Las representaciones gráficas permiten mostrar la respuesta en frecuencia de un sistema lineal. El diagrama de Bode representa la magnitud y fase de la función de transferencia en función de la frecuencia. Se compone de dos gráficos, uno para la magnitud en dB y otro para la fase en grados. La función de transferencia se descompone en factores canónicos cuya forma determina la forma de los gráficos. Estos se construyen sumando las pendientes entre los puntos de quiebre de cada factor en la tabla de contribuciones.

1. REPRESENTACIONES GRÁFICAS
1. ¿Qué son?
• Son gráficos que permiten mostrar la respuesta en frecuencia de
un sistema lineal.
• Son herramientas útiles para el análisis, síntesis y diseño.
2. Diagrama de Bode
Permite representar la respuesta en frecuencia de un sistema H(jw)
en dos gráficos conocidos como:
H(jw) dB  = 20 log H(jw) v/s w[r/s] Diagrama de Magnitud
   
 
/ H(jw) [] v/s w[r/s] Diagrama de Fase
Unidades
Cantidad Unidad Observación
Magnitud decibeles [dB] 20log|H(jw)|
Fase Grados [º] 0[º] a 360[º]
Frecuencia radianes/segundo [r/s] 1 radian = 180 / π [º]
Escalas
Cantidad Escala Observación
Magnitud lineal Se marca cada 20 [dB]
Fase lineal Se marca cada 90 [º]
Frecuencia logarítmica En decadas [dec]
Década, corresponde al rango entre w1 y su múltiplo 10w1.

2. 3. Factores canónicos
Para dibujar estos diagramas la función de transferencia se expresa
en producto de los siguientes factores canónicos:
[B1] K Ganancia Bode a frecuencia cero.
[B2] (1+jw/wo)q Factor simple
[B3] (jw)q Factor cero
[B4] [1+2ξ(jw/wn)+(jw/wn)2]q Factor cuadrático
[B5] e-jwτ τ0 Factor retardo
Donde q Є {-1,1}, 0 ≤ ξ ≤ 1
4. Ejemplo de descomposición en factores canónicos.
• Considerar la función:
6 e -0.1jw (jw + 2)
H(jw) =
(jw) (jw + 1) ((jw) 2 + jw + 4)
Entonces puede escribirse como :
3 * ( e -0.1jw ) (1 + j w/2 )
H(jw) =
jw jw
(jw) (1 + jw) (1 + 2 * 0.25 * ( ) + ( ) 2 )
2 2
jw jw
H(jw) = 3 * ( e -0.1jw ) (1 + jw/2) (jw) -1 (1 + jw) -1 (1 + 2 * 0.25 * ( ) + ( ) 2 ) −1
2 2

3. 5. Gráficas aproximadas de los factores canónicos.
• [B1] F(jw) = K
Magnitud
|F(jw)|[dB]= |K|[dB] = 20 log |K| es una recta horizontal
|F(jw)|[dB]
+20
20log|K|
10-1 10-0 10+1
0 w
- 20
Fase
0 K ≥0
/F(jw) = /K =  es una recta horizontal
- 180
o
K0
Obs. MATLAB prefiere +180[o]
/F(jw)| [o]
10-1 10-0 10+1
0o w
K≥0
-90o
- 180o
K0

4. • [B2] F(jw) = (1+ jw/wo)q, q Є {-1, 1}
Magnitud
|F(jw)|[dB]= q * 10 * log (1 + (w/wo)2) [dB] q = -1
|F(jw)|[dB]
10-1 10-0 10+1
0 w/wo
-10
- 20
Fase
/F(jw) = q * arctan (w/wo) [o] q = -1
/F(jw)| [o]
10-1 10-0 10+1
0o w/wo
-45o
- 90o

5. • [B3] F(jw) = (jw)q, q Є {-1, 1}
Magnitud
|F(jw)|[dB]= q * 20 * log |w| [dB]
Es una recta con pendiente 20*q [dB/decada]
q = -1
|F(jw)|[dB]
+20
10-1 10-0 10+1
0 w
- 20
Fase
/F(jw) = q * 90 [o] q = -1
/F(jw)| [o]
10-1 10-0 10+1
0o w
-45o
- 90o
-135o

6. • [B4] F(jw) = [1+2ξ(jw/wn)+(jw/wn)2]q
q Є {-1,1}, 0 ≤ ξ ≤ 1
Magnitud
|F(jw)|[dB]= q * 10* log ( (1- (w/wn)2)2 + 4ξ2(w/wn)2)
Para todo w wn q = -1 (ξ aumenta )
ξ
|F(jw)|[dB] 10 -1
10 -0
10+1
w/wn
0
-20
- 40
Fase
 2 ξ w wn
 q * arctan ( 2 ) ∀ w wn
 wn - w 2

/F(jw) = 
 2 ξ w wn
90 * q + q * arctan( ) ∀ w wn
 w 2 - w2
 n
(ξ aumenta )
/F(jw)| [o]
10-1 10-0 10+1
0o w/wn
-45o
- 90o
ξ
-135o
-180o

7. • [B5] F(jw) = e-jwτ τ0
Magnitud
|F(jw)|[dB]= 0
Fase
/F(jw) = -w τ
/F(jw)| [o]
10-1 10-0 10+1
0o wτ
-300o
- 600o

8. 6. Procedimiento para construir un diagrama de Bode aproximado.
• Escriba H(jw) como producto de factores canónicos
• Seleccionar rango de frecuencia de los gráficos
• Dibujar los diagramas
I) Diagrama de Magnitud
• Anote para cada factor, los puntos de quiebre de sus asíntotas y la
pendiente de ellas entre cada par de puntos de quiebre
consecutivos. Hacer una Tabla.
• Sumar las pendientes entre cada punto de quiebre y dibujar el
diagrama de magnitud. (Pendiente = [20dB / década])
• Desplazar verticalmente el diagrama de magnitud en 20log(|K|).
Esta operación es equivalente a renumerar el eje de ordenadas
II) Diagrama de Fase
• Anote para cada factor, los puntos de quiebre de sus asíntotas y la
pendiente de ellas entre cada par de puntos de quiebre
consecutivos. Hacer una Tabla.
• Sumar las pendientes entre cada punto de quiebre y dibujar el
diagrama de fase. (Pendiente = 45[o / década]).
• Desplazar verticalmente el diagrama de fase en 90*q [o] cuando
existe el factor (jw)q . Esta operación es equivalente a renumerar
el eje de ordenadas.
• Si K0 desplazar verticalmente el diagrama de fase en -180 [o]
III) Verificación
• Verifique que su resultado satisface las aproximaciones
asintóticas, tanto en magnitud como en fase, para frecuencias muy
bajas (w → 0) y para frecuencias muy altas (w → ∞).

9. 7. Ejemplo de Diagrama de Bode
Dada la función de transferencia de un sistema lineal, obtener su
respuesta en frecuencia usando Diagrama de Bode.
8 (s - 2) (s + 1)
H(s) =
s (s + 8) (s - 4)
a) Como interesa el comportamiento en frecuencia usar s = jw. Luego
escribir H(jw) como el producto de factores canónicos.
H(jw) = 0,5 (1-jw/2) (1+jw) (jw)-1 (1+jw/8)-1 (1-jw/4)-1
F1 F2 F3 F4 F5 F6
b) Cálculo del rango de frecuencias de interés ( en Diagrama de Fase):
Factores PQ 1 PQ 2
F1 - -
F2 0,2 20
F3 0,1 10
F4 - -
F5 0,8 80
F6 0,4 40
Tabla 1. Rango de frecuencias
El rango va desde [0,1; 80], se usará un rango [ 0,01; 100 ].
c) Diagrama de Magnitud
• Hacer la Tabla con los puntos de quiebre y las pendientes
entre dos puntos de quiebre sucesivos:
PQ (-∞ ; 1] ( 1 ; 2] ( 2 ; 4] ( 4 ; 8] ( 8 ; +∞]
F1 - - - - - -
F2 2 0 0 1 1 1
F3 1 0 1 1 1 1
F4 1 -1 -1 -1 -1 -1
F5 8 0 0 0 0 -1
F6 4 0 0 0 -1 -1
Sumar pendientes -1 0 1 0 -1
Tabla 2. Contribución de pendientes

10. • El factor F1 desplaza verticalmente el diagrama en
20 log (0,5) = - 6 [dB].
| |dB
40
30
20
10
-2
-6 10 10-1 10o 2 4 8 101 102 w
-10
-20
-30
-40
Figura 1. Diagrama de Magnitud
d) Diagrama de Fase
• Hacer la Tabla con los puntos de quiebre y las pendientes
entre dos puntos de quiebre sucesivos:
PQ (-∞;0,1] (0,1;0,2] (0,2;0,4] (0,4;0,8] (0,8;10] (10;20] (20;40] (40;80] ( 80;+∞]
F1 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F2 2 0 0 -1 -1 -1 -1 0 0 0
F3 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0
F4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F5 8 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 0
F6 4 0 0 0 1 1 1 1 0 0
Suma 0 1 0 1 0 -1 0 -1 0
Tabla 2. Contribución de pendientes
• El factor F4 desplaza verticalmente el diagrama de fase en
-90[o].

11. /_[o]
90
45
10-2 10-1 .2 .4 .8 10o 2 4 8 101 20 40 80 102 w
-45
-90
Figura 2. Diagrama de Fase
El programa MATLAB dispone del comando “bode” para calcular y
dibujar exactamente estos diagramas. En este ejemplo, primero se expande
la función en polinomios tanto el numerador como el denominador.
8s 2 - 8s - 16
H(s) =
s 3 + 4s 2 - 32s + 0
Entonces los diagramas de Bode se obtienen con el código MATLAB:
H = tf ( [ 8 -8 -16] , [ 1 4 -32 0] );
bode (H);