webinaire eBIS n°9 La génétique du Méthane_03_20240321_JPromp_presentation_Mé...
Chapitre4
1. GCI 210 – Résistances des
matériaux
Chargé de cours - Olivier Girard
Hiver 2009
www.civil.usherbrooke.ca/cours/gci210/
2. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres (299 - 388)
4.1 Diagramme des efforts tranchants et des moments
fléchissants (310-322)
4.2 Moment d’inertie de surfaces (C-0)
4.3 Flexion élastique des sections symétriques (338-362)
4.4 Flexion élastique des sections composées de
plusieurs matériaux (362-369)
4.5 Flexion inélastique des sections symétriques (379-
389)
4.6 Flexion composée de sections symétriques (369-374)
4.7 Flexion élastique des sections quelconques (374-379)
3. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
La paternité de la théorie des poutres revient à Gallilée
(1564-1642)
•Étude de la déformation des poutres
•Hypothèse fausse : contrainte de tension et de
compression uniforme
DaVinci l’aurait par contre précédé (1452-1519)
4. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
La pièce manque de Gallilée était la théorie développée
par Robert Hooke (1635-1703)
•La loi de Hooke : la contrainte à l’intérieur d’un
élément est une fonction linéaire de la déformation
Leonhard Euler (en couleur) et Jacques Bernouilli
(noir et blanc) ont développé la première théorie
utile en 1750. Le neveu de Jacques, Daniel,
développe l’expression différentielle de cette
théorie.
5. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
La théorie des poutres ne fut qu’utilisée à partir
des années 1880 avec la construction des
grandes roues et de la tour Eiffel (1889).
6. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.1 Diagramme des efforts tranchants et des moments fléchissants
(310-322)
Notions de DET et DMF
Équilibre de l’élément dx (« double coupe »)
ΣFy = 0 = -V + pdx + (V+dV) ; donc p = - ( dV / dx )
ΣMgauche = 0 = -M + (M + dM) + (V + dV)dx + (pdx * dx/2)
puisque dx est petit, dx2 est très près de 0 ; donc dM + Vdx = 0
7. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.1 Diagramme des efforts tranchants et des moments fléchissants
Notions de DET et DMF
Les conclusions de l’équilibre de l’élément dx sont :
dV = -pdx
dM = -Vdx
8. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.1 Diagramme des efforts tranchants et des moments fléchissants
Propriétés des DET et DMF
Le DET et le DMF sont obtenus en intégrant la charge sur la poutre
Le DET est la dérivée du DMF, en mathématique, lorsque la dérivée d’une
fonction est nulle, il y a présence d’un maximum
Il y a un saut dans un DET lorsqu’il y a présence d’une charge concentrée
Il y a un saut dans un DMF lorsqu’il y a présence d’un moment concentré
Le sens des pentes et le sens de la concavité des graphiques dépendent
du « signe » de la fonction
Sur une poutre horizontale, la fibre inférieure est tendue et la fibre
supérieure est comprimée lorsque le moment est positif et inversement
9. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.2 Moment d’inertie de surface (C-0)
Surface simple
10. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.2 Moment d’inertie de surface
Changement d’axes
11. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.2 Moment d’inertie de surface
Surface composée
12. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.2 Moment d’inertie de surface
Surface composée
13. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.2 Moment d’inertie de surface
Surface typique
14. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.2 Moment d’inertie de surface
Surface typique
15. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.3 Flexion élastique des sections symétriques (338-362)
Hypothèse de calcul
Matériau homogène et isotrope
Poutres rectilignes
Section avec au moins un axe de symétrie
Moment agissant dans un plan de symétrie qui n’est pas
l’axe de symétrie lorsque la section comporte un seul axe de
symétrie
Les déformations sont petites
La loi de Hooke s’applique
Les sections planes restent planes après déformation
16. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.3 Flexion élastique des sections symétriques
Équation de la contrainte
17. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.3 Flexion élastique des sections symétriques
Équation de la déformée
18. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.3 Flexion élastique des sections symétriques
Dimensionnement des poutres en flexion
19. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.3 Flexion élastique des sections symétriques
Dimensionnement des poutres en flexion
20. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.4 Flexion élastique des sections composées de plusieurs
matériaux (362-369)
Cas général
21. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.4 Flexion élastique des sections composées de plusieurs
matériaux
22. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.4 Flexion élastique des sections composées de plusieurs
matériaux
23. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.5 Flexion inélastique des sections symétriques (379-389)
Le problème consiste à déterminer sur des sections ayant au moins un
axe de symétrie :
le moment élastique pour lequel la contrainte maximale en tension ou
en compression atteint la limite élastique
le moment plastique pour lequel toutes les contraintes en tension ou
en compression ont atteint la limite élastique
le moment élasto-plastique produisant un état de contrainte élasto-
plastique sur la section
24. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.5 Flexion inélastique des sections symétriques
25. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.5 Flexion inélastique des sections symétriques
26. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.6 Flexion composée des sections symétriques (sections
ayant 2 axes de symétrie) (369-374)
la flexion combinée due aux 2 moments de flexion autour des 2 axes de
symétrie,
la flexion déviée pour laquelle le moment de flexion se décompose en 2
moments de flexion autour des axes de symétrie,
la flexion produite par des charges axiales excentriques,
la flexion combinée avec un effort axial (murs de soutènement),
la flexion combinée dans le domaine plastique.
27. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.6 Flexion composée des sections symétriques (sections ayant 2
axes de symétrie)
Flexion élastique déviée
28. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.6 Flexion composée des sections symétriques (sections ayant 2
axes de symétrie)
Flexion élastique déviée suite
29. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.6 Flexion composée des sections symétriques (sections ayant 2
axes de symétrie)
Flexion élastique combinée
30. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.6 Flexion composée des sections symétriques (sections ayant 2
axes de symétrie)
Flexion élastique combinée
31. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.6 Flexion composée des sections symétriques (sections ayant 2
axes de symétrie)
Flexion composée inélastique
32. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.6 Flexion composée des sections symétriques (sections ayant 2
axes de symétrie)
Flexion composée inélastique
33. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.6 Flexion composée des sections symétriques (sections ayant 2
axes de symétrie)
Flexion composée inélastique
34. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.7 Flexion élastique des sections quelconques (374-379)
35. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.7 Flexion élastique des sections quelconques
Axes principaux d’inertie
36. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.7 Flexion élastique des sections quelconques
Axes principaux d’inertie
37. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.7 Flexion élastique des sections quelconques
Axes principaux d’inertie
38. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.7 Flexion élastique des sections quelconques
Équation des contraintes par rapport aux axes Y’ et Z’
39. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.7 Flexion élastique des sections quelconques
Équation des contraintes par rapport aux axes Y’ et Z’
40. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.7 Flexion élastique des sections quelconques
Équation des contraintes par rapport aux axes Y’ et Z’
41. Chapitre 4 : Contraintes normales de
flexion dans les poutres
4.7 Flexion élastique des sections quelconques
Équation des contraintes par rapport aux axes principaux d’inertie