1. CHƯƠNG V: TỔNG HỢP BỘ
LỌC SỐ CÓ ĐÁP ỨNG XUNG
CÓ CHIỀU DÀI HỮU HẠN FIR
1

2. MỞ ĐẦU
• Định nghĩa Bộ lọc số:
Một hệ thống dùng làm biến dạng sự phân bố tần số của
các thành phần của một tín hiệu theo các chỉ tiêu đã cho
được gọi là bộ lọc số.
• Biểu diễn trong miền z:
N −1
H ( z ) = ∑ h ( n ) z −n
n =0
• Biểu diễn trong miền tần số ω:
( )
N −1
H e jω = ∑ h( n ) e − jωn
n =0
2

3. Phân loại các bộ lọc FIR pha tuyến tính
Loại bộ lọc Bậc Sự đối xứng của Pha tuyến tính
FIR bộ lọc các hệ số
(N)
Loại I Lẻ h(n) = h(N-1-n) θ(ω) = -αω; α = (N-1)/2
Loại II Chẵn h(n) = h(N-1-n) θ(ω) = -αω; α = (N-1)/2
Loại III Lẻ h(n) = -h(N-1-n) θ(ω) = β-αω; α = (N-1)/2; β = ±π/2
Loại IV Chẵn h(n) = -h(N-1-n) θ(ω) = β-αω; α = (N-1)/2; β = ±π/2
3

4. Đáp ứng tần số của các bộ lọc FIR pha tuyến tính
h(n) đối xứng h(n) phản đối xứng
h(n) = h(N-1-n) h(n) = -h(N-1-n)
N −1  π N −1 
N lẻ He( ) = A( e )e
jω jω
− jω
2
( FIR 1) ( ) = A( e )e
H e jω jω
− j −
2 2
ω

( FIR 3)
N −1 N −1
( ) = ∑ a( n ) cos ωn
2
( )
2
A e jω = ∑ c( n ) sin ωn
jω
Ae
n =0
n =1
 N −1 
a ( 0 ) = h    N −1 
− n 1≤ n ≤
N −1
2h
 2  c( n ) =   2  2
  N −1  N −1 0 n khac
 2 h − n 1≤ n ≤ 
a( n ) =   2
0

n khac
2
( )
A e jω = 0 tai ω = 0 và ω = π

N N −1  π N −1 
chẵn He( ) = A( e )e
jω jω
− jω
2
( FIR 2) He( ) = A( e )e
jω jω
− j −
2 2
ω

( FIR 4)
N N
  1 
( ) ( )   1 
2 2
A e jω = ∑ b( n ) cos ω  n −  A e jω = ∑ d ( n ) sin ω  n − 
n =1   2  n =1   2 
 N  N  N  N
2h − n  1≤ n ≤ 2h − n  1≤ n ≤
b( n ) =   2  2 d ( n) =   2  2
0 n khac 0 n khac
 
( )
A e jω = 0 tai ω = π ( )
A e jω = 0 tai ω = 0
4

5. Các phương pháp thiết kế
• Phương pháp cửa sổ:
Dùng các cửa sổ để hạn chế chiều dài đáp ứng xung
của bộ lọc số lý tưởng và đưa về nhân quả.
• Phương pháp lấy mẫu tần số:
Trong vòng tròn tần số lấy các điểm khác nhau để tổng
hợp bộ lọc.
• Phương pháp lặp tối ưu (phương pháp tối
ưu - MINIMAX):
phương pháp gần đúng Tchebyshef, tìm sai số cực đại
Emax của bộ lọc thiết kế với bộ lọc lý tưởng, rồi làm
cực tiểu hoá đi sai số này: min|Emax|. Các bước cực
tiểu sẽ được máy tính lặp đi lặp lại.
5

6. TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ FIR
THEO PHƯƠNG PHÁP CỬA SỔ
• Các thủ tục thiết kế bộ lọc số FIR được thực hiện qua
các bước sau:
– Đưa ra chỉ tiêu kỹ thuật trong miền tần số
– Chọn loại cửa sổ và chiều dài cửa sổ N
– Chọn loại bộ lọc số lý tưởng( thông thấp, thông cao, thông
dải, chắn dải), tức là chọn h(n)
– Để hạn chế chiều dài thì nhân cửa sổ với h(n):
w ( n ) N .h ( n ) = hd ( n )
– Thử lại xem có thỏa mãn hay không bằng cách chuyển
sang miền tần số.
π
( ) ( ) ( )
H d e jω = WR e jω * H e jω =
1
2π ∫ ( ) ( )
WR e jω ' H e j ( ω −ω ' ) dω '
−π
6

7. Một số cửa sổ (window)
• Cửa sổ chữ nhật:
– Định nghĩa: Trong miền n, cửa sổ chữ nhật được định nghĩa
như sau:
1 0 ≤ n ≤ N −1
wR ( n ) N =
0 n≠
N ( )
WR e jω
-ω s 0 2π ωs 4π ω
4π N N
N
7

8. Cửa sổ chữ nhật trong miền tần số
N N N
− jω jω − jω
N −1
1 − e − jω N e (e −e )
( )
2 2 2
WR e jω
= FT  wR ( n ) 7  = ∑ e − jω n
  = − jω
= ω ω ω
N
n =0 1− e −j j −j
e 2
(e 2
−e 2
)
N
 N −1 
− jω sin ω
( )

=e  2  2 = e jθR ( ω) A e jω
ω R
sin
2
8

9. Dạng 0/0
N N
sin ω sin ω
N 2 2
ω ⋅
2 ωN ω
N
( )
AR e jω =
ω
2 =N 2
ω
sin sin
ω 2 2
⋅
2 ω ω
2 2
N
-ωs 0 ωs
ω
4π
N 9

10. Các tham số của cửa sổ phổ
• Bề rộng đỉnh trung tâm: ∆Ω
• Tỷ số của biên độ đỉnh thứ cấp đầu tiên & biên
độ đỉnh trung tâm (dB):
λ = 20 lg
We ( ) jω s
[dB ]
( )
W e jω 0
ω s : tần số ở giữa đỉnh thứ cấp đầu tiên
của cửa sổ phổ W ( e )
jω
VD: Đối với cửa sổ chữ nhật
∆Ω R =
∆ω
4π ( )
WR e jωs
λR = 20 lg (dB ) ≈ −13dB
N W (e )
R
j0
10

11. VD
• Hãy thiết kế bộ lọc số thông thấp FIR pha tuyến tính
dùng phương pháp cửa sổ chữ nhật: ωc = π ; N = 7
2
• Chương 3:
ωc sin ωc n
θ (ω) = 0 hLP ( n ) =
π ωc n
WR ( n ) 7
• Do
N −1 1
θ ( ω) = − ω
2
N −1
• Cần dịch: -1 0 1 2 3 4 5 6 7 n
2
T© ® xøng t¹ i
m èi
pha θ ( ω)
11

12. VD
 N −1 
sin ωc  n − 
ωc  2 
• Đáp ứng xung: hLP ( n ) =
π  N −1 
ωc  n − 
 2 
π π
• Thay số ωc = ;N = 7 sin ( n − 3)
2 1 2
hLP ( n ) =
2 π n−3
( )
h(n)
2
• Nhân với cửa sổ:
1/2
1
π
1
5π
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n
1
− 12
3π
T© ® xøng
m èi

13. VD
1
• Các hệ số: hd ( 0 ) = − = hd ( 6 )
3π
hd ( 1) = 0 = hd ( 5 )
1
hd ( 2 ) = = hd ( 4 )
π
1
hd ( 3) =
2
• Hàm truyền đạt:
6
1 1 −2 1 −3 1 −4 1 −6
H d ( z ) = ∑ hd ( n ) z − n = − + z + z + z − z
n =0 3π π 2 π 3π
• Phương trình sai phân:
1 1 1 1 1
y ( n) = − x ( n ) + x ( n − 2 ) + x ( n − 3) + x ( n − 4 ) − x ( n − 6)
3π π 2 π 3π
13

14. Sơ đồ
1
−
3π
X(z) Y(z)
−1
Z
Z −1 1
π
Z −1 1
2
Z −1 1
π
Z −1
1
Z −1 −
3π
14

15. Hiện tượng Gibbs
• Các dao động ở dải thông & dải chắn xung
quanh trục chuyển biến đột ngột ωc do việc hạn
chế chiều dài của đáp ứng xung h(n) của bộ lọc
số lý tưởng bằng cửa sổ sinh ra.
15

16. Cửa sổ Bartlett (tam giác)
Định nghĩa: Trong miền n, cửa sổ Bartlett được định
nghĩa như sau: N −1
2n 
 N −1 0≤n≤
2

 2n N −1
wT ( n ) N = 2 − ≤ n ≤ N −1
 N −1 2
WT ( n ) 7  0 n≠

1 
1/2
1/3
hHP ( n )
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 n
1/2
N −1 1
T© ® xøng t¹ i
m èi
2 3π
N=7 8
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 9 n
1
−
π
16

17. Cửa sổ Hanning và Hamming
Định nghĩa: Trong miền n, cửa sổ Hanning và
Hamming được định nghĩa như sau:
 2π
α − ( 1 − α ) cos n 0 ≤ n ≤ N −1
wH ( n ) N = N −1
0
 n≠
α = 0,5 : cửa sổ Hanning
α = 0,54 : cửa sổ Hamming
17

18. Cửa sổ Blackman
Định nghĩa: Trong miền n, cửa sổ Blackman được
định nghĩa như sau:
 N2−1
 ( −1) m a cos 2π mn
wB ( n ) N = ∑ m
N −1
0 ≤ n ≤ N −1
m=0

0 n≠
N −1
Với điều kiện: 2
∑a
m =0
m =1
18

19. Cửa sổ Kaiser
• Định nghĩa: Trong miền n cửa sổ Kaiser được định nghĩa như
sau:
  N −1 2
 I 0 β 



 2N
1− 

− 1 
   2 
  n −1   
 0 ≤ n ≤ N −1
wk ( n ) N =   N − 1 
 I 0 β  
   2 
0 n≠

2
∞ 1  x k

I0 ( x ) = 1 + ∑     : hàm Bessel biến dạng loại 1 bậc 0
k =1  k !  2 
 

19

20. Tóm tắt cửa sổ
Loại cửa sổ ω
Bề rộng đỉnh trung tâm ∆∆Ω. Tỷ số λ (dB)
Chữ nhật 4π M -13
Bartlett 8π M -27
Hanning 8π M -32
Hamming 8π M -43
Blackman 12 π M -58
20