Aprendiendo vectores

1. VECTORES
Prof. : Oscar Tang Cruz

2. REPRESENTACIÓN DE FUERZAS
Hay dos tipos de magnitudes: ESCALARES y VECTORIALES
Las magnitudes ESCALARES quedan determinadas mediante una
cantidad y su unidad correspondiente:
L (Longitud) = 12’35 m
m (Masa) = 5’678 kg
d (Densidad) = 3’4 g/cm3
Las magnitudes VECTORIALES necesitan de otras características
más:velocidad, aceleración, fuerzas, etc. Por ello, se representan
mediante VECTORES (segmentos de recta que están orientados).
Encima del símbolo de la magnitud dibujaremos una pequeña flecha
para indicar que se trata de una magnitud vectorial:
v

v

F
 a


3. CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR
Las características de un vector son cuatro:
 MÓDULO
 DIRECCIÓN
 SENTIDO
 PUNTO DE APLICACIÓN

4. MÓDULO
El MÓDULO viene dado por la longitud de la flecha. El módulo es
proporcional a la intensidad de la fuerza.
Al representar las fuerzas usaremos una escala similar a la
utilizada en los mapas, por ejemplo, 1 centímetro en el papel
equivaldrá a 1 Newton de fuerza (1 cm:1 N).
3 cm
Escala Þ 1 cm : 2 N
3 cm . 2 N = 6 N
1 cm

5. DIRECCIÓN
La DIRECCIÓN es la recta sobre la que se aplica la fuerza. Viene
expresada por el ángulo que forma la recta con la horizontal: 0º
(horizontal), 30º, 47º, 90º (vertical), 130º, 249º, etc.
45º
- 100º = 260º
120º
- 30º = 330º
!OJO! En el S.I. la unidad de ángulo es el RADIÁN:
2π rad = 360º; π rad = 180º; π/2 rad = 90º, etc.

6. SENTIDO
El SENTIDO indica hacia dónde se aplica la fuerza. En una misma
dirección existen dos sentidos posibles.
45º
Sentido hacia arriba, hacia la
derecha o ascendente
Sentido hacia abajo, hacia la
izquierda o descendente

7. PUNTO DE APLICACIÓN
El PUNTO DE APLICACIÓN es el punto del espacio en que se aplica
la fuerza. Esto es importante, pues los efectos que producen las
fuerzas dependen en muchos casos del punto de aplicación.
LunaTierra,F

TierraLuna,F

FLuna, Tierra = FTierra, Luna
Ambas fuerzas tienen el mismo módulo, pero
difieren en su PUNTO DE APLICACIÓN.

8. FUERZA RESULTANTE
A menudo ocurre que dos o más fuerzas actúan sobre un
cuerpo. Piensa, por ejemplo, en dos caballos que tiran de un carro. En
este caso, cuando dos o más fuerzas actúan a la vez, sus efectos se
suman.
En otras ocasiones, los efectos se restan, por ejemplo, dos
niños disputándose un paquete de chucherías.
El conjunto de las fuerzas se puede sustituir entonces por
una sola fuerza llamada FUERZA RESULTANTE.
1F

?

9. COMPOSICIÓN DE FUERZAS
A continuación estudiaremos la manera de calcular la fuerza
resultante para el caso de varias fuerzas aplicadas en la misma
dirección y para el caso de fuerzas aplicadas en direcciones
diferentes. Es lo que se denomina COMPOSICIÓN DE FUERZAS.
Vamos a distinguir varias situaciones:
a) Misma dirección
a.1) Mismo sentido
a.2) Sentidos contrarios
b) Distinta dirección
b.1) Perpendiculares
b.2) No perpendiculares
c) Paralelas
c.1) Igual sentido
c.2) Sentidos contrarios

10. Para componer dos o más fuerzas existen dos métodos, aunque no
siempre aplicaremos ambos. Son:
Gráfico
Se colocan las fuerzas una a continuación de la otra respetando sus
correspondientes direcciones y sentidos (“se transportan”). La resultante
será el vector determinado por el punto de aplicación inicial y el extremo
del último vector dibujado. Cuando se aplica a dos vectores se le suele
llamar también “método del paralelogramo”; para más de dos vectores,
“método del polígono”. Seguro que eres capaz de deducir el porqué…
COMPOSICIÓN DE FUERZAS
Resultante R

Numérico
Dependiendo de las direcciones y sentidos de las fuerzas a componer
tendremos que sumar los módulos, restarlos o realizar operaciones más
complejas.

11. a) Misma dirección
a.1) Mismo sentido: se suman los módulos de los vectores a
componer.
1F

2F

1F

2F

+F1

2F

R =

Numéricamente:
R = F1 + F2

12. a) Misma dirección
a.2) Sentidos contrarios: se restan los módulos de los vectores a
componer.
1F

2F

1F

2F

Numéricamente:
R = F1 - F2
+F1

2F

R =


13. b) Distinta dirección
1F

2
2
2
1
2
FFR +=
b.1) Perpendiculares: se aplica el método gráfico y usamos el
teorema de Pitágoras sobre el triángulo que determinan los dos
vectores y su resultante. Obviamente, el triángulo es rectángulo
(para los despistados).
2F

1F

2F
R

R
F
sen 2
=α
F1
R
F2
α R
F
cos 1
=α
1
2
1
2
F
F
R/F
R/F
cos
sen
tg ===
α
α
α
1
2
F
F
arctg=α

14. b) Distinta dirección
1F

b.2) No perpendiculares: se aplica el método gráfico exclusivamente.
El método numérico se dejará para cursos más
avanzados.
2F

R

1F

2F

En caso que hubiera que componer más de un vector, lo haríamos
sucesivamente, uno a uno:
Resultante R


15. c) Paralelas
c.1) Igual sentido (paralelas)
d
Punto de
aplicación de la
resultante
xd -x
1F

2F

1F

2F

1F

2F

1F

2F

R

Numéricamente se debe cumplir la llamada “Ley de la palanca” según la cual Los productos
de cada fuerza por la distancia a la resultante son iguales:
F1 · (d – x) = F2 · x
Por otro lado, el módulo de la resultante es la suma de los módulos de las dos fuerzas:
R = F1 + F2

16. c) Paralelas
c.2) Sentidos contrarios (antiparalelas)
d
Punto de
aplicación de la
resultante 1F

2F

Numéricamente se debe cumplir la llamada
“Ley de la palanca” según la cual Los
productos de cada fuerza por la distancia
a la resultante son iguales:
F1 · (d + x) = F2 · x
Por otro lado, el módulo de la resultante es
la diferencia de los módulos de las dos
fuerzas:
R = F2 - F1
Siempre se restará la menor a la mayor.
1F
2F

2F

1F

R

2F

1F

xd

17. DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS
Descomponer un vector consiste en encontrar otros vectores (normalmente dos) cuya
composición nos de el vector inicial. Esencialmente, es el proceso contrario al de la
composición. Veamos algunos ejemplos:
1F

2F

F

Aunque hay otras posibilidades:
F

F

1F

2F

Y otra más:
F

F

1F

2F


18. DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS
Entonces, ¿cuál es la forma correcta de descomponer un vector? Pues todas. En
realidad hay infinitas maneras de descomponer un vector y todas son correctas pues
cumplen la definición de descomposición vectorial.
Nosotros vamos a estudiar una llamada DESCOMPOSICIÓN NORMAL, en la que los
vectores obtenidos (componentes), son perpendiculares entre sí.
2
y
2
x
2
FFF +=
F
F
αsen
y
=
Fx
F
Fy
α
F

x
y
F

yF

xF
 x
F

yF

xF

y
Fx = componente x
De forma que…
αF·senFy =
F
F
cos x
=α αF·cosFx =
Fy = componente y

19. DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS
α
Vamos a ver ahora una aplicación práctica de la descomposición de vectores: el
desplazamiento sobre un plano inclinado.
Nos centraremos, concretamente, en la descomposición de la fuerza-peso. Esta fuerza
tiene dos efectos sobre el cuerpo que se desplaza: lo mantiene en contacto con la
superficie del plano inclinado y lo empuja hacia abajo.
Cada uno de estos dos efectos es debido a las dos componentes de la fuerza-peso:
x
y
xP

yP

P

α
P
P
sen X
=α αP·senPx =
P
P
cos
y
=α αP·cosPy =
Py = componente normal del peso
Px = componente tangencial del peso
yP

P

xP

yP

P

xP

α α
yP
P
xPα

20. DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS
F

N3.61332FFF 222
y
2
x ≈=+=+=
En Matemáticas podemos también identificar vectores, componerlos y descomponerlos
usando coordenadas cartesianas:
y
x1 2 3 4 5 6
5
4
3
2
1
(2,3)F =

α
1F

y
x1 2 3 4 5 6
5
4
3
2
1
2F

(2,3)F1 =

(4,1)F2 =

α
1.5
2
3
F
F
tg
x
y
===α
)F,F(F yx

=
xF

yF

(2,0)Fx =

(0,3)Fy =

56.3º1.5arctg ==α
Para componer dos vectores a partir de sus cordenadas cartesianas:
R

(4,1)(2,3)R +=

21 FFR

+= (6,4)R =

0.67
6
4
tg ≈=α 33.7º0.67arctg ≈=α
N7.25246FFF 222
y
2
x ≈=+=+=