1. Arithmétique dans un anneau commutatif intègre
Essaidi Ali
Dimanche 09 septembre 2012
1 Arithmétique dans un anneau commutatif intègre :
A un anneau commutatif.
1.1 Idéal d’un anneau commutatif :
Définition 1.1.1 Soit I ⊂ A. On dit que I est un idéal de A si :
– I est un sous-groupe de (A, +).
– ∀a ∈ A, ∀i ∈ I, ia = ai ∈ I.
Remarques :
– Si I est un idéal de A alors 0 ∈ I. En particulier, un idéal n’est jamais vide.
– {0} et A sont des idéaux de A. On les appelle les idéaux triviaux de A.
– {0} s’appelle l’idéal nul de A. On le note aussi 0.
– Tout idéal de A autre que {0} et A s’appelle idéal propre de A.
– Soit I un idéal de A :
– Si 1 ∈ I alors I = A.
– Si I contient un élément inversible alors I = A.
– Si A est un corps alors ses seules idéaux sont les idéaux triviaux {0} et A.
– Un idéal I de A n’est jamais un sous-anneau de A sauf dans le cas I = A.
Caractérisation 1.1.1 Soit I ⊂ A. I est un idéal de A ssi



A = ∅
∀x, y ∈ I, x − y ∈ I
∀a ∈ A, ∀i ∈ I, ai ∈ I
Proposition 1.1.1 Soit a ∈ A.
L’ensemble aA = {ax/x ∈ A} des multiples de a est un idéal de A, on l’appelle l’idéal de A engendré par a et on le note (a).
Exemples :
– n ∈ Z. nZ est un idéal de Z. C’est l’idéal engendré par n.
– P ∈ K[X]. PK[X] est un idéal de K[X]. C’est l’idéal engendré par P.
Remarques :
– (1) = A et (0) = {0}.
– Soit a ∈ A. a est inversible ssi (a) = A. On déduit que A est un corps ssi ses seuls idéaux sont les idéaux triviaux.
– Soient a ∈ A et I un idéal de A. Si a ∈ I alors (a) ⊂ I. Autrment dit, (a) est le plus petit idéal de A au sens de l’inclusion
qui contient a.
Rappels :
– Soit a ∈ A. On dit que a est un diviseur de zéro si a est non nul et il existe b ∈ A non nul tel que ab = 0.
– L’anneau A est intègre s’il est non nul et sans diviseurs de zéro.
Définition 1.1.2 Un idéal de A est dit principal s’il est de la forme aA avec a ∈ A.
A est dit principal si A est intègre et les idéaux de A sont principaux.
Proposition 1.1.2 Soient A, B deux anneaux et f : A → B un morphisme d’anneaux.
– L’image réciproque d’un idéal de B par f est un idéal de A. En particulier, ker f est un idéal de A.
– Si f est surjectif, alors l’image directe d’un idéal de A et un idéal de B.
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Remarques :
Cette proposition est pratique. Pour montrer que I est un idéal de A, on montre que c’est le noyau d’un morphisme d’anneaux.
L’image directe d’un idéal par un morphisme d’anneaux n’est pas forcément un idéal. En effet,l’application f : Z → R définie
par f(n) = n est un morphisme d’anneaux, Z est un idéal de Z alors f(Z) = Z n’est pas un idéal de R.
Les morphismes de corps sont toujours injectifs. En effet, si f : K → L est un morphisme de corps alors ker f est un idéal de
K. Puisque K est un corps donc ker f = {0} ou ker f = K d’où f est injectif ou nul. D’autre part, f(1) = 1 et dans un corps
1 = 0 donc f ne peut pas être nul et par suite f est injectif.
Exemple :
Soient X un ensemble non vide et a ∈ X. L’ensemble {f ∈ F(X, A)/f(a) = 0} est un idéal de F(X, A). En effet, l’application
u : F(X, A) → A
f → f(a)
est un morphisme d’anneaux et I = ker u.
Proposition 1.1.3 Soient I et J deux idéaux de A, alors I ∩ J et I + J sont des idéaux de A.
Remarques : Soient I et J deux idéaux de A :
I ∪ J est un idéal de A ssi I ⊂ J ou J ⊂ I.
I + J est le plus petit idéal contenant I et J. Autrement dit, si K est un idéal de A tel que I ⊂ K et J ⊂ K alors I + J ⊂ K.
1.2 Division dans un anneau intègre :
Définition 1.2.1 Soient x, y ∈ A. On dit que x divise y s’il existe z ∈ A tel que y = zx. Dans ce cas on note x|y.
Remarques :
Soient a ∈ A inversible. On a ∀b ∈ A, b = a(a−1
b) donc a | b. Par conséquence, les inversibles de A divisent tous les éléments
de A.
L’ensemble des inversibles de A est un groupe pour la multiplication dans A. On l’appelle le groupe des inversibles ou des
unités de A et on le note U(A) ou A×
.
Propriété 1.2.1 Soient x, y, z ∈ A. Alors :
– x|y et y|z ⇒ x|z.
– Caractérisation de la division par les idéaux : x|y ⇔ yA ⊂ xA.
Dans la suite, on suppose que A est intègre.
Propriété 1.2.2 – ∀a, b ∈ A, ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0.
– Tout élement non nul de A est régulier.
– ∀a, b ∈ A, a|b et b|a ⇒ ∃u ∈ A inversible tel que b = ua.
Définition 1.2.2 Soient a, b ∈ A. On dit que a et b sont associés si ∃u ∈ A inversible tel que b = ua.
Remarques :
– "être associés" est une relation d’équivalence sur A.
– La classe d’équivalence de 0 est {0}.
– Soit a ∈ A inversible. La classe d’équivalence de a est le groupe des inversibles de A.
– Caractérisation des éléments associés par les idéaux : a, b ∈ A sont associés ssi a|b et b|a ssi (a) = (b).
Exemples :
– m, n ∈ Z sont associés ssi |m| = |n|.
– P, Q ∈ K[X] sont associés ssi ∃λ ∈ K∗
, P = λQ.
– Dans un corps, tous les éléments non nuls sont associés.
2 Arithmétique des entiers :
2.1 Idéaux de Z :
Rappel : Les sous-groupes de Z sont les nZ avec n ∈ N.
Proposition 2.1.1 Soit I un idéal de Z. Il existe un et un seul entier naturel n tel que I = nZ.
Les idéaux de Z sont principaux et Z est principal.
Corollaire 2.1.2 Soient a, b ∈ Z.
– ∃!d ∈ N, aZ + bZ = dZ. d s’appelle le PGCD de a et b et on le note a ∧ b.
– ∃!m ∈ N, aZ ∩ bZ = mZ. m s’appelle le PPCM de a et b et on le note a ∨ b.
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Caractérisation 2.1.1 Soient a, b ∈ Z, d, m ∈ N. Alors :
– d = a ∧ b ⇔
d|a et d|b
∀n ∈ Z, (n|a et n|b) ⇒ n|d
.
– m = a ∨ b ⇔
a|m et b|m
∀n ∈ Z, (a|n et b|n) ⇒ m|n
.
Théorème 2.1.1 (Théorème de Bézout) Soient a, b ∈ Z. a ∧ b = 1 ⇔ ∃u, v ∈ Z, au + bv = 1.
Théorème 2.1.2 (Théorème de Gauss) Soient a, b, c ∈ Z,
a|bc
a ∧ b = 1
⇒ a|c.
2.2 L’anneau Z/nZ :
Soit n ∈ N∗
.
Définition 2.2.1 Soient p, q ∈ Z. On dit que p et q sont congrus modulo n si n|p − q et on note p ≡ q[n].
Remarques :
La congruence modulo n est une relation d’équivalence sur Z. L’ensemble quotient est noté Z/nZ.
∀m ∈ Z, m ≡ r[n] où r est le reste de la division euclidienne de m par n.
Z/nZ contient exactement n éléments ¯0, . . . , n − 1.
Propriété 2.2.1 Soient a, b, c, d ∈ Z. Alors :
a ≡ b
c ≡ d
⇒
a + c ≡ b + d
ac ≡ bd
Corollaire 2.2.1 Les opérations ∀a, b ∈ Z, ¯a + ¯b = a + b, ¯a¯b = ab sont bien définies sur Z/nZ.
Z/nZ muni de ces opérations est un anneau commutatif.
Proposition 2.2.2 – ¯m ∈ Z/nZ est inversible ssi m ∧ n = 1.
– Z/nZ est un corps ⇔ Z/nZ est intègre ⇔ n premier.
– L’application
π : Z → Z/nZ
m → ¯m
est un morphisme d’anneaux surjectif. On l’appelle la surjection canonique de Z
vers Z/nZ.
Remarque : (Z/nZ)
×
= { ¯m ∈ Z/nZ/m ∧ n = 1}.
Proposition 2.2.3 (Théorème des restes chinois) Soient m, n ∈ N∗
.
Z/mZ × Z/nZ et Z/mnZ sont isomorphes ssi m ∧ n = 1.
Dans ce cas, l’application
π : Z/mnZ → Z/mZ × Z/nZ
¯a → (¯a, ¯a)
est un isomorphisme d’anneaux ssi m ∧ n = 1.
Résolution du système ( )
n ≡ p[a]
n ≡ q[b]
avec a ∧ b = 1.
On a π est un isomorphisme donc ∃n0 ∈ Z, π(n0) = (n0, n0) = (¯p, ¯q) donc
n0 ≡ p[a]
n0 ≡ q[b]
. On déduit que le système ( )
admet n0 comme solution particulière.
Si n ∈ Z est une solution de ( ) alors π(¯n) = π(n0) donc ¯n = n0 d’où ∃k ∈ Z, n = n0 + kab.
Réciproquement, tout entier de la forme n = n0 + kab avec k ∈ Z est solution de ( ).
Tout revient à trouver une solution particulière de ( ).
On a a ∧ b = 1 donc ∃u, v ∈ Z, au + bv = 1. Donc
bv ≡ 1[a]
au ≡ 1[b]
.
On déduit que
qau + pbv ≡ p[a]
qau + pbv ≡ q[b]
.
Une solution particulière est n0 = qau + pbv.
Les solutions du système ( ) sont les entiers n = qau + qbv + kab avec k ∈ Z.
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2.3 Indicatrice d’Euler :
Définition 2.3.1 Soit n ∈ N∗
. On appelle indicatrice d’Euler de n l’entier card{k ∈ 1, n /n ∧ k = 1}.
On la note ϕ(n).
L’application
ϕ : N∗
→ N
n → ϕ(n)
s’appelle l’indicatrice d’Euler.
Exemples et remarques :
– ∀n ∈ N∗
, 1 ∧ n = 1 donc ϕ(n) ≥ 1.
– ϕ(1) = 1, ϕ(2) = 1, ϕ(3) = 2, ϕ(4) = 2, ϕ(5) = 4, ϕ(6) = 2, ϕ(7) = 6, ϕ(8) = 4. En particulier, ϕ n’est ni croissante,
ni injective.
– ∀n ≥ 2, ϕ(n) ≤ n − 1 avec égalité ssi n est premier.
– ϕ(n) = n ⇔ n = 1.
– ϕ(n) est le nombre des éléments inversible de l’anneau (Z/nZ, +, ×). C’est encore le cardinal du groupe (Z/nZ)×
des
unités de l’anneau (Z/nZ, +, ×).
Proposition 2.3.1 Soient m, n ∈ N∗
tels que m ∧ n = 1, alors ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). On dit que l’application ϕ est multipli-
cative.
Proposition 2.3.2 Soit n ≥ 2. Si n = pα1
1 · · · pαk
k la décomposition de n en facteurs premiers alors :
ϕ(n) = (pα1
1 − pα1−1
1 ) · · · (pαk
k − pαk−1
k ) = n(1 −
1
p1
) · · · (1 −
1
pk
)
Exemples et remarques :
– Si n = 2a
3b
alors ϕ(n) = n
3 .
– Si p et q sont premiers alors ϕ(pq) = (p − 1)(q − 1) et ϕ(pm
) = pm
− pm−1
.
– ∀n > 2, ϕ(n) est paire. En particulier ϕ n’est pas surjective.
– ∀m, n ∈ N∗
, ϕ(nm
) = nm−1
ϕ(n).
Proposition 2.3.3 ∀n ∈ N∗
, n =
d|n
ϕ(d).
3 Arithmétique des polynômes :
K = R ou C.
3.1 Idéaux de K[X] :
Remarques : Soient P, Q ∈ K[X].
(P) = (Q) ssi il existe λ ∈ K∗
tel que P = λQ.
Si P et Q sont unitaires alors (P) = (Q) ssi P = Q.
Proposition 3.1.1 Soit I un idéal de K[X] alors il existe un unique polynôme unitaire ou nul P ∈ K[X] telque I = (P).
Les idéaux de K[X] sont principaux et K[X] est alors principal.
Remarques : Soit I un idéal non nul de K[X].
Il existe un infinité de polynômes P ∈ K[X] tels que I = (P). Ces polynômes sont associés. En particulier, ils ont le même
degré.
Si I = (P), le degré de P est le plus petit parmi les degrés des éléments non nuls de I. On dit que P est de degré minimal.
Corollaire 3.1.2 Soient P, Q ∈ K[X].
– ∃!D ∈ K[X] unitaire ou nul tel que PK[X] + QK[X] = DK[X]. D s’appelle le PGCD de P et Q et on le note P ∧ Q.
– ∃!M ∈ K[X] unitaire ou nul tel que PK[X] ∩ QK[X] = MK[X]. M s’appelle le PPCM de P et Q et on le note P ∨ Q.
Caractérisation 3.1.1 Soient P, Q, D, M ∈ K[X] avec D, M unitaires ou nuls. Alors :
– D = P ∧ Q ⇔
D|P et D|Q
∀R ∈ K[X], (R|P et R|Q ⇒ R|D)
.
– M = P ∨ Q ⇔
P|M et Q|M
∀R ∈ K[X], (P|R et Q|R ⇒ M|R)
.
Théorème 3.1.1 (Théorème de Bézout) P, Q ∈ K[X], P ∧ Q = 1 ⇔ ∃U, V ∈ K[X], PU + QV = 1.
Théorème 3.1.2 (Théorème de Gauss) P, Q, R ∈ K[X],
P|QR
P ∧ Q = 1
⇒ P|R.
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3.2 Polynôme minimal :
Définition 3.2.1 Soient A, B deux K-algèbre et f : A → B. On dit que f est un morphisme d’algèbres si :
– f(1) = 1.
– ∀a, b ∈ A, f(a + b) = f(a) + f(b).
– ∀a, b ∈ A, f(ab) = f(a)f(b).
– ∀a ∈ A, ∀α ∈ K, f(αa) = αf(a).
Notation : Soit A une K-algèbre, x ∈ A et P =
n
k=0
akXk
∈ K[X].
On note P(x) =
n
k=0
akxk
où x0
= 1A et ∀k ∈ N, xk+1
= xxk
.
Exemples :
– K est une K-algèbre. Soit x ∈ K :
– Si P =
n
k=0
akXk
alors P(x) =
n
k=0
akxi
où x0
= 1 et ∀i ∈ N, xk+1
= xk
◦ x.
– Si P = 7X3
+ 4X2
− 5X + 3 alors P(x) = 7x3
+ 4x2
− 5x + 3.
– E un K-espace vectoriel alors L(E) est une K-algèbre. Soit u ∈ L(E) :
– Si P =
n
k=0
akXk
alors P(u) =
n
k=0
akuk
où u0
= idE et ∀k ∈ N, uk+1
= uk
◦ u.
– Si P = 2X3
− 5X2
+ X − 6 alors P(u) = 2u3
− 5u2
+ u − 6idE.
– m ∈ N∗
alors Mm(K) est une K-algèbre. Soit M ∈ Mm(K) :
– Si P =
n
k=0
akXk
alors P(M) =
n
k=0
akMk
où M0
= Im et ∀k ∈ N, Mk+1
= Mk
◦ M.
– Si P = X4
+ 2X3
− X2
− X + 1 alors P(M) = M4
+ 2M3
− M2
− M + Im.
Proposition 3.2.1 Soit A une K-algèbre et a ∈ A. L’application
f : K[X] → A
P → P(a)
est un morphisme d’algèbres. On
l’appelle le morphisme d’évaluation sur A en a.
Remarque : Soient P, Q ∈ K[X], A une K-algèbre et a ∈ A. Alors :
– (P + Q)(a) = P(a) + Q(a).
– (PQ)(a) = P(a)Q(a).
– 1K[X](a) = 1A.
Exemples :
– Soit a ∈ K. L’application
f : K[X] → K
P → P(a)
est le morphisme d’évaluation en a.
– Soient E un K-espace vectoriel et u ∈ L(E). L’application
f : K[X] → L(E)
P → P(u)
est le morphisme d’évaluation en
u.
– Soient m ∈ N∗
et M ∈ Mm(K). L’application
f : K[X] → Mm(K)
P → P(M)
est le morphisme d’évaluation en M.
Définition 3.2.2 Soient A une K-algèbre et a ∈ A. Un polynôme P ∈ K[X] est dit annulateur de a si P(a) = 0.
Exemples :
– Soient a ∈ K et P ∈ K[X]. P est annulateur de a ssi a est raçine de P.
– E un K-espace vectoriel et u ∈ L(E) :
– Si u est un projecteur alors u2
= u donc P = X2
− X est annulateur de u.
– Si u est une symétrie alors u2
= idE donc P = X2
− 1 est annulateur de u.
– Si 3u5
− u2
+ 2u + idE = 0 alors P = 3X5
− X2
+ 2X + 1 est annulateur de u.
– Soient n ∈ N∗
et M ∈ Mn(K) :
– Si la matrice M est nilpotente alors Mn
= 0 donc P = Xn
est annulateur de M.
– Si 2M4
+ M3
− 2M2
+ M + In = 0 alors P = 2X4
+ X3
− 2X2
+ X + 1 est annulateur de u.
Proposition 3.2.2 Soient A une K-algèbre et a ∈ A.
L’ensemble I des polynômes annulateurs de a est un idéal de K[X], on l’appelle l’idéal des polynômes annulateurs de a.
Si a admet un polynôme annulateur non nul alors il existe un unique polynôme unitaire noté πa tel que I = (πa).
πa s’appelle le polynôme minimal de a.
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Remarques : Soient A une K-algèbre, a ∈ A et f le morphisme d’évaluation en a :
L’idéal des polynômes annulateurs de a est ker f.
On suppose que a admet un polynôme annulateur non nul. Alors :
– Le polynôme minimal πa de a existe.
– πa(a) = 0.
– Pour tout polynôme annulateur P de a on a πa|P.
– On suppose que l’algèbre A est non nulle. Les polynômes annulateurs non nuls de a sont non constants. En effet, si
P = λ = 0 alors P(a) = λ1K[X](a) = λ1A = 0. En particulier, πa n’est pas constant.
On suppose que l’algèbre A est non nulle. Le polynôme minimal de 0 est π0 = X, celui de 1 est π1 = X − 1.
On appelle polynôme en a tout élément de A de la forme P(a) où P ∈ K[X]. L’ensemble des polynômes en a est Im f, c’est
une sous-algèbre de A. On le note K[a].
Si ker f = {0} alors le seul polynôme annulateur de a est le polynôme nul. Dans ce cas K[X] est isomorphe à K[a].
Proposition 3.2.3 a admet un polynôme annulateur non nul ssi K[a] est de dimension finie. Dans ce cas, dim K[a] = deg πa.
Corollaire 3.2.4 Si A est de dimension finie alors tout élément de A admet un polynôme minimal.
Corollaire 3.2.5 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Tout endomorphisme de L(E) admet un polynôme minimal.
Corollaire 3.2.6 Soit n ∈ N∗
. Toute matrice de Mn(K) admet un polynôme minimal.
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