페리 수열(farey sequence) 특징을 알아보고 관련된 project euler 문제 71, 72, 73을 풀어본다. 풀이 소스 코드를 제거하고 올림. (project euler에서 풀이를 공유하는 건 권장하지 않기 때문)

1. 페리 수열 / farey sequence
𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑜𝑛 =
0
1
,
1
2
, … ,
페리
farey
,
수열
sequence
, … ,
ohye
ohyecloudy
,
cloudy
.com
, … ,
0 + 1
1 + 2 ohyecloudy / ohyecloudy.com
2013-06-08

2. 어쩌다가 이런 주제로…
• Project Euler 삽질이 이끌었다.
• 힘으로 푼 뒤 알아 보니 페리 수열

3. 페리 수열 특징을 알아본다.
• + 관련된 Project Euler 문제 풀이
• 물론 Clojure로

4. 페리 수열?

5. 페리 수열 𝐹𝑛은
0 ≤ ℎ ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 , gcd ℎ, 𝑘 = 1을
만족하는
ℎ
𝑘
를 오름차순으로 나열한 수열

6. 페리 수열 𝐹𝑛은
0 ≤ ℎ ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 , gcd ℎ, 𝑘 = 1을
만족하는
ℎ
𝑘
를 오름차순으로 나열한 수열
기약분수irreducible fraction
진분수proper fraction

7. 𝐹1 =
0
1
,
1
1
𝐹2 =
0
1
,
1
2
,
1
1
𝐹3 =
0
1
,
1
3
,
1
2
,
2
3
,
1
1
𝐹4 =
0
1
,
1
4
,
1
3
,
1
2
,
2
3
,
3
4
,
1
1
⋯

8. 어떤 특징을 가진 수열일까?
• 기본적인 3가지 특징만 소개
• 문제 풀면서 추가로~

9. 𝐹𝑞에서
𝑎
𝑏
<
𝑝
𝑞
<
𝑐
𝑑
인
𝑝
𝑞
는
𝑎+𝑐
𝑏+𝑑
로 구할 수 있다
1

10. 𝐹𝑞에서
𝑎
𝑏
<
𝑝
𝑞
<
𝑐
𝑑
인
𝑝
𝑞
는
𝑎+𝑐
𝑏+𝑑
로 구할 수 있다
1
알고 있는 항member

11. 𝐹𝑞에서
𝑎
𝑏
<
𝑝
𝑞
<
𝑐
𝑑
인
𝑝
𝑞
는
𝑎+𝑐
𝑏+𝑑
로 구할 수 있다
1
새롭게 추가되는 항
이상하게 더하고 있어.

12. 1
3
+
1
2
=
2
5
• 패기 넘치는 분수 더하기
• 바보 셈freshman sum
• mediant

13. 𝐹1 =
0
1
,
1
1
𝐹2 =
0
1
,
1
2
,
1
1
𝐹3 =
0
1
,
1
3
,
1
2
,
2
3
,
1
1
⋯
0 + 1
1 + 1
=
1
2
0 + 1
1 + 2
=
1
3
1 + 1
2 + 1
=
2
3

14. 𝐹𝑛은 𝐹𝑛−1을 포함한다.
2

15. 𝐹1 =
0
1
,
1
1
𝐹2 =
0
1
,
1
2
,
1
1
𝐹3 =
0
1
,
1
3
,
1
2
,
2
3
,
1
1
𝐹4 =
0
1
,
1
4
,
1
3
,
1
2
,
2
3
,
3
4
,
1
1
⋯

16. 𝐹1 =
0
1
,
1
1
𝐹2 =
0
1
,
1
2
,
1
1
𝐹3 =
0
1
,
1
3
,
1
2
,
2
3
,
1
1
𝐹4 =
0
1
,
1
4
,
1
3
,
1
2
,
2
3
,
3
4
,
1
1
⋯

17. 𝑎+𝑐
𝑏+𝑑
는 𝐹𝑏+𝑑에서 처음으로 나타난다.
3

18. 𝑎+𝑐
𝑏+𝑑
는 𝐹𝑏+𝑑에서 처음으로 나타난다.
3
분모와 같다

19. 𝐹1 =
0
1
,
1
1
𝐹2 =
0
1
,
1
2
,
1
1
𝐹3 =
0
1
,
1
3
,
1
2
,
2
3
,
1
1
𝐹4 =
0
1
,
1
4
,
1
3
,
1
2
,
2
3
,
3
4
,
1
1
⋯

20. 기본적인 특징들
•
𝑎
𝑏
<
𝑝
𝑞
<
𝑐
𝑑
인
𝑝
𝑞
=
𝑎+𝑐
𝑏+𝑑
• 𝐹𝑛은 𝐹𝑛−1을 포함
•
𝑎+𝑐
𝑏+𝑑
는 𝐹𝑏+𝑑에서 처음으로 나타남

21. 이제 문제 풀이
• + 풀이에 필요한 추가적인 특징 설명

22. Consider the fraction, 𝑛
𝑑, where 𝑛 and 𝑑 are positive integers. If 𝑛 < 𝑑 and
HCF 𝑛, 𝑑 = 1, it is called a reduced proper fraction.
If we list the set of reduced proper fractions for 𝑑 ≤ 8 in ascending order of
size, we get:
1
8, 1
7, 1
6, 1
5, 1
4, 2
7 , 1
3, 3
8, 2
5, 3
7, 1
2, 4
7 , 3
5, 5
8, 2
3, 5
7, 3
4, 4
5 , 5
6, 6
7, 7
8
It can be seen that 2
5 is the fraction immediately to the left of 3
7.
By listing the set of reduced proper fractions for 𝑑 ≤ 1,000,000 in ascending
order of size, find the numerator of the fraction immediately to the left of 3
7.
http://projecteuler.net/problem=71
ProjectEuler#71

23. 𝐹1,000,000에서
3
7
보다 작은 수 중 가장 큰 수를 구하라.

24. 𝐹8 = ⋯ , 2
5 , 3
7 , ⋯
𝐹12 = ⋯ , 2
5 , 5
12 , 3
7 , ⋯
𝐹19 = ⋯ , 5
12 , 8
19 , 3
7 , ⋯
…
𝐹1,000,000 = ⋯ , 𝑥, 3
7 , ⋯
계산
필요 없다

25. (defn rhs-farey-pair [[a b c d]]
(let [mediant-n (+ a c)
mediant-d (+ b d)]
[mediant-n mediant-d c d]))
(rhs-farey-pair [2 5 3 7])
 [5 12 3 7]
2
5 , 3
7
5
12 , 3
7

26. Consider the fraction, 𝑛
𝑑, where 𝑛 and 𝑑 are positive integers. If 𝑛 < 𝑑 and
HCF 𝑛, 𝑑 = 1, it is called a reduced proper fraction.
If we list the set of reduced proper fractions for 𝑑 ≤ 8 in ascending order of
size, we get:
1
8, 1
7, 1
6, 1
5, 1
4, 2
7 , 1
3, 3
8, 2
5, 3
7, 1
2, 4
7 , 3
5, 5
8, 2
3, 5
7, 3
4, 4
5 , 5
6, 6
7, 7
8
It can be seen that there are 3 fractions between 1
3 and 1
2.
How many fractions lie between 1
3 and 1
2 in the sorted set of reduced proper
fractions for 𝑑 ≤ 12,000?
http://projecteuler.net/problem=73
ProjectEuler#73

27. 𝐹12,000에서
1
3
보다 크고
1
2
보다 작은 항의 개수를
구하라.

28. 𝐹12,000을 구하려면 𝐹11,999을 구해야 한다.
뒤에 붙는 형식이 아니라 중간중간 삽입
stack overflow 냄새

29. 바로 다음 항을 구할 수 있나?
• 𝑛이 주어졌을 때.

30. 𝐹12,000 = 0
1 , 1
12,000 , 𝑥, ⋯
이 두 항은 알 수 있다.
항상 0
1 , 1
𝑛

31. 𝑎
𝑏
<
𝑐
𝑑
<
𝑝
𝑞
즉, 이 두 항으로 다음 항을 구하는 방법

32. 𝑎
𝑏
<
𝑐
𝑑
=
𝑎 + 𝑞
𝑏 + 𝑞
<
𝑝
𝑞
𝒌𝑐
𝒌𝑑
=
𝑎+𝑝
𝑏+𝑞
를 만족하는 𝒌가 존재
𝑐
𝑑
는 기약분수이기 때문

33. 𝑝
𝑞
=
𝑘𝑐 − 𝑎
𝑘𝑑 − 𝑏
𝒌𝑐
𝒌𝑑
=
𝑎 + 𝑝
𝑏 + 𝑞
𝑛

34. max(𝑘) =
𝑛 + 𝑏
𝑑
𝑘𝑑 − 𝑏 ≤ 𝑛
𝑘 ≤
𝑛 + 𝑏
𝑑

35. 𝐹𝑛 =…,
𝑎
𝑏
,
𝑐
𝑑
,
𝑘𝑐−𝑎
𝑘𝑑−𝑏
,…
𝑘 =
𝑛 + 𝑏
𝑑

36. 𝐹4 =
0
1
,
1
4
,
1
3
,
1
2
, 𝑥, …
𝑎
𝑏
=
1
3
,
𝑐
𝑑
=
1
2
, 𝑘 =
4+3
2
= 3 𝑝
𝑞
=
2
3

37. (defn next-term [[a b c d n]]
(let [k (int (/ (+ n b) d))
p (- (* k c) a)
q (- (* k d) b)]
[c d p q n]))
(next-term [1 3 1 2 4])
[1 2 2 3 4]
1
3
,
1
21
2
,
2
3

38. (defn farey-seq [n]
(take-while
#(<= % 1)
(map (fn [[a b _ _ _]] (/ a b))
(iterate next-term [0 1 1 n n]))))
𝐹2 =
0
1
,
1
2
,
1
1
,
3
2
,
2
1
, ⋯
진분수 가분수improper fraction

39. Consider the fraction, 𝑛
𝑑, where 𝑛 and 𝑑 are positive integers. If 𝑛 < 𝑑 and
HCF 𝑛, 𝑑 = 1, it is called a reduced proper fraction.
If we list the set of reduced proper fractions for 𝑑 ≤ 8 in ascending order of
size, we get:
1
8, 1
7, 1
6, 1
5, 1
4, 2
7 , 1
3, 3
8, 2
5, 3
7, 1
2, 4
7 , 3
5, 5
8, 2
3, 5
7, 3
4, 4
5 , 5
6, 6
7, 7
8
It can be seen that there are 21 elements in this set.
How many elements would be contained in the set of reduced proper fractions
for 𝑑 ≤ 1,000,000?
http://projecteuler.net/problem=72
ProjectEuler#72

40. |𝐹1,000,000| − 2를 구하라.

41. 0
1
,
1
1
제외
|𝐹1,000,000| − 2를 구하라.

42. 𝐹1,000,000을 구해서 개수를 센다면
• 세월아 네월아.
• 개수만 빠르게 구할 수 있을까?

43. 𝐹𝑛에서는
𝐹𝑛−1에 없는 어떤 항이 추가되나?
gcd 𝑛, 𝑎 = 1을 만족하는
𝑎
𝑛
가 추가

44. 𝐹𝑛 = 𝐹𝑛−1 + 𝜑(𝑛)
Euler's totient function
1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, gcd 𝑛, 𝑘 = 1을 만족하는 정수 𝑘 개수

45. 𝐹𝑛 = 1 + 𝜑(𝑚)
𝑛
𝑚=1
𝐹1 = 2이고 𝜑 1 = 1이기 때문

46. 𝜑 𝑛 = 𝑛 (1 −
1
𝑝
)
𝑝|𝑛
𝑛을 나머지 없이 나누는 소수prime

47. 𝜑 2 = 𝜑 21
= 2 1 −
1
2
= 1
𝜑 3 = 𝜑 31
= 3 1 −
1
3
= 2
𝜑 4 = 𝜑 22
= 4 1 −
1
2
= 2
𝜑 36 = 𝜑 22
32
= 36 1 −
1
2
1 −
1
3
= 12

48. (defn euler-totient [n]
(* n
(apply
*
(map #(- 1 (/ 1 %))
(filter
#(zero? (mod n %))
(take-while #(<= % n) primes))))))

49. (defn farey-seq-length [n]
(+ 1
(apply +
(map euler-totient
(range 1 (inc n))))))

50. 마무리

51. • 페리 수열 𝐹𝑛은 0 ≤ ℎ ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 , gcd ℎ, 𝑘 = 1
을 만족하는
ℎ
𝑘
를 오름차순으로 나열한 수열.
• 바보 셈으로 다음 항을 구하는 재미있는 특징.
• Project Euler 문제는 어떤 수열에 관련된 문제
인지 안 가르쳐 줘

52. CC BY-NC-SA 3.0
Reference
Farey sequence – wikipedia
페리 수열 – wikipedia
mediant – wikipedia
바보 셈에서 페리수열로 – 네이버캐스트
@ohyecloudy