1. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
nguyenchicong171184@gmail.com
Ngày 10 tháng 5 năm 2014
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phương mặt phẳng
Phương trình mặt phẳng (α) trong
không gian có dạng tổng quát
Ax + By + Cz + D = 0
véc–tơ −→n = (A, B, C) là véc–tơ pháp
tuyến của mặt phẳng (α).
Nếu mặt phẳng (α) cắt ba trục
Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a, 0, 0),
B(0, b, 0), C(0, 0, c), abc = 0 thì mặt
phẳng (α) có dạng đoạn chắn
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1
2. Phương trình đường thẳng
Đường thẳng ∆ đi qua điểm
M(x0, y0, z0) và có véc–tơ chỉ phương
−→u = (a, b, c) có dạng tham số



x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
(t ∈ R)
Nếu abc = 0 thì ∆ còn được viết dưới
dạng chính tắc
x − x0
a
=
y − y0
b
=
z − z0
c
II. BÀI TẬP MINH HỌA
1. Bài toán 1: Trong không gian Oxyz
cho điểm M(1, 2, 3). Lập phương
trình mặt phẳng (α) đi qua M và cắt
Ox+, Oy+, Oz+ lần lượt tại A, B, C sao
cho thể tích tứ diện OABC có thể tích
bằng 27.
Hướng dẫn
Giả sử mặt phẳng (α) cắt chiều
dương trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại
A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c) với
a, b, c > 0 . Khi đó mặt phẳng (α)
có dạng x
a + y
b + z
c = 1. Vì M ∈ (α)
nên 1
a + 2
b + 3
c = 1. Áp dụng bất
đẳng thức AM − GM cho ba số
dương 1
a , 2
b , 3
c . Ta có, 1 = 1
a + 2
b + 3
c ≥
3 3 6
abc (∗) ⇒ VOABC = abc
6 ≥ 27.
Dấu “=” xảy ra ở (∗) khi và chỉ
khi 1
a = 2
b = 3
c . Từ đó tìm được
a = 3, b = 6, c = 9. Vậy, mặt phẳng
(α) có dạng 6x + 3y + 2z − 18 = 0.
2. Bài toán 2: Trong không gian Oxyz cho
điểm A(1, 2, 3) và hai đường thẳng d1
có phương trình x−2
2 = y+2
−1 = z−3
1 , d2
có phương trình x−1
−1 = y−1
2 = z+1
1 .
Lập phương trình đường thẳng d đi
qua A vuông góc với d1 và cắt d2.
Hướng dẫn
Giả sử d ∩ d2 = {B} khi đó vì B ∈
d2 nên B(1 − t, 1 + 2t, −1 + t). Từ đó
−→
AB = (−t, −1 + 2t, −4 + t). Ta có thể
coi
−→
AB là véc–tơ chỉ phương của d,
đường thẳng d1 có véc–tơ chỉ phương
−→u1 = (2, −1, 1). Vì d ⊥ d1 nên
−→
AB.−→u1 = 0 ⇔ −2t + 1 − 2t − 4 +
t = 0 ⇔ t = −1. Đường thẳng d
đi qua điểm A(1, 2, 3) và có véc–tơ chỉ
phương
−→
AB = (1, −3, −5) nên d có
phương trình x−1
1 = y−2
−3 = z−3
−5 .
3. Bài toán 3: Viết phương trình đường
thẳng d đi qua điểm M(1, −1, 1) và
cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt
có phương trình x−1
2 = y
1 = z−3
−1 và
x+2
1 = y−3
−2 = z
1.
Hướng dẫn
Đường thẳng d1 đi qua điểm A(1, 0, 3)
và có véc–tơ chỉ phương −→u1 =
(2, 1, −1), đường thẳng d2 đi qua điểm
1

2. B(−2, 3, 0) và có véc–tơ chỉ phương
−→u2 = (1, −2, 1).
Ta có,
−−→
MA = (0, 1, 2), mặt phẳng (α)
đi qua M và chứa đường thẳng d1 có
véc–tơ pháp tuyến là −→nα = [−→u1,
−−→
MA] =
(3, −4, 2) nên nó có phương trình 3x −
4y + 2z − 9 = 0. Tương tự,
−→
MB =
(−3; 4; −1) và mặt phẳng (β) đi qua
M và chứa d2 có phương trình x + y +
z − 1 = 0. Đường thẳng d đi qua M và
cắt cả hai đường thẳng d1, d2 chính là
giao tuyến của hai mặt phẳng (α), (β).
Dễ dàng tìm được d có phương trình
x−1
6 = y+1
1 = z−1
−7 .
4. Bài toán 4: Trong không gian tọa độ
Oxyz cho mặt phẳng (α) có phương
trình 4x − 2y + z − 1 = 0 và đường
thẳng ∆ có phương trình



x = 1
y = −2 − t
z = −1 + t
Lập phương trình đường thẳng d là
hình chiếu vuông góc của ∆ lên mặt
phẳng (α).
Hướng dẫn
Đường thẳng ∆ đi qua điểm
M(1, −2, 1) và có véc–tơ chỉ phương
−→u∆ = (0, −1, 1). Gọi (β) là mặt phẳng
chứa đường thẳng ∆ và vuông góc với
mặt phẳng (α). Từ đó, mặt phẳng (β)
nhận véc–tơ −→nβ = [−→u∆, −→nα] = (1, 4, 4)
là véc–tơ pháp tuyến nên (β) có
dạng x + 4y + 4z + 11 = 0. Đường
thẳng cần tìm chính là giao tuyến
của (α) và (β). Dễ dàng tìm được
phương trình chính tắc của d có dạng
x−1
4 = y+2
5 = z+1
6 .
III. BÀI TẬP VẬN DỤNG
B-1. (KB–2004)Trong không gian Oxyz cho
điểm A(−4, −2, 4) và đường thẳng d có
phương trình



x = −3 + 2t
y = 1 − t
z = −1 + 4t
Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A
cắt và vuông góc với d.
B-2. (KA–2005)Trong không gian Oxyz cho
đường thẳng d có phương trình x−1
−1 =
y+3
2 = z−3
1 và mặt phẳng (P) có phương
trình 2x + y − 2z + 9 = 0.
(a) Tìm tọa độ điểm I ∈ d sao cho khoảng
cách từ I đến (P) bằng 2.
(b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường
thẳng d và mặt phẳng (P). Viết
phương trình đường thẳng ∆ nằm
trong (P) biết ∆ đi qua A và vuông góc
với d.
B-3. (KB–2006) Trong không gian Oxyz cho
điểm A(0, 1, 2) và hai đường thẳng d1 có
phương trình x
2 = y−1
1 = z+1
−1 , d2 có phương
trình 


x = 1 + t
y = −1 − 2t
z = 2 + t
(a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua
A đồng thời song song với d1, d2.
(b) Tìm tọa độ các điểm M ∈ d1, N ∈ d2
sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng.
B-4. (KD–2006) Trong không gian Oxyz cho
điểm A(1, 2, 3) và đường thẳng d1 : x−2
2 =
y+2
−1 = z−3
1 , d2 : x−1
−1 = y−1
2 = z+1
1 .
(a) Tìm tọa độ điểm A đối xứng với điểm
A qua đường thẳng d1.
(b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi
qua A vuông góc với d1 và cắt d2.
B-5. (KA–2007)Trong không gian Oxyz cho hai
đường thẳng d1 : x
2 = y−1
−1 = z+2
1 và đường
thẳng
d2



x = −1 + 2t
y = 1 + t
z = 3
(a) Chứng minh d1, d2 chéo nhau.
(b) Viết phương trình đường thẳng d
vuông góc với mặt phẳng (P) : 7x +
y − 4z = 0 và cắt cả hai đường thẳng
d1, d2.
B-6. (KA–2008) Trong không gian Oxyz cho
điểm A(2, 5, 3) và đường thẳng d có
phương trình x−1
2 = y
1 = z−2
2 .
2

3. (a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
điểm A trên đường thẳng d.
(b) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa
d sao cho khoảng cách từ A đến (α) là
lớn nhất.
B-7. (KD–2009) Trong không gian Oxyz cho
đường thẳng ∆ : x+2
1 = y−2
1 = z
−1 và
mặt phẳng (P) : x + 2y − 3z + 4 = 0. Viết
phương trình đường thẳng d ∈ (P) sao cho
d cắt và vuông góc với ∆.
B-8. (KA–2010) Trong không gian Oxyz cho
đường thẳng ∆ : x−1
2 = y
1 = z+2
−1 và mặt
phẳng (P) : x − 2y + z = 0. Gọi C là giao
điểm của ∆ và (P), điểm M ∈ ∆. Tính
khoảng cách từ M đến (P) biết MC =
√
6.
B-9. (KA–2011) Trong không gian Oxyz cho hai
điểm A(2, 0, 1), B(0, −2, 3) và mặt phẳng
(P) : 2x − y − z + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm
M ∈ (P) sao cho MA = MB = 3.
B-10. (KD–2011) Trong không gian Oxyz cho
điểm A(1, 2, 3) và đường thẳng d : x+1
2 =
y
1 = z−3
−2 . Viết phương trình đường thẳng ∆
đi qua A vuông góc với d và cắt truc Ox.
B-11. (KA–2012) Trong không gian Oxyz cho
đường thẳng d : x+1
1 = y
2 = z−2
1 và điểm
I(0, 0, 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I
và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác
IAB vuông tại I.
B-12. (KA–2013) Trong không gian Oxyz cho
đường thẳng ∆ : x−6
−3 = y+1
−2 = z+2
1 và điểm
A(1, 7, 3). Viết phương trình mặt phẳng (P)
đi qua A và vuông góc với ∆, tìm tọa độ
điểm M ∈ ∆ sao cho AM = 2
√
30.
3