investigación de derivada implicita

1. Derivación Implícita
En General las funciones se han presentado de la forma , expresando
una variable en terminos de la otra, pero se da el caso donde las 2 variables estan
implicitas.
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos
están expresadas en forma explícita, como en la ecuación dónde la variable y está
escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el
contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida
implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Estrategia para la Derivación Implìcitas
1. Derivar ambos lados de la ecuación respecto de x
2. Agrupar todos los términos en que aparezca en el lado izquierdo de la ecuación y
pasar todos los demás a la derecha.
3. Sacar factor común en la izquierda.
4. Despejar , dividiendo la ecuación por su factor acompañante en la parte izquierda.
Ejemplo # 1
si , encontrar .
Derivamos ambos lados de la ecuacion.

2. Recordemos que y es una funcion de x por lo que al derivarla aplicaremos la regla de la
cadena.
y resolvemos para .
Ejemplo #2
Encontrar y' de:
aplicamos logaritmo natural en ambos lados de la ecuacion, para quitar el exponente x.
por leyes de los logaritmos.
derivamos implicitamente.
despejamos y'-
sustituimos y.

3. Ejemplo #3
Derivamos implicitamente:
Dejamos y prima de un solo lado
Aplicamos Factor comun y prima
dividimos de ambos lados
Ejemplo # 4
Cambiamos el cos(y) a funcion de el sen(y) que seria
despejamos cos(y)
Respuesta:

4. Ejemplo # 5
Cambiamos el sen(y) a funcion de el cos(y) que seria
despejamos sen(y)
Respuesta:
Derivadas de funciones implícitas
Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y basta derivar
miembro a miembro utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:
x'=1.
En general y'≠1.
Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

5. Ejemplos
Derivar las funciones:
1.
2.
El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la
derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término
donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Ejemplo 2:
Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.
Ejemplo 3:
Hallar , de la función implícita:
Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;

6. .
En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo
término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en
el tercer término.
.
La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a
continuación claramente en el segundo paréntesis,
quitando paréntesis y ordenando los términos,
,
pasando algunos términos al lado derecho,
extrayendo el factor común ,
y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:
dy/dx con derivadas parciales

7. Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente:
donde , representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x,
y , representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.