Vphnb tt

Công th c Taylor
C c tr đ a phương
C c tr có đi u ki n
Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t

Ôn thi Cao h c năm 2010
Môn Gi i Tích cơ b n

PGS TS. Lê Hoàn Hóa

Khoa Toán - Tin H c, Trư ng Đ i H c Sư Ph m TP HCM

http://math.hcmup.edu.vn

Ngày 16 tháng 12 năm 2009

PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 1

Công th c Taylor

Phép Tính Vi Phân C a Hàm
Nhi u Bi n (tt)


Công th c Taylor

N i dung
1 Công th c Taylor
Đ o hàm riêng b c cao
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p
2 C c tr đ a phương
Đi u ki n c n - Đi u ki n đ
Thí d
Bài t p
3 C c tr có đi u ki n
Đ nh nghĩa
Đi u ki n c n (Đ nh lý nhân t Lagrange)
Đi u ki n đ
Thí d
Bài t p
4 Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t
Thí d
Bài t p


Công th c Taylor
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p



Công th c Taylor
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p


Đ nh nghĩa 1
Cho D là t p m trong Rn , f : D → R. Gi s đ o hàm riêng
∂f ∂f
∂xi (x), i = 1, 2, . . . , n t n t i v i m i x ∈ D. Khi đó ∂xi : D → R
∂f
bi n x ∈ D thành ∂xi (x) là hàm s th c theo n bi n s th c và
đư c g i là hàm đ o hàm riêng c a f theo bi n xi . Ta có th đ
∂f
c p đ n đ o hàm riêng c a hàm ∂xi theo bi n xj

∂f ∂f
∂ ∂f ∂xi (x + tej ) − ∂xi (x) ∂2f
(x) = lim ≡ (x)
∂xj ∂xi t→0 t ∂xi ∂xj

và g i là đ o hàm riêng b c hai c a f theo bi n xi , xj , theo theo
th t , t i x.


Công th c Taylor
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p

Đ o hàm riêng b c cao(tt)

Thí d
Cho
x −y 2 2
xy x 2 +y 2 x2 + y2 > 0
f (x, y ) =
0 x =y =0


Công th c Taylor
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p


Thí d
Cho
x −y 2 2
xy x 2 +y 2 x2 + y2 > 0
f (x, y ) =
0 x =y =0
∂2f ∂2f
Ta s có: ∂x∂y (0, 0) = −1 và ∂y ∂x (0, 0) = 1.


Công th c Taylor
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p


Th t v y, ta có:

∂f f (t, 0) − f (0, 0)
(0, 0) = lim =0
∂x t→0 t
∂f f (0, t) − f (0, 0)
(0, 0) = lim =0
∂y t→0 t
∂f f (t, y ) − f (0, y ) ty (t 2 − y 2 )
(0, y ) = lim = lim = −y
∂x t→0 t t→0 t(t 2 + y 2 )

∂f f (x, t) − f (x, 0) tx(x 2 − t 2 )
(x, 0) = lim = lim =x
∂y t→0 t t→0 t(x 2 + t 2 )


Công th c Taylor
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p


Suy ra
∂f ∂f
∂2f ∂x (0, t) − ∂x (0, 0)
(0, 0) = lim = −1
∂x∂y t→0 t
∂f ∂f
∂2f ∂y (t, 0) − ∂y (0, 0)
(0, 0) = lim =1
∂y ∂x t→0 t


Công th c Taylor
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p


Đ nh lý 1 (Đ nh lý Schwartz)
∂2f ∂2f
N u các đ o hàm riêng ∂xi ∂xj , ∂xj ∂xi liên t c t i x thì

∂2f ∂2f
(x) = (x)
∂xi ∂xj ∂xj ∂xi


Công th c Taylor
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p

Công th c Taylor

Cho D là t p m trong Rn , f : D → R và f ∈ C k (D) (nghĩa là các
đ o hàm riêng h n h p b c bé thua hay b ng k liên t c). Cho
x ∈ D và h = (h1 , h2 , . . . , hn ) ∈ Rn sao cho:
x + th ∈ D, ∀t ∈ [0, 1]. Khi đó t n t i θ ∈ (0, 1) sao cho:

n n 2
∂ 1 ∂
f (x +h) = f (x)+ hi f (x)+ hi f (x)+· · ·
∂xi 2! ∂xi
1 1
n k−1 n k
1 ∂ 1 ∂
+ hi f (x) + hi f (x + θh)
(k − 1)! ∂xi k! ∂xi
1 1

k
1 n ∂
S h ng k! 1 hi ∂xi f (x + θh) là dư s Lagrange.


Công th c Taylor
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p

Công th c Taylor(tt)

Ho c là:

n n 2
∂ 1 ∂
f (x +h) = f (x)+ hi f (x)+ hi f (x)+· · ·
∂xi 2! ∂xi
1 1
n k−1
1 ∂ 1
+ hi f (x) + ϕ(h)hk
(k − 1)! ∂xi k!
1

1
trong đó s h ng k! ϕ(h)hk là đ i lư ng vô cùng bé b c l n hơn
h k , đư c g i là dư s Peano.


Công th c Taylor
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p

Công th c Taylor(tt)

Trư ng h p n = 2, h = (s, t), ta có công th c:

∂f ∂f
f (x + s, y + t) = f (x, y ) + (x, y ) s + (x, y ) t
∂x ∂y
1 ∂2f ∂2f ∂2f
+ (x, y ) s 2 + 2 (x, y ) st + 2 (x, y ) t 2 + · · ·
2 ∂x 2 ∂x∂y ∂y
k
1 ∂k f k/2
+ Ck s i t k−i
i
+ o s2 + t2
k! ∂x i ∂y k−i
i=1

k/2
trong đó o s 2 + t 2 là lư ng vô cùng bé b c l n hơn
k/2
s2 + t2 .


Công th c Taylor
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p

Tính duy nh t

Cho D là t p h p m trong Rn , 0Rn ∈ D và f : D → R. Gi s
f ∈ C k (D) và th a mãn

f (x) = P(x) + R(x), ∀x ∈ D

trong đó P(x) là đa th c b c bé thua hay b ng k theo các bi n
x1 , x2 , . . . , xn và
k
|R(x)| q(x) x v i lim q(x) = 0
x→0Rn


Công th c Taylor
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p

Tính duy nh t(tt)


Công th c Taylor
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p

Tính duy nh t(tt)

Khi đó P(x) chính là khai tri n Taylor c a f g n 0Rn , nghĩa là

n n 2
∂ 1 ∂
P(x) = f (0) + xi f (0) + xi f (0) + · · ·
∂xi 2 ∂xi
1 1
n k
1 ∂
+ xi f (0)
k! ∂xi
1


Công th c Taylor
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p

Thí d 1


Công th c Taylor
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p

Thí d 1

Cho f (x, y ) = x sin(x 2 + xy ) thì f ∈ C k (R2 ) v i m i k ∈ N.


Công th c Taylor
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p

Thí d 1

Cho f (x, y ) = x sin(x 2 + xy ) thì f ∈ C k (R2 ) v i m i k ∈ N.

Dùng khai tri n thành chu i Taylor
∞
t 2k+1
sin t = (−1)k
(2k + 1)!
0

ta đư c
∞ 2k+1
2 k x 2 + xy
f (x, y ) = x sin x + xy = x. (−1)
(2k + 1)!
0


Công th c Taylor
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p

Thí d 1 (tt)
2k+1
(x 2 +xy ) x
S h ng (−1)k (2k+1)! là t ng c a các đơn th c b c (4k + 3)
theo hai bi n x, y tương ng v i s h ng (4k + 3) trong công th c
Taylor c a f là:
n
1 ∂ n f (0, 0)
Cn x i y n−i
i
v i n = 4k + 3.
(4k + 3)! ∂x i ∂y n−i
i=0


Công th c Taylor
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p

Thí d 1 (tt)
2k+1
(x 2 +xy ) x
S h ng (−1)k (2k+1)! là t ng c a các đơn th c b c (4k + 3)
theo hai bi n x, y tương ng v i s h ng (4k + 3) trong công th c
Taylor c a f là:
n
1 ∂ n f (0, 0)
Cn x i y n−i
i
v i n = 4k + 3.
(4k + 3)! ∂x i ∂y n−i
i=0

Nghĩa là
n 2k+1
1 ∂ n f (0, 0) x x 2 + xy
Cn x i y n−i
i
= (−1)k
(4k + 3)! ∂x i ∂y n−i (2k + 1)!
i=0

v i n = 4k + 3.


Công th c Taylor
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p

Thí d 1 (tt)

Dùng công th c này ta có th tính:


Công th c Taylor
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p

Thí d 1 (tt)

∂ 19 f (0, 0)
i) : ng v i k = 4, đ ng nh t h s c a s h ng x 16 y 3
∂x 16 ∂y 3
hai v :
1 16 ∂ 19 f (0, 0) 1 6
C19 16 ∂y 3
= C9
19! ∂x 9!
Suy ra:
∂ 19 f (0, 0) 16!
16 ∂y 3
=
∂x 6!


Công th c Taylor
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p

Thí d 1 (tt)

∂ 19 f (0, 0)
i) : ng v i k = 4, đ ng nh t h s c a s h ng x 16 y 3
∂x 16 ∂y 3
hai v :
1 16 ∂ 19 f (0, 0) 1 6
C19 16 ∂y 3
= C9
19! ∂x 9!
Suy ra:
∂ 19 f (0, 0) 16!
16 ∂y 3
=
∂x 6!

∂ n f (0, 0) ∂ 20 f (0, 0)
ii) = 0 n u n = 4k + 3, thí d =0v im i
∂x i ∂y n−i ∂x i ∂y 20−i
i t 1 đ n 20.


Công th c Taylor
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p

Thí d 2

Cho f (x, y ) = y 2 cos(x 2 + y ) thì f ∈ C k (R2 ) v i m i k ∈ N.


Công th c Taylor
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p

Thí d 2

Cho f (x, y ) = y 2 cos(x 2 + y ) thì f ∈ C k (R2 ) v i m i k ∈ N.

Dùng khai tri n thành chu i Taylor:
∞
t 2k
cos t = (−1)k
(2k)!
0

ta đư c:
∞ 2k
2 2 2 k x2 + y
f (x, y ) = y cos x + y = y . (−1)
(2k)!
0


Công th c Taylor
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p

Thí d 2 (tt)

C n khai tri n Taylor c a f đ n b c 10 v trái trong t ng
∞ 2 2k
2 k x +y
y (−1) . G i B là t ng các đơn th c b c bé thua
(2k)!
0
10, ta đư c
y2 x 4y 2 y6 x8 y8
B = y2 1 − − x 2y + x 4 + y 4 + x 2y 3 + − − x 2y 5 + +
2 2 6! 4! 8!

B chính là khai tri n Taylor c a f đ n b c 10.


Công th c Taylor
Công th c Taylor
Tính duy nh t
Thí d
Bài t p

Bài t p

1 Cho P(x, y ) là đa th c b c hai theo x, y . Gi s
∂P ∂P ∂2P
P(0, 0) = 1, (0, 0) = 0, (0, 0) = −1, (0, 0) =
∂x ∂y ∂x∂y
∂2P ∂2P ∂P ∂2P
2, (0, 0) = 1, (0, 0) = 1. Tính (1, 1), (1, 2).
∂x 2 ∂y 2 ∂x ∂x∂y
2 Khai tri n Taylor c a f (x, y ) = y 2 sin(x 2 − xy ) đ n b c 8
∂ 8 f (0, 0) ∂ 8 f (0, 0)
trong lân c n c a (0, 0). Tính và .
∂x 2 ∂y 6 ∂x 4 ∂y 4
3 Khai tri n Taylor c a f (x, y ) = e xy cos y đ n b c 4 trong lân
∂ 4 f (0, 0) ∂ 4 f (0, 0)
c n c a (0, 0). Tính và .
∂x 3 ∂y ∂x∂y 3


Công th c Taylor
Thí d
Bài t p


Đ nh nghĩa 2
Cho D là t p m trong Rn , f : D → R và x ∈ D. Ta nói:
f đ t c c đ i đ a phương t i x n u có r > 0 sao cho
B(x, r ) ⊂ D và f (x) f (y ) ∀y ∈ B(x, r ).
f đ t c c ti u đ a phương t i x n u có r > 0 sao cho
B(x, r ) ⊂ D và f (x) f (y ) ∀y ∈ B(x, r ).
f đ t c c tr đ a phương t i x n u f đ t c c đ i đ a phương
hay c c ti u đ a phương t i x.


Công th c Taylor
Thí d
Bài t p

Đi u ki n c n

Cho D m trong Rn , f : D −→ R và x ∈ D. Gi s t n t i các đ o
∂f
hàm riêng ∂xi (x), ∀i = 1, 2, . . . , n. N u f đ t c c tr đ a phương
t i x thì
∂f
(x) = 0, i = 1, 2, . . . , n (1)
∂xi
Đi m x tương ng đư c g i là đi m d ng.


Công th c Taylor
Thí d
Bài t p

Đi u ki n đ

Cho D là t p m trong Rn , f : D → R và f ∈ C 2 (D). Gi s t i
∂f
x0 ∈ D có ∂xi (x) = 0 v i m i i = 1, 2, . . . , n. Áp d ng công th c
Taylor cho hàm f trong lân c n c a x0 , ta có
n 2
1 ∂
f (x0 + h) − f (x0 ) = hi f (x0 ) + ϕ(h)(h)2
2 ∂xi
i=1

v i lim ϕ(h) = 0L2 (Rn ,R)
h→0Rn


Công th c Taylor
Thí d
Bài t p

Đi u ki n đ (tt)

Đ t A là d ng toàn phương đ nh b i:

n 2 n
∂ ∂ 2 f (x0 ) ∂ 2 f (x0 )
A(h) = hi f (x0 ) = hi2 +2 hi hj
∂xi ∂xi2 ∂xi ∂xj
i=1 i=1 i=j


Công th c Taylor
Thí d
Bài t p

Đi u ki n đ (tt)

D ng toàn phương A(h) th a mãn m t trong các tính ch t
1 D ng toàn phương A(h) là xác đ nh dương nghĩa là A(h) > 0
v i m i h = 0Rn .
2 D ng toàn phương A(h) là xác đ nh âm nghĩa là A(h) < 0 v i
m i h = 0Rn .
3 D ng toàn phương A(h) là n a xác đ nh dương ho c n a xác
đ nh âm nghĩa là A(h) 0 (hay A(h) 0) v i m i h = 0Rn và
có m t h0 = 0Rn sao cho A(h0 ) = 0.
4 D ng toàn phương A(h) không xác đ nh, nghĩa là t n t i
h, h ∈ Rn sao cho A(h) > 0 và A(h ) < 0.


Công th c Taylor
Thí d
Bài t p

Đ nh lý 2

Cho D là t p m trong Rn , f : D → R và f ∈ C 2 (D). Gi s t i
∂f
x0 ∈ D: ∂xi (x0 ) = 0, i = 1, 2, . . . , n. Đ t A là d ng toàn phương
xác đ nh như trên. Khi đó:
1 N u A(h) là d ng toàn phương xác đ nh dương thì f đ t c c
ti u đ a phương t i x0 .
2 N u A(h) là d ng toàn phương xác đ nh âm thì f đ t c c đ i
đ a phương t i x0 .
3 N u A(h) là d ng toàn phương n a xác đ nh dương hay n a
xác đ nh âm thì chưa th k t lu n v c c tr đ a phương t i x0 .
4 N u A(h) là d ng toàn phương không xác đ nh thì f không
đ t c c tr đ a phương.


Công th c Taylor
Thí d
Bài t p

Đ nh lý 3
Sau đây là đ nh lý Sylvester v tính xác đ nh âm, dương c a d ng
toàn phương. Đ nh lý Sylvester v d ng toàn phương
Cho A(h) là d ng toàn phương xác đ nh như trên, ma tr n bi u
di n c a A(h) là ma tr n b c n × n đ t là B:
 
a11 a12 . . . a1n
2
 v i aij = ∂ f (x0 )
 a a . . . a2n 
B =  21 22
 ... ... ... ...  ∂xi ∂xj
an1 an2 . . . ann
Xem các đ nh th c con trên đư ng chéo chính
a11 a12 . . . a1n
a11 a12 a21 a22 . . . a2n
∆1 = a11 , ∆2 = , . . . , ∆n =
a21 a22 ... ... ... ...
an1 an2 . . . ann

Công th c Taylor
Thí d
Bài t p

Đ nh lý 3 (tt)

Khi đó:
1 N u ∆i > 0, ∀i thì A(h) là d ng toàn phương xác đ nh dương.
2 N u (−1)i ∆i > 0, ∀i thì A(h) là d ng toàn phương xác đ nh
âm.
3 – N u ∆i 0, ∀i và có m t i sao cho ∆i = 0 thì A(h) là
d ng toàn phương n a xác đ nh dương.
– N u (−1)i ∆i 0, ∀i và có m t i sao cho ∆i = 0 thì A(h)
là d ng toàn phương n a xác đ nh âm.
4 Các trư ng h p khác thì A(h) là d ng toàn phương không xác
đ nh.


Công th c Taylor
Thí d
Bài t p

Thí d 1

Xét c c tr đ a phương c a hàm s

f (x, y , z) = x 3 + xy + y 2 − 2xz + 2z 2 + 3y − 1

T a đ đi m d ng là nghi m c a h phương trình
∂f
= 3x 2 + y − 2z = 0


 ∂x

∂f
∂y = x + 2y + 3 = 0
 ∂f
= −2x + 4z = 0


∂z

Có hai đi m d ng là M1 (1, −2, 2 ) và M2 (− 1 , − 4 , − 4 ).
1
2
5 1


Công th c Taylor
Thí d
Bài t p

Thí d 1 (tt)
Các đ o hàm riêng b c hai :
∂2f ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f
= 6x, = 1, 2 = 2, = −2, 2 = 4, =0
∂x 2 ∂x∂y ∂y ∂x∂z ∂z ∂y ∂z
T i M1 (1, −2, 1 ), ta có
2
 
6 1 −2
B=  1 2 0 
−2 0 4
6 1 −2
6 1
∆1 = 6, ∆2 = = 11, ∆3 = 1 2 0 = 36
1 2
−2 0 4
V y A là d ng toàn phương xác đ nh dương. Suy ra f đ t c c ti u
9
đ a phương t i M1 và f (M1 ) = − 2 .

Công th c Taylor
Thí d
Bài t p

Thí d 1 (tt)

T i M2 (− 1 , − 5 , − 1 ) ta có
2 4 4
 
−3 1 −2
B = 1 2 0 
−2 0 4

−3 1 −2
−3 1
∆1 = −3, ∆2 = = −7, ∆3 = 1 2 0 = −36
1 2
−2 0 4
V y A là d ng toàn phương không xác đ nh. Suy ra f không đ t
c c tr đ a phương t i M2 .


Công th c Taylor
Thí d
Bài t p

Thí d 2

Kh o sát c c tr đ a phương c a hàm

f (x, y , z) = sin x + sin y + sin z − sin(x + y + z), 0 < x, y , z < π

T a đ đi m d ng là nghi m c a h phương trình:
 ∂f
 ∂x = cos x − cos(x + y + z) = 0
 ∂f = cos y − cos(x + y + z) = 0

∂y
 ∂f = cos z − cos(x + y + z) = 0
 ∂z

0 < x, y , z < 0

Đi m d ng duy nh t M( π , π , π ).
2 2 2


Công th c Taylor
Thí d
Bài t p

Thí d 2 (tt)

Các đ o hàm riêng b c hai là

∂ 2 f (M) ∂ 2 f (M) ∂ 2 f (M)
= −2, = −2, = −2,
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

∂ 2 f (M) ∂ 2 f (M) ∂ 2 f (M)
= −1, = −1, = −1
∂x∂y ∂x∂z ∂y ∂z


Công th c Taylor
Thí d
Bài t p

Thí d 2 (tt)

Ma tr n bi u di n c a d ng toàn phương
 
−2 −1 −1
B=  −1 −2 −1 
−1 −1 −2

−2 −1 −1
−2 −1
∆1 = −2, ∆2 = = 3, ∆3 = −1 −2 −1 = −4
−1 −2
−1 −1 −2
V y A là d ng toàn phương xác đ nh âm. Suy ra f đ t c c đ i đ a
phương t i M và f (M) = 4.


Công th c Taylor
Thí d
Bài t p

Thí d 3

Xét c c tr đ a phương c a hàm
2 +y 2 )
f (x, y ) = (x 2 + y 2 )e −(x

T a đ đi m d ng là nghi m c a h phương trình:
2 2
∂f
∂x = 2x 1 − x 2 − y 2 e −x −y = 0
2 2
∂f
∂y = 2y 1 − x 2 − y 2 e −x −y = 0

Đi m d ng: M0 (0, 0) và t t c các đi m trên đư ng tròn
(C )x 2 + y 2 = 1 Do f (x, y ) 0, ∀(x, y ) ∈ R2 , f (0, 0) = 0 nên f
đ t c c ti u đ a phương t i M0 .


Công th c Taylor
Thí d
Bài t p

Thí d 3 (tt)
2
Đ t t = x 2 + y 2 , ϕ(t) = t 2 e −t .
2
Đ o hàm ϕ (t) = 2t(1 − t 2 )e −t . Đ th c a hàm ϕ v i t 0:

Đ th c a hàm f là m t cong (S) sinh b i đư ng cong đ th c a
hàm ϕ quay quanh tr c Oϕ. Hàm f đ t c c đ i đ a phương t i các
1
đi m M trên đư ng cong (C ), f (M) = e .


Công th c Taylor
Thí d
Bài t p

Bài t p 1

Xét c c tr đ a phương c a các hàm s sau:
a) f (x, y ) = x 3 + y 3 − 3xy
b) f (x, y ) = 2x 4 + y 4 − x 2 − y 2
8 x
c) f (x, y ) = x + y +y x > 0, y > 0
d) f (x, y , z) = x 2 + y 2 + z 2 − xy + x − 2z
y2 z2 2
e) f (x, y , z) = x + 4x + y + z v i xyz = 0.


Công th c Taylor
Thí d
Bài t p

Bài t p 2

Xét c c tr đ a phương c a hàm n z = z(x, y ) suy t phương
trình:
x 2 + y 2 + z 2 − xz − xy + 2(x + y + z − 1) = 0


Công th c Taylor
Thí d
Bài t p

Bài t p 2

Xét c c tr đ a phương c a hàm n z = z(x, y ) suy t phương
trình:
x 2 + y 2 + z 2 − xz − xy + 2(x + y + z − 1) = 0

HD: Dùng đ nh lý hàm n:
∂z 2x − z + 2 ∂z 2y − z + 2
=− , =−
∂x 2z − x − y + 2 ∂y 2z − x − y + 2


Công th c Taylor
Thí d
Bài t p

Bài t p 2 (tt)
T a đ đi m d ng là nghi m c a h phương trình

 2x − z + 2 = 0

2y − z + 2 = 0

 x 2 + y 2 + z 2 − xz − xy + 2(x + y + z − 1) = 0

2z − x − y + 2 = 0


Có hai đi m d ng:
√ √ √
– M1 (−3 + 6, −3 + 6) tương ng v i z = −4 + 2 6.
√ √ √
– M2 (−3 − 6, −3 − 6) tương ng v i z = −4 − 2 6.
Đ o hàm riêng b c hai t i hai đi m d ng:

∂2f 2 ∂2f 2 ∂2f
=− , 2 =− , =0
∂x 2 2z − x − y + 2 ∂y 2z − x − y + 2 ∂x∂y


Công th c Taylor
Thí d
Bài t p

Bài t p 2 (tt)
T i M1 : ma tr n bi u di n c a d ng toàn phương là
1
− 2√ 6 0 1 1
B= 1 , ∆1 = − √ , ∆2 =
0 − 2√ 6 2 6 24

D ng toàn phương xác √nh âm, v y z đ t c c đ i đ a phương t i
đ
M1 và z(M1 ) = −4 + 2 6.
T i M2 : ma tr n bi u di n c a d ng toàn phương là
1
√
2 6
0 1 1
B= 1 , ∆1 = √ , ∆2 =
0 √
2 6 2 6 24

D ng toàn phương xác đ nh dương, v y z đ t c c ti u đ a phương
√
t i M2 và z(M2 ) = −4 − 2 6.

Đ nh nghĩa
Công th c Taylor
Đi u ki n đ
Thí d
Bài t p


Nh ng phát bi u sau đây đúng trong trư ng h p t ng quát c a
hàm f theo n + p bi n v i p đi u ki n. Tuy nhi n đây ta ch xét
đơn gi n cho trư ng h p ba bi n v i m t đi u ki n.


Đ nh nghĩa
Công th c Taylor
Đi u ki n đ
Thí d
Bài t p

Đ nh nghĩa
Đ nh nghĩa 3
Cho D là t p m trong R3 , f , g : D → R thu c l p C 2 (D). Đ t
S = {(x, y , z) ∈ R3 /ϕ(x, y , z) = 0}. Cho M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ S. Ta
nói:
– f đ t c c đ i đ a phương có đi u ki n ϕ(x, y , z) = 0 t i đi m
M0 n u t n t i r > 0 sao cho f (M0 ) f (M) v i m i M ∈ S
và d (M, M0 ) < r .
– f đ t c c ti u đ a phương có đi u ki n ϕ(x, y , z) = 0 t i đi m
M0 n u t n t i r > 0 sao cho f (M0 ) f (M) v i m i M ∈ S
và d (M, M0 ) < r .
– f đ t c c tr đ a phương có đi u ki n ϕ(x, y , z) = 0 t i M0
n u f đ t c c đ i đ a phương ho c c c ti u đ a phương có
đi u ki n t i M0 .

Đ nh nghĩa
Công th c Taylor
Đi u ki n đ
Thí d
Bài t p

Cho f , ϕ ∈ C 1 (D), M0 ∈ S và ∂ϕ (M0 ) = 0. N u f đ t c c tr đ a
∂z
phương có đi u ki n ϕ(x, y , z) = 0 t i M0 thì có duy nh t s th c
λ0 sao cho x0 , y0 , z0 , λ0 là nghi m c a h phương trình:

 ∂x (x, y , z) + λ ∂ϕ (x, y , z) = 0

∂f
∂x
 ∂f ∂ϕ
∂y (x, y , z) + λ ∂y (x, y , z) = 0

(I)
 ∂f (x, y , z) + λ ∂ϕ (x, y , z) = 0
 ∂z
 ∂z
ϕ(x, y , z) = 0


λ0 đư c g i là nhân t Lagrange c a f t i M0 v i đi u ki n
ϕ(x, y , z) = 0.
H th ng (I) đư c g i là h phương trình t a đ đi m d ng cho
bài toán c c tr có đi u ki n. Có th có nhi u đi m d ng ng v i
cùng m t giá tr λ0 .

Đ nh nghĩa
Công th c Taylor
Đi u ki n đ
Thí d
Bài t p

Đi u ki n đ
Gi s f , ϕ ∈ C 2 (D) và x0 , y0 , z0 , λ0 là nghi m c a h phương
trình (I) và ∂ϕ (x0 , y0 , z0 ) = 0.
∂z
Đ t F (x, y , z) = f (x, y , z) + λ0 ϕ(x, y , z)
Xét d ng toàn phương:

∂2F ∂2F ∂2F
A = d 2 f (M0 ) = (M0 )dx 2 + (M0 )dy 2 + (M0 )dz 2
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
∂2F ∂2F ∂2F
+2 (M0 )dxdy + 2 (M0 )dxdz + 2 (M0 )dydz
∂x∂y ∂x∂z ∂y ∂z

trong đó dx, dy , dz th a mãn
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
(M0 )dx + (M0 )dy + (M0 )dz = 0
∂x ∂y ∂z


Đ nh nghĩa
Công th c Taylor
Đi u ki n đ
Thí d
Bài t p

Đi u ki n đ

Khi đó:
i) N u A là d ng toàn phương xác đ nh dương thì f đ t c c ti u
đ a phương có đi u ki n ϕ(x, y , z) = 0 t i M0 .
ii) N u A là d ng toàn phương xác đ nh âm thì f đ t c c đ i đ a
phương có đi u ki n t i M0 .
iii) N u A là d ng toàn phương không xác đ nh thì f không đ t
c c tr đ a phương có đi u ki n t i M0 .
iv) N u A là d ng toàn phương n a xác đ nh d ng hay n a xác
đ nh âm thì chưa th k t lu n v c c tr đ a phương có đi u
ki n.


Đ nh nghĩa
Công th c Taylor
Đi u ki n đ
Thí d
Bài t p

Thí d
Thí d 1
Tìm c c tr đ a phương c a hàm s f (x, y , z) = x + y + z v i đi u
ki n ϕ(x, y , z) = xyz − a = 0, a > 0.

Đ t F (x, y , z) = x + y + x + λ(xyz − a). T a đ đi m d ng và
nhân t Lagrange là nghi m c a h :
 ∂F
 ∂x = 1 + λyz = 0
 ∂F
∂y = 1 + λxz = 0

∂F
 ∂z = 1 + λxy = 0


xyz − a = 0
1
ng v i λ = − a2/3 có đi m d ng M(a1/3 , a1/3 , a1/3 ). Khi đó:
F (x, y , z) = x + y + x − a−2/3 (xyz − a)

Đ nh nghĩa
Công th c Taylor
Đi u ki n đ
Thí d
Bài t p

Thí d 1 (tt)
D ng toàn phương tương ng:

d 2 F (M) = a−1/3 (dxdy + dydz + dxdz)

v i đi u ki n

d ϕ(M) = 0 ⇔ a2/3 (dx + dy + dz) = 0 hay dz = −dx − dy

Th vào, ta đư c:

d 2 F (M) = 2a−1/3 (dx 2 + dxdy + dy 2 ) 0

D ng toàn phương xác đ nh dương. V y f đ t c c ti u đ a phương
có đi u ki n t i M và f (M) = 3a1/3 .
V y: f (x, y , z) = x + y + z 3a1/3 n u xyz = a > 0.

Đ nh nghĩa
Công th c Taylor
Đi u ki n đ
Thí d
Bài t p

Thí d

Thí d 2
Xét c c tr đ a phương c a hàm f (x, y , z) = x + y + z v i đi u
1 1 1
ki n x + y + z − 1 = 0.

Đ t
1 1 1
F (x, y , z) = x + y + x + λ + + −1
x y z
T a đ đi m d ng và nhân t Lagrange là nghi m c a h :

 ∂F = 1 − x 2 = 0
 ∂x
λ
 ∂F = 1 − λ = 0

∂y y2
 ∂F = 1 − zλ2 = 0
 ∂z
 1 1 1
x + y + z =1



Đ nh nghĩa
Công th c Taylor
Đi u ki n đ
Thí d
Bài t p

Thí d 2 (tt)
ng v i λ = 9 có đi m d ng M1 (3, 3, 3), ng v i λ = 1 có ba đi m
d ng M2 (−1, 1, 1), M3 (1, −1, 1), M4 (1, 1, −1).
ng v i λ = 9 và M1 (3, 3, 3) ta đư c:

1 1 1
F (x, y , z) = x + y + z + 9 + + −1
x y z

có d ng toàn phương:
2
d 2 F (M1 ) = (dx 2 + dy 2 + dz 2 ) 0
3

D ng toàn phương xác đ nh dương (d dàng nh n bi t mà không
c n s d ng thêm đi u ki n d ϕ(M) = 0). V y f đ t c c ti u đ a
phương có đi u ki n t i M1 và f (M1 ) = 9.

Đ nh nghĩa
Công th c Taylor
Đi u ki n đ
Thí d
Bài t p

Thí d 2 (tt)
ng v i λ = 1 và M2 (−1, 1, 1) ta có:
1 1 1
F (x, y , z) = x + y + z + + + −1
x y z
có d ng toàn phương:
d 2 F (M2 ) = 2(−dx 2 + dy 2 + dz 2 )
S d ng đi u ki n d ϕ(M2 ) = 0 ta đư c:
d ϕ(M2 ) = dx + dy + dz = 0 hay dx = −dy − dz
Thay vào bi u th c c a d 2 F (M2 ) ta đư c d 2 F (M2 ) = −dydz.
Bi u th c này đ i d u khi dx, dy bi n thiên. D ng toàn phương
không xác đ nh. V y f không đ t c c tr đ a phương có đi u ki n
t i M2 . Do bi u th c c a f và ϕ đ i x ng theo x, y , z nên t i
M3 , M4 f cũng không đ t c c tr đ a phương có đi u ki n.

Đ nh nghĩa
Công th c Taylor
Đi u ki n đ
Thí d
Bài t p

Bài t p 1

Xét c c tr đ a phương có đi u ki n c a hàm s :
y2
a) f (x, y ) = xy v i đi u ki n x 2 + 4 = 1.
b) f (x, y ) = x 2 + 12xy + 2y 2 n u 4x 2 + y 2 = 25.
c) f (x, y ) = x 2 + y 2 n u x 2 − 2x − 4y + y 2 = 0.

HD: C ba bài này có th dùng phương pháp bi u di n tham s
phương trình đi u ki n r i th vào bi u th c c a f .
Thí d câu b: 4x 2 + y 2 = 25 có bi u di n tham s là
5
x(t) = cos t, y (t) = 5 sin t v i t ∈ [0, 2π]
2


Đ nh nghĩa
Công th c Taylor
Đi u ki n đ
Thí d
Bài t p

Bài t p 1 (tt)
Đ t
25
g (t) = f x(t), y (t) = cos2 t + 120 sin t cos t + 50 sin2 t
4
Hay
7 9
g (t) = −25. cos 2t + 60 sin 2t + 25. , t ∈ [0, 2π]
8 8
Suy ra:
2 1/2
7 2 9
max g = 25. + (60) + 25.
8 8
2 1/2
9 7 2
min g = 25. − 25. + (60)
8 8


Đ nh nghĩa
Công th c Taylor
Đi u ki n đ
Thí d
Bài t p

Bài t p 2

Tìm c c tr đ a phương có đi u ki n c a hàm s
a) f (x, y , z) = xy 2 z 3 n u x + 2y + 3z = a (x, y , z, a > 0).
b) f (x, y , z) = x − 2y + 5z n u x 2 + y 2 + z 2 = 36.
c) f (x, y , z) = x − 2y + 2z n u x 2 + y 2 + z 2 = 1.
1 1 1 1 1
d) f (x, y , z) = x + y n u x2
+ y2
= a2
(a > 0).


Đ nh nghĩa
Công th c Taylor
Đi u ki n đ
Thí d
Bài t p

Bài t p 2

Tìm c c tr đ a phương có đi u ki n c a hàm s
a) f (x, y , z) = xy 2 z 3 n u x + 2y + 3z = a (x, y , z, a > 0).
b) f (x, y , z) = x − 2y + 5z n u x 2 + y 2 + z 2 = 36.
c) f (x, y , z) = x − 2y + 2z n u x 2 + y 2 + z 2 = 1.
1 1 1 1 1
d) f (x, y , z) = x + y n u x2
+ y2
= a2
(a > 0).

1 1
HD: Đ i bi n u = x , v = y . Ghi chú: Trong 2 b), c) m t c u
x 2 + y 2 + z 2 = 36 và x 2 + y 2 + z 2 = 1 là t p đóng b ch n nên f
s đ t c c đ i, c c ti u, do đó ch c n tìm các đi m d ng, tính giá
tr c a f t i các đi m d ng. Giá tr l n nh t là c c đ i, bé nh t là
c c ti u đ a phương có đi u ki n.


Công th c Taylor
C c tr đ a phương Thí d
C c tr có đi u ki n Bài t p


Cho D là t p đóng b ch n trong R3 , biên ∂D có phương trình
ϕ(x, y , z) = 0. Cho f : D → R liên t c. Khi đó f đ t c c đ i và
c c ti u trên D nghĩa là có M1 , M2 ∈ D sao cho:

f (M1 ) = max{f (x, y , z)/(x, y , z) ∈ D}

f (M2 ) = min{f (x, y , z)/(x, y , z) ∈ D}
N u M1 ∈ D ∂D ho c M2 ∈ D ∂D thì f đ t c c đ i và c c ti u
đ a phương t i M1 , M2 .
N u M1 ∈ ∂D thì f đ t c c đ i đ a phương có đi u ki n
ϕ(x, y , z) = 0 t i M1 .
Tương t n u M2 ∈ ∂D thì f đ t c c ti u đ a phương có đi u ki n
t i M2 .


Công th c Taylor

Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t(tt)

Đ tìm c c đ i, c c ti u c a f trên D ta làm như sau:
Tìm đi m d ng trong D ∂D là nghi m c a h :

∂f ∂f ∂f
(x, y , z) = 0, (x, y , z) = 0, (x, y , z) = 0
∂x ∂y ∂z

Tìm đi m d ng trên ∂D là nghi m c a h :

∂f ∂ϕ ∂f ∂ϕ ∂f ∂ϕ
+λ = 0, +λ = 0, +λ = 0, ϕ(x, y , z) = 0
∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z

Tính giá tr c a f t i t t c các đi m d ng. Giá tr l n nh t
(bé nh t) c a f t i các đi m d ng là c c đ i (c c ti u) c a f
trên D.


Công th c Taylor

Thí d 1

Tìm giá tr l n nh t, bé nh t c a hàm s

f (x, y ) = x 2 + y 2 − 12x + 16y trên x 2 + y 2 25


Công th c Taylor

Thí d 1


f (x, y ) = x 2 + y 2 − 12x + 16y trên x 2 + y 2 25

T a đ đi m d ng trong x 2 + y 2 < 25:
∂f
∂x = 2x − 12 = 0
∂f
∂y = 2y + 16 = 0

Đi m d ng M1 (6, −5) không thu c mi n x 2 + y 2 < 25.


Công th c Taylor

Thí d 1 (tt)

T a đ đi m d ng trên biên ∂D : x 2 + y 2 = 25

 ∂x + λ ∂ϕ = 2x − 12 + 2λx = 0

∂f
∂x
∂f
+ λ ∂ϕ = 2y + 16 + 2λy = 0
 ∂y ∂y
 x 2 + y 2 = 25

ng v i λ = 1, đi m d ng M2 (3, −4), f (M2 ) = −75.
ng v i λ = −3, đi m d ng M3 (−3, 4), f (M3 ) = 125.
V y max f = 125 và min f = −75.


Công th c Taylor

Thí d 2


f (x, y , z) = x 2 + y 2 + z 2 + x − y + 2z trên mi n x 2 + y 2 + z 2 4

T a đ đi m d ng trong mi n x 2 + y 2 + z 2 < 4 là nghi m c a h :
 ∂f
 ∂x = 2x + 1 = 0
∂f
= 2y − 1 = 0
 ∂y
∂f
∂z = 2z + 2 = 0

Đi m d ng M1 (− 1 , 1 , −1) thu c mi n x 2 + y 2 + z 2 < 4.
2 2


Công th c Taylor

Thí d 2 (tt)

T a đ đi m d ng trên m t c u ϕ(x, y , z) = x 2 + y 2 + z 2 − 4 = 0

 ∂x + λ ∂ϕ = 2x + 1 + 2λx = 0

∂f
∂x
+ λ ∂ϕ = 2y − 1 + 2λy = 0
 ∂f

∂y ∂y
 ∂f + λ ∂ϕ = 2z + 2 + 2λz = 0
 ∂z ∂z
x2 + y2 + z2 = 4



√ 1 1 1
ng v i λ = 6 − 1 có đi m d ng M2 (− 2√6 , 2√6 , − √6 ).
√ 1 1 1
ng v i λ = − 6 − 1 có đi m d ng M3 ( 2√6 , − 2√6 , √6 ).
Ta có f (M1 ) = − 3 , f (M2 ) = 4 −
2
3
√ ,f
6
(M3 ) = 4 + √3
6
3 3
V y max f = 4 + √ , min f
6
= −2.


Công th c Taylor

Bài t p

Tìm c c đ i, c c ti u c a f trên mi n sau:
1) f (x, y ) = x 2 + y 2 − xy − x − y trên mi n
x 0, y 0, x + y 3.
2) f (x, y ) = x 2 − xy + z 2 trên mi n |x| + |y | 1.
3) f (x, y , z) = x 2 + y 2 + 2z 2 − z trên mi n x 2 + y 2 + z 2 100.
4) Tìm hình h p ch nh t có đư ng chéo b ng a cho trư c và có
th tích l n nh t.


Vphnb tt

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Empfohlen

Empfohlen (20)

Vphnb tt