Este documento explica el centro de masa y el teorema de Pappus. Define el centro de masa como el punto que representa el balance de una forma y cómo calcularlo mediante momentos. También explica cómo calcular el centroide de una región y da un ejemplo para una región rectangular. Finalmente, el teorema de Pappus establece que el volumen de un sólido de revolución es igual al área de la sección multiplicada por la distancia recorrida por su centroide durante la rotación.

1. Centro de masa y teorema de Pappus
0.1. Centro de masa
Definimos las cordenadas del centro de masa como (¯, y ) de tal forma que:
x ¯
My
x=
¯
m
Mx
y=
¯
m
Donde Mx y My son momentos de la forma:
Mx = pydA
r
My = pxdA
r
Centroide
El centroide de una regi´n es el punto que define su centro geometrico Como la masa es
o
el producto de la dencidad por el area( m = dA), tenemos:
My xdA
x=
¯ A
= R
A
Mx ydA
y=
¯ A
= R
A
Ahora bien, si x se calcula en t´rminos de y, el x esta dado por el punto medio de la regi´n
¯ e o
f (y) + g(y)
es decir y el area tambien en t´rminos de y:
´ e
2
d f (y) + g(y)
[f (y) − g(y)]dy
c 2
x=
¯
A
Ahora bien, si y se calcula en t´rminos de x, el y esta dado por el punto medio de la
¯ e
f (x) + g(x)
regi´n es decir
o y el area tambien en t´rminos de x:
´ e
2
b f (x) + g(x)
[f (x) − g(x)]dx
a 2
y=
¯
A
1

2. Ejemplo:
Calcular el centroide de la regi´n acotada por:
o
x=0
x=2
y=0
y=2
A simple vista sabemos que el centroide esta en el punto (1, 1) ahora demostremolo por
integrales:
x en t´rminos de x
¯ e
2
My xdA x(2)dx 2
x2 |0 4
R 0
x=
¯ = = = = =1
A 4 4 4 4
En terminos de y
2 2+0
My xdA 2dy 2y|2 4
x=
¯ = R
= 0 0 = 0
= =1
A 4 4 4 4
y en t´rminos de y
¯ e
2
Mx ydA y(2)dy 2
y 2 |0 4
R 0
y=
¯ = = = = =1
A 4 4 4 4
En terminos de x
2 2+0
Mx ydA 2dx 2x|2 4
y=
¯ = R
= 0 0 = 0
= =1
A 4 4 4 4
comprobamos que el centroide es (1, 1)
2

3. 0.2. teorema de Papus
El volumen V , de un s´lido de revoluci´n generado mediante la rotaci´n de un ´rea plana
o o o a
alrededor de un eje externo, es igual al producto del ´rea, A, por la distancia, d recorrida
a
por su centroide en una rotaci´n completa alrededor del eje.
o
VR = 2πdA
Donde:
d: Distancia ade la recta de giro al centro de masa o centroide de la regi´n.
o
´
A: Area de la regi´n a rotar.
o
Ejemplo:
Hallar el volumen del solido de revolucion generado al rotar la regi´n limitada por (x − 5)2 +
o
y 2 = 16 al rededor de:
a) eje y
b) la recta x = −2
alrededor del eje y:
En primer lugar calculamos el area de la figura, en este caso un a circuferencia de radio
4. y luego obtenemos las cordenadas del centride:
A = 16π
x=5
¯
y=0
¯
Ademas observamos que la distancia a la recta de giro es 5.
Aplicamos la Pappus:
Vy = (2π)(5)(16π) = 160π 2 u2
3

4. Al rededor de la recta x = −2
calculamos la distancia del centroide a la recta de giro y luego aplicamos Pappus:
Vy = (2π)7(16π) = 224π 2 u2
Universidad de La Frontera Agosto - Diciembre 2010
Autores: Nicolas Carrasco - Francisco Lopez - Francisco Llanquipichun
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