Mecánica de Fluidos 02. Estática de Fluidos.

1. 2. Estática de fluidos

2. Esfuerzo en un fluido
n
σ
El fluido dentro del volumen V se encuentra encerrado por una superficie S. En
un punto sobre la superficie, donde la normal unitaria que apunta hacia fuera es n,
el esfuerzo es σ.
Para un fluido en reposo:
σ = (− p ) n

3. Presión en un fluido estático.
Ley de Pascal: La presión en un punto dentro de un fluido es isotrópica.
n
dV
fuerza de presión = ∫∫ (− pn ) dS = ∫∫∫ (− ∇p )dV
S V

4. Presión en un fluido en un campo gravitatorio

5. Ecuación fundamental de la hidrostática
Forma diferencial:
− ∇p + ρg = 0
Forma integral:
∫∫∫ (− ∇p )dV + ∫∫∫ ρgdV = 0
V V
∫∫ (− pn )dS + ∫∫∫ ρgdV = 0
S V

6. Integral de línea entre dos puntos dentro de un fluido
2
Cálculo de la integral de línea de la ecuación hidrostática entre dos
puntos dentro del fluido :
2
Fluido dC ∫ (- ∇p + ρg )·dc = 0
1
2 2
∫ (- ∇p)·dc + ∫ (ρ∇(g · R ))·dc = 0
1 1
C − (P2 − P1 )+ ρ(g · R 2 − g · R1 ) = 0 , si ρ constante, g constante
1
P1 − ρg · R 1 = P2 − ρg · R 2 = P − ρg · R

7. Medición de la presión
Determinación de la presión atmosférica (El barómetro)
g
pA + rmgzA = pB + rmgzB
pA = pvapor = 0
pB = patm
z patm = ρmg(zA – zB) = ρmgh
Diagrama de un barómetro de mercurio. Las alturas del fluido se miden en la
dirección positiva de z, la aceleración gravitatoria es hacia abajo y los puntos
1 y 2 Identifican las superficies libres de la columna de mercurio y el depósito,
respectivamente

8. El manómetro
Abierto
g Pa + ρmgz1 = P2 + ρmgz2
ρc • 1
P2 + ρcgz2 = P3 + ρcgz3
3
h
Sumando:
P3 = Pa + ρmg(z1-z2) + ρcg(z2-z3)
2
z ρm
Si ρc << ρm:
P3 = Pa + ρmg(z1-z2) = Pa + ρmgh
Manómetro de tubo en forma de U que se utiliza para medir la presión de un fluido
en un recipiente.

9. Fuerza de presión sobre una superficie sólida
O Fuerza de presión del fluido sobre la superficie sólida
S f p = ∫∫ pndS
S
R Momento de la fuerza de presión sobre la superficie sólida
Fluido
n T = ∫∫ (R × pn )dS
S
dS
R cp × f p = T
Sólido
Cálculo del momento de fuerza alrededor del centro de presión :
∫∫ (R - R cp )× pndS = ∫∫ (R × pn )dS − R cp × ∫∫ pndS
S S S
= T − R cp × f p = T − T
=0

10. z’
pa (Presión sobre la superficie del fluido)
O
Rs = Rc + x ix + y iy
x’ y’
Rs es el vector posición de un
Rs punto sobre la superficie plana.
Rc y
(centroide de S)
x ix + y iy
S 1
c
Rc = ∫∫ R s dS
S S
dS
n x
Sólido
La fuerza de presión por unidad de área que actúa sobre un elemento dS de
la superficie S de un sólido es pn, donde n es la normal unitaria que apunta hacia
afuera del fluido. Rs es el vector de posición del elemento de superficie dS medido
desde el origen O del sistema de coordenadas.

11. Fuerza de presión sobre una superficie plana
f p = (p c S)n
Donde:
pc es la presión en el centroide de la superficie plana.
S es el área de la superficie plana
Cálculo del centro de presión: Rcp × fp = T
ρg x I xx + ρg y I xy
x cp =
p cS
ρg x I xy + ρg y I yy
y cp =
p cS
donde : I xx = ∫∫ x 2 dS, I yy = ∫∫ y 2 dS, I xy = ∫∫ xydS
S S S

12. Centroides y momentos de inercia

13. Ejercicio 1

14. Ejercicio 2

15. Ejercicio 3

16. Fuerzas de presión sobre cuerpos sumergidos en fluidos
Principio de Arquímides
O f b = ∫∫ pndS = ∫∫∫ ρ w gdV
S V
R Fuerza de boyamiento
Rb
Rg Centro de gravedad del sólido con densidad
Fluido
ρs ctte.
1
V ∫∫∫
g
n Rg = RdV
dV V
Sólido
Centro de carena del sólido si la densidad
ρ w del fluido es ctte.
Fuerza gravitacional
1
∫∫∫ ρ gdVs
Rb = ∫∫∫ RdV
V V
V

17. f b = ∫∫ pndS
S
= ∫∫∫ (− ∇p )dV (Aplicando el teorema de Gauss)
V
= ∫∫∫ (- ρ w g )dV (Condición hidrostática)
V
Entonces :
f b = ∫∫∫ (- ρ w g )dV Principio de Arquímides : La fuerza de boyamiento
V
sobre un objeto sólido sumergido es igual al peso del
volumen de fluido desplazado.
Si la densidad del fluido y g son constantes, obtenemos: f b = −ρ w gV
¡EUREKA!
El momento de la fuerza de boyamiento sobre el sólido es :
⎛f ⎞
Tb = ∫∫ (R × (− ρ w g ))dS = ∫∫ RdS × (− ρ w g ) = (R b V )× ⎜ b ⎟
S S ⎝V⎠
Tb = R b × f b

18. Equilibrio estático
⎧Fb + Fg + Fext = 0
⎪
⎨
⎪R b × Fb + R g × Fg + R ext × Fext = 0
⎩
Equilibrio estable

19. L
a’
o’ b’
f’
c’
M
δθ
y
a δθ dS = x tan(δθ) dx
o b
f dx
G c
x
B
B’
e
d
L ⎛ ⎜ ydS + ydS − ydS⎟
⎞
R B' =
1
∫∫∫ RdV yB' = ∫∫
Vsub ⎜ Sacde
∫∫ ∫∫ ⎟
Vsub Vsub ⎝ S ocb S aof ⎠
L ⎛ ⎞
⎜ RdS + RdS − RdS ⎟ L ⎛ ⎜ ydS − ydS⎟
⎞
= ∫∫
Vsub ⎜ Sacde
∫∫ ∫∫ ⎟ = yB + ∫∫
Vsub ⎜ Socb
∫∫ ⎟
⎝ Socb Saof ⎠ ⎝ S aof ⎠
= yB + 0 , si δθ → 0

20. L ⎛ ⎞
⎜ xdS + xdS − xdS ⎟
x B' = ∫∫
Vsub ⎜ Sacde
∫∫ ∫∫ ⎟
⎝ Socb Saof ⎠
L ⎛ ⎞
⎜ 0 + xdS − xdS ⎟
= ∫∫
Vsub ⎜ Socb
∫∫ ⎟
⎝ Saof ⎠
L ⎛ ( ⎞
⎜ ∫ x x tan (δθ))dx − ∫ x (− x tan (δθ))dx ⎟
=
Vsub ⎜ ao
⎝ oc
⎟
⎠
1 ⎛ ⎞
⎜ ∫ ( 2 tan (δθ)) ⎟ = tan
(δθ)⎛ ( 2 ) ⎞
⎜ ⎟
⎜ ∫∫ x dS ⎟
= ⎜ x Ldx ⎟
Vsub ⎝ ac ⎠ Vsub ⎝ Sacc 'a ' ⎠
tan (δθ)
= Io
Vsub
x B' I
= L MB = 0
tan(δθ)
Si LMB > 0 entonces el sistema es dinámicamente estable.
Vsub

21. Fluidos estratificados
Equilibrio estático en fluidos estratificados
Tomemos el rotacional de la ecuación hidrostática,
∇ × (- ∇P + ρg ) = 0
− ∇ × ∇P + ρ∇ × g + ∇ρ × g = 0
Considerando g constante, obtenemos la siguiente condición de equilibrio :
∇ρ × g = 0 , El gradiente de la densidad de un fluido estratificado en reposo debe tener la
misma dirección que g

22. Cálculo de la presión en un fluido estratificado
Sea g = −g i z , entonces la ecuación de equilibrio hidrostáti co para un fluido estratificado es :
(- ∇p )·i z + (− ρgi z )·i z = 0
dp
= −ρ g
dz
z
p{ }= p 0 − g ∫ ρ{ }
z z dz
z0
Considerando el aire atmosférico como un gas perfecto, p = ρRT,
dp p
=− g
dz RT
{ }= p o exp⎛ − (z − z 0 )⎞
Atmósfera isotérmica,
⎛ g z 1 ⎞ g
{ }= p o exp⎜ − ∫
pz ⎟
⎜ R T{ }dz ⎟
T=T0 pz ⎜
⎜ ⎟
⎟
⎝ zo z ⎠ ⎝ RT0 ⎠

23. La atmósfera normal
g ⎛ dz ⎞
− ⎜ ⎟
⎛ ⎛ dT ⎞ ⎞ R ⎝ dT ⎠ i ,i +1
⎜ Ti + ⎜ ⎟ (z − z i )⎟
⎜ ⎝ dz ⎠i ,i +1 ⎟
pi ,i +1{}= pi ⎜
z ⎟
Ti
⎜
⎜ ⎟
⎟
⎝ ⎠

24. Estabilidad atmosférica
⎛ dρ{z} ⎞
⎜ ⎟<0
⎝ dz ⎠
⎛ dρ{z} ⎞ ⎛ ∂ρ ⎞ dp{z}
⎜ ⎟<⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ dz ⎠ ⎝ ∂p ⎠ s dz
ˆ
⎛ ∂ρ ⎞
< ⎜ ⎟ (− ρg )
⎜ ∂p ⎟
⎝ ⎠s ˆ
⎛ dT{z} ⎞ g
⎜ ⎟>− Para un gas ideal
⎝ dz ⎠ ˆ
cp

25. Tensión superficial y capilaridad
El líquido se eleva en un tubo capilar a una posición de equilibrio que está
determinada por el equilibrio de la fuerza de tensión superficial y la de gravedad,
las cuales actúan sobre una columna de fluido que presenta la elevación en su
superficie.