SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo
1 von 25
Downloaden Sie, um offline zu lesen
SOAL-SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA
DAN PENYELESAIANNYA
1. Buktikan untuksetiap bilangan real a, b berlaku a 2 + b 2 ≥ 2ab !

Bukti :
( a − b ) 2 ≥ 0 ⇔ a 2 − 2ab + b 2 ≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 ≥ 2ab
2. Buktikan untuksetiap bilangan real a, b dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0 berlaku

Bukti :

(

a−

b

)

2

≥ 0 ⇔ a − 2 ab + b ≥ 0 ⇔ a + b ≥ 2 ab ⇔

a+ b
≥
2

a+ b
≥
2

ab !

ab

a+ b
≥ ab dikenal sebagai AM ≥ GM dimana AM singkatan Arithmetic Mean
2
sedangkan GM singkatan Geometric Mean.

Catatan : Bentuk

3. Buktikan untuksetiap bilangan positif a, b, c dan d berlaku

Bukti :
a+ b+ c+ d
=
4

a+ b c+ d
+
2
2 ≥
2

ab + cd
≥
2

a+ b+ c+ d
≥
4

ab cd =

4

abcd !

abcd

4. Buktikan untuksetiap bilangan real a, b dan c dengan a ≥ 0, b ≥ 0 dan c ≥ 0 berlaku

a+ b+ c 3
≥ abc
3
Bukti :
a+ b+ c
= x ⇔ a + b + c = 3x dan 3 abc = y ⇔ abc = y 3
Misal
3
a+ b c+ x
+
a+ b+ c+ x
Maka
2
2 ≥  a+ b  c+ x ≥
=
ab cx =

 

4
2
 2   2 
3x + x 4 3
≥ y x ⇔ x4 ≥ y3 x ⇔ x ≥ y
Karena a + b + c = 3 x maka
4

4

abcx =

5. Buktikan untuksetiap bilangan positif a, b, c berlaku ( b + c ) ( c + a ) ( a + b ) ≥ 8abc !

Bukti :
b+ c
≥
2
c+ a
≥
2
a+ b
≥
2

bc ....(1)
ca ....(2)
ab ....(3)

 b+ c  c+ a  a+ b

 
 ≥
Jika (1) x (2) x (3) maka didapat : 
 2  2   2 
Atau ( b + c ) ( c + a ) ( a + b ) ≥ 8abc

a 2b 2c 2 = abc

4

y3 x
6. Jika a bilangan positif, buktikan bahwa a +

1
≥ 0 !
a

Bukti :
2

1 
1
1

 a−
 ≥ 0 ⇔ a− 2+ ≥ 0 ⇔ a+ ≥ 2
a
a
a

7. Jika a dan b sembarang bilangan, buktikan bahwa

a b
+ ≥ 2!
b a

Bukti :

( a − b) 2 ≥

0 ⇔ a 2 + b 2 ≥ 2ab ⇔

a b
+ ≥ 2
b a

8. Jika a, b bilangan positif dan a + b = 1 maka ab ≤

1
!
2

Bukti :
Karena a dan b positif dan a + b = 1 maka :
1
≥ 1 ....(1)
a
1
≥ 1 ....(2)
b
1 1
a+ b
1
≥ 2 ⇔ a + b ≥ 2ab ⇔ 1 ≥ 2ab ⇔ ab ≤
Jika (1) + (2) maka + ≥ 2 ⇔
a b
ab
2
9. Jika a, b, c , d bilangan positif, maka buktikan ( ac + bd ) ( ab + cd ) ≥ 4abcd !

Bukti :
a b
c d
+ ≥ 2 ....(1) dan
+ ≥ 2 ....(2)
b a
d c
Jika (1) + (2) didapat :
a b c d
a d c b
+ + + ≥ 4 ⇔
+ + + ≥ 4
b a d c
b c d a
a 2cd + abd 2 + abc 2 + b 2cd
≥ 4 ⇔ ( ac + bd ) ( ab + cd ) ≥ 4abcd
abcd
x2
1
10. Untuksetiap bilangan real x, buktikan bahwa
!
≤
4
1+ x
2
Bukti :

(x

2

)

− 1 2≥ 0 ⇔

x4 − 2 x2 + 1 ≥ 0 ⇔

x4 + 1 ≥ 2x2

11. Untuksetiap bilangan real x, buktikan bahwa

Bukti :
x4 ≥ 0 ⇔
⇔

(x

2

)

2

(

)

2

12. Hitunglah nilai dari :
1 1
1
1
1+ 2 + 2 + 1+ 2 + 2 +
1 2
2
3
Jawab :
1
1
1+ 2 +
=
n
( n + 1) 2

⇔

x2 + 1

(x

x4 + 4x2 + 4 ≥ 4x2 + 4 ⇔

+ 2 ≥ 2 x2 + 1

x2 + 2

2

)

≥ 2!

2

(

1
1
+ 2 + ...... +
2
3
4

n 2 (n + 1) 2 + ( n + 1) + n 2
=
n 2 (n + 1) 2
2

)

+ 2 ≥ 4 x2 + 1

x2 + 2 ≥ 2 x2 + 1 ⇔

1+

x2
≥ 2
1 + x4

⇔

1+

x2 + 2
x2 + 1

≥ 2

1
1
+
2
2004
20052

n 2 (n 2 + 2n + 1) + (n 2 + 2n + 1) + n 2
(n(n + 1)) 2
(

)

2

n 4 + 2n3 + 3n 2 + 2n + 1
n2 + n + 1
n2 + n + 1
1
1
=
=
= 1+ 2
= 1+
2
2
2
n + n
n + n
n(n + 1)
( n(n + 1) )
( n(n + 1) )
1
1
=1 + −
n n+ 1
1 1
1
1
1
1
1
1
Jadi 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + ...... + 1 +
+
2
1 2
2
3
3
4
2004
20052
1 1 
1 1 
1 1
1
1 


−

=  1 + −  +  1 + −  +  1 + −  + ..... +  1 +
1 2 
2 3 
3 4
2004 2005 


1 
2004
2004

= 2004
 = 2004 +
= (1 + 1 + 1 + .... + 1) +  1 −
2005 
2005
2005

=

13. Diketahuia, b, c, d dan e adalah bilangan real. Jika a+b+c+d+e= 19 dan a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 = 99

tentukan nilai maksimumz !
Jawab :
(19 − e) 2= ( a + b + c + d ) 2
361 − 38e + e 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
361 − 38e + e 2 = 99 − e 2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
361 − 38e + e 2 ≤ 99 − e 2 + a 2 + b 2 + a 2 + c 2 + a 2 + d 2 + b 2 + c 2 + b 2 + d 2 + c 2 + d 2
361 − 38e + e 2 ≤ 99 − e 2 + 99 − e 2 + 99 − e 2 + 99 − e 2
361 − 38e + e 2 ≤ 396 − 4e 2
5e 2 − 38e − 35 ≤ 0
2144
38 + 2144
≤ e≤
10
10
38 + 2144
Jadi nilai maksimume =
10
Dengan rumus abc didapat

38 −

14. Jika 1+2+3+4+….+n= aaa, maka tentukan nilai n dan aaa !
Jawab :
n
1 + 2 + 3 + .... + n = (n + 1)
2
aaa = 111xa = (3xa) x37
n
(n + 1) = (3xa) x37
2
n (n + 1) = (6 xa) x37
Ini merupakan perkalian berurutan.
Jadi a = 6 dan n = 36
15. Jika aabb = (xy )

2

maka tentukan nilai dari a, b, x dan y !

Jawab :
Karena (xy ) 2 adalah bilangan kuadrat maka angka satuannya 0, 1, 4, 5, 6 atau 9.
Berarti bb = 00, 11, 44, 55, 66 atau 99
Bilangan kuadrat bila dibagi 4 sisanya 0 (untukgenap) atau 1 (untukganjil)
Bilangan habis dibagi 4 jika 2 angka terakhirhabis dibagi 4, jadi bb = 44
aabb = aa44 = 11 x a04 maka a = 7
aabb = 7744= 882
Sehingga a = 7, b = 4, x = 8 dan y = 8
3
3
3
3
16. Buktikan bahwa : 1 + 2 + 3 + .... + n =

1 2
1

n ( n + 1) 2 =  n(n + 1)
4
2


2

Bukti :
Dibuktikan dengan induksi matematika.
1
2
3
Untukn = 1 maka 1 =  .1(1 + 1) benar
2

1

3
3
3
3
Misal untukn = k benar maka 1 + 2 + 3 + .... + k =  k (k + 1) 
2

3
3
3
3
3
Untukn = k + 1 maka 1 + 2 + 3 + .... + k + (k + 1)
1

=  k (k + 1) 2 + (k + 1) 3
2


2

1

= ( k + 1) 2 k 2 + k + 1
4

1
= (k + 1) 2(k 2 + 4k + 4)
4
1
= (k + 1) 2(k + 2) 2
4
1

=  ( k + 1) ( k + 2 )  2
2

17. Jika 20043 = A2 − B 2 dimana A dan B bilangan asli, maka tentukan nilai A dan B !

Jawab :
1

13 + 23 + 33 + .... + (n − 1) 3+ n3 =  n(n + 1) 2
2

1
 2 3 1
2
 2 (n − 1)n  + n =  2 n(n + 1) 




1
 1

n3 =  n(n + 1) 2 −  (n − 1)n  2
2
 2

1

1

20043 =  .2004.2005 2 −  .2003.2004 2
2

2

= (1002.2005) 2 − (1002.2003) 2
Jadi A = 1002.2005dan B = 1002.2003
18. Jika A = 13 − 23 + 33 − 43 + 53 − 63 + .... + 20053 , maka tentukan nilai A !

Jawab :
13 + 23 + 33 + .... + 20053 − 2(23 + 33 + .... + 20043 )

(

(

)

)

= 1 + 2 + 3 + .... + 20053 − 2.23 (13 + 23 + 33 + .... + 10023 )
3

3

3

1
1

=  .2005.2006  2 − 16( .1002.1003) 2
2
2

2
2
= 1003 (2005 − (4.501) 2 )
= 10032 (20052 − 2004 2 )
= 10032 (2005 + 2004)(2005 − 2004)
= 10032.4009
19. a1 , a2 , a3 ,...., an adalah bilangan cacah yang berbeda. Jika 2 a1 + 2 a 2 + 2 a3 + .... + 2a n = 2005 maka

tentukan nilai dari a1 + a2 + a3 + .... + an !
Jawab :
2005 = 111110101012
2005 = 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 0 + 24 + 0 + 2 2 + 0 + 20
a1 + a2 + a3 + .... + an = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 4 + 2 + 0 = 46

20. Diketahuix, y, z dan t adalah bilangan real yang tidak nol dan memenuhipersamaan :
x + y + z = t .... (1)
1 1 1 1
+ + =
.... (2)
x y z t
x 3 + y 3 + z 3 = 10003 .... (3)
Tentukan nilai dari x + y + z + t
Jawab :
1 1 1 xy + xz + yz 1
+ + =
=
⇔
x y z
xyz
t

xy + xz + yz =

xyz
t

(x +

y + z ) 3= x 3 + y 3 + z 3 + 3( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) − 3 xyz
xyz
t 3 = x 3 + y 3 + z 3 + 3t.
− 3xyz
t
x 3 + y 3 + z 3 = t 3 = 10003 → t = 1000
x + y + z + t = t + t = 2t = 2000
ex
21. Suatu fungsi dinyatakan sebagai f ( x) = x
.
e + e
1
2
2004
)+ f(
) + ... + f (
)
Tentukan nilai dari f (
2005
2005
2005
Jawab :
ex
e1− x
e + e x e + e + e1− x e
2e + e x e + e1− x e
f ( x) + f (1 − x) = x
+ 1− x
= x 1− x
=
=1
e + e e + e e e + e x e + e1− x e + e 2e + e x e + e1− x e
1
2004
f(
)+ f(
)= 1
2005
2005
2
2003
f(
)+ f(
)= 1
2005
2005
.....
.....
1002
1003
f(
)+ f(
)= 1
2005
2005
+
= 1002
22. Diketahuia dan b adalah bilangan real yang memenuhisyarat :
i.
a 3 − 3ab 2 = 44
ii.
b 3 − 3a 2b = 8
Tentukan nilai a 2 + b 2 !
Jawab :
a 3 − 3ab 2 = 44 ⇒ (a 3 − 3ab 2 ) 2 = 44 2 ⇔ a 6 − 6a 4b 2 + 9a 2b 4 = 1936
b 3 − 3a 2b = 8

⇒

(b

3

)

− 3a 2b 2 = 82

⇔

b 6 − 6a 2b 4 + 9a 4b 2 = 64
+

a + 3a b + 3a b + b = 2000
6

(a

2

4 2

)

2 4

+ b 2 3= 2000 ⇔

6

a 2 + b2 =

3

2000 = 103 2

23. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiridari 4 digit angka abcd sehingga memenuhipersamaan abcd
+ 1 = (ac + 1)(bd + 1) !
Jawab :
abcd + 1 = (ac + 1)(bd + 1)
1000a + 100b + 10c + d + 1 = (10a + c + 1)(10b + d + 1)
= 100ab + 10ad + 10a + 10bc + cd + c + 10b + d + 1
990a + 90b + 9c - 100ab - 10ad - 10bc – cd = 0
(900a – 100ab) + (90a – 10ad) + (90b – 10 bc) + 9c – cd = 0
100a (9 – b) + 10a (9 – d) + 10b (9 – c) + c (9 – d) = 0
Jadi : b = d = c = 9
a = 1, 2, 3, …., 9
Sehingga bilanganbilangan itu : 1999, 2999, 3999, …., 9999
24. Tentukan nilai dari

3
4
5
2005
+
+
+ .... +
1
2
3
1x 2 x 2 2 x3x 2
3x4 x2
2003 x 2004 x 22003

Jawab :
k+ 2
a
b
a (k + 1) − kb (a − b)k + a
= k − k
=
=
k
k .(k + 1).2
2 .k 2 .(k + 1)
k (k + 1).2 k
k (k + 1).2 k
jadi a – b = 1 karena a = 2 maka b = 1
2
1
1   2
1 
2
1
 2


( k − k
=  1 − 1  +  2 − 2  + .... +  2003
− 2003

2003
2 .k 2 .(k + 1)  2 .1 2 .2   2 .2 2 .3 
 2 .2003 2 .2004 
∑= 1
1
k
= 1 − 2003
2 .2004
2
2
25. Jika x dan y bilangan asli yang memenuhipersamaan xy + x + y = 71 dan x y + xy = 880 maka

tentukan nilai x 2 + y 2 !
Jawab :
Misal xy = a dan x + y = b maka :
xy + x + y = 71 ⇔ a + b = 71 ⇔ a = 71 – b ….. (1)
x 2 y + xy 2 = 880 ⇔ xy(x + y) = 880 ⇔ ab = 880 …. (2)
Dari (1) dan (2) didapat :
i. b = 55 dan a = 16 maka x 2 + y 2 = ( x + y ) 2 − 2 xy = 552 − 2.16 = 2993
ii.
b = 16 dan a = 55 maka x 2 + y 2 = ( x + y ) 2 − 2 xy = 162 − 2.55 = 146
26. Tentukan nilai A2 dimana A adalah jumlah dari nilai mutlak semua akarakar persamaan :

x=

19 +

91
19 +

91
19 +

91
19 +

9
x
Jawab :
x=

91
⇔
x
19 ± 383
2

19 +

x1.2 =
A=

x 2 − 19 x − 91 = 0

19 + 383
+
2

19 − 383
=
2

19 + 383
+
2

383 − 19
=
2

383

A2 = 383
1

27. Didefinisikan f (n) =

n 2 + 2n + 1 + 3 n 2 − 1 +
nilai dari f(1) + f(3) + f(5) + …. + f(999999) !
Jawab :
x− y =

3

3

x −

3

3

3

y =

(

3

x−

y

3

)(

3

x2 +

3

3

xy +

Misal :
x 2 = n 2 + 2n + 1 = (n + 1) 2

⇒
⇒

3

)

y2 ⇔

untuk semua n bilangan asli. Tentukan

1
3

x2 +

=

3

xy +

3

y2

1000000 −

3

999999

3

x− 3 y
x− y

x = n+ 1

y = n − 2n + 1 = ( n − 1)

n 2 − 2n + 1

x = n− 1

2

2

2

xy = (n + 1)(n − 1) = n − 1 ⇒
2

f ( n) =

1
3

x2 +

3

xy +

3

y2

=

3

xy = n 2 − 1
x− 3 y
x− y

n+ 1− 3 n− 1 3 n+ 1− 3 n− 1
=
(n + 1) − (n − 1)
2
f(1) + f(3) + f(5) + …. + f(999999)
3
2− 3 0 + 3 4− 3 2 + 3 6− 3 4 + 3 8−
=
2
0 + 100
= 50
=
2
f ( n) =

(

3

) (

) (

) (

3

)

6 + .... +

(

3

)

3
4
5
28. Carilah 3 bilangan asli x, y, z dimana z < y < x < 2004 dan memenuhipersamaan x + y = z !

Jawab :
x3 = z 5 − y 4
Misal z = a 5 dan y = a 6 maka x 3 = a 25 − a 24 = a 24 (a − 1) ⇔
a –1 harus bilangan pangkat 3 seperti 1, 8, 27 dsb.
Misal a = 2 maka x = 28 3 2 − 1 = 256

x = a8

3

a− 1

z = 25 = 32
y = 26 = 64
n
n
n
n
29. Tunjukkanbahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku 121 − 25 + 1900 − (− 4) selalu habis digai

2000!
Jawab :
2000= 125 x 16
Gunakan teori a n − b n habis dibagi a – b
121n − 25n + 1900n − (− 4) n
=

1900n − 25n + 121n − (− 4) n

habis dibagi 16 habis dibagi 16
habis dibagi 125 habis dibagi 125
n
n
n
n
Jadi 121 − 25 + 1900 − (− 4) habis dibagi 125 x 16 = 2000
30. Buktikan bahwa 1998+ 1999 x 2 2004 habis dibagi 7 !

Bukti :
1998+ 1999x 2 2004 = (7n + 3) + (7n + 4) x (7 + 1)668
Kita lihat satuannya : 3 + 4 x 1 668 = 3 + 4 = 7
Jadi 1998+ 1999x 2 2004 habis dibagi 7
31. Tentukan 3 bilangan asli x, y, z sehingga

x 3 + y 3 2006
=
x 3 + z 3 2005

Jawab :
x 3 + y 3 ( x + y ) x 2 − xy + y 2
=
x 3 + z 3 ( x + z ) x 2 − xz + z 2
Karena 2006dan 2005 relatif prima, maka diantara faktorfaktor pembilang dan penyebut harus ada
yang sama.
x + y = x + z tidak mungkin, karena y = z.
x 2 − xy + y 2 = x 2 − xz + z 2

(
(

)
)

y 2 − z 2 = xy − xz
( y − z )( y + z ) = x( y − z )
x= y+ z
x + y 2006
y + z + y 2006
=
⇒
=
x + z 2005
y + z + z 2005
2 y + z = 2006
 ⇒ y = 669 dan z = 668 sehingga x = y + z = 1337
2 z + y = 2005
32. Tentukan rumus untuk (1x1!) + (2 x 2!) + (3x3!) + ... + (n x n!) !

Jawab :
1x1!= [ (1 + 1) x1!] − (1x1!) = (2 x1!) − (1x1!) = 2!− 1!
2 x 2!= [ ( 2 + 1) x 2!] − (1x 2!) = (3 x 2!) − (1x 2!) = 3!− 2!
3 x3!= 4!− 3! dst
(1x1!) + (2 x 2!) + (3 x3!) + .... + (n x n!) = (2!− 1!) + (3!− 2!) + (4!− 3!) + ... + ((n + 1)!− n!)
= − 1!+ (n + 1)!
= (n + 1)!− 1!= (n + 1)!− 1
a
1 1 1 1 1
1
= 1 − + − + − + .... −
dimana a relatif prima dengan b. Tunjukkanbahwa
b
2 3 4 5 6
1336
a adalah kelipatan dari 2005!
Jawab :
1 1 1 1 1
1
1 1
1
1 1
1
1 − + − + − + .... −
= (1 + + + ... +
) − 2( + + ... +
)
2 3 4 5 6
1336
2 3
1336
2 3
1336
1 1
1
1 1
1
= (1 + + + ... +
) − (1 + + + ... +
)
2 3
1336
2 3
668
1
1
1
=
+
+ .... +
669 670
1336
 1
1   1
1 
1 
 1
= 
 669 + 1336)  +  670 + 1335  + .... +  1002 + 1003 





 

33. Diketahui

1336 + 669 1335 + 670
1003 + 1002
+
+ .... +
669.1336
670.1335
1002.1003
2005
2005
2005
=
+
+ .... +
669.1336 670.1335
1002.1003
1
1
1
= 2005(
+
+ .... +
)
669.1336 670.1335
1002.1003
Jadi kelipatan 2005.
=
x = 2+
34. Jika

3
2+

3
3

2+

2+

maka tentukan nilai x !
3
x

Jawab :
x = 2+

3
x

⇔

( x − 3)( x + 1) =

x2 − 2 x − 3 = 0 ⇔

0 ⇒

x = 3 yang memenuhi.

12 22 32
10022
12 2 2 32
10022
+
+
+ .... +
dan b =
+
+
+ .... +
1 3
5
2003
3 5 7
2005
Tunjukkanbilangan bulat terdekat dari a – b !
Jawab :
12 22 32
1002 2
12 2 2 32
1002 2
a− b = ( +
+
+ .... +
)− ( +
+
+ .... +
)
1 3 5
2003
3 5 7
2005
 1002 2 10012  1002 2
12  22 12   32 22 
 + .... + 
=
+ 
− +  −
 2003 − 2003  − 2005

1  3 3  5 5 

 




35. Diketahui a =

10022
+ (1 + 1 + 1 + ..... + 1)
2005
1002 2 1002(2005 − 1002) 1002.1003
= 1002 −
=
=
≈ 501
2005
2005
2005
= 1−

36. Diketahuia, b, c, d, e dan f adalah bilangan real. Jika

a c e
=
=
= 64 maka tentukan
b d
f

5a 2c − 4c 2e + e3
5b 2 d − 4d 2 f + f 3
Jawab :
a
= 64 ⇔ a = 64b
b
c
= 64 ⇔ c = 64d
d
e
= 64 ⇔ e = 64 f
f
5a 2c − 4c 2e + e3
=
5b 2 d − 4d 2 f + f 3
=

643 (5b 2 d − 4d 2 f + f 3 )
=
5b 2 d − 4d 2 f + f 3

37. Diketahui A =

643 = 512

1



 . Tentukan nilai A !
k = 1  1 + 2 + 3 + ... + k 

2004

∑

Jawab :
1 + 2 + 3 + .... + k =
2004

5(64b) 2 .64d − 4(64d ) 2 .64 f + (64 f )3
5b 2 d − 4d 2 f + f 3

k ( k + 1)
2

1
∑= 1 1 + 2 + 3 + ..... + k =
k

2004

2
∑= 1 k (k + 1) =
k

2004

2
2
−
k+1
k=1 k

∑

2 
2
4008
 2 2  2 2  2 2
 2
=  −  +  −  +  −  + ..... + 
−
=
 = 2−
2005 2005
 1 2  2 3  3 4
 2004 2005 
 1
 = 3 x dan x ≠ 0 maka tentukan penyelesaian untukf(x) = f(-x) !
 x

38. Jika f ( x) + 2 f 

Jawab :
1
f ( x) + 2 f ( ) = 3 x ......(1)
x
1
3
⇒ f ( ) + 2 f ( x) = ....(2)
x
x
1
2 − x2
Jika f ( ) dihilangkan maka f ( x) =
x
x
2
2
2− x
2− x
f ( x) = f (− x) ⇒
=
⇒ x= ± 2
x
− x
39. Tentukan nilai dari x + y jika diketahui x + y +
3

3

x
x 2 + xy
= 19 dan
= 60 !
y
y

Jawab :
Misal x + y = a dan
x+ y+

x
= b maka :
y

x
= 19 ⇒ a + b = 19 atau a = 19 – b ……(1)
y

x 2 + xy
x
= 60 ⇔
( x + y ) = 60 ⇒ ab = 60.........(2)
y
y
Dari (1) dan (2) didapat :
i.
b = 4 dan a = 15 maka x + y = 15 dan x = 4y sehingga x = 12 dan y = 3 jadi x 3 + y 3 = 1755
3376
3
3
ii.
b=15dan a = 4 maka x + y = 4 dan x = 15y sehingga x = 15/4dan y = ¼ jadi x + y =
64
 x + y + xy = 11

40. Tentukan penyelesaian (x,y,z) dari sistem persamaan :  y + z + yz = 14
 z + x + zx = 19

Jawab :

11 − x
x+ 1
19 − x
x + zx = 19 ⇔ z =
x+ 1
11 − x 19 − x
z + yz = 14 ⇒
+
+
x+ 1
x+ 1
3 ⇒ y = 2, z = 4
− 5 ⇒ y = − 4, z = − 6

x + y + xy = 11 ⇔ y =
z+
y+
x=
x=

 11 − x   19 − x 
2


 = 14 ⇔ x + 2 x − 15 = 0
 x + 1  x + 1 

41. Jika x, y, z adalah bilangan real yang memenuhipersamaan :
x+ y+ z = 1
x2 + y 2 + z 2 = 2
x3 + y 3 + z 3 = 3
Maka tentukan nilai x 4 + y 4 + z 4 !
Jawab :
( x + y + z ) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2( xy + xz + yz) ⇔
1
xy + xz + yz = −
2

12 = 2 + 2( xy + xz + yz )
(x +

y + z ) 3= x 3 + y 3 + z 3 + 3( xy + xz + yz )( x + y + z ) − 3xyz
1
1
13 = 3 + 3(− ).1 − 3xyz ⇔ xyz =
2
6
2
2
2 2
4
4
4
2 2
x + y + z = x + y + z + 2( x y + x 2 z 2 + y 2 z 2 )

(

)

[

= x 4 + y 4 + z 4 + 2 ( xy ) + ( xz ) 2 + ( yz ) 2
2

]

= x 4 + y 4 + z 4 + 2[ ( xy + xz + yz ) − 2 xyz ( x + y + z )]

 1
1 
2 2 = x 4 + y 4 + z 4 + 2  −  2 − 2. .1
6 
 2
1
x4 + y 4 + z 4 = 4
6
42. Diketahui f ( x ) = ( x + 3) − 12( x + 3)3 + 54( x + 3) 2 − 108( x + 3) + 81 . Tulislah f(x) dalam bentuk
4

yang paling sederhana dan tentukan f(2005)!
Jawab :
4
4
3
2
x 4 = [ ( x + 3) − 3] = ( x + 3) − 4( x + 3) .3 + 6( x + 3) .32 − 4( x + 3).33 + 34
= ( x + 3) − 12( x + 3)3 + 54( x + 3) 2 − 108( x + 3) + 81
4

= x4
f ( 2005) = 20054
43. Tentukan nilai x, y, z yang memenuhipersamaan

xy
1
= ,
x+ y 2

Jawab :
xy
1
x+ y
1 1
= ⇔
= 2⇔
+ = 2 ⇒ a + b = 2 ....(1)
x+ y 2
xy
x y
yz
1
y+ z
1 1
= ⇔
= 3⇔
+ = 3 ⇒ b + c = 3 ....(2)
y+ z 3
yz
y z
zx
1
z+ x
1 1
= ⇔
= 7⇔
+ = 7 ⇒ a + c = 7 ....(3)
z+ x 7
zx
x z
Dari (1), (2) dan (3) didapat :
1
1
a= 3= ⇔ x=
x
3
1
b = −1=
⇔ y = −1
y
1
1
c= 4= ⇔ z=
z
4



44. Tentukanlah nilai dari  1 −

1
1
1 
1 
  1 −   1 −  .... 1 −
 !
2
3
4 
2004 

Jawab :
1 2 3
2002 2003
1
. . .......
.
=
2 3 4
2003 2004 2004
45. Tentukan nilai dari

1
1
1
1
+
+
+ ...... +
!
1.2 2.3 3.4
2004.2005

Jawab :
1
1
1
= −
k (k + 1) k k + 1

yz
1
= ,
y+ z 3

zx
1
=
z+ x 7
1 1  1 1
1 
1
1
1
1
 1 1
 1
−
+
+
+ ...... +

=  −  + ( − ) +  −  + ..... + 
2 3  3 4
1.2 2.3 3.4
2004.2005  1 2 
 2004 2005 
1
2004
= 1−
=
2005 2005
46. Tentukan nilai dari

1
+
1+ 2

1
+
2+ 3

1
+ .... +
3+ 4

1
!
9999 + 10000

Jawab :
1
1
1
1
+
+
+ .... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
9999 + 10000
= − 1 + 2 + − 2 + 3 + − 3 + 4 + ..... + − 9999 + 10000 = − 1 +

(

) (

57
= a+
17
b+
47. Jika

) (

)

(

)

10000 = 99

1
1
1
c+
d+1

maka tentukan nilai a x b x c x d !

Jawab :
57
6
1
1
1
1
1
= 3+
= 3+
= 3+
= 3+
= 3+
= 3+
17
5
1
1
1
17
17
2+
2+
2+
2+
6
1
1
6
6
1+
1+
5
5
4+ 1
Jadi a = 3, b = 2, c = 1 dan d = 4
Sehingga a x b x c x d = 3.2.1.4 = 24
2005 yz + 2005 zx + 2005 xy
x + 2 y 2 y + 3z 3z + x
=
=
maka tentukan nilai dari
!
x2 + y 2 + z 2
6
10
8
Jawab :
10 x + 20 y = 12 y + 18 z ⇔ 5 x + 4 y − 9 z = 0 .......(1)
8 x + 16 y = 18 z + 6 x ⇔ x + 8 y − 9 z = 0 ........(2)
16 y + 24 z = 30 z + 10 x ⇔ 5 x − 8 y + 3z = 0 ........(3)
dari (1), (2) dan (3) didapat x = y = z
2005 yz + 2005 zx + 2005 xy 2005 x 2 + x 2 + x 2
=
= 2005
x2 + y 2 + z 2
x2 + x2 + x2

47. Jika

(

)

48. Diketahui:
1 1 1 1
1
1
A = 1 − + − + − ..... +
−
2 3 4 5
2003 2004
1
1
1
1
B=
+
+
+ ..... +
1003 1004 1005
2004
2
2
Maka hitunglah nilai dari A − B !
Jawab :
1 1 1 1
1
1
A = 1 − + − + − ..... +
−
2 3 4 5
2003 2004
1 1
1 
1 

1 1 1
=  1 + + + .... +
 − 2 + + + ..... +

2 3
2004 
2004 

2 4 6
1 1
1  
1 1
1 

=  1 + + + .... +
 −  1 + + + .... +

2 3
2004  
2 3
1002 

1
1
1
=
+
+ ...... +
1003 1004
2004
Jadi A = B maka A2 − B 2 = 0
50. Buktikan bahwa

1 1 1
1
+ + + ..... +
< 2 !
1! 2! 3!
2005!

Jawab :
1 1 1
1
1 1
1
1
+ + + ..... +
< 1 + 2 + 3 + .... + 2004 =
1! 2! 3!
2005! 2 2
2
2
2004

 1
 
 2
1
1−
2

1
(1 −
2

2004

)

 1
= 1−  
 2

2004

 1
 1
Karena  
> 0 maka 1 −  
<1
 2
 2
1 1 1
1
Jadi + + + ..... +
< 1+ 1 = 2
1! 2! 3!
2005!
51. Tentukan nilai dari

1
e

− 2005

+1

+

1
e

− 2004

+1

+ .... +

1
1
1
+ .... + 2004
+ 2005
2
e +1 e +1

Jawab :
1
1
e x + e− x + 2
+
=
=1
e− x + 1 e x + 1 e x + e− x + 2
1
1
1
1
1
+ − 2004
+ .... + + .... + 2004
+ 2005
− 2005
e
+1 e
+1
2
e +1 e +1
1
1  
1
1 
1

=  − 2005
+ 2005
+ 2004
 +  − 2004
 + ...... + 0
+ 1 e + 1  e
+ 1 e + 1
e +1
e
1
= 1 + 1 + 1 + ...... + 1 +
1+ 1
1
= 2005
2
52. Diketahuia, b, c, d adalah bilanganbilangan real yang memenuhipersamaan :
a + 4b + 9c + 16d = 52 ………….(1)
4a + 9b + 16c + 25d = 150 ………..(2)
9a + 16b + 25c + 36d = 800 ………(3)
Tentukan nilai dari 16a + 25b + 36c + 49d !
Jawab :
( n + 3) 2 − 3( n + 2) 2 + 3( n + 1) 2 − n 2 = 0

( n + 3) 2 = 3( n + 2) 2 − 3( n + 1) 2 + n 2
(1 + 3) 2 a = 3(1 + 2) 2 a − 3(1 + 1) 2 a + 12.a ⇔ 27a − 12a + a = 16a
( 2 + 3) 2 b = 3( 2 + 2) 2 b − 3( 2 + 1) 2 b + 22.b ⇔ 48b − 27b + 4b = 25b
Pers.(3) x3 ⇒ 27a + 48b + 75c + 108d = 2400
Pers.(2) x3 ⇒ 12a + 27b + 48c + 75d = 450
-

Persa.(1)x1⇒

15a + 21b + 27c + 33d = 1950
a + 4b + 9c + 16d = 52
+
16a + 25b + 36c + 49d = 2002

1+

2004
maka tentukan nilai dari :
2
a ) 4 x 3 − 2007 x − 2000

53.Jika x =

b) 4 x 2005 − 4 x 2004 − 2003 x 2003

2004
Jawab :
1+
a) x =

2004
⇔ 4 x 2 = 4 x + 2003 ⇒ 4 x 3 = 4 x 2 + 2003 x
2
3
4 x − 2007 x − 2000 = 4 x 2 + 2003x − 2007 x − 2000 = 4 x 2 − 4 x − 2000
= 4 x + 2003 − 4 x − 2000 = 3

b) 4 x 2 − 4 x + 1 = 2004 ⇔ 4 x 2 − 4 x − 2003 = 0

.x 2003

4 x 2005 − 4 x 2004 − 2003x 2003 = 0

54.Jika a dan b adalah bilangan real yang memenuhipersamaan :
1
+ a + b = 11
ab
2
a 2b 2 ( a + b ) = 61a 2b 2 − 1
1 1
Tentukan nilai dari +
!
a b
Jawab :
1
= x dan a + b = y
Misal
ab
1
+ a + b = 11 ⇒ x + y = 11 ......(1)
ab
1
61 x 2
a 2b 2 (a + b) 2 = 61a 2b 2 − 1 ⇒ 2 . y 2 = 2 − 2 ⇔ y 2 = 61 − x 2 .....(2)
x
x
x
Dari (1) dan (2) didapat :
1
1
i) x = 6 =
⇔ ab =
ab
6
y = 5= a+ b
1 1 a+ b 5
+ =
=
= 30
1
a b
ab
6
1
1
ii ) x = 5 =
⇔ ab =
ab
5
y = 6= a+ b
1 1 a+ b 6
+ =
=
= 30
1
a b
ab
5
55. Buktikan bahwa jika suatu bilangan kelipatan 9 maka jumlah angka-angkanya pasti kelipatan 9 !
Jawab :
abcd = 1000a + 100b + 10c + d = 999a + a + 9b + b + 9c + c + d
= 999a + 99b + 9c + (a+ b + c + d)
= 9(111a + 11b + c) + (a + b + c + d)
a + b + c + d = abcd – 9(111a + 11b + c)
Karena abcd kelipatan 9 maka a + b + c + d kelipatan 9.
56. Diketahuibilangan asli berurutan a, b, c , d. buktikan bahwa ab + ac + ad + bc + bd + cd + 1 habis
dibagi 12
Jawab :
Hasil kali 2 bilangan asli berurutan pasti bilangan genap (kelipatan 2)
Misal a = x, b = x + 1, c = x + 2 dan d = x + 3
ab + ac + ad + bc + bd + cd + 1
=x(x+1)+x(x+2)+x(x+3)+(x+1)(x+2)+(x+1)(x+3)+(x+2)(x+3)+1
=x 2 +x+x 2 +2x+x 2 +3x+x 2 +3x+2+x 2 +4x+3+x 2 +5x+6+1
=6x 2 +6x+12x+12
=6x(x+1)+ 12(x+1)
Karena x(x+1)kelipatan 2 maka 6x(x+1)kelipatan 12
Jadi soal kelipatan 12.
57. Buktikan bahwa semua bilangan asli yang terdiridari 6 digit angka berbentuk abcabc selalu habis dibagi
91 !
Bukti :
abcabc = 100.000a + 10.000b + 1.000c + 100a + 10b + c
= 100100a + 10010b+ 1001c
= 1001x 100a + 1001x 10b + 1001c
= (91 x 11) x 100a + (91 x 11) x 10b + (91 x 11)c
Jadi abcabc habis dibagi 91.
58. Jika a, b, c bilangan real positif dan a + b + c = 1, buktikan bahwa (1 - a)(1 – b)(1 – c)≥ 8 abc !
Jawab :
a+ b+ c = 1
a + b = 1− c
b + c = 1− a
a + c = 1− b
a + b ≥ 2 ab ....(1)
b + c ≥ 2 bc ....(2)
a + c ≥ 2 ac ....(3)
Jika (1) x( 2) x (3) maka :

( a + b )( b + c )( a + c ) ≥ 8 a 2b 2c 2
(1 − a ) (1 − b)(1 − c) ≥ 8abc
59. Jika A = 1 + (1+2)+ (1+2+4)+ (1+2+4+8)+ …..+(1+2+4+…..+2n − 1 ) maka tentukan rumus untuk nilai A
!
Jawab :
n
 i k− 1 
1 + (1+2)+ (1+2+4)+ (1+2+4+8)+ …..+(1+2+4+…..+2n − 1 ) = ∑  ∑ 2 
i= 1  k = 1

i
1(2 − 1)
Karena 1+2+4+……. Si =
⇒
= 2i − 1 maka :
2− 1
1 + (1+2)+ (1+2+4)+ (1+2+4+8)+ …..+(1+2+4+…..+2n − 1 )
n

=∑ 2 − 1 =
i

i= 1

n

∑

n

∑

i= 1

∑

n

i= 1
n

∑ 1= ∑

2i = 2 + 4 + 8 + ..... =

i= 1
n

n

i= 1

2 −
i

2i − n

2(2 − 1)
= 2n + 1 − 2
2− 1

2i − 1 = 2n + 1 − 2 − n = 2n + 1 − (n + 2)

i= 1

60. Jika a, b dan c bilangan real positif, buktikan bahwa a 2b + ab 2 + b 2c + bc 2 + a 2c + ac 2 ≥ 6abc !
Jawab :
a 2 + c 2 ≥ 2ac .b ⇒ a 2b + bc 2 ≥ 2abc ....(1)
b 2 + c 2 ≥ 2bc

.a ⇒ ab 2 + ac 2 ≥ 2abc ....(2)

a 2 + b 2 ≥ 2ab

.c ⇒ a 2c + b 2c ≥ 2abc ....(3)

Jika (1) + (2) + (3) maka a 2b + ab 2 + b 2c + bc 2 + a 2c + ac 2 ≥ 6abc
61. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikutjika diketahui a, b, c, d bilangan real.
abc + ab + bc + ca + a + b + c = 1 …. (1)
bcd + bc + cd + db + b + c + d = 9 …. (2)
cda + cd + da + ac + c + d + a = 9 …. (3)
dab + da + ab + bd + d + a + b = 9 …. (4)
Jawab :
Jika pers (1), (2), (3) dan (4) semua masing-masing ruas di tambah 1, maka didapat :
(a + 1)(b + 1)(c + 1) = 2
(b + 1)(c + 1)(d + 1) = 10
(a + 1)(c + 1)(d + 1) = 10
(a + 1)(b + 1)(d + 1) = 10
x
3
[ ( a + 1) (b + 1)(c + 1)(d + 1)] = 2000

( a + 1) (b + 1)(c + 1)(d + 1) =

103 2

2 (d + 1) = 103 2 ⇔ d = 53 2 − 1
10 (a + 1) = 103 2 ⇔ a =

3

2−1

10 (b + 1) = 103 2 ⇔ b =

3

2−1

10 (c + 1) = 10 2 ⇔ c =

3

2−1

3

62. Jika a dan b bilangan real dan

a a + 10b
a
+
= 2 maka tentukan nilai
!
b b + 10a
b

Jawab :
a
+ 10
a a + 10b
a b
 a
 a
+
= 2 ⇔
+
= 2 ⇔ 5   2− 9   + 4 = 0
b b + 10a
b 1 + 10 a
 b
 b
b
a 4
a
 a
 a
⇔  5 − 4  ( − 1) = 0 ⇒
= atau = 1
b 5
b
 b
 b
63. Jika a, b, c dan d real positif dan berlaku

a c
a a+ c c
<
<
maka buktikan bahwa <
b d
b b+ d d

Jawab :
ab + ad < ab + bc
ad + cd < bc + cd
a (b + d ) < b(a + c)
d (a + c) < c(b + d )
a a+ c
a+ c c
<
......(1)
< ........(2)
b b+ d
b+ d d
a a+ c c
Dari (1) dan (2) : <
<
b b+ d d
64. Buktikan bahwa untukn bilangan bulat maka n3 + 2n selalu habis dibagi 3 !
Jawab :
n3 + 2n = n(n 2 + 2) = n(n 2 − 1 + 3 = n(n 2 − 1) + 3n = (n − 1)n(n + 1) + 3n
Karena (n-1)n(n+1)merupakan 3 bilangan berurutan maka (n-1)n(n+1)habis dibagi 3, jadi n3 + 2n
habis dibagi 3.
65. Tentukan nilai x, y, z bilangan real yang memenuhipersamaan :
x 2 + 2 yz = x ....(1)
y 2 + 2 zx = y ....(2)
z 2 + 2 xy = z ....(3)
Jawab :
Jika pers (1) kali x, pers (2) kali y dan pers (3) kali z maka didapat :
x 3 + 2 xyz = x 2
y 3 + 2 xyz = y 2
z 3 + 2 xyz = z 2
Dengan mengeliminasi 2xyz maka didapat x = y = z
1
x 2 + 2 yz = x ⇒ x 2 + 2 x.x = x ⇒ x = = y = z
3
a b c
2003a + 2004b + 2005c
66. Jika a, b, c real positif sedemikian sehingga = =
tentukan nilai dari
b c d
3a + 2b + c
Jawab :
a b c
= =
maka a = b = c
b c d
2003a + 2004b + 2005c
2003a + 2004a + 2005a
⇒
= 1002
3a + 2b + c
3a + 2a + a
67. Buktikan bahwa untukn bilangan asli yang lebih dari 1 maka n5 − n habis dibagi 30 !
Jawab :
n5 − n = ( n − 1) n(n + 1)(n 2 + 1
(n-1)n(n+1)habis dibagi 6.
Bilangan yang habis dibagi 5 sellau berujung 5 atau 0.
n5 − n = n n 2 − n (n 2 + 1)
Untukn = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 selalu berujung 0 atau 5, jadi habis dibagi 5.
Sehingga n5 − n habis dibagi 6 x 5 = 30

(

)

68. Buktikan bahwa 1110 − 1 habis dibagi 100 !
Bukti :
1110 − 1 = (10 + 1)10 − 1 = 1010 + 10.109 + 45.108 + 120.107 + 210.106 + 252.105 + 210.10 4 +
120.103 + 45.102 + 10.101 + 1 − 1
Habis dibagi 100.
69. Tentukan nilai positif x, y, z dari persamaan :
2
log x + 4 log y + 4 log z = 2 ....(1)
3

log y + 9 log z + 9 log x = 2 ....(2)

log z + 16 log x + 16 log y = 2 ....(3)
Jawab :
2
log x + 4 log y + 4 log z = 2⇔ 4 log x 2 + 4 log y + 4 log z = 4 log16 ⇒ x 2 yz = 16 ...(1)
4

3

log y + 9 log z + 9 log x = 2⇔ 9 log y 2 + 9 log z + 9 log x = 9 log 81 ⇒ y 2 zx = 81 ...(2)

4

log z + 16 log x + 16 log y = 2⇔

(1) x(2) x(3) ⇒

( xyz ) 4 =

16

log z 2 + 16 log x + 16 log y = 16 log 256 ⇒ z 2 xy = 256 ...(3)

16.81.256 ⇒

xyz = 24
2
x 2 yz = 16 ⇔ x.xyz = 16 ⇒ x.24 = 16 ⇔ x =
3
27
y 2 zx = 81 ⇔ y.xyz = 81 ⇒ y.24 = 81 ⇔ y =
8
z 2 xy = 256 ⇔ z.xyz = 256 ⇒ z.24 = 256 ⇔ z =

32
3
70. Diketahuia+b+c+d=0dan a.b.c.d ≠ 0. Buktikan bahwa :
a 3 + b 3 + c 3 + d 3 2 = 9( abc + abd + acd + bcd ) 2
Bukti :
a + b + c + d = 0 ⇔ a + b = − (c + d )

(

)

a 3 + b3 = ( a + b) 3− 3ab(a + b)
= − (c + d ) 3+ 3ab(c + d )
a 3 + b3 = − c 3 − d 3 − 3cd (c + d ) + 3abc + 3abd
a 3 + b3 + c 3 + d 3 = 3cd (a + b) + 3abc + 3abd = 3(acd + bcd + abc + abd )
(a 3 + b3 + c 3 + d 3 ) 2 = 9(acd + bcd + abc + abd ) 2
71. Diketahuix dan y adalah bilangan real dengan ketentuan 1 < y < 2 dan x − y + 1 = 0 . Tentukan nilai
dari 4 x 2 + 4 y − 3 + 2 y 2 − 6 x − 2 y + 10
Jawab :
x = y – 1 disubstitusikan ke 4 x 2 + 4 y − 3 + 2 y 2 − 6 x − 2 y + 10 maka akan didapat :

( 2 y − 1) 2 +

2 ( y − 4) 2 = 2 y − 1 + 2 y − 4
Karena 1 < y < 2 maka :
2y − 1 = 2y − 1
y − 4 = − ( y − 4)
Jadi 2 y − 1 − 2( y − 4) = 7
72. Sebuah bilangan terdiridari 3 digit. Bilangan itu habis dibagi 12 dan hasil baginya adalah jumlah angkaangkanya. Tentukan bilangan itu !
Jawab :
1
100a+10b+c=12(a+b+c) ⇔ 44a = 5 c + b
2
c yang mungkinadalah bilangan genap yaitu 8
1
44a = 5 .8 + b atau b = 44a – 44 maka a = 1 dan b = 0
2
Jadi bilangan itu adalah 108
73. Dalam segitiga ABC, buktikan bahwa sin

1
1
1
1
A sin B sin C ≤
!
2
2
2
8

Bukti :
b2 + c2 − a 2
1
1 − cos A
a 2 − (b − c) 2
2bc
sin 2 A =
=
=
2
2
2
4bc
2
2
2
2
Karena (b − c) ≥ 0 maka a − (b − c ) ≤ a .
1−

1
a2
1
b2
1
c2
A≤
akibatnya sin 2 B ≤
dan sin 2 C ≤
2
4bc
2
4ac
2
4ab
2
2
2
1
1
1
a b
c
sin 2 A.sin 2 B.sin 2 C ≤
.
.
2
2
2
4bc 4ac 4ab
Sehingga sin 2

1
1
1
sin A.sin B.sin C ≤
2
2
2

a 2b 2 c 2
1
=
2 2 2
64a b c
8
74. Dalam segitiga ABC, buktikan bahwa cos A cos B cos C ≤

1
!
8

Bukti :
Karena b 2 − c 2 2≥ 0 maka a 4 − (b 2 − c 2 ) 2 ≤ a 4
a 2 + (b 2 − c 2 ) a 2 − (b 2 − c 2 ) ≤ a 4

[

(

)
][

( 2ab cos C ) (2ac cos B) ≤

]

a

4

a
c2
b2
akibatnya cos A cos B ≤
dan cos A cos C ≤
4bc
4ab
4ac
2
2
2
c
b a
cos A cos B. cos A cos C. cos B cos C ≤
.
.
4ab 4ac 4bc
cos B cos C ≤

2

cos A cos B cos C ≤

a 2b 2 c 2
1
=
2 2 2
64a b c
8

75. Jika A, B, C sudut-sudut pada segitiga ABC, buktikan bahwa sin A + sin B + sin C ≤

3
3 !
2

Bukti :
1
1
sin A + sin B = 2 sin ( A + B ) cos ( A − B )
2
2
1
1
Karena cos ( A − B) ≤ 1 maka sin A + sin B ≤ 2 sin ( A + B) ...(1)
2
2
1
Sehingga sin C + sin 60 ≤ 2 sin (C + 60 ) ......(2)
2
Jika pers.(1) + ( 2) maka :

1
1
1
1

3 ≤ 2 sin( A + B) + sin  C + 30  


2
2
2
2


1
1
1
sin A + sin B + sin C +
3 ≤ 2(2 sin ( A + B + C + 60 ) cos ( A + B − C − 60 ))
2
4
4
1
Karena cos ( A + B − C − 60 ) ≤ 1 maka :
4
1
1
sin A + sin B + sin C +
3 ≤ 4 sin (180 + 60 )
2
4
1
1
3
sin A + sin B + sin C ≤ 4. 3 −
3=
3
2
2
2
sin A + sin B + sin C +

1
1
1
1
1
1
76. Pada segitiga ABC, buktikan bahwa tan A tan B + tan A tan C + tan B tan C = 1
2
2
2
2
2
2
Bukti :
1
1
1
1
1
1
sin A sin B sin A sin C sin B sin C
2
2 +
2
2 +
2
2
1
1
1
1
1
1
cos A cos B cos A cos C cos B cos C
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
sin A sin B cos C + sin A sin C cos B + sin B sin C cos A
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
1
1
1
cos A cos B cos C
2
2
2
1
1
1
1
1
1
sin A sin( B + C ) + sin B sin C cos A
2
2
2
2
2
2
=
1
1
1
cos A cos B cos C
2
2
2
=

=

=

=

=

=

(

)

1
1
1
1
1
A sin 180 − A + sin B sin C cos A
2
2
2
2
2
1
1
1
cos A cos B cos C
2
2
2
1
1
1
1
1
sin A cos A + sin B sin C cos A
2
2
2
2
2
1
1
1
cos A cos B cos C
2
2
2
1
1
1
sin A + sin B sin C
2
2
2
1
1
cos B cos C
2
2
1
1
1
sin 180 − ( B + C ) + sin B sin C
2
2
2
1
1
cos B cos C
2
2
1 
1
1
1
cos B + C  + sin B sin C
2 
2
2
2
1
1
cos B cos C
2
2
1
1
1
1
1
1
cos B cos C − sin B sin C + sin B sin C
2
2
2
2
2
2 =1
1
1
cos B cos C
2
2
sin

(

)

77. Jika A, B, C adalah sudut-sudut dalam segitiga ABC, buktikan bahwa :
1
1
1
1
1
1
tan A tan B + 8 + tan B tan C + 8 + tan A tan C + 8 ≤ 5 3
2
2
2
2
2
2
Bukti :
a + b + c 2 = a + b + c + 2 ab + 2 ac + 2 bc

(

)

( a+
a+

b+
b+

c ) 2≤ a + b + c + a + b + a + c + b + c = 3( a + b + c )
c≤

3( a + b + c )

1
1
tan A tan B + 8 +
2
2

1
1
tan B tan C + 8 +
2
2

1
1
tan A tan C + 8
2
2

≤

1
1
1
1
1
1


3 tan A tan B + tan A tan C + tan B tan C + 24 
2
2
2
2
2
2



=

3(1 + 24) = 5 3

78. Buktikan bahwa cos

π
3π
5π
2003π
1
+ cos
+ cos
+ ..... + cos
=
2005
2005
2005
2005
2

Bukti :

π
π
2π
sin
= sin
− 0
2005
2005
2005
3π
π
4π
2π
2 cos
sin
= sin
− sin
2005
2005
2005
2005
5π
π
6π
4π
2 cos
sin
= sin
− sin
2005
2005
2005
2005
.......
2003π
π
2004π
2002π
2 cos
sin
= sin
− sin
2005
2005
2005
2005
2 cos

+
π
π
3π
5π
2003π
2004π
(cos
+ cos
+ cos
+ ...... + cos
) = sin
2005
2005
2005
2005
2005
2005
π 

2004π
sin  π −

sin
π
3π
5π
2003π
1
2005  1
2005 = 1 
cos
+ cos
+ cos
+ ...... + cos
=
=
2005
2005
2005
2005
2 sin π
2 sin π
2
2005
2005
2 sin

79. Buktikan bahwa cos ec 10 + cos ec 50 − cos ec 70 = 6
Bukti :
1
1
1
+
−
cos ec 10 + cos ec 50 − cos ec 70 =


sin 10 sin 50 sin 70
sin 70 sin 50 + sin 70 sin 10 − sin 50 sin 10
=
sin 70 sin 50 sin 10
1
− (cos120 − cos 20 + cos 80 − cos 60 − cos 60 + cos 40
= 2
1
− (cos120 − cos 20 ) sin 10
2
3
− + cos 80 + cos 40 − cos 20
= 2
1
1
− sin 10 − (sin 30 − sin 10 )
2
2
3
− + 2 cos 60 cos 20 − cos 20
= 2
1
1 1
− sin 10 − + sin 10
2
4 2
3
−
= 2 = 6
1
−
4
80. Pada segitiga ABC, buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C !
Bukti :
sin A sin B sin C sin A cos B cos C + sin B cos A cos C + sin C cos A cos B
+
+
=
cos A cos B cos C
cos A cos B cos C
cos C (sin A cos B + cos A sin B ) + sin C cos A cos B
=
cos A cos B cos C
cos C sin( A + B) + sin C cos A cos B
=
cos A cos B cos C
cos c sin C + sin C cos A cos B
=
cos A cos B cos C
sin C (cos C + cos A cos B )
=
cos A cos B cos C
sin C (cos A cos B − cos( A + B ))
=
cos A cos B cos C
sin C (cos A cos B − cos A cos B + sin A sin B )
=
cos A cos B cos C
sin A sin B sin C
=
= tan A tan B tan C
cos A cos B cos C
81. Jika A, B, C sudut-sudut pada segitiga ABC, buktikan bahwa tan A tan B tan C ≥ 3 3 !
Bukti :
a + b + c ≥ 3 3 abc
tan A + tan B + tan C ≥ 3 3 tan A tan B tan C
tan A tan B tan C ≥ 3 3 tan A tan B tan C
(tan A tan B tan C ) 3≥ 27 tan A tan B tan C
(tan A tan B tan C ) 2≥ 27
tan A tan B tan C ≥ 3 3
1
1
1
82. Dalam segitiga ABC, buktikan bahwa sin A + sin B + sin C = 4 cos A cos B cos C !
2
2
2
Bukti :
sin A + sin B + sin C = 2 sin ( 1 A + 1 B ) cos( 1 A − 1 B ) + 2 sin 1 C cos 1 C
2
2
2
2
2
2
= 2 sin 1 (180 − C )(cos 1 A cos 1 B + sin 1 A sin 1 B ) + 2 sin 1 C cos 1 C
2
2
2
2
2
2
2
= 2 cos 1 C (cos 1 A cos 1 B + sin 1 A sin 1 B ) + 2 sin 1 C cos 1 C
2
2
2
2
2
2
2
= 2 cos 1 A cos 1 B cos 1 C + 2 cos 1 C sin 1 A sin 1 B ) + 2 sin 1 C cos 1 C
2
2
2
2
2
2
2
2
= 2 cos 1 A cos 1 B cos 1 C + 2 cos 1 C (sin 1 A sin 1 B + sin 1 C )
2
2
2
2
2
2
2
= 2 cos 1 A cos 1 B cos 1 C + 2 cos 1 C (sin 1 A sin 1 B + sin 1 (180 − ( A + B ))
2
2
2
2
2
2
2
= 2 cos 1 A cos 1 B cos 1 C + 2 cos 1 C (sin 1 A sin 1 B + cos( 1 A +
2
2
2
2
2
2
2

1
2

B ))

= 2 cos 1 A cos 1 B cos 1 C + 2 cos 1 C (sin 1 A sin 1 B + cos 1 A cos 1 B − sin 1 A sin 1 B )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
= 2 cos 1 A cos 1 B cos 1 C + 2 cos 1 A cos 1 B cos 1 C
2
2
2
2
2
2
= 4 cos 1 A cos 1 B cos 1 C
2
2
2
83. Jika A, B, C sudut-sudut pada segitiga ABC, buktikan bahwa
cos ecA + cos ecB + cos ecC ≥ 9 sec 1 A sec 1 B sec 1 C
4
2
2
2
Bukti :
Arithmetic Mean ≥ HarmonikMean
a+ b+ c
3
 1 1 1
≥
⇔ ( a + b + c)  + +  ≥ 9
1 1 1
3
 a b c
+ +
a b c
(sin A + sin B + sin C )(cos ec A + cos ec B + cos ec C ) ≥ 9
9
cos ec A + cos ec B + cos ec C ≥
sin A + sin B + sin C
9
cos ec A + cos ec B + cos ec C ≥
1
4 cos 2 A cos 1 B cos 1 C
2
2
cos ec A + cos ec B + cos ec C ≥

9
4

sec 1 A sec 1 B sec 1 C
2
2
2

84. Buktikan bahwa ( a + b − c ) (b + c − a )(c + a − b) ≤ abc
Bukti :
Karena ( b − c ) 2≥ 0 maka a 2 − ( b − c ) 2≤ a 2
Karena ( c − a ) 2≥ 0 maka b 2 − ( c − a ) 2≤ b 2
Karena ( a − b ) 2≥ 0 maka c 2 − ( a − b ) 2≤ c 2

( a − ( b − c ) )( b − ( c − a ) )( c − ( a − b ) ) ≤
2

(a +
(a +

2

2

2

2

2

a 2b 2 c 2

b − c ) (a − b + c)(b + c − a)(b − c + a )(c + a − b)(c − a + b) ≤ ( abc ) 2
b − c ) (b + c − a )(c + a − b) ≤ abc
85. Jika a, b, c sisi-sisi segitiga ABC, buktikan bahwa ( a + b + c ) ( ab + bc + ca) ≥ 9abc !
Bukti :
( a + b + c )( ab + bc + ca ) = a 2b + abc + a 2c + ab2 + b 2c + abc + abc + bc 2 + ac 2

(

) (

) (

= 3abc + a 2b + bc 2 + b 2c + a 2c + ac 2 + ab 2

)

≥ 3abc + 2 a 2b.bc 2 + 2 b 2c.a 2c + 2 ac 2 .ab 2 = 3abc + 2(abc + abc + abc ) = 9abc
86. Jika x bilangan real positif, buktikan bahwa x

2003

+ x 2001 + x1999 + ..... +

1
1999

x

+

1
x

2001

+

1
x

2003

≥ 2004

Bukti :
x 2003 +

1
x

2003

≥ 2 x 2003 .

1
x

2003

= 2

1   2001
1 
 2003
 1 1
 x + 2003  +  x + 2001  + .... +  x + 1  ≥ 2 + 2 + ....... + 2 = 2.1002 = 2004
x  
x 
x 


87. Dalam segitiga ABC jika a 2 = b 2 + c 2 + bc maka tentukan β + γ !
Jawab :
a 2 = b 2 + c 2 + bc = b 2 + c 2 − 2bc cosα ⇒ cosα = − 1 ⇔ α = 120
2

β + γ = 180 − α = 60
88. Dalam segitiga ABC berlaku c 2 = ( a cosα − b sin α ) 2 + ( a sin α + b cosα ) 2. Tentukan besarnya sudut
C!
Jawab :
c 2 = a 2 cos 2 α − 2ab sin α cosα + b 2 sin 2 α + a 2 sin 2 α + 2ab sin α cosα + b 2 cos 2 α
c 2 = a 2 (cos 2 α + sin 2 α ) + b 2 (cos 2 α + sin 2 α )
c 2 = a 2 + b2

⇒

∠ C = 90

89. Tentukan nilai sin 2 15 + sin 2 15 cos 2 15 + sin 2 15 cos 4 15 + sin 2 15 cos6 15 + .......
Jawab :
1
sin 2 15 (1 + cos 2 15 + cos 4 15 + cos 6 15 + .....) = sin 2 15.
=1
1 − cos 2 15
90. Sebuah balok luas alasnya 96 cm 2 , luas sisi depannya 72 cm 2 dan luas sisi sampingnya 48 cm 2 .
Tentukan volume balok !
Jawab :
96t
pl = 96 dan pt = 72 maka l =
72
96 t
.t = 48 ⇒ t = 6 ⇒ l = 8 dan p = 12
lt = 48 atau
72
V = p l t = 12.8.6=576
91. Sebuah balok mempunyai perbandingan ukuranp : l : t = 6 : 3 : 2. Jika panjang diagonal ruangnya 28
cm, tentukan volume balok !
Jawab :
Misal p =6x, l = 3x dan l = 2x maka 282 = ( 6 x ) 2 + (3 x) 2 + ( 2 x) 2 ⇒ x = 4
Jadi V = p l t = 24.12.8 = 2304 cm 2
92.
C

Tentukan luas segitiga ABC !

4x+5
x+2
A

B
4x+4

Jawab :
( 4 x + 5) 2 = ( 4 x + 4) 2 + ( x + 2) 2
1
L = (4.5 + 4)(5 + 2) = 84
2

⇒

x= 5

93. Tentukan jumlah angka-angka dari 1025 − 25 !
Jawab :
1025 − 25 = 1000.....000 − 25 = 999 …. 99975
25 angka
23 angka
Jadi jumlah angka-angkanya = 9.23+7+5= 219
94. Jika f(1) = 5 dan f(x+1)= 2f(x)maka tentukan f(7) !
Jawab :
f(1) = 5
f(2) = 2f(1)= 10
f(3) = 2f(2)= 20
f(4) = 2f(3)= 40
….
Jadi 5, 10, 20, 40, …. Berupa barisan geometri dengan rasio = 2.
Sehingga f(7) = 5. 27 − 1 = 320
95. Empat bola berjari- sama yaitu 10 cm terletak di atas meja sedemikian sehingga pusat dari keempat
jari
bola membentukbujursangkar bersisi 20 cm. Bola kelima berjari- 10 cm diletakkan diatasnya
jari
sehingga bola tersebut menyinggung keempat bola pertama. Tinggi pusat bola kelima dari meja adalah
….
Jawab :
20 t

20
10

10
Dari atas

dari samping

(

)

h = t + 10 = 400 − 100 + 10 = 10 3 + 1

96. Pada lomba maraton tiap peserta diberi nomor urut 1, 2, 3, 4, ……dst. Banyaknya angka yang dipakai

untukmenulis nomorseluruhpeserta adalah 1998buah. Berapa banyak peserta maraton tersebut ?
Jawab :
Nomor 1 angka : 9 x 1 = 9 yaitu 1 – 9
Nomor 2 angka : 90 x 2 = 180 yaitu 10 – 99
Nomor 3 angka : 1998 – 189 = 1809
Banyaknya bilangan dengan 3 angka : 1809 : 3 = 603
Jadi banyak peserta = 603 + 9 + 90 = 702 peserta
Bank soal-olimpiade-matematika

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

52355877 1-soal-soal-perpangkatan-dan-bentuk-akar
52355877 1-soal-soal-perpangkatan-dan-bentuk-akar52355877 1-soal-soal-perpangkatan-dan-bentuk-akar
52355877 1-soal-soal-perpangkatan-dan-bentuk-akarsukartop
 
(8.3.1) soal dan pembahasan relasi fungsi, matematika sltp kelas 8
(8.3.1) soal dan pembahasan relasi fungsi, matematika sltp kelas 8(8.3.1) soal dan pembahasan relasi fungsi, matematika sltp kelas 8
(8.3.1) soal dan pembahasan relasi fungsi, matematika sltp kelas 8kreasi_cerdik
 
Soal osn 2012 smp dengan solusi
Soal osn 2012 smp dengan solusiSoal osn 2012 smp dengan solusi
Soal osn 2012 smp dengan solusiSalman58
 
Ppt persamaan kuadrat
Ppt persamaan kuadratPpt persamaan kuadrat
Ppt persamaan kuadratirmapuspita7
 
Ulangan harian matematika fpb kpk
Ulangan harian matematika fpb kpkUlangan harian matematika fpb kpk
Ulangan harian matematika fpb kpkAlive's Here
 
Soal Latihan Matematika Penilaian Akhir Semester Kelas VIII
Soal Latihan Matematika  Penilaian Akhir Semester Kelas VIII Soal Latihan Matematika  Penilaian Akhir Semester Kelas VIII
Soal Latihan Matematika Penilaian Akhir Semester Kelas VIII Soib Thea
 
(8.4.1) soal dan pembahasan nilai fungsi, matematika sltp kelas 8
(8.4.1) soal dan pembahasan nilai fungsi, matematika sltp kelas 8(8.4.1) soal dan pembahasan nilai fungsi, matematika sltp kelas 8
(8.4.1) soal dan pembahasan nilai fungsi, matematika sltp kelas 8kreasi_cerdik
 
Bahan Ajar Materi Bilangan Berpangkat K13 untuk Kelas VII SMP
Bahan Ajar Materi Bilangan Berpangkat K13 untuk Kelas VII SMPBahan Ajar Materi Bilangan Berpangkat K13 untuk Kelas VII SMP
Bahan Ajar Materi Bilangan Berpangkat K13 untuk Kelas VII SMPIra Marion
 
contoh soal latihan matematika relasi dan fungsi kelas 8 smp
contoh soal latihan matematika relasi dan fungsi kelas 8 smpcontoh soal latihan matematika relasi dan fungsi kelas 8 smp
contoh soal latihan matematika relasi dan fungsi kelas 8 smpHerizal Arman
 
Persamaan dan pertidaksaan nilai mutlak MATEMATIKA KELAS X
Persamaan dan pertidaksaan nilai mutlak MATEMATIKA KELAS XPersamaan dan pertidaksaan nilai mutlak MATEMATIKA KELAS X
Persamaan dan pertidaksaan nilai mutlak MATEMATIKA KELAS XAwanda Gita
 
Modul matematika-integral
Modul matematika-integral Modul matematika-integral
Modul matematika-integral Hardini_HD
 
LKPD Fungsi Kuadrat
LKPD Fungsi KuadratLKPD Fungsi Kuadrat
LKPD Fungsi KuadratErni Susanti
 
Persamaan dan pertidaksamaan linear satu variable fina yuanita
Persamaan dan pertidaksamaan linear satu  variable fina yuanitaPersamaan dan pertidaksamaan linear satu  variable fina yuanita
Persamaan dan pertidaksamaan linear satu variable fina yuanitaFina Yuanita
 
Pembahasan osn matematika smp 2012 pilihan ganda tingkat kabupaten
Pembahasan osn matematika smp 2012 pilihan ganda tingkat kabupatenPembahasan osn matematika smp 2012 pilihan ganda tingkat kabupaten
Pembahasan osn matematika smp 2012 pilihan ganda tingkat kabupatenSosuke Aizen
 
LKPD Soal Materi Bilangan Berpangkat Bulat Positif
LKPD Soal Materi Bilangan Berpangkat Bulat PositifLKPD Soal Materi Bilangan Berpangkat Bulat Positif
LKPD Soal Materi Bilangan Berpangkat Bulat PositifIra Marion
 
Materi olimpiade matematika sma (sman 1 batujajar)
Materi olimpiade matematika sma (sman 1 batujajar)Materi olimpiade matematika sma (sman 1 batujajar)
Materi olimpiade matematika sma (sman 1 batujajar)Reza Fahlevi
 
Rpp kd 3.3 konsep matriks dan operasi aljabar
Rpp kd 3.3 konsep matriks dan operasi aljabarRpp kd 3.3 konsep matriks dan operasi aljabar
Rpp kd 3.3 konsep matriks dan operasi aljabarAZLAN ANDARU
 

Was ist angesagt? (20)

52355877 1-soal-soal-perpangkatan-dan-bentuk-akar
52355877 1-soal-soal-perpangkatan-dan-bentuk-akar52355877 1-soal-soal-perpangkatan-dan-bentuk-akar
52355877 1-soal-soal-perpangkatan-dan-bentuk-akar
 
(8.3.1) soal dan pembahasan relasi fungsi, matematika sltp kelas 8
(8.3.1) soal dan pembahasan relasi fungsi, matematika sltp kelas 8(8.3.1) soal dan pembahasan relasi fungsi, matematika sltp kelas 8
(8.3.1) soal dan pembahasan relasi fungsi, matematika sltp kelas 8
 
Soal osn 2012 smp dengan solusi
Soal osn 2012 smp dengan solusiSoal osn 2012 smp dengan solusi
Soal osn 2012 smp dengan solusi
 
Ppt persamaan kuadrat
Ppt persamaan kuadratPpt persamaan kuadrat
Ppt persamaan kuadrat
 
Ulangan harian matematika fpb kpk
Ulangan harian matematika fpb kpkUlangan harian matematika fpb kpk
Ulangan harian matematika fpb kpk
 
Soal Latihan Matematika Penilaian Akhir Semester Kelas VIII
Soal Latihan Matematika  Penilaian Akhir Semester Kelas VIII Soal Latihan Matematika  Penilaian Akhir Semester Kelas VIII
Soal Latihan Matematika Penilaian Akhir Semester Kelas VIII
 
Kisi kisi soal - sma 11 - eka lismaya sari
Kisi kisi soal - sma 11 - eka lismaya sariKisi kisi soal - sma 11 - eka lismaya sari
Kisi kisi soal - sma 11 - eka lismaya sari
 
Persamaan Garis Lurus Dimensi 3
Persamaan Garis Lurus Dimensi 3Persamaan Garis Lurus Dimensi 3
Persamaan Garis Lurus Dimensi 3
 
(8.4.1) soal dan pembahasan nilai fungsi, matematika sltp kelas 8
(8.4.1) soal dan pembahasan nilai fungsi, matematika sltp kelas 8(8.4.1) soal dan pembahasan nilai fungsi, matematika sltp kelas 8
(8.4.1) soal dan pembahasan nilai fungsi, matematika sltp kelas 8
 
Bahan Ajar Materi Bilangan Berpangkat K13 untuk Kelas VII SMP
Bahan Ajar Materi Bilangan Berpangkat K13 untuk Kelas VII SMPBahan Ajar Materi Bilangan Berpangkat K13 untuk Kelas VII SMP
Bahan Ajar Materi Bilangan Berpangkat K13 untuk Kelas VII SMP
 
contoh soal latihan matematika relasi dan fungsi kelas 8 smp
contoh soal latihan matematika relasi dan fungsi kelas 8 smpcontoh soal latihan matematika relasi dan fungsi kelas 8 smp
contoh soal latihan matematika relasi dan fungsi kelas 8 smp
 
Persamaan dan pertidaksaan nilai mutlak MATEMATIKA KELAS X
Persamaan dan pertidaksaan nilai mutlak MATEMATIKA KELAS XPersamaan dan pertidaksaan nilai mutlak MATEMATIKA KELAS X
Persamaan dan pertidaksaan nilai mutlak MATEMATIKA KELAS X
 
Ppt pers kuadrat
Ppt  pers kuadratPpt  pers kuadrat
Ppt pers kuadrat
 
Modul matematika-integral
Modul matematika-integral Modul matematika-integral
Modul matematika-integral
 
LKPD Fungsi Kuadrat
LKPD Fungsi KuadratLKPD Fungsi Kuadrat
LKPD Fungsi Kuadrat
 
Persamaan dan pertidaksamaan linear satu variable fina yuanita
Persamaan dan pertidaksamaan linear satu  variable fina yuanitaPersamaan dan pertidaksamaan linear satu  variable fina yuanita
Persamaan dan pertidaksamaan linear satu variable fina yuanita
 
Pembahasan osn matematika smp 2012 pilihan ganda tingkat kabupaten
Pembahasan osn matematika smp 2012 pilihan ganda tingkat kabupatenPembahasan osn matematika smp 2012 pilihan ganda tingkat kabupaten
Pembahasan osn matematika smp 2012 pilihan ganda tingkat kabupaten
 
LKPD Soal Materi Bilangan Berpangkat Bulat Positif
LKPD Soal Materi Bilangan Berpangkat Bulat PositifLKPD Soal Materi Bilangan Berpangkat Bulat Positif
LKPD Soal Materi Bilangan Berpangkat Bulat Positif
 
Materi olimpiade matematika sma (sman 1 batujajar)
Materi olimpiade matematika sma (sman 1 batujajar)Materi olimpiade matematika sma (sman 1 batujajar)
Materi olimpiade matematika sma (sman 1 batujajar)
 
Rpp kd 3.3 konsep matriks dan operasi aljabar
Rpp kd 3.3 konsep matriks dan operasi aljabarRpp kd 3.3 konsep matriks dan operasi aljabar
Rpp kd 3.3 konsep matriks dan operasi aljabar
 

Ähnlich wie Bank soal-olimpiade-matematika

Soal dan pembahasan sbmptn tkd saintek 2017 (Matematika)
Soal dan pembahasan sbmptn tkd saintek 2017 (Matematika)Soal dan pembahasan sbmptn tkd saintek 2017 (Matematika)
Soal dan pembahasan sbmptn tkd saintek 2017 (Matematika)idschool net
 
Pertemuan-2.pptx
Pertemuan-2.pptxPertemuan-2.pptx
Pertemuan-2.pptxMeilaErita
 
28. PERSAMAAN dan fungsi kuadrat.ppt
28. PERSAMAAN dan fungsi kuadrat.ppt28. PERSAMAAN dan fungsi kuadrat.ppt
28. PERSAMAAN dan fungsi kuadrat.pptyudi106926
 
Bahas osp matematika sma 2011
Bahas osp matematika sma 2011Bahas osp matematika sma 2011
Bahas osp matematika sma 2011Mina Lim
 
Bab 1 persamaan kuadrat
Bab 1 persamaan kuadratBab 1 persamaan kuadrat
Bab 1 persamaan kuadratAtik Damanik
 
Soal Latihan dan Pembahasan UN Matematika SMK 2017
Soal Latihan dan Pembahasan UN Matematika SMK 2017Soal Latihan dan Pembahasan UN Matematika SMK 2017
Soal Latihan dan Pembahasan UN Matematika SMK 2017Muhtar Muhtar
 
Bentuk aljabar
Bentuk aljabarBentuk aljabar
Bentuk aljabarSatria Adi
 
Chapter 6 algebra iii a2 + bx + c
Chapter 6 algebra iii a2 + bx + cChapter 6 algebra iii a2 + bx + c
Chapter 6 algebra iii a2 + bx + cshuhainor74
 
Rumus cepat-matematika-fungsi-kuadrat
Rumus cepat-matematika-fungsi-kuadratRumus cepat-matematika-fungsi-kuadrat
Rumus cepat-matematika-fungsi-kuadratMuhammad Alkaff
 
Bab 6. penyelesaian_persamaan_kuadrat
Bab 6. penyelesaian_persamaan_kuadratBab 6. penyelesaian_persamaan_kuadrat
Bab 6. penyelesaian_persamaan_kuadratdedybulu
 
BENTUK ALJABAR.ppt
BENTUK ALJABAR.pptBENTUK ALJABAR.ppt
BENTUK ALJABAR.pptssuser35630b
 
1. BENTUK ALJABAR(s) - Matematika SMP Kelas VIII [www.defantri.com].ppt
1. BENTUK ALJABAR(s) - Matematika SMP Kelas VIII [www.defantri.com].ppt1. BENTUK ALJABAR(s) - Matematika SMP Kelas VIII [www.defantri.com].ppt
1. BENTUK ALJABAR(s) - Matematika SMP Kelas VIII [www.defantri.com].pptADITUROCHMAN3
 
Makalah_persamaan_kuadrat_docx.docx
Makalah_persamaan_kuadrat_docx.docxMakalah_persamaan_kuadrat_docx.docx
Makalah_persamaan_kuadrat_docx.docxAnaMustafida
 

Ähnlich wie Bank soal-olimpiade-matematika (20)

Soal dan pembahasan sbmptn tkd saintek 2017 (Matematika)
Soal dan pembahasan sbmptn tkd saintek 2017 (Matematika)Soal dan pembahasan sbmptn tkd saintek 2017 (Matematika)
Soal dan pembahasan sbmptn tkd saintek 2017 (Matematika)
 
Pertemuan-2.pptx
Pertemuan-2.pptxPertemuan-2.pptx
Pertemuan-2.pptx
 
28. PERSAMAAN dan fungsi kuadrat.ppt
28. PERSAMAAN dan fungsi kuadrat.ppt28. PERSAMAAN dan fungsi kuadrat.ppt
28. PERSAMAAN dan fungsi kuadrat.ppt
 
Bahas osp matematika sma 2011
Bahas osp matematika sma 2011Bahas osp matematika sma 2011
Bahas osp matematika sma 2011
 
Bab 1 persamaan kuadrat
Bab 1 persamaan kuadratBab 1 persamaan kuadrat
Bab 1 persamaan kuadrat
 
Soal Latihan dan Pembahasan UN Matematika SMK 2017
Soal Latihan dan Pembahasan UN Matematika SMK 2017Soal Latihan dan Pembahasan UN Matematika SMK 2017
Soal Latihan dan Pembahasan UN Matematika SMK 2017
 
Vektor
VektorVektor
Vektor
 
Bentuk aljabar
Bentuk aljabarBentuk aljabar
Bentuk aljabar
 
Chapter 6 algebra iii a2 + bx + c
Chapter 6 algebra iii a2 + bx + cChapter 6 algebra iii a2 + bx + c
Chapter 6 algebra iii a2 + bx + c
 
Rumus cepat-matematika-fungsi-kuadrat
Rumus cepat-matematika-fungsi-kuadratRumus cepat-matematika-fungsi-kuadrat
Rumus cepat-matematika-fungsi-kuadrat
 
Bab 6. penyelesaian_persamaan_kuadrat
Bab 6. penyelesaian_persamaan_kuadratBab 6. penyelesaian_persamaan_kuadrat
Bab 6. penyelesaian_persamaan_kuadrat
 
BENTUK ALJABAR.ppt
BENTUK ALJABAR.pptBENTUK ALJABAR.ppt
BENTUK ALJABAR.ppt
 
1. BENTUK ALJABAR(s) - Matematika SMP Kelas VIII [www.defantri.com].ppt
1. BENTUK ALJABAR(s) - Matematika SMP Kelas VIII [www.defantri.com].ppt1. BENTUK ALJABAR(s) - Matematika SMP Kelas VIII [www.defantri.com].ppt
1. BENTUK ALJABAR(s) - Matematika SMP Kelas VIII [www.defantri.com].ppt
 
Contoh notasi-sigma2
Contoh notasi-sigma2Contoh notasi-sigma2
Contoh notasi-sigma2
 
Persamaan
PersamaanPersamaan
Persamaan
 
Makalah_persamaan_kuadrat_docx.docx
Makalah_persamaan_kuadrat_docx.docxMakalah_persamaan_kuadrat_docx.docx
Makalah_persamaan_kuadrat_docx.docx
 
Kisi kisi olimpiade SMA
Kisi kisi olimpiade SMAKisi kisi olimpiade SMA
Kisi kisi olimpiade SMA
 
Bab 15-integral
Bab 15-integralBab 15-integral
Bab 15-integral
 
Hasil kalih khusus
Hasil kalih khususHasil kalih khusus
Hasil kalih khusus
 
Nama kelompok
Nama kelompokNama kelompok
Nama kelompok
 

Mehr von okto feriana

Silabus Matematika kurikulum 2013 kelas VII
Silabus Matematika kurikulum 2013 kelas VIISilabus Matematika kurikulum 2013 kelas VII
Silabus Matematika kurikulum 2013 kelas VIIokto feriana
 
Silabus mata pelajaran 22222
Silabus mata pelajaran 22222Silabus mata pelajaran 22222
Silabus mata pelajaran 22222okto feriana
 
Ppt. refleksi bab 3
Ppt. refleksi bab 3Ppt. refleksi bab 3
Ppt. refleksi bab 3okto feriana
 
The four pillars of geometry
The four pillars of geometryThe four pillars of geometry
The four pillars of geometryokto feriana
 
Sifat sifat bangun datar
Sifat sifat bangun datarSifat sifat bangun datar
Sifat sifat bangun datarokto feriana
 

Mehr von okto feriana (7)

Silabus Matematika kurikulum 2013 kelas VII
Silabus Matematika kurikulum 2013 kelas VIISilabus Matematika kurikulum 2013 kelas VII
Silabus Matematika kurikulum 2013 kelas VII
 
Rpp smp
Rpp smpRpp smp
Rpp smp
 
Silabus mata pelajaran 22222
Silabus mata pelajaran 22222Silabus mata pelajaran 22222
Silabus mata pelajaran 22222
 
Ppt. refleksi bab 3
Ppt. refleksi bab 3Ppt. refleksi bab 3
Ppt. refleksi bab 3
 
The four pillars of geometry
The four pillars of geometryThe four pillars of geometry
The four pillars of geometry
 
Bangun ruang 2
Bangun ruang 2Bangun ruang 2
Bangun ruang 2
 
Sifat sifat bangun datar
Sifat sifat bangun datarSifat sifat bangun datar
Sifat sifat bangun datar
 

Bank soal-olimpiade-matematika

  • 1. SOAL-SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PENYELESAIANNYA 1. Buktikan untuksetiap bilangan real a, b berlaku a 2 + b 2 ≥ 2ab ! Bukti : ( a − b ) 2 ≥ 0 ⇔ a 2 − 2ab + b 2 ≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 ≥ 2ab 2. Buktikan untuksetiap bilangan real a, b dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0 berlaku Bukti : ( a− b ) 2 ≥ 0 ⇔ a − 2 ab + b ≥ 0 ⇔ a + b ≥ 2 ab ⇔ a+ b ≥ 2 a+ b ≥ 2 ab ! ab a+ b ≥ ab dikenal sebagai AM ≥ GM dimana AM singkatan Arithmetic Mean 2 sedangkan GM singkatan Geometric Mean. Catatan : Bentuk 3. Buktikan untuksetiap bilangan positif a, b, c dan d berlaku Bukti : a+ b+ c+ d = 4 a+ b c+ d + 2 2 ≥ 2 ab + cd ≥ 2 a+ b+ c+ d ≥ 4 ab cd = 4 abcd ! abcd 4. Buktikan untuksetiap bilangan real a, b dan c dengan a ≥ 0, b ≥ 0 dan c ≥ 0 berlaku a+ b+ c 3 ≥ abc 3 Bukti : a+ b+ c = x ⇔ a + b + c = 3x dan 3 abc = y ⇔ abc = y 3 Misal 3 a+ b c+ x + a+ b+ c+ x Maka 2 2 ≥  a+ b  c+ x ≥ = ab cx =     4 2  2   2  3x + x 4 3 ≥ y x ⇔ x4 ≥ y3 x ⇔ x ≥ y Karena a + b + c = 3 x maka 4 4 abcx = 5. Buktikan untuksetiap bilangan positif a, b, c berlaku ( b + c ) ( c + a ) ( a + b ) ≥ 8abc ! Bukti : b+ c ≥ 2 c+ a ≥ 2 a+ b ≥ 2 bc ....(1) ca ....(2) ab ....(3)  b+ c  c+ a  a+ b     ≥ Jika (1) x (2) x (3) maka didapat :   2  2   2  Atau ( b + c ) ( c + a ) ( a + b ) ≥ 8abc a 2b 2c 2 = abc 4 y3 x
  • 2. 6. Jika a bilangan positif, buktikan bahwa a + 1 ≥ 0 ! a Bukti : 2 1  1 1   a−  ≥ 0 ⇔ a− 2+ ≥ 0 ⇔ a+ ≥ 2 a a a  7. Jika a dan b sembarang bilangan, buktikan bahwa a b + ≥ 2! b a Bukti : ( a − b) 2 ≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 ≥ 2ab ⇔ a b + ≥ 2 b a 8. Jika a, b bilangan positif dan a + b = 1 maka ab ≤ 1 ! 2 Bukti : Karena a dan b positif dan a + b = 1 maka : 1 ≥ 1 ....(1) a 1 ≥ 1 ....(2) b 1 1 a+ b 1 ≥ 2 ⇔ a + b ≥ 2ab ⇔ 1 ≥ 2ab ⇔ ab ≤ Jika (1) + (2) maka + ≥ 2 ⇔ a b ab 2 9. Jika a, b, c , d bilangan positif, maka buktikan ( ac + bd ) ( ab + cd ) ≥ 4abcd ! Bukti : a b c d + ≥ 2 ....(1) dan + ≥ 2 ....(2) b a d c Jika (1) + (2) didapat : a b c d a d c b + + + ≥ 4 ⇔ + + + ≥ 4 b a d c b c d a a 2cd + abd 2 + abc 2 + b 2cd ≥ 4 ⇔ ( ac + bd ) ( ab + cd ) ≥ 4abcd abcd x2 1 10. Untuksetiap bilangan real x, buktikan bahwa ! ≤ 4 1+ x 2 Bukti : (x 2 ) − 1 2≥ 0 ⇔ x4 − 2 x2 + 1 ≥ 0 ⇔ x4 + 1 ≥ 2x2 11. Untuksetiap bilangan real x, buktikan bahwa Bukti : x4 ≥ 0 ⇔ ⇔ (x 2 ) 2 ( ) 2 12. Hitunglah nilai dari : 1 1 1 1 1+ 2 + 2 + 1+ 2 + 2 + 1 2 2 3 Jawab : 1 1 1+ 2 + = n ( n + 1) 2 ⇔ x2 + 1 (x x4 + 4x2 + 4 ≥ 4x2 + 4 ⇔ + 2 ≥ 2 x2 + 1 x2 + 2 2 ) ≥ 2! 2 ( 1 1 + 2 + ...... + 2 3 4 n 2 (n + 1) 2 + ( n + 1) + n 2 = n 2 (n + 1) 2 2 ) + 2 ≥ 4 x2 + 1 x2 + 2 ≥ 2 x2 + 1 ⇔ 1+ x2 ≥ 2 1 + x4 ⇔ 1+ x2 + 2 x2 + 1 ≥ 2 1 1 + 2 2004 20052 n 2 (n 2 + 2n + 1) + (n 2 + 2n + 1) + n 2 (n(n + 1)) 2
  • 3. ( ) 2 n 4 + 2n3 + 3n 2 + 2n + 1 n2 + n + 1 n2 + n + 1 1 1 = = = 1+ 2 = 1+ 2 2 2 n + n n + n n(n + 1) ( n(n + 1) ) ( n(n + 1) ) 1 1 =1 + − n n+ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Jadi 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + ...... + 1 + + 2 1 2 2 3 3 4 2004 20052 1 1  1 1  1 1 1 1    −  =  1 + −  +  1 + −  +  1 + −  + ..... +  1 + 1 2  2 3  3 4 2004 2005    1  2004 2004  = 2004  = 2004 + = (1 + 1 + 1 + .... + 1) +  1 − 2005  2005 2005  = 13. Diketahuia, b, c, d dan e adalah bilangan real. Jika a+b+c+d+e= 19 dan a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 = 99 tentukan nilai maksimumz ! Jawab : (19 − e) 2= ( a + b + c + d ) 2 361 − 38e + e 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd 361 − 38e + e 2 = 99 − e 2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd 361 − 38e + e 2 ≤ 99 − e 2 + a 2 + b 2 + a 2 + c 2 + a 2 + d 2 + b 2 + c 2 + b 2 + d 2 + c 2 + d 2 361 − 38e + e 2 ≤ 99 − e 2 + 99 − e 2 + 99 − e 2 + 99 − e 2 361 − 38e + e 2 ≤ 396 − 4e 2 5e 2 − 38e − 35 ≤ 0 2144 38 + 2144 ≤ e≤ 10 10 38 + 2144 Jadi nilai maksimume = 10 Dengan rumus abc didapat 38 − 14. Jika 1+2+3+4+….+n= aaa, maka tentukan nilai n dan aaa ! Jawab : n 1 + 2 + 3 + .... + n = (n + 1) 2 aaa = 111xa = (3xa) x37 n (n + 1) = (3xa) x37 2 n (n + 1) = (6 xa) x37 Ini merupakan perkalian berurutan. Jadi a = 6 dan n = 36 15. Jika aabb = (xy ) 2 maka tentukan nilai dari a, b, x dan y ! Jawab : Karena (xy ) 2 adalah bilangan kuadrat maka angka satuannya 0, 1, 4, 5, 6 atau 9. Berarti bb = 00, 11, 44, 55, 66 atau 99 Bilangan kuadrat bila dibagi 4 sisanya 0 (untukgenap) atau 1 (untukganjil) Bilangan habis dibagi 4 jika 2 angka terakhirhabis dibagi 4, jadi bb = 44 aabb = aa44 = 11 x a04 maka a = 7 aabb = 7744= 882 Sehingga a = 7, b = 4, x = 8 dan y = 8
  • 4. 3 3 3 3 16. Buktikan bahwa : 1 + 2 + 3 + .... + n = 1 2 1  n ( n + 1) 2 =  n(n + 1) 4 2  2 Bukti : Dibuktikan dengan induksi matematika. 1 2 3 Untukn = 1 maka 1 =  .1(1 + 1) benar 2  1  3 3 3 3 Misal untukn = k benar maka 1 + 2 + 3 + .... + k =  k (k + 1)  2  3 3 3 3 3 Untukn = k + 1 maka 1 + 2 + 3 + .... + k + (k + 1) 1  =  k (k + 1) 2 + (k + 1) 3 2  2 1  = ( k + 1) 2 k 2 + k + 1 4  1 = (k + 1) 2(k 2 + 4k + 4) 4 1 = (k + 1) 2(k + 2) 2 4 1  =  ( k + 1) ( k + 2 )  2 2  17. Jika 20043 = A2 − B 2 dimana A dan B bilangan asli, maka tentukan nilai A dan B ! Jawab : 1  13 + 23 + 33 + .... + (n − 1) 3+ n3 =  n(n + 1) 2 2  1  2 3 1 2  2 (n − 1)n  + n =  2 n(n + 1)      1  1  n3 =  n(n + 1) 2 −  (n − 1)n  2 2  2  1  1  20043 =  .2004.2005 2 −  .2003.2004 2 2  2  = (1002.2005) 2 − (1002.2003) 2 Jadi A = 1002.2005dan B = 1002.2003 18. Jika A = 13 − 23 + 33 − 43 + 53 − 63 + .... + 20053 , maka tentukan nilai A ! Jawab : 13 + 23 + 33 + .... + 20053 − 2(23 + 33 + .... + 20043 ) ( ( ) ) = 1 + 2 + 3 + .... + 20053 − 2.23 (13 + 23 + 33 + .... + 10023 ) 3 3 3 1 1  =  .2005.2006  2 − 16( .1002.1003) 2 2 2  2 2 = 1003 (2005 − (4.501) 2 ) = 10032 (20052 − 2004 2 ) = 10032 (2005 + 2004)(2005 − 2004) = 10032.4009
  • 5. 19. a1 , a2 , a3 ,...., an adalah bilangan cacah yang berbeda. Jika 2 a1 + 2 a 2 + 2 a3 + .... + 2a n = 2005 maka tentukan nilai dari a1 + a2 + a3 + .... + an ! Jawab : 2005 = 111110101012 2005 = 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 0 + 24 + 0 + 2 2 + 0 + 20 a1 + a2 + a3 + .... + an = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 4 + 2 + 0 = 46 20. Diketahuix, y, z dan t adalah bilangan real yang tidak nol dan memenuhipersamaan : x + y + z = t .... (1) 1 1 1 1 + + = .... (2) x y z t x 3 + y 3 + z 3 = 10003 .... (3) Tentukan nilai dari x + y + z + t Jawab : 1 1 1 xy + xz + yz 1 + + = = ⇔ x y z xyz t xy + xz + yz = xyz t (x + y + z ) 3= x 3 + y 3 + z 3 + 3( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) − 3 xyz xyz t 3 = x 3 + y 3 + z 3 + 3t. − 3xyz t x 3 + y 3 + z 3 = t 3 = 10003 → t = 1000 x + y + z + t = t + t = 2t = 2000 ex 21. Suatu fungsi dinyatakan sebagai f ( x) = x . e + e 1 2 2004 )+ f( ) + ... + f ( ) Tentukan nilai dari f ( 2005 2005 2005 Jawab : ex e1− x e + e x e + e + e1− x e 2e + e x e + e1− x e f ( x) + f (1 − x) = x + 1− x = x 1− x = =1 e + e e + e e e + e x e + e1− x e + e 2e + e x e + e1− x e 1 2004 f( )+ f( )= 1 2005 2005 2 2003 f( )+ f( )= 1 2005 2005 ..... ..... 1002 1003 f( )+ f( )= 1 2005 2005 + = 1002
  • 6. 22. Diketahuia dan b adalah bilangan real yang memenuhisyarat : i. a 3 − 3ab 2 = 44 ii. b 3 − 3a 2b = 8 Tentukan nilai a 2 + b 2 ! Jawab : a 3 − 3ab 2 = 44 ⇒ (a 3 − 3ab 2 ) 2 = 44 2 ⇔ a 6 − 6a 4b 2 + 9a 2b 4 = 1936 b 3 − 3a 2b = 8 ⇒ (b 3 ) − 3a 2b 2 = 82 ⇔ b 6 − 6a 2b 4 + 9a 4b 2 = 64 + a + 3a b + 3a b + b = 2000 6 (a 2 4 2 ) 2 4 + b 2 3= 2000 ⇔ 6 a 2 + b2 = 3 2000 = 103 2 23. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiridari 4 digit angka abcd sehingga memenuhipersamaan abcd + 1 = (ac + 1)(bd + 1) ! Jawab : abcd + 1 = (ac + 1)(bd + 1) 1000a + 100b + 10c + d + 1 = (10a + c + 1)(10b + d + 1) = 100ab + 10ad + 10a + 10bc + cd + c + 10b + d + 1 990a + 90b + 9c - 100ab - 10ad - 10bc – cd = 0 (900a – 100ab) + (90a – 10ad) + (90b – 10 bc) + 9c – cd = 0 100a (9 – b) + 10a (9 – d) + 10b (9 – c) + c (9 – d) = 0 Jadi : b = d = c = 9 a = 1, 2, 3, …., 9 Sehingga bilanganbilangan itu : 1999, 2999, 3999, …., 9999 24. Tentukan nilai dari 3 4 5 2005 + + + .... + 1 2 3 1x 2 x 2 2 x3x 2 3x4 x2 2003 x 2004 x 22003 Jawab : k+ 2 a b a (k + 1) − kb (a − b)k + a = k − k = = k k .(k + 1).2 2 .k 2 .(k + 1) k (k + 1).2 k k (k + 1).2 k jadi a – b = 1 karena a = 2 maka b = 1 2 1 1   2 1  2 1  2   ( k − k =  1 − 1  +  2 − 2  + .... +  2003 − 2003  2003 2 .k 2 .(k + 1)  2 .1 2 .2   2 .2 2 .3   2 .2003 2 .2004  ∑= 1 1 k = 1 − 2003 2 .2004 2 2 25. Jika x dan y bilangan asli yang memenuhipersamaan xy + x + y = 71 dan x y + xy = 880 maka tentukan nilai x 2 + y 2 ! Jawab : Misal xy = a dan x + y = b maka : xy + x + y = 71 ⇔ a + b = 71 ⇔ a = 71 – b ….. (1) x 2 y + xy 2 = 880 ⇔ xy(x + y) = 880 ⇔ ab = 880 …. (2) Dari (1) dan (2) didapat : i. b = 55 dan a = 16 maka x 2 + y 2 = ( x + y ) 2 − 2 xy = 552 − 2.16 = 2993 ii. b = 16 dan a = 55 maka x 2 + y 2 = ( x + y ) 2 − 2 xy = 162 − 2.55 = 146 26. Tentukan nilai A2 dimana A adalah jumlah dari nilai mutlak semua akarakar persamaan : x= 19 + 91 19 + 91 19 + 91 19 + 9 x
  • 7. Jawab : x= 91 ⇔ x 19 ± 383 2 19 + x1.2 = A= x 2 − 19 x − 91 = 0 19 + 383 + 2 19 − 383 = 2 19 + 383 + 2 383 − 19 = 2 383 A2 = 383 1 27. Didefinisikan f (n) = n 2 + 2n + 1 + 3 n 2 − 1 + nilai dari f(1) + f(3) + f(5) + …. + f(999999) ! Jawab : x− y = 3 3 x − 3 3 3 y = ( 3 x− y 3 )( 3 x2 + 3 3 xy + Misal : x 2 = n 2 + 2n + 1 = (n + 1) 2 ⇒ ⇒ 3 ) y2 ⇔ untuk semua n bilangan asli. Tentukan 1 3 x2 + = 3 xy + 3 y2 1000000 − 3 999999 3 x− 3 y x− y x = n+ 1 y = n − 2n + 1 = ( n − 1) n 2 − 2n + 1 x = n− 1 2 2 2 xy = (n + 1)(n − 1) = n − 1 ⇒ 2 f ( n) = 1 3 x2 + 3 xy + 3 y2 = 3 xy = n 2 − 1 x− 3 y x− y n+ 1− 3 n− 1 3 n+ 1− 3 n− 1 = (n + 1) − (n − 1) 2 f(1) + f(3) + f(5) + …. + f(999999) 3 2− 3 0 + 3 4− 3 2 + 3 6− 3 4 + 3 8− = 2 0 + 100 = 50 = 2 f ( n) = ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) 6 + .... + ( 3 ) 3 4 5 28. Carilah 3 bilangan asli x, y, z dimana z < y < x < 2004 dan memenuhipersamaan x + y = z ! Jawab : x3 = z 5 − y 4 Misal z = a 5 dan y = a 6 maka x 3 = a 25 − a 24 = a 24 (a − 1) ⇔ a –1 harus bilangan pangkat 3 seperti 1, 8, 27 dsb. Misal a = 2 maka x = 28 3 2 − 1 = 256 x = a8 3 a− 1 z = 25 = 32 y = 26 = 64 n n n n 29. Tunjukkanbahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku 121 − 25 + 1900 − (− 4) selalu habis digai 2000! Jawab : 2000= 125 x 16 Gunakan teori a n − b n habis dibagi a – b 121n − 25n + 1900n − (− 4) n = 1900n − 25n + 121n − (− 4) n habis dibagi 16 habis dibagi 16 habis dibagi 125 habis dibagi 125 n n n n Jadi 121 − 25 + 1900 − (− 4) habis dibagi 125 x 16 = 2000
  • 8. 30. Buktikan bahwa 1998+ 1999 x 2 2004 habis dibagi 7 ! Bukti : 1998+ 1999x 2 2004 = (7n + 3) + (7n + 4) x (7 + 1)668 Kita lihat satuannya : 3 + 4 x 1 668 = 3 + 4 = 7 Jadi 1998+ 1999x 2 2004 habis dibagi 7 31. Tentukan 3 bilangan asli x, y, z sehingga x 3 + y 3 2006 = x 3 + z 3 2005 Jawab : x 3 + y 3 ( x + y ) x 2 − xy + y 2 = x 3 + z 3 ( x + z ) x 2 − xz + z 2 Karena 2006dan 2005 relatif prima, maka diantara faktorfaktor pembilang dan penyebut harus ada yang sama. x + y = x + z tidak mungkin, karena y = z. x 2 − xy + y 2 = x 2 − xz + z 2 ( ( ) ) y 2 − z 2 = xy − xz ( y − z )( y + z ) = x( y − z ) x= y+ z x + y 2006 y + z + y 2006 = ⇒ = x + z 2005 y + z + z 2005 2 y + z = 2006  ⇒ y = 669 dan z = 668 sehingga x = y + z = 1337 2 z + y = 2005 32. Tentukan rumus untuk (1x1!) + (2 x 2!) + (3x3!) + ... + (n x n!) ! Jawab : 1x1!= [ (1 + 1) x1!] − (1x1!) = (2 x1!) − (1x1!) = 2!− 1! 2 x 2!= [ ( 2 + 1) x 2!] − (1x 2!) = (3 x 2!) − (1x 2!) = 3!− 2! 3 x3!= 4!− 3! dst (1x1!) + (2 x 2!) + (3 x3!) + .... + (n x n!) = (2!− 1!) + (3!− 2!) + (4!− 3!) + ... + ((n + 1)!− n!) = − 1!+ (n + 1)! = (n + 1)!− 1!= (n + 1)!− 1 a 1 1 1 1 1 1 = 1 − + − + − + .... − dimana a relatif prima dengan b. Tunjukkanbahwa b 2 3 4 5 6 1336 a adalah kelipatan dari 2005! Jawab : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + .... − = (1 + + + ... + ) − 2( + + ... + ) 2 3 4 5 6 1336 2 3 1336 2 3 1336 1 1 1 1 1 1 = (1 + + + ... + ) − (1 + + + ... + ) 2 3 1336 2 3 668 1 1 1 = + + .... + 669 670 1336  1 1   1 1  1   1 =   669 + 1336)  +  670 + 1335  + .... +  1002 + 1003         33. Diketahui 1336 + 669 1335 + 670 1003 + 1002 + + .... + 669.1336 670.1335 1002.1003 2005 2005 2005 = + + .... + 669.1336 670.1335 1002.1003 1 1 1 = 2005( + + .... + ) 669.1336 670.1335 1002.1003 Jadi kelipatan 2005. =
  • 9. x = 2+ 34. Jika 3 2+ 3 3 2+ 2+ maka tentukan nilai x ! 3 x Jawab : x = 2+ 3 x ⇔ ( x − 3)( x + 1) = x2 − 2 x − 3 = 0 ⇔ 0 ⇒ x = 3 yang memenuhi. 12 22 32 10022 12 2 2 32 10022 + + + .... + dan b = + + + .... + 1 3 5 2003 3 5 7 2005 Tunjukkanbilangan bulat terdekat dari a – b ! Jawab : 12 22 32 1002 2 12 2 2 32 1002 2 a− b = ( + + + .... + )− ( + + + .... + ) 1 3 5 2003 3 5 7 2005  1002 2 10012  1002 2 12  22 12   32 22   + .... +  = +  − +  −  2003 − 2003  − 2005  1  3 3  5 5        35. Diketahui a = 10022 + (1 + 1 + 1 + ..... + 1) 2005 1002 2 1002(2005 − 1002) 1002.1003 = 1002 − = = ≈ 501 2005 2005 2005 = 1− 36. Diketahuia, b, c, d, e dan f adalah bilangan real. Jika a c e = = = 64 maka tentukan b d f 5a 2c − 4c 2e + e3 5b 2 d − 4d 2 f + f 3 Jawab : a = 64 ⇔ a = 64b b c = 64 ⇔ c = 64d d e = 64 ⇔ e = 64 f f 5a 2c − 4c 2e + e3 = 5b 2 d − 4d 2 f + f 3 = 643 (5b 2 d − 4d 2 f + f 3 ) = 5b 2 d − 4d 2 f + f 3 37. Diketahui A = 643 = 512 1     . Tentukan nilai A ! k = 1  1 + 2 + 3 + ... + k  2004 ∑ Jawab : 1 + 2 + 3 + .... + k = 2004 5(64b) 2 .64d − 4(64d ) 2 .64 f + (64 f )3 5b 2 d − 4d 2 f + f 3 k ( k + 1) 2 1 ∑= 1 1 + 2 + 3 + ..... + k = k 2004 2 ∑= 1 k (k + 1) = k 2004 2 2 − k+1 k=1 k ∑ 2  2 4008  2 2  2 2  2 2  2 =  −  +  −  +  −  + ..... +  − =  = 2− 2005 2005  1 2  2 3  3 4  2004 2005 
  • 10.  1  = 3 x dan x ≠ 0 maka tentukan penyelesaian untukf(x) = f(-x) !  x 38. Jika f ( x) + 2 f  Jawab : 1 f ( x) + 2 f ( ) = 3 x ......(1) x 1 3 ⇒ f ( ) + 2 f ( x) = ....(2) x x 1 2 − x2 Jika f ( ) dihilangkan maka f ( x) = x x 2 2 2− x 2− x f ( x) = f (− x) ⇒ = ⇒ x= ± 2 x − x 39. Tentukan nilai dari x + y jika diketahui x + y + 3 3 x x 2 + xy = 19 dan = 60 ! y y Jawab : Misal x + y = a dan x+ y+ x = b maka : y x = 19 ⇒ a + b = 19 atau a = 19 – b ……(1) y x 2 + xy x = 60 ⇔ ( x + y ) = 60 ⇒ ab = 60.........(2) y y Dari (1) dan (2) didapat : i. b = 4 dan a = 15 maka x + y = 15 dan x = 4y sehingga x = 12 dan y = 3 jadi x 3 + y 3 = 1755 3376 3 3 ii. b=15dan a = 4 maka x + y = 4 dan x = 15y sehingga x = 15/4dan y = ¼ jadi x + y = 64  x + y + xy = 11  40. Tentukan penyelesaian (x,y,z) dari sistem persamaan :  y + z + yz = 14  z + x + zx = 19  Jawab : 11 − x x+ 1 19 − x x + zx = 19 ⇔ z = x+ 1 11 − x 19 − x z + yz = 14 ⇒ + + x+ 1 x+ 1 3 ⇒ y = 2, z = 4 − 5 ⇒ y = − 4, z = − 6 x + y + xy = 11 ⇔ y = z+ y+ x= x=  11 − x   19 − x  2    = 14 ⇔ x + 2 x − 15 = 0  x + 1  x + 1  41. Jika x, y, z adalah bilangan real yang memenuhipersamaan : x+ y+ z = 1 x2 + y 2 + z 2 = 2 x3 + y 3 + z 3 = 3 Maka tentukan nilai x 4 + y 4 + z 4 ! Jawab : ( x + y + z ) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2( xy + xz + yz) ⇔ 1 xy + xz + yz = − 2 12 = 2 + 2( xy + xz + yz )
  • 11. (x + y + z ) 3= x 3 + y 3 + z 3 + 3( xy + xz + yz )( x + y + z ) − 3xyz 1 1 13 = 3 + 3(− ).1 − 3xyz ⇔ xyz = 2 6 2 2 2 2 4 4 4 2 2 x + y + z = x + y + z + 2( x y + x 2 z 2 + y 2 z 2 ) ( ) [ = x 4 + y 4 + z 4 + 2 ( xy ) + ( xz ) 2 + ( yz ) 2 2 ] = x 4 + y 4 + z 4 + 2[ ( xy + xz + yz ) − 2 xyz ( x + y + z )]  1 1  2 2 = x 4 + y 4 + z 4 + 2  −  2 − 2. .1 6   2 1 x4 + y 4 + z 4 = 4 6 42. Diketahui f ( x ) = ( x + 3) − 12( x + 3)3 + 54( x + 3) 2 − 108( x + 3) + 81 . Tulislah f(x) dalam bentuk 4 yang paling sederhana dan tentukan f(2005)! Jawab : 4 4 3 2 x 4 = [ ( x + 3) − 3] = ( x + 3) − 4( x + 3) .3 + 6( x + 3) .32 − 4( x + 3).33 + 34 = ( x + 3) − 12( x + 3)3 + 54( x + 3) 2 − 108( x + 3) + 81 4 = x4 f ( 2005) = 20054 43. Tentukan nilai x, y, z yang memenuhipersamaan xy 1 = , x+ y 2 Jawab : xy 1 x+ y 1 1 = ⇔ = 2⇔ + = 2 ⇒ a + b = 2 ....(1) x+ y 2 xy x y yz 1 y+ z 1 1 = ⇔ = 3⇔ + = 3 ⇒ b + c = 3 ....(2) y+ z 3 yz y z zx 1 z+ x 1 1 = ⇔ = 7⇔ + = 7 ⇒ a + c = 7 ....(3) z+ x 7 zx x z Dari (1), (2) dan (3) didapat : 1 1 a= 3= ⇔ x= x 3 1 b = −1= ⇔ y = −1 y 1 1 c= 4= ⇔ z= z 4   44. Tentukanlah nilai dari  1 − 1 1 1  1    1 −   1 −  .... 1 −  ! 2 3 4  2004  Jawab : 1 2 3 2002 2003 1 . . ....... . = 2 3 4 2003 2004 2004 45. Tentukan nilai dari 1 1 1 1 + + + ...... + ! 1.2 2.3 3.4 2004.2005 Jawab : 1 1 1 = − k (k + 1) k k + 1 yz 1 = , y+ z 3 zx 1 = z+ x 7
  • 12. 1 1  1 1 1  1 1 1 1  1 1  1 − + + + ...... +  =  −  + ( − ) +  −  + ..... +  2 3  3 4 1.2 2.3 3.4 2004.2005  1 2   2004 2005  1 2004 = 1− = 2005 2005 46. Tentukan nilai dari 1 + 1+ 2 1 + 2+ 3 1 + .... + 3+ 4 1 ! 9999 + 10000 Jawab : 1 1 1 1 + + + .... + 1+ 2 2+ 3 3+ 4 9999 + 10000 = − 1 + 2 + − 2 + 3 + − 3 + 4 + ..... + − 9999 + 10000 = − 1 + ( ) ( 57 = a+ 17 b+ 47. Jika ) ( ) ( ) 10000 = 99 1 1 1 c+ d+1 maka tentukan nilai a x b x c x d ! Jawab : 57 6 1 1 1 1 1 = 3+ = 3+ = 3+ = 3+ = 3+ = 3+ 17 5 1 1 1 17 17 2+ 2+ 2+ 2+ 6 1 1 6 6 1+ 1+ 5 5 4+ 1 Jadi a = 3, b = 2, c = 1 dan d = 4 Sehingga a x b x c x d = 3.2.1.4 = 24 2005 yz + 2005 zx + 2005 xy x + 2 y 2 y + 3z 3z + x = = maka tentukan nilai dari ! x2 + y 2 + z 2 6 10 8 Jawab : 10 x + 20 y = 12 y + 18 z ⇔ 5 x + 4 y − 9 z = 0 .......(1) 8 x + 16 y = 18 z + 6 x ⇔ x + 8 y − 9 z = 0 ........(2) 16 y + 24 z = 30 z + 10 x ⇔ 5 x − 8 y + 3z = 0 ........(3) dari (1), (2) dan (3) didapat x = y = z 2005 yz + 2005 zx + 2005 xy 2005 x 2 + x 2 + x 2 = = 2005 x2 + y 2 + z 2 x2 + x2 + x2 47. Jika ( ) 48. Diketahui: 1 1 1 1 1 1 A = 1 − + − + − ..... + − 2 3 4 5 2003 2004 1 1 1 1 B= + + + ..... + 1003 1004 1005 2004 2 2 Maka hitunglah nilai dari A − B ! Jawab : 1 1 1 1 1 1 A = 1 − + − + − ..... + − 2 3 4 5 2003 2004 1 1 1  1   1 1 1 =  1 + + + .... +  − 2 + + + ..... +  2 3 2004  2004   2 4 6 1 1 1   1 1 1   =  1 + + + .... +  −  1 + + + .... +  2 3 2004   2 3 1002   1 1 1 = + + ...... + 1003 1004 2004 Jadi A = B maka A2 − B 2 = 0
  • 13. 50. Buktikan bahwa 1 1 1 1 + + + ..... + < 2 ! 1! 2! 3! 2005! Jawab : 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ..... + < 1 + 2 + 3 + .... + 2004 = 1! 2! 3! 2005! 2 2 2 2 2004  1    2 1 1− 2 1 (1 − 2 2004 )  1 = 1−    2 2004  1  1 Karena   > 0 maka 1 −   <1  2  2 1 1 1 1 Jadi + + + ..... + < 1+ 1 = 2 1! 2! 3! 2005! 51. Tentukan nilai dari 1 e − 2005 +1 + 1 e − 2004 +1 + .... + 1 1 1 + .... + 2004 + 2005 2 e +1 e +1 Jawab : 1 1 e x + e− x + 2 + = =1 e− x + 1 e x + 1 e x + e− x + 2 1 1 1 1 1 + − 2004 + .... + + .... + 2004 + 2005 − 2005 e +1 e +1 2 e +1 e +1 1 1   1 1  1  =  − 2005 + 2005 + 2004  +  − 2004  + ...... + 0 + 1 e + 1  e + 1 e + 1 e +1 e 1 = 1 + 1 + 1 + ...... + 1 + 1+ 1 1 = 2005 2 52. Diketahuia, b, c, d adalah bilanganbilangan real yang memenuhipersamaan : a + 4b + 9c + 16d = 52 ………….(1) 4a + 9b + 16c + 25d = 150 ………..(2) 9a + 16b + 25c + 36d = 800 ………(3) Tentukan nilai dari 16a + 25b + 36c + 49d ! Jawab : ( n + 3) 2 − 3( n + 2) 2 + 3( n + 1) 2 − n 2 = 0 ( n + 3) 2 = 3( n + 2) 2 − 3( n + 1) 2 + n 2 (1 + 3) 2 a = 3(1 + 2) 2 a − 3(1 + 1) 2 a + 12.a ⇔ 27a − 12a + a = 16a ( 2 + 3) 2 b = 3( 2 + 2) 2 b − 3( 2 + 1) 2 b + 22.b ⇔ 48b − 27b + 4b = 25b Pers.(3) x3 ⇒ 27a + 48b + 75c + 108d = 2400 Pers.(2) x3 ⇒ 12a + 27b + 48c + 75d = 450 - Persa.(1)x1⇒ 15a + 21b + 27c + 33d = 1950 a + 4b + 9c + 16d = 52 + 16a + 25b + 36c + 49d = 2002 1+ 2004 maka tentukan nilai dari : 2 a ) 4 x 3 − 2007 x − 2000 53.Jika x = b) 4 x 2005 − 4 x 2004 − 2003 x 2003 2004
  • 14. Jawab : 1+ a) x = 2004 ⇔ 4 x 2 = 4 x + 2003 ⇒ 4 x 3 = 4 x 2 + 2003 x 2 3 4 x − 2007 x − 2000 = 4 x 2 + 2003x − 2007 x − 2000 = 4 x 2 − 4 x − 2000 = 4 x + 2003 − 4 x − 2000 = 3 b) 4 x 2 − 4 x + 1 = 2004 ⇔ 4 x 2 − 4 x − 2003 = 0 .x 2003 4 x 2005 − 4 x 2004 − 2003x 2003 = 0 54.Jika a dan b adalah bilangan real yang memenuhipersamaan : 1 + a + b = 11 ab 2 a 2b 2 ( a + b ) = 61a 2b 2 − 1 1 1 Tentukan nilai dari + ! a b Jawab : 1 = x dan a + b = y Misal ab 1 + a + b = 11 ⇒ x + y = 11 ......(1) ab 1 61 x 2 a 2b 2 (a + b) 2 = 61a 2b 2 − 1 ⇒ 2 . y 2 = 2 − 2 ⇔ y 2 = 61 − x 2 .....(2) x x x Dari (1) dan (2) didapat : 1 1 i) x = 6 = ⇔ ab = ab 6 y = 5= a+ b 1 1 a+ b 5 + = = = 30 1 a b ab 6 1 1 ii ) x = 5 = ⇔ ab = ab 5 y = 6= a+ b 1 1 a+ b 6 + = = = 30 1 a b ab 5 55. Buktikan bahwa jika suatu bilangan kelipatan 9 maka jumlah angka-angkanya pasti kelipatan 9 ! Jawab : abcd = 1000a + 100b + 10c + d = 999a + a + 9b + b + 9c + c + d = 999a + 99b + 9c + (a+ b + c + d) = 9(111a + 11b + c) + (a + b + c + d) a + b + c + d = abcd – 9(111a + 11b + c) Karena abcd kelipatan 9 maka a + b + c + d kelipatan 9. 56. Diketahuibilangan asli berurutan a, b, c , d. buktikan bahwa ab + ac + ad + bc + bd + cd + 1 habis dibagi 12 Jawab : Hasil kali 2 bilangan asli berurutan pasti bilangan genap (kelipatan 2) Misal a = x, b = x + 1, c = x + 2 dan d = x + 3 ab + ac + ad + bc + bd + cd + 1 =x(x+1)+x(x+2)+x(x+3)+(x+1)(x+2)+(x+1)(x+3)+(x+2)(x+3)+1 =x 2 +x+x 2 +2x+x 2 +3x+x 2 +3x+2+x 2 +4x+3+x 2 +5x+6+1 =6x 2 +6x+12x+12
  • 15. =6x(x+1)+ 12(x+1) Karena x(x+1)kelipatan 2 maka 6x(x+1)kelipatan 12 Jadi soal kelipatan 12. 57. Buktikan bahwa semua bilangan asli yang terdiridari 6 digit angka berbentuk abcabc selalu habis dibagi 91 ! Bukti : abcabc = 100.000a + 10.000b + 1.000c + 100a + 10b + c = 100100a + 10010b+ 1001c = 1001x 100a + 1001x 10b + 1001c = (91 x 11) x 100a + (91 x 11) x 10b + (91 x 11)c Jadi abcabc habis dibagi 91. 58. Jika a, b, c bilangan real positif dan a + b + c = 1, buktikan bahwa (1 - a)(1 – b)(1 – c)≥ 8 abc ! Jawab : a+ b+ c = 1 a + b = 1− c b + c = 1− a a + c = 1− b a + b ≥ 2 ab ....(1) b + c ≥ 2 bc ....(2) a + c ≥ 2 ac ....(3) Jika (1) x( 2) x (3) maka : ( a + b )( b + c )( a + c ) ≥ 8 a 2b 2c 2 (1 − a ) (1 − b)(1 − c) ≥ 8abc 59. Jika A = 1 + (1+2)+ (1+2+4)+ (1+2+4+8)+ …..+(1+2+4+…..+2n − 1 ) maka tentukan rumus untuk nilai A ! Jawab : n  i k− 1  1 + (1+2)+ (1+2+4)+ (1+2+4+8)+ …..+(1+2+4+…..+2n − 1 ) = ∑  ∑ 2  i= 1  k = 1  i 1(2 − 1) Karena 1+2+4+……. Si = ⇒ = 2i − 1 maka : 2− 1 1 + (1+2)+ (1+2+4)+ (1+2+4+8)+ …..+(1+2+4+…..+2n − 1 ) n =∑ 2 − 1 = i i= 1 n ∑ n ∑ i= 1 ∑ n i= 1 n ∑ 1= ∑ 2i = 2 + 4 + 8 + ..... = i= 1 n n i= 1 2 − i 2i − n 2(2 − 1) = 2n + 1 − 2 2− 1 2i − 1 = 2n + 1 − 2 − n = 2n + 1 − (n + 2) i= 1 60. Jika a, b dan c bilangan real positif, buktikan bahwa a 2b + ab 2 + b 2c + bc 2 + a 2c + ac 2 ≥ 6abc ! Jawab : a 2 + c 2 ≥ 2ac .b ⇒ a 2b + bc 2 ≥ 2abc ....(1) b 2 + c 2 ≥ 2bc .a ⇒ ab 2 + ac 2 ≥ 2abc ....(2) a 2 + b 2 ≥ 2ab .c ⇒ a 2c + b 2c ≥ 2abc ....(3) Jika (1) + (2) + (3) maka a 2b + ab 2 + b 2c + bc 2 + a 2c + ac 2 ≥ 6abc
  • 16. 61. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikutjika diketahui a, b, c, d bilangan real. abc + ab + bc + ca + a + b + c = 1 …. (1) bcd + bc + cd + db + b + c + d = 9 …. (2) cda + cd + da + ac + c + d + a = 9 …. (3) dab + da + ab + bd + d + a + b = 9 …. (4) Jawab : Jika pers (1), (2), (3) dan (4) semua masing-masing ruas di tambah 1, maka didapat : (a + 1)(b + 1)(c + 1) = 2 (b + 1)(c + 1)(d + 1) = 10 (a + 1)(c + 1)(d + 1) = 10 (a + 1)(b + 1)(d + 1) = 10 x 3 [ ( a + 1) (b + 1)(c + 1)(d + 1)] = 2000 ( a + 1) (b + 1)(c + 1)(d + 1) = 103 2 2 (d + 1) = 103 2 ⇔ d = 53 2 − 1 10 (a + 1) = 103 2 ⇔ a = 3 2−1 10 (b + 1) = 103 2 ⇔ b = 3 2−1 10 (c + 1) = 10 2 ⇔ c = 3 2−1 3 62. Jika a dan b bilangan real dan a a + 10b a + = 2 maka tentukan nilai ! b b + 10a b Jawab : a + 10 a a + 10b a b  a  a + = 2 ⇔ + = 2 ⇔ 5   2− 9   + 4 = 0 b b + 10a b 1 + 10 a  b  b b a 4 a  a  a ⇔  5 − 4  ( − 1) = 0 ⇒ = atau = 1 b 5 b  b  b 63. Jika a, b, c dan d real positif dan berlaku a c a a+ c c < < maka buktikan bahwa < b d b b+ d d Jawab : ab + ad < ab + bc ad + cd < bc + cd a (b + d ) < b(a + c) d (a + c) < c(b + d ) a a+ c a+ c c < ......(1) < ........(2) b b+ d b+ d d a a+ c c Dari (1) dan (2) : < < b b+ d d 64. Buktikan bahwa untukn bilangan bulat maka n3 + 2n selalu habis dibagi 3 ! Jawab : n3 + 2n = n(n 2 + 2) = n(n 2 − 1 + 3 = n(n 2 − 1) + 3n = (n − 1)n(n + 1) + 3n Karena (n-1)n(n+1)merupakan 3 bilangan berurutan maka (n-1)n(n+1)habis dibagi 3, jadi n3 + 2n habis dibagi 3. 65. Tentukan nilai x, y, z bilangan real yang memenuhipersamaan : x 2 + 2 yz = x ....(1) y 2 + 2 zx = y ....(2) z 2 + 2 xy = z ....(3)
  • 17. Jawab : Jika pers (1) kali x, pers (2) kali y dan pers (3) kali z maka didapat : x 3 + 2 xyz = x 2 y 3 + 2 xyz = y 2 z 3 + 2 xyz = z 2 Dengan mengeliminasi 2xyz maka didapat x = y = z 1 x 2 + 2 yz = x ⇒ x 2 + 2 x.x = x ⇒ x = = y = z 3 a b c 2003a + 2004b + 2005c 66. Jika a, b, c real positif sedemikian sehingga = = tentukan nilai dari b c d 3a + 2b + c Jawab : a b c = = maka a = b = c b c d 2003a + 2004b + 2005c 2003a + 2004a + 2005a ⇒ = 1002 3a + 2b + c 3a + 2a + a 67. Buktikan bahwa untukn bilangan asli yang lebih dari 1 maka n5 − n habis dibagi 30 ! Jawab : n5 − n = ( n − 1) n(n + 1)(n 2 + 1 (n-1)n(n+1)habis dibagi 6. Bilangan yang habis dibagi 5 sellau berujung 5 atau 0. n5 − n = n n 2 − n (n 2 + 1) Untukn = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 selalu berujung 0 atau 5, jadi habis dibagi 5. Sehingga n5 − n habis dibagi 6 x 5 = 30 ( ) 68. Buktikan bahwa 1110 − 1 habis dibagi 100 ! Bukti : 1110 − 1 = (10 + 1)10 − 1 = 1010 + 10.109 + 45.108 + 120.107 + 210.106 + 252.105 + 210.10 4 + 120.103 + 45.102 + 10.101 + 1 − 1 Habis dibagi 100. 69. Tentukan nilai positif x, y, z dari persamaan : 2 log x + 4 log y + 4 log z = 2 ....(1) 3 log y + 9 log z + 9 log x = 2 ....(2) log z + 16 log x + 16 log y = 2 ....(3) Jawab : 2 log x + 4 log y + 4 log z = 2⇔ 4 log x 2 + 4 log y + 4 log z = 4 log16 ⇒ x 2 yz = 16 ...(1) 4 3 log y + 9 log z + 9 log x = 2⇔ 9 log y 2 + 9 log z + 9 log x = 9 log 81 ⇒ y 2 zx = 81 ...(2) 4 log z + 16 log x + 16 log y = 2⇔ (1) x(2) x(3) ⇒ ( xyz ) 4 = 16 log z 2 + 16 log x + 16 log y = 16 log 256 ⇒ z 2 xy = 256 ...(3) 16.81.256 ⇒ xyz = 24 2 x 2 yz = 16 ⇔ x.xyz = 16 ⇒ x.24 = 16 ⇔ x = 3 27 y 2 zx = 81 ⇔ y.xyz = 81 ⇒ y.24 = 81 ⇔ y = 8 z 2 xy = 256 ⇔ z.xyz = 256 ⇒ z.24 = 256 ⇔ z = 32 3
  • 18. 70. Diketahuia+b+c+d=0dan a.b.c.d ≠ 0. Buktikan bahwa : a 3 + b 3 + c 3 + d 3 2 = 9( abc + abd + acd + bcd ) 2 Bukti : a + b + c + d = 0 ⇔ a + b = − (c + d ) ( ) a 3 + b3 = ( a + b) 3− 3ab(a + b) = − (c + d ) 3+ 3ab(c + d ) a 3 + b3 = − c 3 − d 3 − 3cd (c + d ) + 3abc + 3abd a 3 + b3 + c 3 + d 3 = 3cd (a + b) + 3abc + 3abd = 3(acd + bcd + abc + abd ) (a 3 + b3 + c 3 + d 3 ) 2 = 9(acd + bcd + abc + abd ) 2 71. Diketahuix dan y adalah bilangan real dengan ketentuan 1 < y < 2 dan x − y + 1 = 0 . Tentukan nilai dari 4 x 2 + 4 y − 3 + 2 y 2 − 6 x − 2 y + 10 Jawab : x = y – 1 disubstitusikan ke 4 x 2 + 4 y − 3 + 2 y 2 − 6 x − 2 y + 10 maka akan didapat : ( 2 y − 1) 2 + 2 ( y − 4) 2 = 2 y − 1 + 2 y − 4 Karena 1 < y < 2 maka : 2y − 1 = 2y − 1 y − 4 = − ( y − 4) Jadi 2 y − 1 − 2( y − 4) = 7 72. Sebuah bilangan terdiridari 3 digit. Bilangan itu habis dibagi 12 dan hasil baginya adalah jumlah angkaangkanya. Tentukan bilangan itu ! Jawab : 1 100a+10b+c=12(a+b+c) ⇔ 44a = 5 c + b 2 c yang mungkinadalah bilangan genap yaitu 8 1 44a = 5 .8 + b atau b = 44a – 44 maka a = 1 dan b = 0 2 Jadi bilangan itu adalah 108 73. Dalam segitiga ABC, buktikan bahwa sin 1 1 1 1 A sin B sin C ≤ ! 2 2 2 8 Bukti : b2 + c2 − a 2 1 1 − cos A a 2 − (b − c) 2 2bc sin 2 A = = = 2 2 2 4bc 2 2 2 2 Karena (b − c) ≥ 0 maka a − (b − c ) ≤ a . 1− 1 a2 1 b2 1 c2 A≤ akibatnya sin 2 B ≤ dan sin 2 C ≤ 2 4bc 2 4ac 2 4ab 2 2 2 1 1 1 a b c sin 2 A.sin 2 B.sin 2 C ≤ . . 2 2 2 4bc 4ac 4ab Sehingga sin 2 1 1 1 sin A.sin B.sin C ≤ 2 2 2 a 2b 2 c 2 1 = 2 2 2 64a b c 8
  • 19. 74. Dalam segitiga ABC, buktikan bahwa cos A cos B cos C ≤ 1 ! 8 Bukti : Karena b 2 − c 2 2≥ 0 maka a 4 − (b 2 − c 2 ) 2 ≤ a 4 a 2 + (b 2 − c 2 ) a 2 − (b 2 − c 2 ) ≤ a 4 [ ( ) ][ ( 2ab cos C ) (2ac cos B) ≤ ] a 4 a c2 b2 akibatnya cos A cos B ≤ dan cos A cos C ≤ 4bc 4ab 4ac 2 2 2 c b a cos A cos B. cos A cos C. cos B cos C ≤ . . 4ab 4ac 4bc cos B cos C ≤ 2 cos A cos B cos C ≤ a 2b 2 c 2 1 = 2 2 2 64a b c 8 75. Jika A, B, C sudut-sudut pada segitiga ABC, buktikan bahwa sin A + sin B + sin C ≤ 3 3 ! 2 Bukti : 1 1 sin A + sin B = 2 sin ( A + B ) cos ( A − B ) 2 2 1 1 Karena cos ( A − B) ≤ 1 maka sin A + sin B ≤ 2 sin ( A + B) ...(1) 2 2 1 Sehingga sin C + sin 60 ≤ 2 sin (C + 60 ) ......(2) 2 Jika pers.(1) + ( 2) maka :  1 1 1 1  3 ≤ 2 sin( A + B) + sin  C + 30     2 2 2 2   1 1 1 sin A + sin B + sin C + 3 ≤ 2(2 sin ( A + B + C + 60 ) cos ( A + B − C − 60 )) 2 4 4 1 Karena cos ( A + B − C − 60 ) ≤ 1 maka : 4 1 1 sin A + sin B + sin C + 3 ≤ 4 sin (180 + 60 ) 2 4 1 1 3 sin A + sin B + sin C ≤ 4. 3 − 3= 3 2 2 2 sin A + sin B + sin C + 1 1 1 1 1 1 76. Pada segitiga ABC, buktikan bahwa tan A tan B + tan A tan C + tan B tan C = 1 2 2 2 2 2 2 Bukti : 1 1 1 1 1 1 sin A sin B sin A sin C sin B sin C 2 2 + 2 2 + 2 2 1 1 1 1 1 1 cos A cos B cos A cos C cos B cos C 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sin A sin B cos C + sin A sin C cos B + sin B sin C cos A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1 1 1 cos A cos B cos C 2 2 2 1 1 1 1 1 1 sin A sin( B + C ) + sin B sin C cos A 2 2 2 2 2 2 = 1 1 1 cos A cos B cos C 2 2 2
  • 20. = = = = = = ( ) 1 1 1 1 1 A sin 180 − A + sin B sin C cos A 2 2 2 2 2 1 1 1 cos A cos B cos C 2 2 2 1 1 1 1 1 sin A cos A + sin B sin C cos A 2 2 2 2 2 1 1 1 cos A cos B cos C 2 2 2 1 1 1 sin A + sin B sin C 2 2 2 1 1 cos B cos C 2 2 1 1 1 sin 180 − ( B + C ) + sin B sin C 2 2 2 1 1 cos B cos C 2 2 1  1 1 1 cos B + C  + sin B sin C 2  2 2 2 1 1 cos B cos C 2 2 1 1 1 1 1 1 cos B cos C − sin B sin C + sin B sin C 2 2 2 2 2 2 =1 1 1 cos B cos C 2 2 sin ( ) 77. Jika A, B, C adalah sudut-sudut dalam segitiga ABC, buktikan bahwa : 1 1 1 1 1 1 tan A tan B + 8 + tan B tan C + 8 + tan A tan C + 8 ≤ 5 3 2 2 2 2 2 2 Bukti : a + b + c 2 = a + b + c + 2 ab + 2 ac + 2 bc ( ) ( a+ a+ b+ b+ c ) 2≤ a + b + c + a + b + a + c + b + c = 3( a + b + c ) c≤ 3( a + b + c ) 1 1 tan A tan B + 8 + 2 2 1 1 tan B tan C + 8 + 2 2 1 1 tan A tan C + 8 2 2 ≤ 1 1 1 1 1 1   3 tan A tan B + tan A tan C + tan B tan C + 24  2 2 2 2 2 2   = 3(1 + 24) = 5 3 78. Buktikan bahwa cos π 3π 5π 2003π 1 + cos + cos + ..... + cos = 2005 2005 2005 2005 2 Bukti : π π 2π sin = sin − 0 2005 2005 2005 3π π 4π 2π 2 cos sin = sin − sin 2005 2005 2005 2005 5π π 6π 4π 2 cos sin = sin − sin 2005 2005 2005 2005 ....... 2003π π 2004π 2002π 2 cos sin = sin − sin 2005 2005 2005 2005 2 cos +
  • 21. π π 3π 5π 2003π 2004π (cos + cos + cos + ...... + cos ) = sin 2005 2005 2005 2005 2005 2005 π   2004π sin  π −  sin π 3π 5π 2003π 1 2005  1 2005 = 1  cos + cos + cos + ...... + cos = = 2005 2005 2005 2005 2 sin π 2 sin π 2 2005 2005 2 sin 79. Buktikan bahwa cos ec 10 + cos ec 50 − cos ec 70 = 6 Bukti : 1 1 1 + − cos ec 10 + cos ec 50 − cos ec 70 =   sin 10 sin 50 sin 70 sin 70 sin 50 + sin 70 sin 10 − sin 50 sin 10 = sin 70 sin 50 sin 10 1 − (cos120 − cos 20 + cos 80 − cos 60 − cos 60 + cos 40 = 2 1 − (cos120 − cos 20 ) sin 10 2 3 − + cos 80 + cos 40 − cos 20 = 2 1 1 − sin 10 − (sin 30 − sin 10 ) 2 2 3 − + 2 cos 60 cos 20 − cos 20 = 2 1 1 1 − sin 10 − + sin 10 2 4 2 3 − = 2 = 6 1 − 4 80. Pada segitiga ABC, buktikan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C ! Bukti : sin A sin B sin C sin A cos B cos C + sin B cos A cos C + sin C cos A cos B + + = cos A cos B cos C cos A cos B cos C cos C (sin A cos B + cos A sin B ) + sin C cos A cos B = cos A cos B cos C cos C sin( A + B) + sin C cos A cos B = cos A cos B cos C cos c sin C + sin C cos A cos B = cos A cos B cos C sin C (cos C + cos A cos B ) = cos A cos B cos C sin C (cos A cos B − cos( A + B )) = cos A cos B cos C sin C (cos A cos B − cos A cos B + sin A sin B ) = cos A cos B cos C sin A sin B sin C = = tan A tan B tan C cos A cos B cos C
  • 22. 81. Jika A, B, C sudut-sudut pada segitiga ABC, buktikan bahwa tan A tan B tan C ≥ 3 3 ! Bukti : a + b + c ≥ 3 3 abc tan A + tan B + tan C ≥ 3 3 tan A tan B tan C tan A tan B tan C ≥ 3 3 tan A tan B tan C (tan A tan B tan C ) 3≥ 27 tan A tan B tan C (tan A tan B tan C ) 2≥ 27 tan A tan B tan C ≥ 3 3 1 1 1 82. Dalam segitiga ABC, buktikan bahwa sin A + sin B + sin C = 4 cos A cos B cos C ! 2 2 2 Bukti : sin A + sin B + sin C = 2 sin ( 1 A + 1 B ) cos( 1 A − 1 B ) + 2 sin 1 C cos 1 C 2 2 2 2 2 2 = 2 sin 1 (180 − C )(cos 1 A cos 1 B + sin 1 A sin 1 B ) + 2 sin 1 C cos 1 C 2 2 2 2 2 2 2 = 2 cos 1 C (cos 1 A cos 1 B + sin 1 A sin 1 B ) + 2 sin 1 C cos 1 C 2 2 2 2 2 2 2 = 2 cos 1 A cos 1 B cos 1 C + 2 cos 1 C sin 1 A sin 1 B ) + 2 sin 1 C cos 1 C 2 2 2 2 2 2 2 2 = 2 cos 1 A cos 1 B cos 1 C + 2 cos 1 C (sin 1 A sin 1 B + sin 1 C ) 2 2 2 2 2 2 2 = 2 cos 1 A cos 1 B cos 1 C + 2 cos 1 C (sin 1 A sin 1 B + sin 1 (180 − ( A + B )) 2 2 2 2 2 2 2 = 2 cos 1 A cos 1 B cos 1 C + 2 cos 1 C (sin 1 A sin 1 B + cos( 1 A + 2 2 2 2 2 2 2 1 2 B )) = 2 cos 1 A cos 1 B cos 1 C + 2 cos 1 C (sin 1 A sin 1 B + cos 1 A cos 1 B − sin 1 A sin 1 B ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 2 cos 1 A cos 1 B cos 1 C + 2 cos 1 A cos 1 B cos 1 C 2 2 2 2 2 2 = 4 cos 1 A cos 1 B cos 1 C 2 2 2 83. Jika A, B, C sudut-sudut pada segitiga ABC, buktikan bahwa cos ecA + cos ecB + cos ecC ≥ 9 sec 1 A sec 1 B sec 1 C 4 2 2 2 Bukti : Arithmetic Mean ≥ HarmonikMean a+ b+ c 3  1 1 1 ≥ ⇔ ( a + b + c)  + +  ≥ 9 1 1 1 3  a b c + + a b c (sin A + sin B + sin C )(cos ec A + cos ec B + cos ec C ) ≥ 9 9 cos ec A + cos ec B + cos ec C ≥ sin A + sin B + sin C 9 cos ec A + cos ec B + cos ec C ≥ 1 4 cos 2 A cos 1 B cos 1 C 2 2 cos ec A + cos ec B + cos ec C ≥ 9 4 sec 1 A sec 1 B sec 1 C 2 2 2 84. Buktikan bahwa ( a + b − c ) (b + c − a )(c + a − b) ≤ abc Bukti : Karena ( b − c ) 2≥ 0 maka a 2 − ( b − c ) 2≤ a 2 Karena ( c − a ) 2≥ 0 maka b 2 − ( c − a ) 2≤ b 2 Karena ( a − b ) 2≥ 0 maka c 2 − ( a − b ) 2≤ c 2 ( a − ( b − c ) )( b − ( c − a ) )( c − ( a − b ) ) ≤ 2 (a + (a + 2 2 2 2 2 a 2b 2 c 2 b − c ) (a − b + c)(b + c − a)(b − c + a )(c + a − b)(c − a + b) ≤ ( abc ) 2 b − c ) (b + c − a )(c + a − b) ≤ abc
  • 23. 85. Jika a, b, c sisi-sisi segitiga ABC, buktikan bahwa ( a + b + c ) ( ab + bc + ca) ≥ 9abc ! Bukti : ( a + b + c )( ab + bc + ca ) = a 2b + abc + a 2c + ab2 + b 2c + abc + abc + bc 2 + ac 2 ( ) ( ) ( = 3abc + a 2b + bc 2 + b 2c + a 2c + ac 2 + ab 2 ) ≥ 3abc + 2 a 2b.bc 2 + 2 b 2c.a 2c + 2 ac 2 .ab 2 = 3abc + 2(abc + abc + abc ) = 9abc 86. Jika x bilangan real positif, buktikan bahwa x 2003 + x 2001 + x1999 + ..... + 1 1999 x + 1 x 2001 + 1 x 2003 ≥ 2004 Bukti : x 2003 + 1 x 2003 ≥ 2 x 2003 . 1 x 2003 = 2 1   2001 1   2003  1 1  x + 2003  +  x + 2001  + .... +  x + 1  ≥ 2 + 2 + ....... + 2 = 2.1002 = 2004 x   x  x    87. Dalam segitiga ABC jika a 2 = b 2 + c 2 + bc maka tentukan β + γ ! Jawab : a 2 = b 2 + c 2 + bc = b 2 + c 2 − 2bc cosα ⇒ cosα = − 1 ⇔ α = 120 2 β + γ = 180 − α = 60 88. Dalam segitiga ABC berlaku c 2 = ( a cosα − b sin α ) 2 + ( a sin α + b cosα ) 2. Tentukan besarnya sudut C! Jawab : c 2 = a 2 cos 2 α − 2ab sin α cosα + b 2 sin 2 α + a 2 sin 2 α + 2ab sin α cosα + b 2 cos 2 α c 2 = a 2 (cos 2 α + sin 2 α ) + b 2 (cos 2 α + sin 2 α ) c 2 = a 2 + b2 ⇒ ∠ C = 90 89. Tentukan nilai sin 2 15 + sin 2 15 cos 2 15 + sin 2 15 cos 4 15 + sin 2 15 cos6 15 + ....... Jawab : 1 sin 2 15 (1 + cos 2 15 + cos 4 15 + cos 6 15 + .....) = sin 2 15. =1 1 − cos 2 15 90. Sebuah balok luas alasnya 96 cm 2 , luas sisi depannya 72 cm 2 dan luas sisi sampingnya 48 cm 2 . Tentukan volume balok ! Jawab : 96t pl = 96 dan pt = 72 maka l = 72 96 t .t = 48 ⇒ t = 6 ⇒ l = 8 dan p = 12 lt = 48 atau 72 V = p l t = 12.8.6=576 91. Sebuah balok mempunyai perbandingan ukuranp : l : t = 6 : 3 : 2. Jika panjang diagonal ruangnya 28 cm, tentukan volume balok ! Jawab : Misal p =6x, l = 3x dan l = 2x maka 282 = ( 6 x ) 2 + (3 x) 2 + ( 2 x) 2 ⇒ x = 4 Jadi V = p l t = 24.12.8 = 2304 cm 2
  • 24. 92. C Tentukan luas segitiga ABC ! 4x+5 x+2 A B 4x+4 Jawab : ( 4 x + 5) 2 = ( 4 x + 4) 2 + ( x + 2) 2 1 L = (4.5 + 4)(5 + 2) = 84 2 ⇒ x= 5 93. Tentukan jumlah angka-angka dari 1025 − 25 ! Jawab : 1025 − 25 = 1000.....000 − 25 = 999 …. 99975 25 angka 23 angka Jadi jumlah angka-angkanya = 9.23+7+5= 219 94. Jika f(1) = 5 dan f(x+1)= 2f(x)maka tentukan f(7) ! Jawab : f(1) = 5 f(2) = 2f(1)= 10 f(3) = 2f(2)= 20 f(4) = 2f(3)= 40 …. Jadi 5, 10, 20, 40, …. Berupa barisan geometri dengan rasio = 2. Sehingga f(7) = 5. 27 − 1 = 320 95. Empat bola berjari- sama yaitu 10 cm terletak di atas meja sedemikian sehingga pusat dari keempat jari bola membentukbujursangkar bersisi 20 cm. Bola kelima berjari- 10 cm diletakkan diatasnya jari sehingga bola tersebut menyinggung keempat bola pertama. Tinggi pusat bola kelima dari meja adalah …. Jawab : 20 t 20 10 10 Dari atas dari samping ( ) h = t + 10 = 400 − 100 + 10 = 10 3 + 1 96. Pada lomba maraton tiap peserta diberi nomor urut 1, 2, 3, 4, ……dst. Banyaknya angka yang dipakai untukmenulis nomorseluruhpeserta adalah 1998buah. Berapa banyak peserta maraton tersebut ? Jawab : Nomor 1 angka : 9 x 1 = 9 yaitu 1 – 9 Nomor 2 angka : 90 x 2 = 180 yaitu 10 – 99 Nomor 3 angka : 1998 – 189 = 1809 Banyaknya bilangan dengan 3 angka : 1809 : 3 = 603 Jadi banyak peserta = 603 + 9 + 90 = 702 peserta