1. 4. FUERZAS CORTANTES Y MOMENTO FLECTOR.
4.1 ESTABILIDAD
Las estructuras planas, requieren componentes de reacción que no sean concurrentes ni
paralelas, como ecuaciones independientes de equilibrio. Para garantizar la estabilidad
estructural, también es necesario que exista redundancia en la estructura, en caso de que
falle un apoyo, la estructura no colapse sino que sea capaz de redistribuir las fuerzas a otros
apoyos o elementos.
Las componentes de reacción no pueden ser concurrentes, ya que se pueden reemplazar por una
fuerza única, pero la resultante de las cargas aplicadas no necesariamente pasara por dicho
punto, lo cual implica la existencia de un momento que haría girar la estructura alrededor de
dicho punto.
R
P1 P1
Estructura restringida inapropiadamente o mal apoyada.
(Fuerzas concurrentes)
Si las componentes de reacción son paralelas, la resultante no podrá balancear ninguna fuerza
que no tenga su misma línea de acción.
En general si el número de reacciones es menor que el número de ecuaciones independientes de
equilibrio de la estructura, ésta será externamente inestable. Según el método de resolución del
sistema, se puede considerar dos tipos de indeterminación:
Indeterminación estática: función de fuerzas
Indeterminación cinemática: función de desplazamientos.
Aquí solo se tratará la indeterminación estática, pues la cinemática hace parte de un curso de
análisis estructural, usando un método de resolución por desplazamiento.
Estructura parcialmente restringida Estructura restringida inapropiadamente
P2 P1 q(x) P1 q(x)
# Ecuaciones > # incógnitas # Ecuaciones = # incógnitas
∑ Fx ≠ 0 No existen apoyos que ∑ Fy = 0
balanceen ninguna fuerza en x. (Reacciones paralelas)
71

2. Vigas: Elementos estructurales sometidas a cargas laterales, por ejemplo fuerzas y momentos
cuyos vectores son perpendiculares al eje de la viga.
Viga simplemente apoyada.
Viga en voladizo.
PROBLEMA 4.1: Determinar las reacciones de la viga simplemente apoyada.
∑ Fx = 0 Ax − P1 cos α = 0 Ax = P cos α
1
∑ Fy = 0 Ay − P1 senα − P2 − qc − By = 0 (1)
 c
∑M A =0 − P1 senα .a − P2b − qc L −  + ByL = 0
 2
 c
aP senα + bP2 + qc L − 
1
By =  2
(2)
L
Reemplazo (2) en (1)
Ay = P1 Senα + P2 + qc − − −
(
aP1 senα bP2 qc L − 2
c )
L L L
 a  b
[ (
Ay = P1 Senα 1 −  + P2 1 −  + qc 1 − L − c
 L  L
)]
2
Ay = P1 Senα
(L − a ) + P (L − b ) + qc  L − L − c 2 
2  
L L  L 
L−a   L − b  qc
2
Ay = P1 Senα   + P2  +
 L   L  2L
Las fuerzas externas producen refuerzos y deformaciones en el interior de la viga.
72

3. PROBLEMA 4.2: Para la viga en voladizo con carga puntual en el extremo, encontrar el
cortante y el momento a cualquier distancia.
∑F y =0
− P +V = 0 V=P
∑M min =0
− P(L − x ) − M = 0 M = − P( L − x)
4.2 FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE
Procedimiento para hallar los diagramas de fuerza cortante y Momento Flector.
1) Primero se hallan las reacciones tomando como DCL toda la viga
2) Para conocer las fuerzas internas se realizan cortes transversales entre apoyos y cargas a
lo largo del eje de la viga y se hace la sumatoria de fuerzas y momentos en un extremo.
Las ecuaciones resultantes son validas en cada segmento entre cargas
3) Se grafican las ecuaciones para cada segmento y se obtiene el diagrama de cortante y
momento (para este ultimo si es (+) se pinta hacia abajo y (-) se pinta hacia arriba).
Convenciones de Signo por Deformación: Se basan en la deformación del material. Se
suponen las fuerzas positivas como se muestra a continuación
V (−) : Actúa en Sentido anti horario.
V (+ ) : Actúa en sentido horario.
M (+) : Comprime la parte superior de la viga
M (−) : Comprime parte inferior.
Deformaciones:
Convención de signo estático: Se basan en las ecuaciones de equilibrio
73

4. V: Cortante
M: Momento de flexión
V (+) : Sentido negativo eje coordenado
M (+) : Sentido Anti horario.
Si se obtiene un signo (+) para V, se supone que la dirección de la fuerza era la correcta. Un
signo (-) indica que V actúa en dirección opuesta.
El cortante en el centro de la luz CL es (+) cuando las fuerzas externas que actúan sobre la
viga tienden a cortar la viga como se indica.
El momento de flexión M en CL es (+) cuando las fuerzas externas que actúan sobre la viga
tienden a flexionar la viga como se indica
Un signo positivo de M supone una dirección correcta y una (-) indica dirección contraria
PROBLEMA 4.3: Hallar los diagramas de cortante y momento para la viga mostrada.
∑ Fx = 0 Ax = 0
74

5. ∑ Fy = 0 − P + Ay + By = 0
Pa Lp − Pa
Ay = P − By = P − =
L L
Pb
Ay =
L
Diagrama DCL del corte n-n: (Antes de la carga)
∑ Fy = 0
Pb Pb
−V = 0 V =
L L 0≤x≤a
∑MC = 0
Pb Pb
M− x=0 M = x
L L
Diagrama DCL del corte m-m: (Después de la carga)
∑ Fy = 0
Pb
− P −V = 0 a≤x≤L
L
P ( L − b) Pa
V =− =−
L L
∑MC = 0
Pb
P( x − a) − x+M =0
L
Pb
Px − Pa − x+M =0
L
 b
Px1 −  − Pa + M = 0
 L
Pa
M =− x + Pa
L
x=a
Pa 2  a 
M =− + Pa = Pa − + 1
L  L 
 L − a  Pab
M = Pa =
 L  L
x=L
Pa
M =− L + Pa = 0
L
75

6. PROBLEMA 4.4: Hallar los diagramas de cortante y momento para la viga mostrada.
∑ Fx = 0 Ax = 0
∑ Fy = 0 − 60 + Ay + By = 0 Ay = 46 KN
∑MA = 0 20(2.5) − 40(3.0) + By (5.0) = 0 By = 14 KN
Corte n-n
∑ Fy = 0
− 20 − V = 0
V = −20
∑M = 0
M + 20 x = 0
M = −20 x 0 ≤ x ≤ 2. 5
Corte m-m
∑ Fy = 0
− 20 + 46 − V = 0
V = 26
∑M = 0
M + 20 x − 46( x − 2.5) = 0
M + 20 x − 46 x + 115 = 0
M = 26 x − 115 2. 5 ≤ x ≤ 5. 5
Corte l-l
∑ Fy = 0
− 60 + 46 − V = 0
V = 14
76

7. ∑M = 0
M + 20 x − 46( x − 2.5) + 40( x − 5.5) = 0 5.5 ≤ x ≤ 7.5
M + 20 x − 46 x + 115 + 40 x − 220 = 0
M = −14 x + 105
PROBLEMA 4.5: Hallar los diagramas de cortante y momento para la viga mostrada.
∑ Fy = 0 Ay + By − qL = 0
∑ Fx = 0 Ax = 0
qL2 qL qL qL
∑MA = 0 − + ByL = 0 By = Ay = qL − Ay =
2 2 2 2
Corte n-n
∑ Fy = 0
qL ql
− qx − V = 0 V = − qx +
2 2
∑M = 0
qx 2 qL
M+ − x=0
2 2
qx 2 qL
M =− + x
2 2
77

8. PROBLEMA 4.6: Hallar los diagramas de cortante y momento para la viga mostrada.
Corte n-n
∑M =0
∑ Fy = 0 qx 2
M+ =0
− V − qx = 0 0≤ x≤L 2
V = − qx qx 2
M =−
2
78

9. PROBLEMA 4.8: Hallar los diagramas de cortante y momento.
∑ Fx = 0 Ax = 0
∑M = 0
A
By (a + b) − M 0 = 0
M0
By =
a+b
∑ Fy = 0
M0
Ay = − By = −
a+b
M0
M+ x=0
a+b
− M0
M= x 0< x<a
a+b
M0
M − M0 + x=0
a+b
M0
M = M0 − a < x < a+b
a+b
M0
M = +M 0 − a
a+b
Ma + Mb − Ma Mb
M = =
a+b a+b
PROBLEMA 4.9: Hallar diagramas de cortante y momento de la viga sobre un medio
elástico.
79

10. DCL corte m-m:
∑ Fv = 0 − V + 4x = 0
V = 4x 0 ≤ x < 1.5
∑M = 0
4x 2
M− =0 M = 2 x 2 → 0 ≤ x < 1.5
2
DCL corte n-n:
∑ Fv = 0
− V − 8( x − 15) + 4 x = 0
V = −4 x + 12 1.5 ≤ x < 4.5
∑M = 0
( x − 1.5)( x − 1.5) x
M −8 − 4x = 0
2 2
M = 2 x − 4( x − 3 x + 2.25) = 2 x 2 − 4 x 2 + 12 x − 9
2 2
M = −2 x 2 + 12 x − 9 1.5 ≤ x < 4.5
DCL corte L-L:
∑ Fv = 0
− 8(3) + 4 x − V = 0
V = −4 x + 24 4.5 ≤ x < 6
∑M = 0
4x 2
M− + 8(3)( x − 3) = 0
2
M = 2 x 2 − 24 x + 72 4.5 ≤ x < 6
80

11. PROBLEMA 4.11: Para la viga de cimentación sobre medio elástico (Suelo). Hallar M max y
Vmax y los diagramas de corte y momento.
∑ Fy = 0
− 2(3) − 24 − 2(3) + q (12) = 0
kN
q=3
m
− V − 2 x + 3x = 0
−V + x = 0 V =x 0< x<3
x x 1
M + 2 x. − 3 x. = 0 M = x 2 0 ≤ x < 3
2 2 2
− V − 6 + 3x = 0 V = 3x − 6 3≤ x<6
x
M + 6( x − 15) − 3 x. = 0
2
3 2
M = x − 6x + 9
2
− V − 6 − 24 + 3 x = 0 V = 3 x − 30 6 ≤ x < 10
x
M − 6( x − 1.5) − 24( x − 6 ) + 3 x.  = 0
2
3x 2
M =− + 30 x − 153
2
− V − 6 − 24 − 2( x − 9) + 3 x = 0
V = x − 12 9 ≤ x < 12
81

12. M − 6( x − 1.5) − 24( x − 6 ) − 2( x − 9 )
(x − 9) + 3x. x = 0
2 2
( )
2
3x
M − 6 x + 9 − 24 x + 144 − x 2 − 18 x + 81 + =0
2
1 2
M =− x + 12 x − 72
2
4.3. RELACIÓN ENTRE q, V y M.
Existe una relación entre la carga, la fuerza cortante y el momento flector. Para encontrar esta
relación se considera un tramo de viga de longitud dx, con cargas concentradas y distribuidas
en la parte superior. Las cargas distribuidas y cargas concentradas son positivas cuando van
hacia a bajo, y el momento es positivo contrarreloj. Existen 3 casos:
4.3.1 Cargas distribuidas.
∑ Fv = 0 Esta ecuación no es
V − qdx − (V + dV ) = 0 dV
= −q valida cuando hay
dx cargas puntuales
aplicadas.
v x
∫vA
dV = ∫ 0
− qdx
Área bajo la curva del
x
diagrama de carga entre A y
V − V A = ∫ − qdx un punto a una distancia x.
0
∑ M =0
82

13.  dx 
− M − qdx  − (V + dV )dx − M + dM = 0
 2
qdx 2
−M − − Vdx − dVdx + M + dM = 0
2
dM
=V Esta ecuación no es válida cuando hay momentos aplicados.
dx
M x
∫M4
dM = ∫ Vdx
0 Área del diagrama de fuerza cortante
x entre A y un punto a una distancia x.
M −MA = ∫ Vdx
0
4.3.2 Cargas concentradas
V1 ; M 1 : Incrementos finitos de fuerza
∑ Fv = 0
− P + V − (V + V1 ) = 0
V1 = P Ocurre un cambio abrupto en la fuerza constante en el
punto donde actúa la carga concentrada.
∑M = 0
dx − (V + V1 )dx = 0
P
− M + M + M1 −
2
P
M1 = dx − Vdx − V1 dx
2
M1 = 0
Como dx es infinitesimalmente pequeño, el incremento de M 1 es infinitesimalmente
pequeño. El momento flexionante no cambia cuando pasa a través del punto de aplicación de
la carga concentrada.
4.3.3 Cargas de Momento
∑M = 0
− M + Mo − (V + V1 )dx − M − M 1 = 0
M 0 − V1dx − Vdx − M 1 = 0
M 1 = Mo ∑ Fv = 0 V1 = 0
Se desprecian los términos diferenciales. El momento
flexionante cambia abruptamente en el punto de aplicación de
un par, este disminuye una cantidad M 0 .
83

14. PROBLEMA 4.10: Hallar M max y Vmax y los diagramas de M y V
q0
q= x
L
qx
−V − =0
2
q
V = − 0 x2 0 ≤ x <1
2L
qx 1
M+ . x=0
2 3
1
M + qx 2 = 0
6
q
M = − 0 x3 0 ≤ x <1
6L
Nota: Pintar los diagramas de momento del lado de la flexión.
PROBLEMA 4.7: Hallar los diagramas de cortante y momento para la viga mostrada.
∑ Fx = 0 Ax = 0
∑M = 0 A
q0 L  2 L  q0 L
−   + B y ( L) = 0 By =
2  3  3
∑ Fy = 0
q0 L q0 L q0 L q0 L
− + Ay + B y = 0 Ay = − =
2 2 3 6
84

15. dV q0
= −q pero q = x Ecuacion de una recta
dx L
X
dV q0 q q
= x V − V A = − 0 ∫ xdx = − 0 x 2
dx L L 0 L
q0 x 2 q0 L
V =− + VA pero V A = Ay =
2L 6
q x2 q L
V =− 0 + 0 0≤x≤L
2L 6
dM
X
 q x2 q L
=V M − M A = ∫ − 0 + 0 dx
dx 0 
L 6 
3
q x q Lx
M =− 0 + 0 0≤ x<L
6L 6
q0 X 2 q0 L
− + =0
2L 6
q (0.58 L) 3 q 0 L
M Max = − o + (0.58 L) = 0.064q 0 L2
6L 6
PROBLEMA 4.12: Realizar el diagrama de cortante y momento por integración.
Carga puntual
L πx
Q = ∫ q 0 Sen dx
0 L
πx
L
q0 L
Q=− cos
π L 0
Q=−
q0 L
[− 1 − 1]
π
2q 0 L
Q=
π
Reacciones
q0 L q0 L
Ax = 0 Ay = By =
π π
85

16. dV
= −q
dx
L πx
V − V A = ∫ − q0 sen dx
0 L
q0 L  πx 
V = cos L − 1 + V A
π  
q0 L q0 L πx q0 L q0 L
Pero V A = Ay = V = cos − +
π π L π π
q0 L πx
V= cos 0≤x≤L
π L
dM
=V
dx
qL πx q L2 πx
M = ∫ 0 Cos dx = 0 2 Sen + C2
π L π L
qoL2
M (0) = 0 = 2 Sen(0) + C 2
π C2 = 0
q 0 L2 πx 0≤x<L
M = Sen
π 2
L
4.4 DIAGRAMAS CUALITATIVOS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO
4.4.1 Fuerza Cortante
Si la pendiente del diagrama de fuerza cortante es igual a la carga (en valor absoluto), quiere
decir que el valor de la tangente del diagrama V en cada punto será igual al valor de la carga
en ese punto.
86

17. Si la carga es constante, la pendiente del diagrama de fuerza cortante es constante. Si q = 0 la
pendiente de V es una línea recta horizontal. La única función (q = 0) cuya derivada es cero,
es una constante o línea horizontal al eje X (Integral de 0 = Cte.).
Si la carga aumenta, a medida que X aumenta, entonces la pendiente del diagrama de fuerza
cortante aumenta, y si disminuye entonces la pendiente del diagrama de V disminuye.
Para la siguiente viga, la carga aumenta de A a C, entonces la pendiente de V aumenta de A a
C de C a B la carga disminuye.
d) La carga disminuye de A a B, por lo tanto la pendiente de V disminuye, luego la carga
aumenta.
4.4.2 Momento Flector.
87

18. dM
=V
dx
En cada punto el diagrama de momento flector tendra una pendiente igual al vector de la
fuerza cortante de dicho punto.
 dv 
e) La única función cuya derivada es cero (q = 0) es una línea horizontal a X  = −q  .
 dx 
Si la fuerza cortante es constante, la pendiente del diagrama M es constante.
f) Si la fuerza cortante aumenta, a medida que X aumenta, entonces la pendiente del diagrama
del momento aumenta.
Obtener cualitativamente el diagrama de M para:
88

19. El cortante entre B y C es cero, por lo tanto el M es constante, la fuerza cortante es constante
y negativa entre C y D por lo tanto la pendiente de M es constante y negativa.
El cortante A y B es constante y (+) por lo tanto la pendiente M es constante y(+).
PROBLEMA 4.12: Dibujar cualitativamente los diagramas de fuerza cortante y momento
flector, así como el refuerzo a flexión.
89

20. 90

21. 4.4.3 Columnas
Dibujar cualitativamente los diagramas de fuerza axial (N), fuerza cortante (V) y momento
flector
91

22. - Las Fibras a tracción: se alargan
- Las Fibras a compresión: se acortan
Importante: La convención de los diagramas de momentos se dibujan del lado del lado que
están a tracción (del lado del refuerzo) y no se deben definir como positivas los momentos
antihorarios.
4.5. DETERMINACIÓN DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
USANDO ECUACIONES DE SINGULARIDAD
Se considera la siguiente viga en voladizo, sin q
discontinuidad en la carga de la viga.
A B
V = −qx
− qx 2 L
M =
4
Para el caso de una viga simplemente apoyada, la P
carga P aplicada en la mitad de la luz, representa
una singularidad en la carga de la viga, originando A B
discontinuidades en el cortante y momento flector y
se requerirán diferentes funciones para representar L/2 L/2
a V y M.
92

23. Las Funciones de Singularidad representan a V y M por medio de una sola función
matemática, que evalúan la magnitud de la fuerza interna a cualquier distancia x. Para ilustrar
el proceso se usará la siguiente viga:
a q*a
∑M B =0 qa  − Ay (2a ) = 0 Ay =
2 4
qa
∑ Fv = 0 V1 =
4
qa
∑M = 0 M1 =
4
x
x
− V2 − q( x − a ) +
qa
∑ Fv = 0 4
=0 M1
(x − a )2 − qa x = 0 qa/4 V1
∑M =0 M2 + q
2 4
M2 =
qa
x −q
( x − a )2 M2
4 2 V2
qa/4
Las funciones V1 , V2 y M1 , M2 se puede representar como: qa
V (x ) =
qa
−q < x−a > Bx
4
M (x ) =
qa q
x − < x − a >2
4 2 Ay By
Alternativamente por integración:
x x qa x
M − M A = ∫ Vdx = ∫ dx − ∫ q < x − a > dx Pero M A = 0
0 0 4 a
qa q
M = x − < x − a >2
4 2
Los paréntesis triangulares < > , se reemplazan por paréntesis ordinarios ( ) cuando x ≥ a , y
por cero cuando x< a.
La carga distribuida se puede expresar como:
q(x ) = q < x − a >0
q(x ) = 0 x<a
q(x ) = q x≥a
En resumen, la función de paréntesis triangulares se vuelve de paréntesis normales en las
condiciones siguientes:
( x − a )n cuando x ≥ a 
< x − a >n =  
 0 cuando x < a 
93

24. Graficando las funciones anteriores:
<x-a>0 <x-a>1 <x-a>2
x x x
0 a 0 a 0 a
n=0 n=1 n=2
1
∫ < x − a > dx = n + 1 < x − a >
n +1
n
Para n ≥ 0
d
< x − a > n = n < x − a > n −1 para n ≥ 1
dx
En el siguiente cuadro las funciones q(x), V(x) y M(x), se expresan en términos de funciones
de singularidad con paréntesis triangulares. El método consiste en realizar un solo corte
exactamente un diferencial dx, antes de que termine la viga, se hace el equilibrio y se obtienen
las funciones de fuerzas internas, usando la siguiente tabla:
94

25. PROBLEMA 9.1 Fuente [1]: Usando funciones de singularidad, exprese la fuerza cortante y
el momento flector como funciones de la distancia x desde el apoyo A. y halle los diagramas
de V y M.
1.2
1.5
Ax
Ay By
∑ Fx = 0 Ax = 0
∑M = 0B 1.44 + 1.5(1.2)(2.4) + 1.2(3.0) − Ay (3.6) = 0 Ay = 2.6kN
Una carga distribuida que no se extienda hasta el extremo derecho de la viga o que es
discontinua, debe reemplazarse por una combinación de cargas abiertas en los extremos como
se observa a continuación.
P=1.2kN
0.6 qo=1.5kN/ M=1.44kNm
m
Ay=2.6kN 1.8
-q0=-1.5kN/m By
q ( x ) = q0 < x − a > 0
q ( x) = q0 < x − 0.6 > 0 − q0 < x − 1.8 > 0
V (x) se obtiene integrando q (x) , invirtiendo los signos y sumando las constantes Ay y
− P < x − 0.6 > 0 , es decir las cargas puntuales actuantes que producen un salto abrupto en el
diagrama.
dV
= −q (x)
dx
V ( x) = −q0 < x − 0.6 > + q0 < x − 1.8 > + Ay − P < x − 0.6 >0
95

26. M (x) Se obtiene integrando V (x) y añadiendo − M 0 < x − 2.6 > 0 , es decir los momentos
actuantes.
q q
M ( x) = − 0 < x − 0.6 > 2 + 0 < x − 1.8 > 2 + Ay ⋅ x − P < x − 0.6 > − M 0 < x − 2.6 > 0
2 2
Sustituyendo los valores numéricos.
V ( x) = −1.5 < x − 0.6 >1 +1.5 < x − 1.8 >1 +2.6 − 1.2 < x − 0.6 > 0
M ( x) = −0.75 < x − 0.6 > 2 +0.75 < x − 1.8 > 2 +2.6 x − 1.2 < x − 0.6 >1 −1.44 < x − 2.6 >0
PROBLEMA 9.2: Hallar ecuaciones de singularidad y diagramas de Cortante y Momento.
q: se toma (-) hacia arriba P 2P
L/4 L L/4
(q B − q A )
q ( x) = − q A − x
1,5 L
qA
V ( x) = q A
(q − q A ) x 2 − P < x − L > 0 −2 P < x − 5L > 0
x+ B
qB
3L 4 4
11P
Vmax =
9
q A x 2 (q B − q A ) 3
M (x ) =
L 5L 1
+ x − P < x − >1 −2 P < x − >
2 9L 4 4
3PL
M max =−
16
96

27. PROBLEMA 9.3: Para la viga mostrada halle: q0
a) Ecuaciones de singularidad
b) Diagramas de V y M
2 q0 4q L A B
q ( x) = x − 0 < x − >1
L L 2
q 0 2 2q 0 L q L L/2
V ( x) = − x + < x − >2 + 0 L/2
L L 2 4
q 2q L q L 2q0
M ( x) = − 0 x 3 + 0 < x − > 3 + 0 x q0
3L 3L 2 4
q0 L q0 L
Ay = By =
4 4
L/2 L/2 2q0
97