A vida e obra do matemático grego Euclides

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A História e Biografia de Euclides By Diamond – 29 de Dezembro de 2010Posted in: Biografias, Matemáticos O matemático grego Euclides (?325 a.C. – 270 a.C.) morava na cidade de Alexandria, no Egito e foi nesta grande cidade cultural que ele escreveu seu famoso livro sobre geometria. O livro didático Os Elementos tem sido usado continuamente por mais de dois mil anos. Júlio César, Isaac Newton, George Washington e Albert Einstein aprenderam geometria no livro de Euclides. Milhões de colegiais estudaram geometria plana elementar com base na primeira parte de sua apresentação. Ele deu à ciência o entendimento de que não basta coletar fatos. Deve-se dar uma ordem lógica a eles, resumi-los e sistematizá-los de forma a construir princípios gerais. Euclides planejou cuidadosamente a organização de seu livro. Primeiro, juntou tudo o que se sabia sobre o assunto e revelou uma série de definições e verdades básicas, ou “axiomas”. Então, organizou o resto do livro de forma a prosseguir logicamente e forneceu as provas que faltavam. Euclides desenvolveu suas conclusões geométricas a partir de provas matemáticas fundamentadas nos axiomas básicos e “postulados”, ou suposições, que arrolara no início. A quinta suposição de Euclides é o postulado das paralelas: a partir de um ponto fora de uma linha, apenas uma outra linha pode ser traçada paralelamente à que já existia. Do postulado paralelo vem a conclusão de que a soma dos três ângulos internos de qualquer triângulo deve ser 180º. O grande matemático Karl Gauss testou esta observação séculos depois. Gauss usou telescópios potentes e equipamentos de precisão para medir os ângulos de triângulos cujos lados tinham quilômetros de comprimento. Considerando a margem de erro experimental, os ângulos de cada triângulo somaram 180º, como previa a geometria de Euclides. Euclides, detalhe da Escola de Atenas, afresco de Rafael, 1509. Museus do Vaticano, Roma. Ainda assim, o postulado das paralelas é meramente uma suposição. Alguns matemáticos, inclusive Gauss, o substituíram por suposições alternativas para ver o que acontecia. Os astrônomos acreditam que algumas dessas “geometrias não-euclidianas” possam ter aplicação no mundo real. Por exemplo, a matemática que rege as estrelas de nêutrons e os buracos negros talvez seja não-euclidiana. Os Elementos é um estudo abrangente de geometria plana, proporção, propriedades dos números e geometria sólida. No livro, a realização mais conhecida de Euclides é a prova de que a quantidade de números primos é infinita. A citação mais famosa de Euclides é uma afirmação que ele fez a Ptolomeu I, rei do Egito e da Líbia. Aparentemente, Ptolomeu estudava geometria com Euclides e achava as provas exatas um assunto complicado. Por isso, pediu que Euclides apresentasse a matéria de forma simplificada. Ele respondeu imediatamente: “Não existem estradas reais para se chegar à geometria.” Quanto à vida pessoal de Euclides, não se conhece praticamente nada. Ele provavelmente estudou em Atenas antes de viajar para Alexandria. Escreveu Os Elementos em grego, e o livro chegou aos cientistas da Renascença em latim por meio de uma tradução do árabe. Portugal Euclides era um matemático grego, viveu em Alexandria na primeira metade do séc. III a.C. Acredita-se que ele era mais novo que os primeiros discípulos de Platão e mais velho que os de Arquimedes. É muito provável que Euclides tenha recebido ensinamentos matemáticos dos primeiros discípulos de Platão. Embora não se tenha informações biográficas de Euclides, sabe-se que ele fundou uma escola em Alexandria, no reinado de Ptolomeu I (306 - 283 a.C. ). Conta Prado de Bizâncio (412 - 485 d.C. ) que Ptolomeu perguntava a Euclides se não havia um caminho mais rápido de se aprender geometria e Euclides respondera: “Não há estrada real para geometria.”A grande obra de Euclides , os Elementos, era subdividida em 13 livros. Na época de Arquimedes ele era freqüentemente adotado como livro básico. Entre gregos e romanos, durante toda a Idade Média e até o Renascimento, os Elementos foram considerados o livro por excelência para o estudo da geometria.No séc. XIX, Lobatchevski, Bolyai e Riemam, abandonaram o quinto postulado de Euclides, provando que ele era independente dos outros, e criaram as geometrias não-euclidianas.Euclides não apenas demonstrava de maneira lógica os teoremas geométricos formulados, procurava defini-los com mais clareza. Algumas definições que aparecem no seu primeiro livro, Elementos, são as seguintes:• Um ponto é aquilo que não tem partes.• Um ângulo plano é a inclinação, em relação uma com a outra, de duas retas do plano que se cruzam entre si e não estão na mesmo reta.• Quando uma reta é colocada sobre outra reta, de maneira que os ângulos adjacentes sejam iguais, cada um dos ângulos é chamado reto e a reta superposta diz-se perpendicular à primeira.Dos 13 livros que subdividiam os Elementos, os seis primeiros tratam da geometria plana, os quatro seguintes da teoria dos números e os três últimos da geometria do espaço.No 1º livro, Euclides estuda o triângulo e desenvolve importantes considerações sobre o teorema de Pitágoras.O 2º livro, trata da relações entre áreas dos quadrados e dos retângulos.Os 3º e 4º livros contém as principais propriedades dos círculos.Nos livros 5º e 6º, Euclides apresenta a teoria das proporções e aplica-a à geometria plana. Nos livros 7º, 8º e 9º, examina os números primos e estuda os processos de fatoração.O décimo livro, considerado o mais perfeito, contém os números irracionais.Os três últimos, dedicados à geometria no espaço, exemplo: cubos, pirâmides, paralelepípedos, etc.Outras obras de Euclides foram:Os dadosDa divisãoOs fenômenosÓtica e Catóptrica - estudam as propriedades geométricas que derivam da proporção retilínea da luz e da sua reflexão em espelhos planos e curvos.Introdução harmônicaCônicasUma edição completa das obras de Euclides foi publicada em Leipzig, com o título Opera omnia, em oito volumes, com texto grego e latim em (1883-1916) Bommmmm Introdução No âmbito da disciplina de matemática iremos realizar um trabalho que se focará na vida e obra de Euclides, um dos maiores matemáticos do seu tempo. De início iremos fazer uma abordagem à informação a cerca da sua vida, numa sucinta biografia. Para além disso iremos enumerar também as áreas em que Euclides se destacou para além da matemática. Na matemática desenvolveremos principalmente os conteúdos das obras em que Euclides se destacou especialmente, nos Treze Livros, e em geral na sua obra d’Os Elementos onde desenvolve grandes avanços numa importante temática escolar que ainda hoje estudamos, sem alterações, a geometria Euclidiana. Biografia No ano de 325 a.C. nasce na Síria um professor, escritor grego e célebre matemático, Euclides de Alexandria. Foi educado em Atenas e frequentou a Academia de Platão. Anos mais tarde, a convite do rei Ptolomeu I, fez parte do quadro de professores da recém fundada Academia, o Museu, em Alexandria, no Egipto. Passando aí grande parte da sua vida alcançou grande prestígio pela forma extraordinária como ensinava Geometria e Álgebra, conseguindo deste modo aliciar um grande número de discípulos para as suas lições públicas. Muitas das suas obras foram perdidas, mas a mais importante, a monumental publicação Stoichia (Os Elementos, 300 a.C.) resistiu passando assim até os dias de hoje. Compõe-se de um conjunto de 13 livros (ou capítulos), em que Euclides faz uma exposição rigorosa e ordenada dos assuntos básicos da matemática elementar, incluindo aritmética, geometria e álgebra. A d’Os Elementos é considerada a mais antiga da história da matemática e uma das mais importantes. A sua contribuição foi tão grande que a maior parte das proposições nela contida é tratada na escola actual, principalmente no campo da geometria, conhecida, hoje, como Geometria Euclidiana, em homenagem ao seu criador. Muitas pessoas interpelam-se de como pôde ser possível sem geometria construir-se as inigualáveis Pirâmides do Egipto, pois bem, anteriormente sabe-se que os babilóleft0nios, povo que habitava a Mesopotâmia, desenvolveram um considerável conhecimento geométrico desde 2000 a.C. Também no Egipto, aproximadamente 1300 a.C., a geometria era desenvolvida, os agricultores usavam-na para medir terrenos, construtores recorriam dela para as suas edificações. As grandes pirâmides próximas ao Rio Nilo demonstraram que os egípcios conheciam e sabiam usar muito bem a geometria. Por volta de 600 a.C., filósofos e matemáticos gregos, entre os quais podemos incluir Tales de Mileto e Pitágoras, passaram a sistematizar os conhecimentos geométricos da época. É de unânime senso que a geometria, antes dos gregos, era puramente experimental, sem que houvesse qualquer cuidado com os princípios matemáticos que regiam os conhecimentos geométricos. Foram então, os gregos os primeiros a introduzir o raciocínio dedutivo. Porém foi com o matemático grego Euclides que a geometria realmente se desenvolveu, fazendo da cidade egípcia de Alexandria, onde vivia, o centro mundial da geometria por volta de 300 a.C. Sistematizando os conhecimentos que outros povos haviam adquirido de forma desordenada através do tempo, Euclides deu ordem a lógica a esses conhecimentos, estudando com rigor e precisão as propriedades das figuras geométricas, as áreas e os seus volumes. O nome de Euclides ficou na história da ciência para sempre associado à primeira concepção da Geometria como um conjunto sistematizado e lógico de propriedades. Muitas dessas propriedades eram já utilizadas anteriormente, de forma dispersa e com objectivos, tanto utilitário como de mero prazer intelectual ou artístico, por outras civilizações, mas Euclides organizou-as de forma lógica e demonstrou-as tomando coright0mo ponto de partida um conjunto reduzido de proposições que toma como verdadeiras sem necessitarem de demonstração e a que se chama axiomas ou postulados. Conta-se que, um dia, o rei lhe perguntou se não existia um método mais simples para aprender geometria, ao que Euclides respondeu: quot;
Não existem estradas reais para se chegar à geometriaquot;
, celebrizando-se assim esta frase. Certo dia, um discípulo perguntou-lhe qual era o lucro que lhe poderia advir do estudo da geometria. Euclides, para quem a geometria era sagrada, chamou um escravo, deu-lhe algumas moedas e ordenou que as entregasse ao aluno: quot;
Já que deve obter um lucro de tudo o que aprendequot;
. Em 265 a.C. publica uma obra intitulada por Óptica, retratando temáticas relacionadas com astrologia, astronomia, mecânica e música. Neste mesmo ano morre deixando as suas vastas obras. Obra Com grande capacidade e habilidade de exposição que tinha, Euclides, é caracterizado como um bondoso velho. No entanto, existe a certeza de que, devido a ele, os conceitos de geometria adquiriram forma científica na Grécia. Embora a sua origem se encontre no antigo Egipto, local onde se sentiu a necessidade de se efectuarem medições da terra devido às inundações periódicas do Nilo. Euclides escreveu inúmeros livros e tratados, abordando temáticas como óptica, astronomia, mecânica e até música. O seu trabalho é tão vasto que alguns historiadores não acreditavam que fosse obra de um só homem. Apesar de se terem perdido mais de metade dos seus livros, ainda sobreviveram, para felicidade dos séculos vindouros, as seguintes obras: Os Elementos – a sua obra mais importante, constituída por 13 volumes, que contemplam toda a aritmética, álgebra e geometria da sua altura. É considerado um dos maiores bestsellers de right0sempre, marcando grandemente a história da Matemática. (Mais adiante descrevemos mais aprofundadamente esta sua magnifica obra). Os Dados – uma espécie de manual de tabelas, de uso interno na Academia e que é um complemento dos seis primeiros volumes d’Os Elementos, que serve como guia para a resolução de problemas, com relação entre medidas lineares e angulares num círculo dado. A Divisão – contém, muito provavelmente, 36 proposições referentes à divisão geométrica de figuras planas. Os Fenómenos - julga-se que Euclides recorreria à Geometria esférica para aplicação à astronomia, nos fenómenos celestes, sobreviveu assim esta compilação, parcialmente, e hoje é, depois d’A Esfera de Autólico, o mais antigo conjunto de tratados científicos gregos existentes. Óptica - estudo de perspectiva, sobre a visão, onde desenvolve uma teoria contrária à de Aristóteles, segundo a qual o olho envia os raios que vão até ao objecto que vemos, e não o inverso. Data – compreende aplicações da álgebra à geometria, sendo sempre apresentadas numa linguagem estritamente geométrica. É de referir também que Euclides, cerca de 300 a.C., fundou a sua própria escola de matemática. E foi através desta que as suas obras tomaram forma. Pela importância das suas obras e pelo modo como foram apresentadas, estas constituíram a base de todo o pensamento matemático, pelo que, Euclides é considerado o criador da geometria Euclidiana. Entre as muitas obras que, lamentavelmente se perderam. Damos maior destaque ao livro Porismos que poderia conter aproximações à geometria analítica. Embora alguns conceitos já fossem conhecidos anteriormente à sua época, o que dificulta uma análise completa da sua originalidade, considera-se o seu trabalho genial: recolhendo tudo o que até então se conhecia, sistematizando os dados da intuição e substituindo imagens concretas por noções abstractas. Cria assim, a possibilidade de raciocinar sem qualquer apoio intuitivo. Os Elementos Os Elementos de Euclides formam um dos mais bonitos e influentes trabalhos da ciência na história da Humanidade. A sua beleza assenta no desenvolvimento lógico da geometria e de outros ramos da Matemática. São, a seguir à Bíblia, um dos livros mais reproduzidos e estudados na história do Mundo Ocidental. Foi praticamente o único livro de texto usado no ensino da Matemática durante mais de dois milénios. Os treze volumes que constituem a sua obra, foram ao longo dos tempos estudados e admirados por muitos filósofos e matemáticos de todos os países e de todos os tempos, devido à simplicidade do estilo geométrico e à concisão e clareza da forma. Na Idade Média, foi traduzido em latim e árabe, e após a descoberta da imprensa, fizeram-se numerosas edições na maioria das línguas europeias. A primeira foi de Campano, em latim, publicada após a sua morte, em 1482, e que foi muitas vezes citada por Pedro Nunes. Em Portugal, Angelo Brunelli em 1768, publicou uma tradução em português dos seis primeiros livros, do décimo primeiro e segundo livros. Torna-se, assim, uma obra modelo para todas as ciências físicas, destacando-se pelas demonstrações rigorosas e pela forma em que estão expostas as bases da geometria. Euclides apresenta-nos assim a geometria como um todo, como um sistema lógico, e não como um mero agrupamento de informações desconexas: as definições, os axiomas, os postulados, as demonstrações e as proposições surgem organizadas por uma ordem perfeita. (Cada proposição resulta das definições, dos axiomas, dos postulados ou das proposições anteriores, de acordo com uma demonstração). Proposição a) Teoremas: declaração acerca de propriedades relacionadas com um determinado objecta que não provam existência de nada. b) Problemas: directivas para a construção de um objecto que provam a existência de algo. Axiomas (noções comuns) - verdades matemáticas que não necessitam de demonstração para serem aceites. Postulados - É uma proposição cuja verdade, ainda que não tenha a evidência de um axioma, se admite sem uma demonstração. A este método estrutural chamamos Axiomático. Assim, Euclides com Os Elementos, constitui o primeiro e mais nobre exemplo de um sistema lógico e ideal. Há que ter em conta, contudo, os meios que dispunha na época e, como tal, compreender prováveis deficiências principalmente nas demonstrações. Os Treze livros Livros I – IV Os livros I-IV tratam da geometria plana eleright0mentar. Partindo das mais elementares propriedades de rectas e ângulos que conduzem à congruência de triângulos, à igualdade de áreas, ao Teorema de Pitágoras (livro I, proposição 47) e ao seu recíproco (livro I, proposição 48), à construção de um quadrado de área igual à de um rectângulo dado, à secção de ouro, ao círculo e aos polígonos regulares. Sendo o Teorema de Pitágoras e a secção de ouro introduzidos como propriedades de áreas. Como a maioria dos treze livros, o livro I começa com uma lista de Definições (23, ao todo) sem qualquer comentário como, por exemplo, as de ponto, recta, círculo, triângulo, ângulo, paralelismo e perpendicularidade de rectas tais como: . Ponto é o, que não tem partes, ou o, que não tem grandeza alguma. . Linha é o, que tem comprimento sem largura. . As extremidades da linha são pontos. . Linha recta é aquela, que está posta igualmente entre as suas extremidades. . Superfície é o, que tem comprimento e largura. . As extremidades da superfície são linhas. . Superfície plana é aquela, sobre a qual assenta toda uma linha recta entre dois pontos quaisquer, que estiverem na mesma superfície. . Ângulo plano é a inclinação recíproca de duas linhas, que se tocam em uma superfície plana, sem estarem em direitura uma com a outra. . Ângulo plano rectilíneo é a inclinação recíproca de duas linhas rectas, que se encontram, e não estão em direitura uma com outra. A seguir às definições, aparecem os Postulados e as Noções Comuns ou Axiomas, por esta ordem. quot;
Postularquot;
significa quot;
pedir para aceitarquot;
. Assim, Euclides pede ao leitor para aceitar as cinco proposições geométricas que formula nos Postulados: . Dados dois pontos, há um segmento de recta que os une; . Um segmento de recta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma recta; . Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada; . Todos os ângulos rectos são iguais; Aqui, no livro I encontramos também o 5º postulado. . Se uma linha recta cortar duas outras rectas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois rectos, então essas duas rectas, quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois ângulos; O 5º postulado, é mais famoso dos postulados de Euclides e aquele que tem dado mais dores de cabeça aos matemáticos. Equivalente ao «axioma das paralelas», de acordo com o qual, por um ponto exterior a uma recta, apenas passa uma outra recta paralela à dada, desde cedo que este postulado foi objecto de polémica por não possuir o mesmo grau de quot;
evidênciaquot;
que os restantes. Assim, Próclo, criticou este postulado nos seguintes termos: quot;
Este postulado deve ser riscado da lista, pois é uma proposição com muitas dificuldades que Ptolomeu, em certo livro, se propôs resolver... A asserção de que duas linhas rectas, por convergirem mais e mais à medida que forem sendo prolongadas, acabam por se encontrar, é plausível mas não necessária. (...) É claro, portanto, que devemos procurar uma demonstração do presente teorema, e que este é estranho ao carácter especial dos postulados.quot;
 O próprio Euclides e muitos dos seus sucessores tentaram demonstrar que esta proposição era verdadeira, aplicando outros axiomas da geometria. Mas todas as demonstrativas foram sempre em vão. Esta impossibilidade foi durante séculos o escândalo da geometria e o desespero dos geómetras. Livros V - IX O livro V apresenta a teoria das proporções de Eudoxo na sua forma geométrica. O livro VI usa a teoria das proporções na semelhança de figuras planas. Regressamos ao teorema de Pitágoras e à secção de ouro - O numero de ouro é irracional e aparece em diversos elementos da natureza em forma de razão, e é representado por Φ. Antes da elaboração da fórmula apresentada na ilustração 5, o número de ouro foi descoberto num rectângulo em que a razão entre o lado maior e o menor left0era aproximadamente 1,618 – o valor aproximado do número de ouro. Com teoremas relativos a razões de grandezas. Entre os teoremas desenvolvido neste livro e de destacar o interesse pelo teorema da proposição 27 que tem o maior problema de maximização que chegou até nós, a prova de que o quadrado é a figura rectângula que relativamente a um dado perímetro tem maior área. Os livros VII-IX desenvolvem conceitos sobre a teoria dos números, tais como a divisibilidade dos inteiros, a adição de séries geométricas e algumas propriedades dos números primos. Nesses volumes pode-se encontrar também o “algoritmo de Euclides” - usado para determinar o máximo divisor comum entre dois números –, o “Teorema de Euclides” que refere que existe uma infinidade de números primos, bem como a prova da irracionalidade do da raiz quadrada de 2. Livros X – XIII O livro X, classificação dos incomensuráveis, é o mais maior de todos os livros de Euclides e considerado o mais difícil. Este livro tratright0a os números irracionais e contém a classificação geométrica de irracionais quadráticos e as suas raízes quadráticas. Os livros XI, XII e XIII tratam da geometria sólida, falam sobre os ângulos dos sólidos, dos volumes dos paralelepípedos, da pirâmide, e da esfera. Um dos mais importantes temas destes livros é a discussão dos cinco poliedros regulares, os sólidos platónicos, e a prova de que existem apenas estes cinco poliedros regulares. Os sólidos platónicos são sólidos convexos cujas arestas formam polígonos planos regulares. A sua designação deve-se a Platão, que os descobriu em cerca de 400 a.C. A existência destes sólidos já era conhecida pelos pitagóricos, e egípcios que utilizaram alguns destes sólidos na arquitectura e noutras construções. Sendo estes os seguintes: O cubo: O tetraedro: O octaedro: O dodecaedro: O icosaedro: Ilustrações 7 – 11 - Sólidos Platónicos inhttp://3.bp.blogspot.com/_VqtsDeIVJXM/SKIWY86DVGI/AAAAAAAAABE/HiLgwNc2I_g/s320/ s_platon.gif Conclusão Ao longo deste trabalho explorámos a biografia da vida de Euclides como matemático e abordámos a sua obra. Dentro da obra focámo-nos principalmente n’Os Elementos, obra constituída por treze livros que contêm excelentes avanços no campo da geometria. A sua obra é admirada por muitos pensadores de todas as épocas devido à simplicidade do estilo geométrico e à concisão e clareza da forma. Ao referirmos os assuntos tratados em cada livro compreendemos melhor o que Euclides fez pela geometria e a importância da Geometria Euclidiana nos nossos dias, pois os seus principais, teoremas, postulados, proposições e axiomas ainda hoje são valorizados e utilizados, até mesmo como bases em outras ciências. Assim, Euclides criou uma compilação de proposições, axiomas, postulados e demonstrações numa sequência perfeita pela sua coerência e qualidade argumentativa (estrutura axiomática). Percebe-se então o valor deste trabalho que serviu como modelo para muitas outras ciências. O trabalho de Euclides é notável. É, como tal, um exemplo do quot;
Puro Homem da Ciênciaquot;
, que se dedica à especulação pelo gosto do saber, independentemente das suas aplicações materiais. Bibliografia Sites: Conteúdo teórico . http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm35/frames.htm . http://vestibular.uol.com.br/ultnot/resumos/ult2774u17.jhtm . http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euclides/elementoseuclides.htm . http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_euclidiana Matemático grego (séculos IV a.C.-III a.C.). É o mais famoso matemático da Antiguidade. Não se conhecem o local e as datas de seu nascimento e sua morte, e quase nada se sabe sobre sua vida. É possível que tenha recebido ensinamentos dos primeiros discípulos de Platão. A única certeza é que funda em Alexandria, durante o reinado de Ptolomeu I (323 a.C.-285 a.C.), a primeira escola de Matemática. Sua principal obra, Elementos, de 13 volumes, é considerada essencial para o estudo da Geometria. Euclides faz uma compilação dos principais estudos de matemáticos que o antecederam, entre eles Hipócrates e Eudoxus. Estabelece novos teoremas e sistematiza os já existentes sobre Geometria plana, espacial e sobre números. Também formula os axiomas e postulados que estabelecem os princípios básicos da Geometria. Seus estudos dão origem à Geometria euclidiana, que prevalece até o século XIX, quando surgem as primeiras teorias que se opõem às suas. Escreve ainda, entre outras obras, Dados, com 94 proposições de Geometria elementar, e Fenômenos, que trata da Geometria aplicada à Astronomia.

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