Este documento define y explica el concepto de curtosis, una medida de la forma o apuntamiento de las distribuciones de probabilidad. La curtosis mide la concentración de valores alrededor de la media en comparación con una distribución normal. Valores más altos indican una distribución más apuntada (leptocúrtica), mientras que valores más bajos indican una distribución más plana (platicúrtica). El documento también advierte sobre interpretaciones erróneas de la curtosis y proporciona ejemplos de su cálculo e import
1. CURTOSIS
En teoría de la probabilidad y estadística, la carosis es una medida de la forma o
apuntamiento de las distribuciones. Así las medidas de carosis
(También llamadas de apuntamiento o de concentración central) tratan de estudiar la
mayor o menor concentración de frecuencias alrededor de la media y en la zona central
de la distribución
DEFINICION DE CURTOSIS
El coeficiente de apuntamiento de uso más extendido es el basado en el cuarto momento
con respecto a la media y se define como:
donde es el 4º momento centrado o con respecto a la media y es la desviación
estándar.
En ocasiones se emplea esta otra definición del coeficiente de curtosis:
donde al final se ha sustraído 3 (que es la curtosis de la Normal) con objeto de generar un
coeficiente que valga 0 para la Normal y tome a ésta como referencia de apuntamiento:
Tomando, pues, la distribución normal como referencia, una distribución puede ser:
más apuntada que la normal –leptocúrtica.
menos apuntada que la normal- platicúrtica.
la distribución normal es mesocúrtica.
En la distribución normal se verifica que , donde es el momento de orden 4
respecto a la media y la desviación típica.
Así tendremos que:
Si la distribución es leptocúrtica y
Si la distribución es platicúrtica y
Si la distribución es mesocúrtica y
2. Otra forma de medir la curtosis se
obtiene examinando la fórmula de la
curtosis de la suma de variables
aleatorias. Si Y es la suma de n
variables aleatoriestadísticamente
independiente todas con igual
distribución X, entonces ,
complicándose la fórmula si la curtosis
se hubiese definido como .
La curtosis, una medida ampliamente
conocida pero malinterpretada….
La curtosis es uno de los conceptos peor comprendidos no solamente por estadísticos sino por los distintos
profesionales que son usuarios de la estadística. Es casi imposible encontrar un libro (sea introductorio o
avanzado) que se tome la molestia de hacer un alto en el camino y tratar de aclarar que es lo que significa
exactamente esta medida. Usualmente los libros introductorios reducen la curtosis a una simple medida que
da cuente de que tan apuntada o plana es una distribución sin tener en cuenta las colas o valores atípicos que
tienen una gran influencia en el cálculo de esta medida.
Entre las varias fallas que comenten los libros introductorios es de ilustrar el concepto de curtosis en
distribuciones que tiene distintas varianzas, por ejemplo, en la figura a continuación se observa que la
distribución con línea discontinua tiene una apariencia plana (platicurtica) , la gráfica punteada luce como
una distribución apuntada (leptocúrtica) , y en realidad, las tres gráficas fueron generadas por una distribución
normal, por tanto las tres distribuciones tienen una curtosis mesocúrtica (este es la medida estándar de
curtosis ya que corresponde a la curtosis de nuestra querida distribución normal). La medida de curtosis es
adimensional (de hecho en el denominador del cálculo de la fórmula clásica aparece la varianza), los concepto
de varianza y curtosis son absolutamente distintos y no se debe prestarse para confusiones. Una buena manera
de comparar de manera gráfica la curtosis de varios conjuntos de datos es estandarizar las variables con el
propósito de no dar una mala interpretación a la información gráfica.
3. Fuente: DeCarlo (1997)
DeCarlo (1997) nos da una excelente explicación para comprender e interpretar mejor el concepto de curtosis.
Nos explica que la curtosis representa un movimiento de masa que no afecta la varianza. Consideremos el
caso por ejemplo de una distribución con una curtosis positiva, en este tipo de distribuciones colas pesadas
son acompañadas de picos altos (apuntalamiento), notemos que si hubiera simplemente un desplazamiento
importante de la distribución hacia las colas de la distribución esto conllevaría a un aumento de la varianza de
la distribución, la manera como se compensa este aumento de la varianza es concentrando la distribución
alrededor de la media. Por otro lado una distribución platicúrtica tiene una menor concentración de valores
alrededor de la media y no suele tener colas pesadas, se compensa esa “baja varianza” con una mayor
variabilidad en el resto de la distribución.
Entre las muchas utilidades que tiene la curtosis es la de detección de la normalidad en un conjunto de datos
en combinación con las medidas de asimetría por ejemplo la prueba de detección de normalidad de
D’agostino. Es igualmente una excelente manera para detectar la existencia de datos atípicos. Debe verificarse
en las pruebas de igualdad de varianzas y en todas pruebas que requieran la normalidad que se verifique al
menos de manera aproximada esta propiedad.
También debo anotar que la curtosis tiene una interpretación extremadamente complicada cuando las
distribuciones no son unimodales, en este caso convendría mejor estudiar por regiones la distribución.
l
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6. o Un poco dificil esta tesis... para leer la base de datos de la aplicación práctica, me tocó escribir un artículo
!!!about 1 dayago
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o @ustadistica Resultados de mi evaluación docente. Muestreo 1: 4.8 y Muestreo 2: 4.8.about 2 weeksago
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Comentarios
o María Velásquez Zúñiga onBolsa de empleo
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7. o NicolasonDel muestreo a la teoría estadística… (Si no utilizó un MAS con reemplazo, sus análisis no son
válidos)
o Pilar onLos algoritmos más utilizados en Data Mining
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