1. 課題解説（その４）

2. 高速フーリエ変換、離散コサイン変換
• 課題31:バタフライ計算の計算量
• 課題32:行ー列分解アルゴリズムの計算量
• 課題33: チェビシェフ多項式
• 課題34:DFTによるDCTの計算
• 課題35:離散コサイン変換の手計算

3. 課題30
時間間引きFFTアルゴリズムの計算量が
𝑂 𝑁log 2 𝑁 になることを証明しなさい

4. 課題31
• 時間間引きアルゴリズムの計算式
𝑁
( 2 −1)
𝑋 𝑘 =
計算量は𝑂
𝑁→
𝑁
2
→
𝑁
4
𝑥 2𝑟
𝑛=0
𝑁
−1
2
𝑊2
𝑁
𝑟𝑘
𝑁
( 2 −1)
+ 𝑊 𝑁𝑘
𝑥 2𝑟 + 1
𝑊2
𝑁
𝑟𝑘
𝑛=0
= 𝑂(𝑁)
→ ⋯と１になるまで計算していった時の計算回数は
𝑂(log 𝑁)(2 𝑘 = 𝑁なので)
よって全体の計算量はO(Nlog N)

5. 課題31
• Nが2の累乗以外の数字だったら（N=9の場合）
x(0)
x(8)
x(4)
x(2)
x(6)
x(1)
x(5)
x(3)
x(7)
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
X(8)
演算時，Nが奇数ならば
値を一つ無視して偶数
にしてから演算を行う
→非効率

6. 課題31
• MATLABでは信号の長さを2の累乗にして行うとより高速である
• 後々出てくる短時間フーリエ変換で信号を切り出す際には切り出す信号の
大きさを2の累乗にするとよい(1024とか2048など)
• 信号全体をFFTしたいときは元の信号に0を付加して2の累乗にすることも
ある
• (xが信号のとき): fftsize=2^ceil(log2(length(x)));もしくはfftsize =
nextpow2(length(x));これは指定値以上の最小の 2 のべき乗の指数を求めて
いる 本来ならfftsize>length(x)ならばxに0が付加されfftsize<length(x)ならばx
の信号をカットすることにより両者をそろえているが、指定値以上にすることによ
り信号が勝手にカットされることがなくなる

7. 課題32
行-列分解アルゴリズムの計算量が
𝑂 𝑁3
さらに1D-FFTを使うと
𝑂(𝑁 2 log 2 𝑁)
になることを証明しなさい

8. 課題32
𝑀−1 𝑁−1
𝑓 𝑚, 𝑛 𝑊1 𝑚𝑢 𝑊2𝑛𝑣
𝐹 𝑢, 𝑣 =
𝑚=0 𝑛=0
𝑁−1
𝑀−1
𝐹 𝑢, 𝑛 𝑊2𝑛𝑣 (𝐹 𝑢, 𝑛 =
=
𝑛=0
𝑓 𝑚, 𝑛 𝑊1 𝑚𝑢 )
𝑚=0
とｎを固定し一次元に落とせば
一次元の離散フーリエ変換を合計（M＋N）回行えばよいことに
なる．
よってを通常のDFTで行えば𝑂 𝑁・𝑁 2 + 𝑀・𝑀2 = 𝑂(𝑁 3 )
FFTを用いれば𝑂 𝑁𝑁 log 2 𝑁 + 𝑀𝑀 log 2 𝑀 = 𝑂(𝑁 2 log 𝑁)の
計算量で解ける

9. 課題33
チェビシェフ多項式が直交系列であることを証明しなさい
すなわち
𝑇0 𝑚 =
1
√2
𝑇 𝑘 𝑚 = cos( 2𝑚 + 1 𝑘𝜋/2𝑀)
において
𝑀−1
𝑇 𝑘 𝑚 𝑇𝑙 𝑚 =
𝑚=0
(𝑚 = 1,2, … , 𝑀 − 1)
𝑀
(𝑘 = 𝑙 = 0)
2
𝑀
(𝑘 = 𝑙 ≠ 0)
2
0 (𝑘 ≠ 𝑙)

10. 課題33
(1)𝑘 = 𝑙 = 0の場合
𝑀−1
𝑚=0{𝑇0
𝑚
}2
= 𝑀
1 2
2
=
𝑀
2
(2)𝑘 = 𝑙 ≠ 0の場合
𝑀−1
𝑚=0{𝑇0
=
𝑚
𝑀−1 1
𝑚=0 2 (1
}2
=
+ cos
𝑀−1
𝑚=0
cos(
2𝑚+1 𝑘𝜋
)
𝑀
2𝑚+1 𝑘𝜋 2
)
2𝑀
(2倍角の定理)
ここで
=
𝑀−1
𝑚=0 cos
2𝑚+1 𝑘𝜋
𝑀
=
𝑀−1
𝑚=0
𝑅𝑒[𝑒
𝑗 2𝑚+1 𝑘𝜋
𝑀
]

11. 課題33
𝑒
= 𝑅𝑒
𝑘𝜋
𝑗 𝑀
1−𝑒
1−𝑒
2𝑘𝜋
𝑗 𝑀 𝑀
2𝑘𝜋
𝑗 𝑀
(等比数列の和)
ここで任意のkについて𝑒
𝑀−1
𝑚=0{𝑇0
𝑀−1 1
𝑚=0 2
𝑚 }2 =
2𝑘𝜋
𝑗 𝑀 𝑀
= 𝑒 𝑗2𝑘𝜋 = 1であるから
1+0 =
𝑀
2
(3)𝑘 ≠ 𝑙のとき
𝑀−1
𝑚=0
=
=
1
2
1
2
2𝑚+1 𝑘𝜋
2𝑚+1 𝑙𝜋
𝑀−1
𝑇 𝑘 [𝑚]𝑇𝑙 [𝑚] = 𝑚=0 cos(
) cos(
)
2𝑀
2𝑀
2𝑚+1 (𝑘+𝑙)𝜋
2𝑚+1 (𝑘−𝑙)𝜋
𝑀−1
cos(
) cos(
)
𝑚=0
2𝑀
2𝑀
𝑅𝑒
𝑒
(𝑘+𝑙)𝜋
𝑗 2𝑀
1−𝑒
1−𝑒
𝑗
𝑗
2(𝑘+𝑙)𝜋
𝑀
2𝑀
2(𝑘+𝑙)𝜋
2𝑀
+
𝑒
(𝑘−𝑙)𝜋
𝑗 2𝑀
1−𝑒
1−𝑒
𝑗
𝑗
2(𝑘−𝑙)𝜋
𝑀
2𝑀
2(𝑘−𝑙)𝜋
2𝑀

12. 課題33
𝑘 + 𝑙が偶数ならば(2)と同様にして解ける（(2)は(3)の特殊な例
である）
二つの項がどちらも0になるので値は0となる
𝑘 + 𝑙が奇数の時𝑘 + 𝑙 = 2ℎ + 1(hは整数)として𝑘 − 𝑙 = 2(ℎ −
𝑙) + 1となるから
=
=
1
2
1
2
𝑅𝑒
𝑒
𝑗
(2ℎ+1)𝜋
2𝑀
1−𝑒
1−𝑒
𝑅𝑒
𝑒
𝑗
(2ℎ+1)𝜋
2𝑀
1−𝑒
𝑗
𝑗
2(2ℎ+1)𝜋
𝑀
2𝑀
2(2ℎ+1)𝜋
2𝑀
1−𝑒 jπ
2(2ℎ+1)𝜋
𝑗
2𝑀
+
+
𝑒
𝑗
(2(ℎ−𝑙)+1)𝜋
2𝑀
1−𝑒
𝑒
𝑗
(2(ℎ−𝑙)+1)𝜋
2𝑀
1−𝑒
𝑗
1−𝑒 jπ
2(2(ℎ−𝑙)+1)𝜋
2𝑀
1−𝑒
𝑗
𝑗
2(2(ℎ−𝑙)+1)𝜋
𝑀
2𝑀
2(2(ℎ−𝑙)+1)𝜋
2𝑀

13. 課題33
=
1
2
𝑅𝑒
(2ℎ+1)𝜋
2𝑀
2𝑒
𝑗
1−𝑒
𝑗
2(2ℎ+1)𝜋 +
2𝑀
(2(ℎ−𝑙)+1)𝜋
2𝑀
2𝑒
𝑗
1−𝑒
𝑗
2(2(ℎ−𝑙)+1)𝜋
2𝑀
ここで第一項のみを考える𝑥 =
2 2ℎ+1 𝜋
とおくと
2𝑀
cos 𝑥 1−cos 2𝑥 −sin 𝑥 sin 2𝑥
1−cos 2𝑥 2 −(sin 2𝑥)2
2倍角の公式より
=
cos 𝑥 (1−cos2 𝑥+sin2 𝑥 −2 sin2 𝑥)
1−cos 2𝑥 2 −(sin 2𝑥)2
=0
第2項も同様の計算で0になるのでこの式の値は0
チェビシェフ多項式は直交系列である

14. 課題34
𝑥[𝑛]に0を付加して長さ2Nの系列を作る
𝑥 𝑛 (0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1)
𝑥 𝑛 =
0 (𝑁 ≤ 𝑛 ≤ 2𝑁 − 1)
この時
X0 =
Xk =
2
𝑁
2
𝑅𝑒
𝑁
exp −
を証明しなさい
𝑗𝑘𝜋
2𝑁
2𝑁−1
𝑛=0
𝑛𝑘
𝑥 𝑛 𝑊2𝑁 (1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁 − 1)

15. 課題34
この問題は離散フーリエ変換と離散コサイン変換は密接な関係があるという
ことを証明すればよい
DFTの定義式から始まる
𝑋 𝑘 =
=
2
𝑁
=
2
𝑁
𝑅𝑒
2
N
𝑁−1
𝑛=0
𝑁−1
𝑛=0
𝑥 𝑛 𝑒
𝑅𝑒 exp(−
2𝜋𝑘𝜋
𝑥 𝑛 cos
𝑗𝑘𝜋
)
2𝑁
−𝑗
2𝑛+1 𝑘𝜋
2𝑁
2𝑛+1 𝑘𝜋
2𝑁
𝑁−1
𝑛=0
𝑥 𝑛 𝑒
𝑒 −𝑗 2𝑁
𝑗𝑘𝜋
)
2𝑁
2𝜋𝑘𝜋
2𝑁
𝑛𝑘
= 𝑊2𝑁 であるから
2
𝑁
−𝑗
=
𝑅𝑒 exp(−
𝑁−1
𝑛=0
𝑛𝑘
𝑥 𝑛 𝑊2𝑁
N ≤ n ≤ 2N − 1において𝑥 𝑛 = 0であるから
=
2
𝑁
𝑅𝑒 exp(−
𝑗𝑘𝜋
)
2𝑁
2𝑁−1
𝑛=0
𝑛𝑘
𝑥 𝑛 𝑊2𝑁

16. 課題35
以下の画像の離散コサイン変換を計算し，そのパワースペクト
ルを求めなさい．なお，計算は手計算で行うこととし， 白画素，
黒画素の値はそれぞれ１，０とし，画像の大きさは、2*2、4*4の
２つの場合を 求めなさい．

17. 課題35
定義式が違うだけで課題25と同様にして解ける
𝑁−1 𝑁−1
𝑋 𝑢, 𝑣 = 𝑐 𝑢 𝑐 𝑣
𝑥 𝑛, 𝑚 cos
𝑛=0 𝑚=0
であるから2x2なら
𝑋=
1
2
1
2
1
2
1
2
𝑥
1
2
1
2
1
2
1
2
2𝑛 + 1 𝑢𝜋
2𝑚 + 1 𝑢𝜋
cos
(𝑐 𝑢 , 𝑐 𝑣 =
2𝑁
2𝑁
4x4なら
𝐴=
1
2
1
2
1
2
1/2
1/2
𝜋
cos 8
2𝜋
8
3𝜋
cos 8
cos
とすると𝑋 = 𝐴𝑥𝐴 𝑡
を計算する
1
2
1
2
1
2
3𝜋
8
6𝜋
cos 8
9𝜋
cos 8
cos
1/2
1
2
1
2
1
2
5𝜋
8
10𝜋
cos 8
15𝜋
cos 8
cos
1
(𝑢, 𝑣 = 0)
𝑁
2
(𝑢, 𝑣 ≠ 0)
𝑁
1/2
1
2
1
2
1
2
7𝜋
8
14𝜋
cos 8
21𝜋
cos 8
cos
)

18. 課題35
解答

19. 課題35
視覚的に計算してみると
=
−
1
0
-1
0