluídos do modelo com este
procedimento,



NO EXEMPLO:

A Tabela 3.8 mostra claramente que alguns efeitos são bem mais
significativos que outros. Admitindo, tendo em vista os valores dessa
tabela, que os efeitos principais e as interações de dois fatores bastam
para descrever adequadamente a superfície de resposta, podemos usar os
demais efeitos para obter uma estimativa do erro experimental nos
valores dos efeitos. De acordo com essa suposição (que equivale a dizer
que a expansão em série pode ser truncada depois dos termos de
segunda ordem), as interações de três ou mais fatores na verdade não
existem



NO EXEMPLO:

Os valores determinados para 123, 124, 134, 234 e 1234 na
Tabela, então, só podem ser atribuídos as flutuações aleatórias inerentes
ao nosso processo, isto é, ao "ruído" embutido nos valores das respostas.
Elevando cada um deles ao quadrado, teremos uma estimativa da
variância de um efeito, e a média dos cinco valores nos dará uma
estimativa conjunta, com 5 graus de liberdade (porque são cinco valores
independentes).




PORTANTO:

A raiz quadrada desse valor, s  0.54 é a nossa estimativa
para o erro padrão de um efeito.




IDENTIFICAR EFEITOS SIGNIFICATIVOS:

PRINCÍPIO:
Atendidas as suposições do modelo (normalidade e
homcedasticidade), as estimativas dos efeitos são combinações
lineares de normais, logo sob a hipótese de que os efeitos são não
significativos (i = 0) o gráfico normal probabilístico dos efeitos deve
ter pontos próximos a uma reta.

EFEITOS SIGNIFICATIVOS:
Efeitos significativos serão aqueles que se afastam da “reta” no
gráfico normal probabilístico (i ≠ 0)




NO EXEMPLO:

Imaginemos que nenhum dos 15 efeitos que calculamos exista de fato,
isto é, que o verdadeiro valor de cada um deles seja zero. Dentro dessa
suposição (mais um exemplo de hipótese nula), os valores numéricos
que obtivemos devem refletir apenas os erros aleatórios do nosso
processo. Aplicando o teorema do limite central, podemos considerá-
los como uma amostra aleatória retirada de uma distribuição
aproximadamente normal com média populacional zero




Um Segundo Exemplo - Exemplo: Fatorial 24 - Fatores K, T, P, C
K T P C Trat Y Estimativas Efeitos
- - - - (1) 71
+ - - - a 61 -8.0 K
- + - - b 90 24.0 T
+ + - - ab 82 -2.25 P
- - + - c 68 -5.5 C
+ - + - ac 61 1 K:T
- + + - bc 87 0.75 K:P
+ + + - abc 80 -1.25 T:P
- - - + d 61 0 K:C
+ - - + ad 50 4.5 T:C
- + - + bd 89 -0.25 P:C
+ + - + abd 83 -0.75 K:T:P
- - + + cd 59 0.5 K:T:C
+ - + + acd 51 -0.25 K:P:C
- + + + bcd 85 -0.75 T:P:C
+ + + + abcd 78 -0.25 K:T:P:C



Exemplo: Fatorial 24 - Fatores K, T, P, C
K T P C Trat Y Estimativas Efeitos
- - - - (1) 71
+ - - - a 61 -8.0 K
- + - - b 90 24.0 T
+ + - - ab 82 -2.25 P
- - + - c 68 -5.5 C
+ - + - ac 61 1 K:T
- + + - bc 87 0.75 K:P
+ + + - abc 80 -1.25 T:P
- - - + d 61 0 K:C
+ - - + ad 50 4.5 T:C
- + - + bd 89 -0.25 P:C
+ + - + abd 83 -0.75 K:T:P
- - + + cd 59 0.5 K:T:C
+ - + + acd 51 -0.25 K:P:C
- + + + bcd 85 -0.75 T:P:C
+ + + + abcd 78 -0.25 K:T:P:C


Exemplo: Fatorial 24 - Fatores K, T, P, C -
2º CASO : EXCLUSÃO INTERAÇÕES DE 3 E 4 FATORES

Fontes GL SQ QM F Prob.
Modelo 15 2801.00
K 1 256.00 256.00 213.33 <0.001
T 1 2304.00 2304.00 1920.00 <0.001
P 1 20.25 20.25 16.87 0.009
C 1 121.00 121.00 100.83 <0.001
K:T 1 4.00 4.00 3.33 0.127
K:P 1 2.25 2.25 1.87 0.229
K:C 1 0.00 0.00 0.00 1.000
T:P 1 6.25 6.25 5.21 0.071
T:C 1 81.00 81.00 67.50 <0.001
P:C 1 0.25 0.25 0.21 0.667
Resíduos 5 6.00 1.20




2º CASO : EXCLUSÃO INTERAÇÕES DE 3 E 4 FATORES


 Interação T:C
 Todos os efeitos principais



2º CASO : IDENTIFICAÇÃO DE EFEITOS SIGNIFICATIVOS

Estimativas Efeitos N o r m a l P r o b a b il is t ic o d o s E f e i t o s E s t i m a d o s
3 .0

-8.0 K 2 .5
.9 9
24.0 T 2 .0 (2 )T

-2.25 P 1 .5 2 b y4
.9 5

-5.5 C 1 b y2
E x p e c t e d N o rm a l V a lu e

1 .0 .8 5
1 K:T
1 b y3
1 *2 *4 .7 5
0 .5 1 b y4
0.75 K:P 1 * 3 *4
3by 4
.6 5
.5 5
-1.25 T:P
0 .0
1 2 3
2 *3 *4 .4 5
.3 5
0 K:C
2 b y3
- 0 .5
(3 )P .2 5

4.5 T:C - 1 .0 (4 )C
.1 5

-0.25 P:C - 1 .5 (1 )K
.0 5
-0.75 K:T:P - 2 .0

0.5 K:T:C - 2 .5
.0 1

-0.25 K:P:C - 3 .0
-0.75 T:P:C -6 0 -4 0 -2 0 0 20 40 60 80 100 120

-0.25 K:T:P:C - In terac tio n s - M a in effects an d o th er effe cts





Fontes GL SQ QM F Prob.
Runs 15 2801.00
K 1 256.00 256.00 136.53 <0.001
T 1 2304.00 2304.00 1228.8 <0.001
P 1 20.25 20.25 10.80 0.008
C 1 121.00 121.00 64.53 <0.001
T:C 1 81.00 81.00 43.20 <0.001
Resíduos 10 18.75 1.875






 Todos os efeitos mantidos no modelo,

OBSERVAÇÃO:

Neste caso ambos os procedimentos levaram a identificação de um mesmo
conjuntos de efeitos significativos.





CONCLUSÃO DA ANÁLISE: 90
In t e r a ç ã o T : C

 Estudo da interação T : C 85

80

75

70
Y

65

60

55 C = -1

C =+1
50
- +

T




E fe ito P rin c ip a l d e K
CONCLUSÃO DA ANÁLISE: 90

85


75

 Nível baixo de K apresenta 70

Y

melhor resultado (*)
65

60

(*) Quanto maior a resposta melhor 55

50
- +

o resultado do experimento K





CONCLUSÃO DA ANÁLISE:
E fe ito P rin c ip a l d e P

 Nível baixo de K apresenta 85

80

melhor resultado (*) 75

 Nível baixo de P apresenta 70
Y

65

melhor resultado (*) 60

(*) Quanto maior a resposta melhor 55

50
- +

o resultado do experimento P




ADIÇÃO DE OBSERVAÇÕES NO PONTOS CENTRAL DE UM FATORIAL 2K

Uma terceira alternativa para o caso de experimentos sem repetição é
a de realizar alguns ensaios (experimentos) no ponto central da região
experimental. A observação destes pontos permite a obtenção de
graus de liberdade para cálculos dos resíduos e conseqüentemente a
possibilidade de testar todos os efeitos em estudo.




Fonte GL
Modelo 7
Exemplo : Fatorial 23
A 1
Sem Repetição nos B 1
pontos “usuais” e três AB 1
C 1
repetições no ponto
AC 1
central BC 1
ABC 1
Erro (0) 3
Total (7) 10




Questão:
A adição destes pontos adicionais ocasiona mudanças nas estimativas
dos valores estimados para os efeitos?





Consideremos a situação de um fatorial 22 sem repetição e com
três repetições no ponto central. A matriz de planejamento X e a respectiva
matriz X’X são apresentadas abaixo:





Fatorial 22 sem repetição:

Fatorial 22 com três repetições
no ponto central





Observações:
1. A utilização de pontos centrais é possível nos casos onde os níveis dos fatores
apresentam, pelo menos, escala ordinal.
2. Embora a adição de observações no ponto central seja utilizada para viabilizar o
teste dos efeitos do modelo em experimentos onde são realizadas repetições nos
pontos experimentais, a sua principal aplicação é a de permitir a verificação da
linearidade dos efeitos dos fatores , ou seja, verificar se na região experimental em
estudo o ajuste de um modelo linear é suficiente ou se existe a necessidade de um
ajuste de um modelo de segunda ordem. Esta aplicação será vista no capítulo 2.

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