El documento introduce conceptos básicos sobre tensiones en materiales. 1) Se define tensión como las fuerzas internas que aparecen en un sólido deformable debido a fuerzas externas. 2) Las tensiones se pueden descomponer en tensión normal, la componente a lo largo de la normal de la superficie cortada, y tensión cortante, la componente tangencial. 3) En un punto dado, el estado de tensiones depende de la orientación de la superficie cortada, pudiendo haber diferentes valores de tensión.

1. Tema : Introducción
Tema : INTRODUCCIÓN
TRACCIÓN CORTADURA
F F F
TORSIÓN FLEXIÓN
M
F
1

2. Tema: Introducción
I.1.- INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES
La MECÁNICA estudia los SÓLIDOS RÍGIDOS
La RESISTENCIA DE MATERIALES estudia los SÓLIDOS DEFORMABLES
Se propone el siguiente ejemplo:
Se quiere levantar un cuerpo de 100 Kg de peso y para hacer menor el esfuerzo a realizar, se
utiliza una barra, que a través de un apoyo intermedio O, se usará como una palanca. Se desea
en un principio calcular el esfuerzo P que se deberá aplicar en el extremo de la barra
P
100 Kg
O
1m 2m
Fig. I.1.a
Suponiendo la barra utilizada, como rígida, es la Mecánica la que resuelve el problema. Así
por la ecuación de equilibrio:
∑M O =0 P.2 = 100.1 → P = 50 Kg
Pero la barra, en realidad, es un sólido deformable y como tal, podría ocurrir que se rompiese
o que se deformase demasiado y por tanto no nos sirviese para elevar el peso de 100 Kg.
100 Kg
La barra se rompe
O P
1m 2m
Fig. I.1.b
100 Kg
La barra se deforma demasiado
O P
1m 2m
Fig. I.1.c
Será precisamente la RESISTENCIA DE MATERIALES la que nos ayude a dimensionar la
barra a utilizar, para evitar que se rompa o que se deforme demasiado
2

3. Sección I1: Introducción a la Resistencia de Materiales
¡ Que no se rompa la barra ¡
Las fuerzas exteriores que aplicamos sobre los cuerpos, provocan en ellos fuerzas interiores
o tensiones que se oponen a las exteriores. Ello es debido porque las fuerzas exteriores alteran
las posiciones de reposo que mantenían las partículas elementales del interior del cuerpo y se
desarrollan entonces fuerzas internas que tratan de recuperar las posiciones iniciales de las
mismas
Fint Fint Fext
Fext
en reposo
Fig. I.2
Al aumentar el valor de las fuerzas exteriores aumentará el valor de las fuerzas interiores y
ello sucederá así hasta que éstas llegan a su valor límite y ya no pueden crecer más. A partir
de aquí el sólido romperá.
F1int
F1ext
F2int>F1int
F2ext>F1ext
F3int=Fint max>F2int
F3ext>F2ext
La barra se rompe
F4ext>F3ext
Fig. I.3
Se denomina resistencia mecánica de un cuerpo: “a las fuerzas internas máximas o
tensiones que es capaz de desarrollar dicho cuerpo”. Dependerá de las dimensiones del
mismo y del material del que esté hecho.
¡ Que no se deforme demasiado la barra ¡
En el ejemplo gráfico anterior, se observa que a medida que se va aumentando la fuerza
externa, el cuerpo se va deformando más. Se tendrá que controlar que los sólidos no se
deformen demasiado y dejen de ser útiles.
Se denomina rigidez de un cuerpo: “a la resistencia que presenta a dejarse deformar”
Conclusión final:
La RESISTENCIA DE MATERIALES permitirá calcular:
• Las fuerzas internas o tensiones. (A través de ellas se controlará que los cuerpos no se
rompan)
• Las deformaciones. (A través de ellas se controlará que los cuerpos no se deformen
demasiado)
3

4. Tema: Introducción
I.2.-PRINCIPIOS GENERALES EN LOS QUE SE VA A BASAR LA RESISTENCIA
DE MATERIALES
A continuación se enunciarán tres Principios que aplicaremos en la mayor parte de la
Resistencia de Materiales y que servirán para simplificar los cálculos
Principio de los Pequeños Desplazamientos
Según este Principio, se admite que al aplicar las fuerzas exteriores sobre los cuerpos, los
desplazamientos que se originan, son en la mayoría de los casos pequeños en relación con las
dimensiones de los mismos. Ello nos permitirá que las ecuaciones de equilibrio de la Estática
las podamos aplicar sobre el cuerpo en su posición inicial, es decir sin haberse deformado.
Ejemplo: Sea una estructura formada por dos cables que soportan una carga. Se desea calcular
las tensiones en los cables
β
α
O
P
Fig. I.4.a
Al considerar la estructura deformable, las ecuaciones de equilibrio de fuerzas, se deberían
plantear, en rigor, en la estructura ya deformada. Es decir cuando los extremos inferiores de
las cuerdas y por tanto la carga P se ha trasladado al punto O´.
Estableciendo pues, las ecuaciones de equilibrio en el punto O´ se tendría:
β-∆β F2
α+∆α
F1
β-∆β
α+∆α
O´
O
P Fig. I.4.c
O´
P ∑F x =0 F2 .sen ( β − ∆β ) = F1 .sen (α + ∆α )
Fig. I.4.b
∑F y =0 F2 . cos( β − ∆β ) + F1 . cos(α + ∆α ) = P
Con estas ecuaciones de equilibrio no se podrán obtener los valores de F1 y F2 pues se
desconocen las variaciones ∆α y ∆β que han sufrido las inclinaciones de los cables.
4

5. Sección I.2: Principios Generales
Si se supone ahora que las deformaciones de los cables van a ser pequeñas y aplicamos el
“Principio de los Pequeños Desplazamientos”, las ecuaciones de equilibrio se aplicarán ahora
a la estructura de cables aún sin deformar (en el punto O) y se podrá resolver fácilmente el
valor de las tensiones en ambos cables.
β
α F2
β
F1
α
O
O P Fig. I.4.e
P ∑F x =0 F2 .sen β = F1 .sen α
Fig. I.4.d ∑F y =0 F2 . cos β + F1 . cos α = P
Con estas dos ecuaciones se obtienen los valores de F1 y F2
Observaciones:
Los valores obtenidos de F1 y F2 no serán exactamente los reales, pero tendrán una
aproximación suficiente pata considerarlos como válidos. A partir de ellos se podrá estudiar la
deformación de la estructura.
Si los desplazamientos de la estructura no fuesen tan pequeños, los resultados así obtenidos
no serían válidos y no se podría aplicar este Principio.
Este Principio se podrá aplicar en la mayor parte de los problemas que resuelve la Resistencia
de Materiales, ya que generalmente se trabajará con pequeñas deformaciones
Principio de la Superposición de los Efectos
Este Principio dice que: “ Los efectos producidos por varias cargas actuando sobre un
cuerpo (fuerzas internas o tensiones y deformaciones), se pueden obtener, siempre que las
deformaciones producidas sean pequeñas, como suna de los efectos producidos por cada
una de las cargas actuando separadamente”
= +
(1) (2)
tensiones = tensiones (1) + tensiones (2)
deformaciones = deformaciones (1) + deformaciones (2)
Fig. I.5
5

6. Tema: Introducción
Observaciones:
Este Principio es de gran utilidad y se aplicará también en muchos problemas de la
Resistencia de Materiales, dado que permite dividir el caso de una solicitación general de
cargas, que puede ser compleja, en casos sencillos que resultan haciendo actuar por separado
dichas cargas y así en muchos casos poder utilizar los Prontuarios que dan soluciones para
dichos casos simples de cargas.
Si las deformaciones producidas fuesen grandes este Principio no se podría aplicar. Éste sería
el caso, por ejemplo, de una viga de “gran esbeltez” (vigas de longitudes grandes y pequeñas
secciones) sometida a una carga de compresión y otra de flexión
F F
P P
≠ +
Fig. I.6.a Fig.I.6.b Fig.I.6.c
P actuando sola → acorta la viga (Fig. I.6.b)
F actuando sola → flexiona la viga (Fig. I.6.c)
P y F actuando juntas → F (flexiona la viga) y P (acorta la viga y la flexiona aún más)
(Fig. I.6.a)
Principio de Saint Venant
Este Principio dice: “Si se sustituye el sistema de fuerzas que está actuando sobre un cuerpo
por otro equivalente a él, los efectos que ambos sistemas producen (tensiones y
deformaciones) serán similares en todos los puntos del cuerpo, salvo en aquellos que se
encuentran en la zona próxima a donde estaban aplicadas las fuerzas”
F2
R = F1 +F2 +F3
F1
F3
Fig. I.7.a Fig. I.7.b
Según este Principio las tensiones y deformaciones producidas por las cargas en (Fig. I.7.a),
son las mismas que las que aparecerán en (Fig. I.7.b), salvo en la zona rayada, próxima a
donde actúan las cargas, que serán diferentes:
En la zona rayada: tensiones y deformaciones (Fig. I.7 a) ≠ tensiones y deformaciones (Fig.
I.7.b)
En el resto: tensiones y deformaciones (Fig. I.7.a) = tensiones y deformaciones (Fig. I.7.b)
6

7. Sección I.2: Principios Generales
Así, se podrá aplicar este Principio a problemas de Resistencia de Materiales en donde la
superficie donde actúa la carga, es pequeña en relación con las dimensiones de la pieza, pues
en este caso la zona afectada por el cambio (zona rayada) tendría poca consideración.
SI R=ΣF
→
Fig. I.8.a
NO R=ΣF
→
Fig. I.8.b
Como se observa en (Fig. I.8.a), la zona rayada (donde se van a producir las alteraciones en el
estado de tensiones y deformaciones), es pequeña, con lo cual la sustitución del sistema de
fuerzas por su resultante, apenas va a suponer alteración de dicho estado en la viga. No ocurre
lo mismo en el caso de (Fig. I.8.b), donde la zona rayada es grande y por tanto la zona donde
se van a dar las alteraciones en el estado de tensiones y deformaciones, al sustituir el sistema
de fuerzas por su resultante, es muy amplia, con lo cual no se podrá hacer dicha sustitución,
pues se cometerían errores graves en los cálculos.
7

8. Tema 1: Tensiones
Tema 1 : TENSIONES
F1
S
∆S u σ nS
F4 O ρ ∆F
τ
F2
1

9. Tema 1: Tensiones
1.1.- CONCEPTO DE TENSIÓN
Consideremos un sólido sometido a un sistema de fuerzas: F1, F2, F3, ..,Fn y que esté en
equilibrio estático (no se mueve) y en equilibrio elástico (ya está deformado).
F3
F1
S
F4 F5 Fn
F2
Fig. 1.1.a
Debido a las fuerzas exteriores aparecen en el interior del sólido las fuerzas
interiores, que se oponen a la acción de las exteriores y tratan de llevar al sólido a la
posición que tenía inicialmente de reposo. Para ponerlas de manifiesto seccionemos el
sólido por la superficie S.
F3
F1
S S
∆F
∆F Fn
F4 O O F5
∆S ∆S
F2
Fig. 1.1.b Fig. 1.1.c
Las dos partes en que ha quedado dividido el sólido no estarían ahora en equilibrio. Para
reproducir dicho equilibrio se tendría que restablecer las acciones que cada parte del
sólido ejercía sobre la otra. Estas acciones son las fuerzas interiores (∆F), fuerzas que
las partículas de un lado de la superficie S ejercían sobre las del otro lado
Se denomina:
r
r ∆F
Tensión media en el punto O: ρ med =
∆S
r
r ∆F
Tensión en el punto O: ρ = lim ∆S →0 (1.1)
∆S
2

10. Sección 1.2: Tensiones normales y cortantes
1.2.- TENSIONES NORMALES Y CORTANTES
F1
S
∆S u σ nS
F4 O ρ ∆F
τ
F2
Fig. 1.2
r
r ∆F
Tensión en el punto O: ρ = lim ∆S →0
∆S
r
es un vector de la misma dirección y sentido que ∆F pero de menor módulo (va
dividido por ∆S)
r r
Tensión normal (σ ) : es la componente de la tensión ρ sobre la dirección normal a la
superficie S.
r r r r
Se obtendrá: σ = ρ .u σ = σ .u (1.2)
r
siendo u el vector unitario normal a la superficie S
r r
Tensión cortante (τ ) : es la componente de la tensión ρ sobre la propia superficie S
r r r
Se cumplirá que: ρ = σ +τ ρ = σ 2 +τ 2 (1.3)
r r r
con lo cual: τ = ρ −σ τ = ρ2 −σ 2 (1.4)
1.3.- ESTADO DE TENSIONES EN UN PUNTO
Si se hubiese seccionado el sólido por diferentes superficies S que pasen por el punto O
r
se hubiesen obtenido diferentes valores de la tensión ρ en dicho punto, puesto que las
acciones que se estaban ejerciendo sobre el punto O por parte de los que le rodean no
serían las mismas
F3
F1
ρ2
ρ3 ρ1 Fn
F4 F5
ρ4
F2 ρn
Fig. 1.3
3

11. Tema 1: Tensiones
Al conjunto de todos los valores de las tensiones ρ en un punto O, correspondientes a
todas las superficies que pasen por él, se le denomina: ESTADO DE TENSIONES DEL
PUNTO O
Así, según se ve en (Fig. 1.4.a y b), si seccionásemos por la superficie S1 actuaría la
tensión ρ1, si seccionásemos por la superficie Sn actuaría la tensión ρn, etc..Luego cada
tensión va asociada a una Superficie
F1 F1
S1 Sn
ρ1
F4 F4
F2 F2 ρn
Fig. 1.4.a Fig. 1.4.b
COMPONENTES DEL ESTADO DE TENSIONES EN UN PUNTO
De todas las tensiones que puede haber en un punto, se verá cómo, si seleccionamos 6
de ellas, a las que denominaremos “Componentes del estado de tensiones en un
punto”, a partir de ellas, se podrán conocer todas las demás.
Sea O un punto del sólido cuyo “Estado de tensiones” se quiere conocer. Aislemos un
elemento de volumen diferencial, en forma de paralelepípedo recto, con vértice en O,
origen de un sistema de ejes coordenados: x,y,z, coincidentes con las aristas del
paralelepípedo. Al ir reduciendo las dimensiones del paralelepípedo, manteniéndole
semejante a sí mismo, en el límite, el paralelepípedo tiende al punto O y todas sus caras
pasan por O, con lo cual se podrá considerar las tensiones sobre sus caras como
tensiones en el punto O.
F3
F1
y
O
F4 x F5 Fn
F2 z
Fig. 1.5
4

12. Sección 1.3: Estado de tensiones en un punto
Ampliemos el paralelepípedo y por lo visto en 1.2., sobre cada una de las caras de dicho
paralelepípedo habrá una tensión normal σ y una tensión cortante τ. Si descomponemos
ésta a su vez, en sus dos componentes sobre las direcciones de los ejes respectivos, se
tendrán 3 tensiones en cada una de las caras y por tanto 18 tensiones sobre el
paralelepípedo completo.
y σ´y
τ´yx
τ´yz
σz
τzx τ´xy
τxz dy
σx τ´zy σ´x
τzy
σ´z τ´zx τ´xz
τxy
O dx x
τyx τyz
dz
z σy Fig. 1.6
Nomenclatura utilizada
Para las tensiones normales: σx → el subíndice “x”, indica que esta tensión está sobre
una superficie normal al eje X
Para las tensiones cortantes: τxy → el primer subíndice “x”, indica que está sobre una
superficie normal al eje X y el segundo subíndice “y”, indica que lleva la dirección del
eje Y
Observación: en las caras del paralelepípedo paralelas a las que contienen a los ejes
coordenados, las tensiones se las distingue con un “prima” en la parte superior: σ´x, τ´xy
Convenios de signos para las tensiones
Para las tensiones normales: σ → se consideran positivas, (σ > 0), cuando van
dirigidas en el mismo sentido que la normal saliente a la superficie donde está aplicada.
(Si se observa en (Fig. 1.6), todas las tensiones normales dibujadas en las diferentes
caras del paralelepípedo serían positivas).
Para las tensiones cortantes: τ → se consideran positivas, (τ > 0), cuando las que están
aplicadas sobre las caras del paralelepípedo que pasan por O llevan sentido contrario al
de los ejes positivos y las que están aplicadas en las caras que no pasan por O llevan el
mismo sentido que los ejes positivos. (Si se observa en (Fig. 1.6), todas las tensiones
cortantes dibujadas en las diferentes caras del paralelepípedo serían positivas).
5

13. Tema 1: Tensiones
Las tensiones en las tres caras del paralelepípedo que no pasan por O ( σ´x, σ´y, σ´z, τ´xy,
τ´yz, τ´zx ) se podrían expresar matemáticamente en función de las tensiones en las otras
tres caras que pasan por O ( σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx ) por desarrollo de Tylor:
∂σ x ∂τ xy ∂τ xz
σ ´x = σ x + .dx τ ´xy = τ xy + .dx τ ´xz = τ xz + .dx
∂x ∂x ∂x
∂σ y ∂τ yx ∂τ yz
σ ´y = σ y + .dy τ ´yx = τ yx + .dy τ ´yz = τ yz + .dy (1.5)
∂y ∂y ∂y
∂σ z ∂τ zx ∂τ zy
σ ´z = σ z + .dz τ ´zx = τ zx + .dz τ ´zy = τ zy + .dz
∂z ∂z ∂z
Si reduciésemos las dimensiones del paralelepípedo, manteniéndose semejante a sí
mismo, el paralelepípedo tendería al punto O y en el límite todas sus caras pasarían por
O, con lo cual se podría considerar que:
σ ´x = σ x τ ´xy = τ xy τ ´xz = τ xz
σ ´y = σ y τ ´yx = τ yx τ ´yz = τ yz (1.6)
σ ´z = σ z τ ´zx = τ zx τ ´zy = τ zy
Así pues, en este caso, serán sólo 9 las tensiones distintas que actúan sobre las caras de
dicho paralelepípedo: 3 tensiones normales y 6 tensiones cortantes.
Por último si establecemos las ecuaciones de equilibrio del paralelepípedo:Σ F = 0,
Σ M = 0, se obtendría que:
τ xy = τ yx τ yz = τ zy τ zx = τ xz (1.7 )
Conclusión: Serán sólo 6 las tensiones distintas que actúan sobre las caras del
paralelepípedo, que serán:
σx σy σz τ xy τ yz τ zx
a estas 6 tensiones se las denomina:Componentes del estado de tensiones del punto O
6

14. Sección 1.3: Estado de tensiones en un punto
TENSOR DE TENSIONES
Supuestamente conocidas las 6 componentes del estado de tensiones en un punto O
cualquiera: σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx , vamos a desarrollar una fórmula que permita conocer
las tensiones sobre cualquier superficie que pase por O.
Para ello tracemos una superficie S que cortará al paralelepípedo diferencial en un plano
de área dS y aislemos del cuerpo el elemento de volumen diferencial que en forma de
tetraedro con vértice en O se nos ha formado.
F3
F1
y
dS
F4 O x F5 Fn
F2 z
Fig. 1.7
Ampliando dicho tetraedro y situando las tensiones sobre las caras del mismo será:
y
σz
dS ρ n
τxz τzx τ
σx r r r r
τzy σ siendo en general : ρ = ρ x .i + ρ y . j + ρ z .k
u
τxy x y estando la superficie dS definida por :
O τ r
τyx
yz
u ( cos α , cos β , cos γ )
σy Fig. 1.8
z
Estableciendo las ecuaciones de equilibrio del tetraedro:
∑F x =0 ρ x .ds = σ x .ds.cos α + τ yx .ds.cos β + τ zx .ds.cos γ
dividiendo por ds : ρ x = σ x .cos α + τ yx .cos β + τ zx .cos γ
y haciendo lo mismo en los otros ejes :
∑F x =0 ρ x = σ x .cos α + τ yx .cos β + τ zx .cos γ
∑F y =0 ρ y = τ xy .cos α + σ y .cos β + τ zy .cos γ (1.8)
∑F z =0 ρ z = τ xz .cos α + τ yz .cos β + σ z .cos γ
ecuaciones que expresadas en forma matricial quedará:
7

15. Tema 1: Tensiones
⎡ ρ x ⎤ ⎡σ x τ yx τ zx ⎤ ⎡ cos α ⎤
⎢ ρ ⎥ = ⎢τ ⎥
σ y τ zy ⎥.⎢cos β ⎥
⎢ y ⎥ ⎢ xy ⎢ ⎥ (1.9)
⎢ ρ z ⎥ ⎢τ xz
⎣ ⎦ ⎣ τ yz σ z ⎥ ⎢ cos γ ⎥
⎦⎣ ⎦
r r
y en forma abreviada: ρ = T .u (1.10)
siendo: ⎡σ x τ yx τ zx ⎤
⎢ ⎥
T = ⎢τ xy σ y τ zy ⎥ "Tensor de Tensiones " (1.11)
⎢τ xz τ yz σ z ⎥
⎣ ⎦
Conclusión:
Conocidas las componentes del Estado de Tensiones en un punto: σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx
y dada una superficie S cualquiera que pase por dicho punto, definida por su vector
normal unitario: u (cosα, cosβ, cosγ ), se podrá conocer, por la ecuación obtenida (1.9)
la tensión ρ sobre dicha superficie.
Una vez conocida la tensión ρ, se podrá obtener por las ecuaciones (1.2) y (1.3):
rr r r
σ = ρ .u σ = σ .u
r r r (1.12)
τ = ρ −σ τ = ρ 2 −σ 2
Caso Particular: TENSIONES PLANAS:
Se considera que un estado de tensiones es plano cuando se cumpla:
σz = 0, τxz = 0, τyz = 0
(Este es un caso que se presenta con mucha frecuencia)
La ecuación matricial (1.9) sería: ⎡ ρ x ⎤ ⎡σ x τ yx 0⎤ ⎡ cos α ⎤
⎢ ρ ⎥ = ⎢τ σy 0⎥.⎢cos β ⎥
⎢ y ⎥ ⎢ xy ⎥⎢ ⎥
⎢ρ z ⎥ ⎢ 0
⎣ ⎦ ⎣ 0 0⎥ ⎢ cos γ ⎥
⎦⎣ ⎦
o lo que es lo mismo: ⎡ ρ x ⎤ ⎡σ x τ yx ⎤ ⎡cos α ⎤
⎢ ρ ⎥ = ⎢τ .
σ y ⎥ ⎢cos β ⎥
(1.13)
⎣ y⎦ ⎣ xy ⎦⎣ ⎦
ρz = 0
8

16. Sección 1.4: Tensiones Principales
1.4.- TENSIONES PRINCIPALES
De las infinitas Tensiones que puede haber en un punto de un sólido, relativas a las
infinitas superficies S que pasen por él, habrá unas que tengan los valores máximo y
mínimo, a las que se denominará: TENSIONES PRINCIPALES. A las superficies S
correspondientes se las denominará : SUPERFICIES PRINCIPALES y a las
direcciones de los vectores normales a dichas superficies se las denominará:
DIRECCIONES PRINCIPALES.
Para su cálculo se tendrá en cuenta, aunque no se demostrará, que en las Superficies
r r r
Principales se cumplirá: τ = 0 con lo cual : ρ = σ
Existirán pues muchas superficies, como la dS1, (Fig.1.9 a), en las cuales habrá
tensiones normales (σ1) y cortantes (τ1) y habrá algunas, como la dS2, (Fig.1.9 b), en las
que no habrá tensiones cortantes y por tanto sólo habrá tensiones normales (σ2), con lo
cual, en estos casos, la tensión total (ρ2) coincidirá con la tensión normal
F3 F1 F3
F1
y σ1 y
ρ1 ρ2 = σ 2
dS1 u1 dS2 u2
O x F4 O x
F4 τ1 F5 F5
F2 z F2 z τ2 = 0
Fig. 1.9.a Fig. 1.9.b
dS1: Superficie cualquiera dS2: Superficie Principal
CÁLCULO DE LAS TENSIONES PRINCIPALES
Supongamos conocidas las 6 componentes del Estado de Tensiones en un punto O:
σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx y sea S una Superficie Principal que pasa por O, definida por su
vector normal unitario: u (cosα, cosβ, cosγ ).
r r
En función de lo dicho antes, se deberá cumplir: ρ = ρ .u con lo cual:
ρ x = ρ . cos α ρ y = ρ . cos β ρ z = ρ . cos γ (1.14)
y llevando estas expresiones a la ecuación (1.8) que da el valor de ρ, quedará:
9

17. Tema 1: Tensiones
ρ x = σ x .cos α + τ yx .cos β + τ zx .cos γ = ( por 1.14) = ρ .cos α
ρ y = τ xy .cos α + σ y .cos β + τ zy .cos γ = ( por 1.14) = ρ .cos β
ρ z = τ xz .cos α + τ yz .cos β + σ z .cos γ = ( por 1.14) = ρ .cos γ
operando:
(σ x − ρ ). cos α + τ yx . cos β + τ zx . cos γ = 0
τ xy . cos α + (σ y − ρ ). cos β + τ zy . cos γ = 0 (1.15)
τ xz . cos α + τ yz . cos β + (σ z − ρ ). cos γ = 0
Y para que este sistema de ecuaciones homogéneo, tenga solución no nula, tendrá que
verificarse que el determinante formado por los coeficientes sea nulo, es decir:
σx −ρ τ yx τ zx
τ xy σy −ρ τ zy = 0 (1.16)
τ xz τ yz σz −ρ
Resolviendo este determinante, que da lugar a una ecuación de tercer grado, se
obtendrán las Tensiones Principales : ρ1, ρ2, ρ3
y se cumplirá: ρ1 = σ1, ρ2 = σ2, ρ3 = σ3
CÁLCULO DE LAS DIRECCIONES PRINCIPALES
Una vez obtenidas las tensiones principales: ρ1, ρ2, ρ3, para conocer las direcciones en
las que éstas aparecen: direcciones principales, se resolverá el sistema de ecuaciones
(1.15) obtenido anteriormente, sustituyendo en él la tensión ρ, para cada uno de los
valores obtenidos de las tensiones principales. Así será:
(σ x − ρ i ). cos α i + τ yx . cos β i + τ zx . cos γ i = 0
τ xy . cos α i + (σ y − ρ i ). cos β i + τ zy . cos γ i = 0 (1.17.a )
τ xz . cos α i + τ yz . cos β i + (σ z − ρ i ). cos γ i = 0
r
y para que la dirección obtenida se exprese como un vector unitario: ui = 1
se auxiliará con la euación:
cos 2 α i + cos 2 β i + cos 2 γ i = 1 (1.17.b)
Las direcciones principales se obtendrán pues resolviendo el sistema de ecuaciones
formado por (1.17.a) y (1.17.b):
para ρ i = ρ1 → cos α1 , cos β1 , cos γ 1
para ρ i = ρ 2 → cos α 2 , cos β 2 , cos γ 2
para ρ i = ρ 3 → cos α 3 , cos β 3 , cos γ 3
10

18. Sección 1.4: Tensiones Principales
CASO PARTICULAR: TENSIONES PLANAS
Para el caso de tensiones planas: σz = 0, τxz = 0, τyz = 0, le ecuación (1.16) que da el
cálculo de las tensiones principales se verá reducida a la ecuación siguiente:
σx −ρ τ yx
=0 (1.18)
τ xy σy −ρ
Resolviendo este determinante, que da lugar a una ecuación de segundo grado, se
obtendrán las Tensiones Principales : ρ1, ρ2
y se cumplirá: ρ1 = σ1, ρ2 = σ2
Desarrollando el determinante: ρ 2 − ρ .(σ x + σ y ) + (σ x .σ y − τ xy ) = 0
2
siendo las raíces de esta ecuación:
(σ x + σ y ) + (σ x + σ y ) 2 − 4.(σ x .σ y − τ xy )
2
ρ1 =
2
(σ x + σ y ) − (σ x + σ y ) 2 − 4.(σ x .σ y − τ xy )
2
ρ2 =
2
y operando:
σx +σ y 1
ρ1 = σ 1 = + . (σ x − σ y ) 2 + 4 .τ xy
2
2 2
(1.19)
σx +σ y 1
ρ2 = σ 2 = − . (σ x − σ y ) 2 + 4.τ xy
2
2 2
Por su parte las direcciones principales se obtendrán a partir de las ecuaciones (1.17.a) y
(1.17.b) eliminando los términos representativos de la tercera dimensión y se verán
reducidas a las expresiones:
(σ x − ρ i ). cos α i + τ yx . cos β i = 0
(1.20.a )
τ xy . cos α i + (σ y − ρ i ). cos β i + = 0
cos 2 α i + cos 2 β i = 1 (1.20.b)
Las direcciones principales se obtendrán pues resolviendo el sistema de ecuaciones
formado por (1.20.a) y (1.20.b):
para ρ i = ρ1 → cos α1 , cos β1
para ρ i = ρ 2 → cos α 2 , cos β 2
11

19. Tema 1: Tensiones
1.5.- REPRESENTACIÓN DE MOHR
En los apartados anteriores se ha visto un método de cálculo analítico para el cálculo de
Tensiones. En este apartado se verá un método gráfico.
CASO PARTICULAR: TENSIONES PLANAS
El método gráfico se va a desarrollar en primer lugar para el caso de Tensiones Planas,
pues es el que mas se utilizará debido a su sencillez de aplicación y la gran ayuda de su
aportación gráfica.
Supongamos conocidas las tres componentes del estado de tensiones plano en un punto
O: σx, σy, τxy (Fig.1.10 a). Al no existir tensiones en la tercera dimensión (z), se podrá
simplificar el dibujo y representar tan sólo la proyección del ele mento diferencial de
volumen sobre el plano xy. (Fig.1.10 b)
y σy
y σy
τyx
τyx
τxy σ
σx σx S u τxy
σx α σx
τxy O τxy τ
x
τyx O τ x
z yx
σy σy
Fig.1.10.a Fig.1.10.b
Se desea conocer las tensiones correspondientes a una superficie S cualquiera, que
pasa por O y definida por su vector normal unitario:u (cosα, cosβ, 0).
Empleando las ecuaciones analíticas (1.13) y (1.12) para cada superficie S se obtendrán
los valores de las tensiones σ y τ correspondientes. Así:
para α = α1 → superficie S1 → σ 1 ,τ 1
para α = α 2 → superficie S 2 → σ 2 ,τ 2
.............................................................................
para α = α n → superficie S n → σ n ,τ n
Si representásemos estos valores obtenidos en unos ejes coordenados, en los que en el
eje de abcisas llevásemos las tensiones normales y en el de ordenadas, las cortantes y
uniésemos todos ellos, se demuestra, no lo haremos, que el lugar geométrico de los
mismos es una circunferencia, a la que denominaremos “Circunferencia de Mohr”
τ (σ2,τ2)
(σ1,τ1)
O σ
(σn,τn) Fig.1.11
12

20. Sección 1.5: Representación de Mohr
Se demuestra, aunque no se hará, que la circunferencia de Mohr obtenida al unir todos
los puntos: (σ1τ1), (σ2τ2),…… (σnτn), es una circunferencia que tiene por Centro y
Radio los siguientes valores:
2
⎛σ +σ y ⎞ ⎛ σ −σ y ⎞ (1.21)
⎟ + τ xy
2
Centro : ⎜ x ,0⎟ Radio : ⎜ x
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
siendo: σx, σy, τxy, las tres componentes del estado de tensiones planas en el punto O.
Criterios de signos para las tensiones, al utilizar el método gráfico de Mohr
• Tensiones normales (σ): se consideran positivas las tensiones normales cuyo
sentido es saliente de la superficie, es decir en el sentido de la normal exterior a
la superficie. Negativas en caso contrario
σ<0
σ>0 S
S
next next
Fig.1.12.a Fig.1.12.b
• Tensiones cortantes (τ): se consideran positivas cuando su sentido deja a la
derecha a la superficie. Dicho de otro modo, cuando su sentido de circulación
(en sentido figurado), alrededor del elemento es horario. En la (Fig. 1.13.a) se
representan las diferentes posiciones de τ > 0, con respecto a la superficie S.
Las posiciones de τ < 0, caso contrario, se indican en la (Fig.1.13.b)
τ τ
τ τ τ τ
S S
S S S S
τ S τ>0 S τ τ S τ<0 S τ
S S S S
S τ S τ
τ τ
τ τ
Fig.1.13.a Fig.1.13.b
Observación: Los criterios de signos utilizados para las tensiones cortantes, en la
representación gráfica de Mohr, no coinciden con los dados en 1.3. para la resolución
analítica. Este hecho habrá de tenerse siempre en cuenta en la resolución de los
problemas.
13

21. Tema 1: Tensiones
Construcción de la circunferencia de Mohr:
Supónganse conocidas las componentes del estado de tensiones plano en un punto O:
σx, σy, τxy (Fig.1.14.a) y tracemos unos ejes coordenados en donde en el eje de abcisas
llevaremos las tensiones normales (σ) y en el de ordenadas las tensiones cortantes (τ).
(Fig.1.14.b).
La construcción de la Circunferencia de Mohr relativa a dicho estado de tensiones se
hará de la siguiente forma:
La superficie SA ( σx>0, τxy<0, por criterios de signos de Mohr), vendrá representada en
los ejes coordenados por el punto A. A su vez, la superficie SB ( σy>0, τyx>0, por
criterios de signos de Mohr), vendrá representada en los ejes coordenados por el punto
B. Si unimos, con una recta, los puntos A y B, la intersección de ésta con el eje de
abcisas (punto C), será el centro de la circunferencia de Mohr. (Fig.1.14.b)
y σy
τ
τyx
B
SB
τxy
σx τyx
SA SA σx σy σx
τxy O E C D σ
SB τxy
O x
τyx A
σy
Fig.1.14.a Fig.1.14.b
OD + OE σ x + σ y
Efectivamente con la construcción realizada, el centro será: OC = =
2 2
2
⎛σ x −σ y ⎞
y el radio será: CA = (CD ) + (DA )
2 2
= ⎜
⎜ ⎟ + τ xy
⎟
2
⎝ 2 ⎠
expresiones que coinciden con las expresadas anteriormente en (1.21).
14

22. Sección 1.5: Representación de Mohr
Cálculo de las tensiones σ y τ en una superficie S cualquiera:
A partir de las componentes del estado de tensiones plano en un punto O: σx, σy, τxy, se
dibujará en un sistema de ejes coordenados: (σ, τ), la circunferencia de Mohr tal y como
se ha indicado en el apartado anterior, obteniendo su centro y su radio
Indiquemos a continuación cómo poder conocer gráficamente las tensiones σ y τ
correspondientes a una superficie S cualquiera que pase por O, definida por su vector
normal unitario: us (cosα, cosβ, 0).(Ver Fig.1.15.a)
β
y σy
τ S
τyx
β 2α
B
SB α
σ τxy τ
S τyx
σx
uS τ SA uA σx σ σx
O σy C H D σ
τxy τxy
O x
τyx A
σy
Fig.1.15.a Fig.1.15.b
El procedimiento será el siguiente: Para pasar de la superficie SA (definida por uA), a la
superficie S (definida por uS), se deberá girar, en sentido antihorario, el ángulo α. Pues
bien, para pasar en la circunferencia de Mohr, del punto A, (representativo del estado de
tensiones de la superficie SA), al punto S, (que representará el estado de tensiones de la
superficie S), se tendrá que girar, igualmente en sentido antihorario, el ángulo 2α (“ el
doble del anterior ”). (Ver Fig.1.15.b)
Mediante este procedimiento las tensiones en la superficie S serán pues:
tensión normal: σ = OH = OC + CH = OC + CS .cos β
tensión cortante: τ = SH = CS .sen β
(los valores de OC “centro” y CS “radio” se han obtenido anteriormente de la
circunferencia de Mohr)
Observación:
Como consecuencia del procedimiento anterior resultará, que dos superficies
perpendiculares que pasen por O, estarán representadas gráficamente en la
circunferencia de Mohr por dos puntos diametralmente opuestos de dicha
circunferencia. Véase por ejemplo el caso de las superficies SA y SB representadas en
los puntos diametralmente opuestos A y B de la circunferencia de Mohr. (Fig.1.15.a y
1.15.b)
15

23. Tema 1: Tensiones
Cálculo de las tensiones principales:
Se sabe, por lo visto en (1.4) que las tensiones principales son las tensiones máxima y
mínima y que en las superficies donde aparecen, no hay tensiones cortantes. Es decir, se
cumple: ρ =σ, τ = 0.
y
90º
σy τ
SB τyx B
σ1=σmax
σ2=σmin τyx
σx uM ϕ1 σ2 σx M
SN
uA σx O N σy C D σ1 σ
τxy SM τxy τxy
SA 2ϕ1
O x A
τyx
σy
Fig.1.16.a Fig.1.16.b
De la circunferencia de Mohr, (Fig.1.16.b), se observa que los puntos M y N de dicha
circunferencia cumplen dichas condiciones. Así pues las tensiones principales serán:
2
σx +σ y ⎛σ x −σ y ⎞
σ 1 = ρ1 = σ max = OM = OC + C M = C entro + Radio = + ⎜ ⎟ + τ xy
2
2 ⎝ 2 ⎠
2
σx +σ y ⎛σx −σ y ⎞
σ 2 = ρ 2 = σ min = ON = OC − CN = Centro − Radio = − ⎜ ⎟ + τ xy
2
2 ⎝ 2 ⎠
(1.22)
(son las mismas ecuaciones (1.19) obtenidas analíticamente)
Las direcciones principales también se podrán obtener a partir de la circunferencia de
Mohr. Se observa (Fig.1.16.b), para pasar del punto A del circulo (representativo del
estado de tensiones de la superficie SA), al punto M, que es donde se dará la tensión
principal: σ1 = σmax, hay que girar en sentido antihorario el ángulo 2ϕ1. Así pues para
obtener la superficie principal: SM, sobre la que se dará dicha tensión principal, se
deberá girar la Superficie SA, en el mismo sentido (es decir antihorario), el ángulo ϕ1.
(Fig.1.16.a).
AD τ xy
tag 2ϕ1 = = ⇒ ϕ1
siendo: CA σ x − σ y (1.23)
2
La otra dirección principal, la correspondiente al punto N, donde se dará la tensión
principal mínima: σ2 = σmin, se obtendrá girando la anteriormente hallada otros 90º. (ver
Fig.1.16.a), es decir en la dirección: ϕ2 = ϕ1 ± 90º (los puntos M y N están a 180º en la
circunferencia).
16

24. Sección 1.5: Representación de Mohr
Cálculo de la tensión cortante máxima:
Los puntos del círculo de Mohr donde la tensión cortante es máxima, son los puntos F y
G, los de máxima ordenada. (Fig.1.17).
τ F
B
τmax
τyx
σ2 σx M
O N σy C D σ1 σ
τxy
2ϕ1
τmax
A
G
Fig.1.17
El valor de la tensión cortante máxima será pues:
2
⎛σ x −σ y ⎞
τ max = CF = Radio = ( por ecuación 1.21) = ⎜ ⎟ + τ xy
2
(1 .24)
⎝ 2 ⎠
o bien:
Diámetro OM − ON σ 1 − σ 2
τ max = Radio = = = (1.25)
2 2 2
Las superficies SF y SG, donde se darán las τmax, estarán a ± 45º de las superficies
principales SM y SN, pues los puntos F y G de la circunferencia se encuentran a 90º de
los puntos M y N. (Fig.1.17).
CASO DE TENSIONES TRIAXIALES
Se dice que un elemento de material se encuentra en un estado de tensiones triaxial
cuando está sometido a tensiones en los tres ejes coordenados.
Supongamos un punto O, un paralelepípedo diferencial alrededor de él y sean los ejes 1,
2 y 3, los ejes principales
2
σ2
σ3 σ1
σ1
σ3
O 1
3 σ2 Fig.1.18
17

25. Tema 1: Tensiones
Si se corta por una superficie inclinada S, paralela al eje 3, las tensiones σ y τ sobre
dicha superficie las podremos obtener del círculo de Mohr (A), (ver fig. 1.20),
correspondiente a las tensiones σ1 y σ2, similar a un estado de tensiones plano (pues las
tensiones σ3 no afectarían a dicha superficie).
2 nS
σ
θ
S
τ
σ1 σ3
σ3 O
1
3 σ2
Fig.1.19
La misma conclusión general es válida si cortásemos por una superficie S paralela al eje
2 (en este caso las tensiones σ y τ sobre dicha superficie las podríamos obtener del
círculo de Mohr (B), (ver fig.1.20), correspondiente a las tensiones σ1 y σ3, similar a un
estado de tensiones plano (pues las tensiones σ2 no afectarían a dicha superficie) o si
cortásemos por una superficie S paralela al eje 1 (en este caso las tensiones σ y τ sobre
dicha superficie las podríamos obtener del círculo de Mohr (C), (ver fig.1.20),
correspondiente a las tensiones σ2 y σ3).
Se ha supuesto en la construcción de los círculos que: σ1 > σ2 > σ3
B
τ
τMAX A
C
τ
O
O σ3 σ2 σ1 σ
Fig.1.20
En cada uno de los círculos podremos hallar la τmax correspondiente, siendo la τMAX
absoluta la correspondiente al círculo de Mohr mayor (B) y valdría:
σ −σ3
τ MAX = 1
2
En el análisis anterior hemos considerado el cálculo de las tensiones σ y τ sobre
superficies S paralelas a uno de los ejes principales. Si se quisieran calcular sobre otras
superficies S cualquiera, (no paralelas a ningún eje principal), el análisis sería algo más
complejo y no se verá en este apartado, aunque se sabe que los valores correspondientes
de σ y τ darán puntos situados sobre el área limitada por las tres circunferencias de
Mohr
18

26. Sección 1.6: Formas de trabajo de una sección. Relaciones entre tensiones y solicitaciones
1.6.- FORMAS DE TRABAJO DE UNA SECCIÓN. RELACIONES ENTRE
TENSIONES Y SOLICITACIONES
FORMAS DE TRABAJO DE UNA SECCIÓN
Consideremos un sólido sometido a un sistema de fuerzas exteriores y que se encuentra
en equilibrio estático y elástico.
F1 F3
S Fn
F4 F5
F2
Fig. 1.21.a
Según lo visto en el apartado 1.1, si se desea conocer las Fuerzas Internas o Tensiones
que aparecen en una superficie determinada S, seccionamos el sólido por dicha
superficie y nos quedamos con una de las dos partes del mismo
F1
S
∆F
F4 O
∆S
F2
Fig. 1.21.b
El trozo de sólido seccionado no estará en equilibrio, a no ser que se restablezcan las
acciones que el otro trozo ejercía sobre él. Estas acciones son precisamente las Fuerzas
Internas o Tensiones que aparecerían sobre los puntos de la superficie S seccionada.
Pues bien, para saber algo de ellas, hagamos lo siguiente:
F1
S z
G x
F4
F2
y Fig. 1.21.c
Tomemos un sistema de ejes coordenados con origen en G (centro de gravedad de la
sección S), siendo el eje X perpendicular a la superficie S y con sentido positivo saliente
de la misma y los ejes Y y Z los ejes principales de la sección S, con sus sentidos
positivos de tal forma que formen un triedro directo
19

27. Tema 1: Tensiones
La acción de las Fuerzas Exteriores, actuando sobre este trozo del sólido, en el punto G,
vendrán dadas por: Rext y Mext
F1 Rext Mext
S z
Rext = Resultante de las Fuerzas Exteriores
G x Mext = Momento resultante de las Fuerzas
F4 Exteriores respecto de G
F2
y
Fig. 1.21.d
Para que este trozo de sólido seccionado esté en equilibrio, el sistema de Fuerzas
Interiores extendido a lo largo de la superficie S, (fuerzas que las partículas del otro
lado de la superficie S que hemos apartado, estaban actuando sobre las partículas de la
superficie S del lado del sólido que nos hemos quedado), producirán una acción en G
dada por: Rint y Mint y se tendrá que cumplir que:
Rint = - Rext
Mint = - Mext
F1 Rext Mext
S z
G x
F4
F2
Mint Rint
y
Fig. 1.21.e
Por último, si proyectamos Rint y Mint sobre los tres ejes de referencia XYZ, nos darán 6
componentes: Rx, Ry, Rz, Mx, My, Mz,
F1
z
S Rz
Mz Rx
G x
F4 Mx
My
F2
Mint Ry
Rint
y
Fig. 1.21.f
20

28. Sección 1.6: Formas de trabajo de una sección. Relaciones entre tensiones y solicitaciones
Cada una de esas componentes nos indica una Forma de Trabajo o de Solicitación de la
sección S:
Rx (fuerza normal) → N (TRACCIÓN – COMPRESIÓN)
Ry (fuerza cortante) → Vy (CORTADURA en eje Y)
Rz (fuerza cortante) → Vz (CORTADURA en eje Z)
Mx (momento torsor) → T (TORSIÓN)
My (momento flector) → My (FLEXIÓN en plano XZ, alrededor del eje Y)
Mz (momento flector) → Mz (FLEXIÓN en plano XY, alrededor del eje Z)
Ejemplos:
F1 TRACCIÓN COMPRESIÓN
S
z N F F F F
F4
G x x x
F2
y
CORTADURA en eje Y
F1
S F
z
G x
F4 x
F2
Vy y
y
F1 z CORTADURA en eje Z
Vz
S
z
G x
F4
x
F2
y
y F
TORSIÓN
F1 M
S
z
G x
F4
T x
F2
y
FLEXIÓN en plano XZ
F1 (alrededor eje y)
S
z z
G x
F4
F2
x
My
y
y F
FLEXIÓN en el plano XY
F1 (alrededor eje Z)
Mz
S
z
F
G x
F4
F2 x
y
Fig.1.22 y
21

29. Tema 1: Tensiones
RELACIONES ENTRE TENSIONES Y SOLICITACIONES
Cada una de estas Solicitaciones así obtenidas serán resultado de las Tensiones (o
Fuerzas Internas) distribuidas a lo largo de la sección S. Unas y otras estarán
relacionadas de la siguiente manera:
F1 Sección S
Vz z
S
Mz T N
G x G
F4 dS σ
My y z
τ ρ z τxz
F2
Vy
τxy τ
y
y
Fig. 1.23.a Fig.1.23.b
N = ∫ σ x .dS V y = ∫ τ xy .dS V z = ∫ τ xz .dS
S S S
(1.26)
T = ∫ (τ
S
xz . y − τ xy .z ).dS M y = ∫ σ x .z.dS
S
M z = ∫ σ x . y.dS
S
Estas ecuaciones se utilizarán para calcular las Tensiones o Fuerzas internas en cada
uno de los puntos de una sección S, una vez conocidas las Solicitaciones (Resultante y
Momento resultante de las Fuerzas interiores: N, Vy, Vz, T, My, Mz) .
22

30. Tema 2: Deformaciones
Tema 2 : DEFORMACIONES
F1 F3
γ1/2
γ2/2 ε2 ε1
u1 δ1
δ2 u2
u3 δ3
O
ε3 γ3/2
F2
Fn
1

31. Tema 2: Deformaciones
2.1.- INTRODUCCIÓN
Los cuerpos se deforman debido a la acción de las fuerzas aplicadas. Para conocer la
deformación de un cuerpo es preciso conocer primero la deformación de uno cualquiera
de los paralelepípedos elementales que lo forman.
Veremos a continuación cómo la deformación de un paralelepípedo elemental se puede
descomponer e cuatro partes:
1º.- Una TRASLACIÓN que lleva el origen del paralelepípedo del punto O al punto O´
F3
F1
y
O x Fn
F4 O´ F5
F2 z
Fig. 2.1
2º.-Una ROTACIÓN del paralelepípedo alrededor de un eje que pasa por O´
F3
F1 Eje Rotación
F4 O´ F5 Fn
F2
Fig. 2.2
Estas dos primeras partes van a originar el movimiento del paralelepípedo, pero sin
deformarse
2

32. Sección 2.1: Introducción
3º.-Unas DEFORMACIONES LINEALES de las aristas del paralelepípedo
F3
F1
F4 O´ F5 Fn
F2
Fig. 2.3
4º.- Unas DEFORMACIONES ANGULARES “SIMÉTRICAS” de los ángulos que
forman las aristas del paralelepípedo, inicialmente a 90º.
F3
F1
F4 O´ F5 Fn
F2
Fig. 2.4
Estas dos últimas partes son las que originan la deformación propiamente dicha del
paralelepípedo.
Observación:
En la 4ª parte nos hemos referido a Deformaciones Angulares “Simétricas”. El por qué
de ello lo veremos a continuación:
Supongamos la cara del paralelepípedo contenida en el plano XOY y supongamos, por
ejemplo, que la arista OA gira 4º en sentido antihorario y la arista OB gira 2º en sentido
horario. Estas deformaciones angulares las podemos obtener como suma de dos
acciones: en una primera acción hacemos girar las aristas el mismo ángulo, lo que
denominaremos deformación angular simétrica, que sería la media aritmética de las dos,
o sea: 3º y en la segunda acción completamos la deformación angular inicial, con lo cual
la arista OA habría que girarla 1º mas en sentido antihorario y la arista OB restarla 1º,
osea, girarla 1º en sentido horario. Ésta acción sería una rotación
2º 3º 1º
B deformación B deformación B rotación
angular angular simétrica
= +
4º 3º 1º
O A O A O A
3

33. Tema 2: Deformaciones
2.2.- CONCEPTO DE DEFORMACIÓN
Como consecuencia de la deformación propiamente dicha del paralelepípedo:
deformaciones lineales y deformaciones angulares simétricas, el vértice D del
paralelepípedo experimentará el desplazamiento DD´, con lo cual el elemento lineal
OD, modifica su longitud y gira un ángulo transformándose en el elemento lineal OD´.
y
D
D´
Do δ
1 Do´
O
x
z
Fig. 2.5
Definición: Se denomina DEFORMACIÓN UNITARIA (δ) del elemento lineal OD, al
cociente entre el desplazamiento sufrido por su extremo: DD´ y la longitud del elemento
lineal: OD, es decir:
r DD´
δ = (2.1)
OD
Si observamos la fig.2.5. se ve que δ es el desplazamiento que sufre el vector unitario
ODo en la dirección del elemento lineal OD. En efecto, por semejanza de triángulos
ODD´y ODoDo´ se obtiene:
δ DD´ DD´
= → δ=
1 OD OD
Descompondremos a continuación el vector δ en dos componentes: una sobre la propia
dirección del elemento lineal OD, a la que denominaremos: DEFORMACIÓN
LONGITUDINAL UNITARIA (ε) y otra en dirección perpendicular al elemento lineal
OD, a la que denominaremos: DEFORMACIÓN ANGULAR UNITARIA (γ/2). Se
cumplirá:
y
D r
D´ r r γ
δ =ε +
γ/2 2
Doε (2.2)
1 δ Do´ ⎛γ ⎞
2
δ = ε2 +⎜ ⎟
x ⎝2⎠
O
z
Fig. 2.6
4

34. Sección 2.2: Concepto de deformación
2.3.- ESTADO DE DEFORMACIONES EN UN PUNTO
Como se verá a continuación, va a existir una analogía entre el Estado de Tensiones y el
Estado de Deformaciones
Tal y como se vió en 1.3 que……………..”a cada superficie S que pase por un punto O
de un sólido le corresponde una tensión ρ, con componentes: σ (tensión normal) y τ
(tensión cortante)”……………..y “al conjunto de todas las tensiones que pueda haber
en un punto O se las denomina: Estado de Tensiones del punto O”
En el caso de las deformaciones va a ocurrir algo similar:
“A cada elemento lineal que pasa por un punto O de un sólido le corresponde una
deformación unitaria δ, con componentes: ε (deformación longitudinal unitaria) y γ/2
(deformación angular unitaria).”
F1 F3
γ1/2
γ2/2 ε2 ε1
u1 δ1
δ2 u2
u3 δ3
O
ε3 γ3/2
F2
Fn
Fig. 2.7
“Al conjunto de todas las deformaciones que pueda haber en el punto O sw le
denomina: Estado de Deformaciones del puno O”
Siguiendo con dicha analogía, vimos en 1.3 que…………….”de las infinitas Tensiones
que puede haber en un punto O correspondientes a las infinitas superficies que pasan
por él, conocidas 6 de ellas: σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx, denominadas componentes del
estado de tensiones en el punto O, podremos conocer todas las demás a través de la
ecuación (1.9):
⎡ ρ x ⎤ ⎡σ x τ yx τ zx ⎤ ⎡ cos α ⎤
⎢ ρ ⎥ = ⎢τ ⎥⎢ ⎥
⎢ y ⎥ ⎢ xy σ y τ zy ⎥.⎢cos β ⎥
⎢ ρ z ⎥ ⎢τ xz τ yz σ z ⎥ ⎢ cos γ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
Pues bien, en el caso de las Deformaciones ocurrirá algo similar y así podremos decir:
“De las infinitas Deformaciones que puede haber en un punto O, correspondientes a las
infinitas direcciones de elementos lineales que puedan pasan por él, conocidas 6 de
ellas: εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx, denominadas componentes del estado de deformaciones en el
punto O, podremos conocer todas las demás, a través de una ecuación matricial, que
como ahora se verá, será similar a la de las tensiones (1.9).”
5

35. Tema 2: Deformaciones
Sea un punto O del interior de un sólido en el que se suponen conocidas las 6
componentes del estado de deformaciones: εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx y sea OD un elemento
lineal cuya deformación unitaria δ se desea conocer.
La dirección del elemento lineal OD la definiremos por su vector unitario: u = ODo ,
dado por sus cosenos directores: u (cos α, cos β, cos γ). Construyamos ahora un
paralelepípedo con diagonal entre vértices opuestos ODo = 1 (ver fig.2.8). El
paralelepípedo así construido tendrá por aristas: cos α (en dirección del eje OX), cos β
(en dirección del eje OY) y cos γ (en dirección del eje OZ).
y
D
D´
Do
δ
cos β
1 Do´
u
O cos α x
cos γ
z
Fig. 2.8
Para obtener el valor de la deformación unitaria δ calcularemos y sumaremos los
correspondientes desplazamientos sufridos por el punto Do debidos a las deformaciones
longitudinales y angulares unitarias dadas, correspondientes al punto O: εx, εy, εz, γxy,
γyz, γzx.
• Desplazamiento δ debido a las deformaciones longitudinales: εx, εy, εz,
y
εy.cosβ
δ
cos β
cos α εx.cosα
O x
cos γ
εz.cosγ
z
Fig. 2.9
δ x = ε x . cos α δ y = ε y . cos β δ z = ε z . cos γ
6

36. Sección 2.3: Estado de deformaciones en un punto
• Desplazamiento δ debido a las deformaciones angulares: γxy, γyz, γzx.
y (γyx/2).cosβ
δ
γyx/2 γ yx
δx = . cos β
2
cos β (γxy/2).cosα
γ xy
δy = . cos α
2
γxy/2
O cos α x
O cos α
γxz/2 x
γ zx
cos γ (γxz/2).cosα δx = . cos γ
2
γ xz
γzx/2 δz = . cos α
2
δ
z
(γzx/2).cosγ
(γyz/2).cosβ
y
δ
γ zy
δy = . cos γ
γyz/2 2
(γzy/2).cosγ γ yz
cos β δz = . cos β
2
γzy/2
O
z cos γ
Fig. 2.10.a), b), c)
Sumando finalmente todos los desplazamientos δ obtenidos quedaría:
γ yx γ zx
δ x = ε x . cos α + . cos β + . cos γ
2 2
γ xy γ zy (2.3)
δy = . cos α + ε y . cos β + . cos γ
2 2
γ xz γ yz
δz = . cos α + . cos β + ε z . cos γ
2 2
7

37. Tema 2: Deformaciones
Poniendo las ecuaciones (2.3) en forma matricial, sería:
⎡ γ yx γ zx ⎤
⎢ εx ⎥
⎡δ x ⎤ ⎢ 2 2 ⎥ ⎡cos α ⎤
⎢δ ⎥ = ⎢ γ xy εy
γ zy ⎥ ⎢
.⎢cos β ⎥ (2.4)
⎢ y⎥ ⎢ 2 2 ⎥ ⎥
⎢δ z ⎥ ⎢ γ
⎣ ⎦ γ yz ⎥⎣⎢ cos γ ⎥
⎦
⎢
xz
εz ⎥
⎣ 2 2 ⎦
r r
y en forma abreviada: δ = D.u (2.5)
siendo: γ yx γ zx
εx
2 2
γ xy γ zy
D= εy "Tensor de Deformaciones"
2 2
γ xz γ yz
εz
2 2
Conclusión:
Conocidas las componentes del Estado de Deformaciones en un punto O: εx, εy, εz, γxy,
γyz, γzx y dada una dirección OD cualquiera, definida por su vector unitario:
u (cosα, cosβ, cosγ ), se podrá conocer, por la ecuación obtenida (2.4), la deformación δ
en dicha dirección.
Una vez conocida la deformación δ, se podrá obtener ε y γ/2, (ver fig.2.6):
rr r r
ε = δ .u ε = ε .u
r r (2.6)
γ r γ
=δ −ε = δ 2 −ε 2
2 2
CASO PARTICULAR: DEFORMACIONES PLANAS
Se considera un estado de deformaciones planas cuando se cumpla:
ε z = 0, γ xz = 0, γ yz = 0
La ecuación matricial (2.4) se verá reducida a:
⎡ γ yx ⎤
⎡δ x ⎤ ⎢ ε x ⎥
2 ⎥.⎡ cos α ⎤
⎢δ ⎥ = ⎢ γ ⎢cos β ⎥ (2.7)
⎣ y ⎦ ⎢ xy εy ⎥ ⎣ ⎦
⎢ 2
⎣ ⎥
⎦
8

38. Sección 2.3: Estado de deformaciones en un punto
Convenios de signos para las deformaciones
Para las deformaciones longitudinales: ε → se consideran positivas, (ε > 0), cuando
expresen alargamientos (negativas en caso contrario)
D D
ε>0 ε<0
1 Do´
Do 1 Do
O Do´
O
Fig. 2.11
el vector unitario ODo, en la dirección OD, el vector unitario ODo, en la dirección OD,
se alarga y pasa a ODo´ se acorta y pasa a ODo´
Para las deformaciones angulares: γ → se consideran positivas, (γ > 0), cuando
indiquen una disminución del ángulo recto inicial que forman las aristas del
paralelepípedo que están en los ejes coordenados (negativas en caso contrario)
y γyx/2 y
γ /2
B yx B´ B´ B
γxy > 0 γxy < 0
A´
γxy/2 A
O A x O γxy/2 x
A´
Fig. 2.12
Lo mismo sería con γxz y γyz
Observaciones: Analogías entre el Estado de Tensiones y el Estado de
deformaciones
Vistas las analogías entre el Estado de Tensiones y el Estado de Deformaciones, se
podrá concluir que si se en todas las ecuaciones obtenidas en el Tema 1 sobre
Tensiones, se hacen los siguientes cambios:
r r r r r γ
ρ → δ σ → ε τ →
2
se obtendrán las ecuaciones equivalentes correspondientes al Tema 2 sobre
Deformaciones.
En efecto:
9

39. Tema 2: Deformaciones
TENSIONES DEFORMACIONES
⎡ γ yx γ zx ⎤
⎢ εx ⎥
⎡ ρ x ⎤ ⎡σ x τ yx τ zx ⎤ ⎡ cos α ⎤ ⎡δ x ⎤ ⎢ 2 2 ⎥ ⎡cos α ⎤
⎢ ρ ⎥ = ⎢τ ⎥ ⎢δ ⎥ = ⎢ γ xy γ zy ⎥ ⎢
.⎢cos β ⎥ (2.4)
⎢ y ⎥ ⎢ xy σ y τ zy ⎥.⎢cos β ⎥ (1.9) ⎢ y⎥ ⎢ 2 εy ⎥
⎢ ⎥ 2 ⎥
⎢ ρ z ⎥ ⎢τ xz
⎣ ⎦ ⎣ τ yz σ z ⎥ ⎢ cos γ ⎥ ⎢δ z ⎥ ⎢ γ
⎣ ⎦ γ yz ⎥⎣⎢ cos γ ⎥
⎦
⎦⎣ ⎦
εz ⎥
⎢
xz
⎣ 2 2 ⎦
rr r r rr r r
σ = ρ .u σ = σ .u ε = δ .u ε = ε .u
(1.12) r r (2.6)
r r r γ r γ
τ = ρ −σ τ = ρ 2 −σ 2 =δ −ε = δ 2 −ε 2
2 2
2.4.- DEFORMACIONES PRINCIPALES
De las infinitas Deformaciones que puede haber en un punto O de un sólido, relativas a
las infinitas direcciones OD que se puedan considerar, habrá unas que tengan los
valores máximo y mínimo a las que se denominará: DEFORMACIONES
PRINCIPALES. A las direcciones correspondientes en la que eso ocurre, se las
denominará : DIRECCIONES PRINCIPALES.
Ocurrirá pues igual que con las tensiones, que en las direcciones principales se cumplirá
que: γ / 2 = 0 y por tanto: δ = ε.
F3 F3
F2 F2
y D y D
Do ε γ/2 Doε = δ
1 1
δ
O x z O x
z γ/2 = 0
Fn Fn
F1 F1
OD: dirección OD: dirección
cualquiera principal
Fig. 2.13
10

40. Sección 2.4: Deformaciones Principales
CÁLCULO DE LAS DEFORMACIONES PRINCIPALES
En el tema de Tensiones las ecuaciones 1.16, nos permitían calcular las tensiones
principales:
σx −ρ τ yx τ zx ρ1 = σ 1
τ xy σy −ρ τ zy = 0 → ρ2 = σ 2
τ xz τ yz σz −ρ ρ3 = σ 3
Las ecuaciones correspondientes para calcular las Deformaciones Principales, se
obtendrán, por lo dicho antes, haciendo los cambios:
r r r r r γ
ρ → δ σ → ε τ →
2
y quedarán las ecuaciones:
γ yx γ zx
εx −δ
2 2
γ xy γ zy
ε y −δ =0 (2.8)
2 2
γ xz γ yz
εz −δ
2 2
Resolviendo este determinante, que da lugar a una ecuación de tercer grado, se
obtendrán las Deformaciones Principales : δ1, δ2, δ3
y se cumplirá: δ1 = ε1, δ2 = ε2, δ3 = ε3
CÁLCULO DE LAS DIRECCIONES PRINCIPALES
En el tema 1 relativo a las tensiones, el cálculo de las Direcciones Principales venían
dadas por las ecuaciones 1.17.a y b.:
(σ x − ρ i ). cos α i + τ yx . cos β i + τ zx . cos γ i = 0
τ xy . cos α i + (σ y − ρ i ). cos β i + τ zy . cos γ i = 0
τ xz . cos α i + τ yz . cos β i + (σ z − ρ i ). cos γ i = 0
cos 2 α i + cos 2 β i + cos 2 γ i = 1
Pues bien, haciendo nuevamente los cambios:
r r r r r γ
ρ → δ σ → ε τ →
2
11