El documento describe los métodos de programación lineal, incluyendo el método gráfico y el método simplex. El método gráfico se limita a problemas de 2-3 variables, mientras que el método simplex puede resolver problemas con cualquier número de variables de manera mecánica e iterativa moviéndose de vértice a vértice hasta alcanzar la solución óptima. El método simplex se ha convertido en una herramienta estándar importante para asignar recursos limitados de manera óptima.

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2. INTRODUCCIÓN
La Programación Lineal son técnicas de programación matemática para
resolver problemas de optimización de recursos, cuando existe más de una
restricción lineal.Los modelos de programación lineal que tienen sólo dos
variables de decisión se pueden resolver mediante el método gráfico.
El Método Simplex de Programación Lineal es un método analítico de
solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos
más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción
en el número de variables.
El Método Simplex de programación lineal es un método iterativo que permite
ir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora
radica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un
vértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la
función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices
que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución.
Este famosísimo método fue creado en el año de 1947 por el estadounidense
George Bernard Dantzig y el ruso LeonidVitalievichKantorovich, con el ánimo
de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n
variables.
El Método Gráfico es poco poderoso ya queestá limitado a resolver
problemas de dos o máximo tres variables de decisión. Sin embargo, su
importanciaradica en que permite visualizar los conceptos matemáticos
implicados en la Programación Lineal.Este método es de poca importancia
en lo relacionado a una aplicación directa a problemas prácticos, debido a
que los problemas prácticos significativos involucran más de dos variables.
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3. Programación Lineal
La Programación Lineal es una técnica de programación matemática para
resolver problemas de optimización de recursos, cuando existe más de una
restricción lineal. Este consiste en una serie de métodos y procedimientos
que permiten resolver problemas de optimización en el ámbito, sobre todo,
de las Ciencias Sociales. Sus características son de:
 Se busca una combinación de recursos.
 Se deben satisfacer varios criterios.
 Se identifica un criterio como el objetivo.
Restricciones y Tipos
Las restricciones es un conjunto de condiciones exigidas, relacionadas con
los recursos involucrados en un problema, que debe satisfacer toda solución.
Y los tipos de restricciones son las siguientes:
 Restricciones de Capacidad, esta se deben a la cantidad disponible
de:
 Equipo.
 Espacio.
 Mano de Obra.
 Restricciones de Mercado, son límites de la cantidad de producto, ya
sea un bien o servicio, que puede venderse o usarse, y puede ser:
 Inferior.
 Superior.
 Ambos.
 Restricciones de Disponibilidad, son límites ocasionados por la
escasez de recursos, que pueden ser:
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4.  Materias primas.
 Financiamiento.
 Fuerza de trabajo.
 Otros.
 Restricciones de Calidad, estas son restricciones que limitan la mezcla
de ingredientes, y que por lo tanto determinan la calidad de los
productos resultantes.
 Restricciones de Equilibrio, esta son restricciones de tecnología de
producción o equilibrio de materiales. Determinan la salida de un
proceso como una función de las entradas, muchas veces con una
pérdida por desperdicios.
 Restricciones de Definición, estas son restricciones que definen una
variable, y muchas veces provienen de definiciones contables.
Análisis de Sensibilidad y Tipos
Es el estudio del efecto de los cambios en los parámetros del problema,
sobre la solución óptima de Programa Lineal. La importancia del análisis de
sensibilidad, son las siguientes:
 Los modelos de Programa Lineal son con frecuencia grandes y
costosos, debido a lo cual no es eficiente usarlos para un solo caso.
 Los elementos que se dan como datos para un problema, muchas
veces son aproximaciones, debido a lo cual es necesario examinar
más de un conjunto de circunstancias.
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5. Los tipos de análisis de sensibilidad, son los siguientes:
 Sensibilidad de la Función Objetivo, la cual se dividen en las
siguientes:
 Cambios en los coeficientes: Determinar la gama de optimalidad
para la pendiente de los parámetros de la función objetiva que
mantendrá inalterable la solución óptima de un modelo
determinado.
 Cambios en el término independiente.
 Sensibilidad de las Restricciones, la cual se dividen en las siguientes:
 Cambios en los coeficientes de las restricciones.
 Cambios en el término independiente de las restricciones.
 Adicción de unas nuevas restricciones.
 Sensibilidad de las limitaciones, la cual se dividen en las siguientes:
 Cambios en la limitación de las abscisas.
 Cambios en la limitación de las ordenadas.
 Adición de nuevas variables.
Método Simplex de Programación Lineal
El método simplex de programación lineal, se han resuelto dificultades de
programación lineal a través de un método geométrico. Este método no
resulta práctico cuando el número de variables se aumenta a tres, y con más
variables resulta imposible de utilizar. Ahora se examinará una técnica
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6. diferente, el método simplex, cuyo nombre está asociado en análisis más
avanzados a un objeto geométrico al que se denomina simplex.
Este método comienza con una solución posible y prueba si es o no óptima.
Si no lo es, el método sigue a una mejor solución. Se dice mejor en el sentido
de nueva solución no es óptima, entonces se repite el procedimiento. En
algún momento el método simplex conduce a una solución óptima, si es que
existe la misma.
También este método es eficaz, es completamente mecánico. De esta
manera, no implica el uso de geometría. Esto permite resolver problemas de
programación lineal que tiene cualquier número de restricciones y variables
del problema.
Objetivo del Método Simplex de Programación Lineal
El objetivo del método simplex de programación lineal, es utilizado para
resolver problemas en todo tipo de problema reales de programación lineal
generalmente tienen variables de decisión ymuchas restricciones. Tales
problemas no pueden ser resueltos gráficamente. Se usan algoritmos tales
como los simples.
El método simplex es un procedimiento iterativo queprogresivamente permite
obtener una solución óptima para los problemas deprogramación lineal.
Existen numerosos programas tanto para computadoras centralescomo para
personales. Aunque el método simples es especialmente útil en problemas
degran escala.
Importanciadel Método Simplex de Programación Lineal
Este métodopertenece a la programaciónlineal debido a que se requiere que
todas las funciones matemáticasen este modelo sean funcionales lineales y
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7. como sinónimode planificaciónde los recursos, es decir, un resultado que
alcance la meta especificada en la mejor forma entre las alternativas
factibles.
Es una técnica poderosa para tratar el problema de asignación de recursos
limitados entre actividades, así como para otros problemas que tengan un
planteamiento matemático semejante.
El métodosimplex es un algoritmo, un proceso en que se repite, un
procedimiento hasta lograr el resultado, determinando un proceso de
arranque y un criterio para determinar cuándodebe detenerse.
El métodosimplex se ha convertido en una herramienta estándar de gran
importancia para numerosas organizacionescomerciales e industriales.
Además, casi cualquier organización social tiene que ver con la asignación
de recursosen algún contexto y existe un reconocimiento creciente de la
extremadamente amplia aplicabilidad de la técnica delmétodo.
Este no solo aporta la soluciónóptimade las variables sino, su utilidad
máxima,y costo mínimo, sino tambiénuna gran cantidad de valiosa
informacióneconómica.
Por esta razónresulta de vital importancia tanto el aprender las técnicasde
solucióna travésde este métodoy ademásdominar ampliamente la
interpretaciónde resultados.
Características del Método Simplex de Programación Lineal
Algunas características de este método llamado simplex de programación
lineal, son las siguientes:
 Es aplicable a problemas de Programación Lineal multidimensionales.
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8.  Tiene como base el álgebra matricial y el proceso de eliminación de
Gauss-Jordán.
 Es un proceso de búsqueda que se vuelve sorprendentemente
eficiente para solucionar problemas muy grandes.
 Hoy en día puede aplicarse con eficiencia dad la diversidad de
paquetes de software que facilitan el proceso de cálculo.
Pasos del Método Simplex de Programación Lineal
Este proceso que se repite una y otra vez, siempre inicia en un punto
extremo de la región factible que normalmente es el origen, en cada iteración
se mueve a otro punto extremo adyacente hasta llegar a la solución óptima.
Los pasos son los siguientes:
 Manejando la forma estándar, determinar una solución básica factible
inicial igualando a la n-m variables iguales a cero o llamado también el
origen.
 Elegir la variable de entrada de las variables no básicas que al
incrementar su valor pueda mejorar el valor en la función objetivo.
Cuando no exista esta situación, la solución actual es la óptima; si no,
ir al siguiente paso.
 Elegir la variable de salida de las variables básicas actuales.
 Establecer la nueva solución al hacer la variable de entrada básica y
la variable de salida no básica, ir de nuevo al paso 2.
Ventajas del Método Simplex de Programación Lineal
Las ventajas de este método, son las siguientes:
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9.  Es un método heurístico. Se basa enconsideraciones geométricas y
norequiere el uso de derivadas de lafunción objetivo.
 Es de gran eficacia incluso para ajustargran numero de parámetros.
 Es fácil de implementar y usar, y sin embargo tiene una alta eficacia.
 Se puede usar con funciones objetivomuy sinuosas pues en las
primerasiteraciones busca el mínimo más ampliamente y evita caer en
mínimoslocales fácilmente.
Desventajas del Método Simplex de Programación Lineal
Las desventajas de este método, son las siguientes:
 Converge más lentamente que otrosmétodos puesrequiere mayor
número deiteraciones.
Nociones Básicos del Método Simplex de Programación Lineal
Las nociones básicas de este método son las siguientes:
 Forma estándar: Es la igualación de las restricciones del modelo
planteado, así como el aumento de variables de holgura, o bien la
resta de variables de exceso.
 Forma canónica: En el método Simplex es de bastante utilidad la
forma canónica, especialmente para explorar la relación de dualidad.
Un problema de Programación Lineal se encuentra en la forma
canónica si se cumplen las siguientes condiciones:
 Para el caso de la forma canónica de maximización:
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10.  La función objetivo debe ser de maximización.
 Las restricciones son del tipo ≤.
 Las variables de decisión son mayores o iguales a cero.
 Para el caso de la forma canónica de la dieta:
 La función objetivo es minimizada.
 Las restricciones son de tipo ≥.
 Las variables de decisión son mayores o iguales a cero.
 Variable de holgura: Se usa para convertir en igualdad una
desigualdad de tipo "≤". La igualdad se obtiene al adicionar en el lado
izquierdo de la desigualdad una variable no negativa, que representa
el valor que le hace falta al lado izquierdo para ser igual al lado
derecho.
Esta se conoce como variable de holgura, y en el caso particular en el que
las restricciones de tipo ≤ se refieren al consumo máximo de un recurso, la
variable adicionada cuantifica la cantidad sobrante de recurso al poner en
ejecución la solución óptima.
 Variable de exceso: Se usa para convertir en igualdad una
desigualdad del tipo "≥" Se realiza al restar en el lado izquierdo de la
desigualdad, una variable no negativa, que representa el valor en el
cual el valor del lado izquierdo excede al derecho.
A esta variable la llamaremos variable de exceso y en el caso particular en el
que las restricciones de tipo ≥ se refieran al contenido mínimo de un
ingrediente en una mezcla, la variable adicionada indica cuánto ingrediente
en exceso sobre el mínimo exigido contendrá la mezcla.
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11. Variables De Holgura Y Exceso del Método Simplex de Programación
Lineal
El Método Simplex trabaja basándose en ecuaciones y las restricciones
iniciales que se modelan mediante programación lineal no lo son, para ello
hay que convertir estas inecuaciones en ecuaciones utilizando unas variables
denominadas de holgura y exceso relacionadas con el recurso al cual hace
referencia la restricción.
El tabulado final representa el "Slackor surplus" al que hacen referencia
los famosos programas de resolución de investigación de operaciones, estas
variables adquieren un gran valor en el análisis de sensibilidad y juegan un
rol fundamental en la creación de la matriz identidad base del Simplex.
Estas variables suelen estar representadas por la letra "S", se suman si la
restricción es de signo "<= " y se restan si la restricción es de signo ">=".
Método Gráfico de Programación Lineal
El Método Gráfico es poco poderoso ya queestá limitado a resolver
problemas de dos o máximo tres variables de decisión. Sin embargo, su
importanciaradica en que permite visualizar los conceptos matemáticos
implicados en la Programación Lineal.
Es un método poderoso, utilizado para resolver problemas de "n" variables
de decisión, aunque también sepuede emplear para resolver problemas de
dos variables.El método gráfico para solucionar a un problema de
programación lineal es el siguiente:
 Dibuje la región factible de las restricciones.
 Calcule las coordenadas de los puntos extremos.
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12.  Sustituya las coordenadas de los puntos de esquina en la función
objetiva para ver cual da el valor óptimo. Este punto da la solución del
problema de programación lineal.
 Si la región factible no es acotada, este método puede ser erróneo:
soluciones óptimas siempre existen cuando la región factible está
acotada, pero pueden no existir en el caso no acotado.
 Si la región factible no es acotada, estamos minimizando una
función objetiva cuyos coeficientes son no negativos, entonces existe
una solución dado por este método.
Para determinar si existe una solución en el caso general no acotado:
 Acote la región por añadir una recta horizontal por encima del punto
de esquina más arriba, y una recta vertical a la derecha del punto de
esquina que esté mas hacia la derecha.
 Calcule las coordenadas de los puntos nuevos de esquina que se
obtiene.
 Halle el punto de esquina donde ocurre el valor óptimo de la función
objetiva.
 Si el valor óptimo se ocurre a un punto de esquina de la región
original, entonces existe la solución óptima a aquel punto.
Si ocurra el valor óptimo solo a un punto nuevo de esquina, entonces el
problema de programación lineal no tiene soluciones.
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13. Objetivo de Método Gráfico de Programación Lineal
El método gráfico se utiliza para la solución de problemas de
programación lineal, representando geométricamente a las restricciones,
condiciones técnicas y el objetivo.
El modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables.
Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o
imposible. Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema,
el método es llamado método gráfico en actividad. Cuando se relacionan las
restricciones tecnológicas se denomina método gráfico en recursos.
Importancia de Método Gráfico de Programación Lineal
La importancia de Método Gráfico de Programación Lineal, radica en que
permite visualizar los conceptos matemáticos implicados en la Programación
Lineal.Este método es de poca importancia en lo relacionado a una
aplicación directa a problemas prácticos, debido a que los problemas
prácticos significativos involucran más de dos variables.
Sin embargo el propósito es aprender una idea geométrica de la naturaleza
del problema, que será valiosa cuando se considere el método algebraico
más abstracto para el problema como veremos pueden ocurrir diversas
situaciones diferentes en conexión con los problemas de dos variables y
cada una tiene una solución para los de n variables, n>2.
Características de Método Gráfico de Programación Lineal
Algunas de las características de este método, llamado Método Gráfico de
Programación Lineal, son las siguientes:
 La metodología para la resolución de un problema de dos variables de
decisión.
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14.  Es poco poderoso ya queestá limitado a resolver problemas de dos o
máximo tres variables de decisión.
 Permite visualizar los conceptos matemáticos implicados en la
Programación Lineal.
 Puede ser impráctico o imposible.
Pasos de Método Gráfico de Programación Lineal
Los pasos necesarios para realizar el método son los siguientes:
 Ilustrar en forma de grafica las soluciones factibles, o el espacio de
soluciones, que satisfagan todas las restricciones en forma
simultánea.
 Las restricciones de no negatividad Xi>= 0 confían todos los valores
posibles.
 El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan
sustituyendo en primer término <= por (=) para cada restricción, con lo
cual se produce la ecuación de una línea recta.
 Delinear cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra
cada restricción cuando se considera la desigualdad lo indica la
dirección de la flecha situada sobre la línea recta asociada.
 Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de
solucionessatisfacen todas las restricciones y por consiguiente,
representa un puntofactible.
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15.  Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio
desoluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la
dirección en lacual aumenta la función objetivo.
 Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan
mediante laasignación de valores arbitrarios a fin de determinar la
pendiente y la direcciónen la cual crece o decrece el valor de la
función objetivo.
Ventajas de Método Gráfico de Programación Lineal
Las ventajas que posee este método gráfico de programación lineal, son
las siguientes:
 Fácil de aprender, ya que gran parte del proceso es materia de
enseñanza media.
 Conocimiento de los conceptos básicos de la programación lineal.
 Facilita la comprensión de los métodos más complejos.
Desventajas de Método Gráfico de Programación Lineal
Las desventajas que posee este método gráfico de programación lineal,
son las siguientes:
 Solo resulta con modelos que tienen 2 ó 3 incógnitas.
 Sólo sirve para problemas con dos variables de decisión.
 La Solución para la desventaja de Método Gráfico es el Método
Simplex.
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16. CONCLUSIÓN
La programación lineal es una manera o algoritmo matemático, por el cual se
resuelve un problema indefinido, expresado a través de un sistema de
inecuaciones lineales, optimizando la situación objetivo, también lineal.
El Método Simplex es utilizado para resolver problemas más complejos de
Programación Lineal.Es un método poderoso, utilizado para resolver
problemas de "n" variables de decisión, aunque también sepuede emplear
para resolver problemas de dos variables como lo hace el Método Gráfico. Es
un conjunto de métodos muy usados para resolver problemas de
programación lineal, en los cuales se busca el máximo de una función lineal
sobre un conjunto de variables que satisfaga un conjunto de inecuaciones
lineales.
El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de
programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los
resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de
variables.
El método gráfico se emplea para resolver problemas que presentan sólo 2
variables de decisión. El procedimiento consiste en trazar las ecuaciones de
las restricciones en un eje de coordenadas X1, X2 para tratar de identificar el
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17. área de soluciones factibles, cuyas soluciones que cumplen con todas las
restricciones.
La solución óptima del problema se encuentra en uno de los vértices de esta
área de soluciones creada, por lo que se buscará en estos datos el valor
mínimo o máximo del problema.La metodología para la resolución de
unproblema de dos variables de decisión, la interpretación de la solución del
problema modelado y la observacióngráfica de cómo afectan los cambios a
la solución del problema. El Método Gráfico es poco poderoso ya queestá
limitado a resolver problemas de dos o máximo tres variables de decisión.
BIBLIOGRAFÍA
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Séptima Edición. México, D.F.
 Wayne, W. (2003). Investigación de Operaciones. Cuarta Edición.
México, D.F.
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 http://hemaruce.angelfire.com/Metodo_Grafico.pdf
 http://es.scribd.com/doc/6729799/2-Metodo-Grafico
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18.  http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T08.pdf
 http://www.escuelauniversitaria.cl/apuntes/ProgramacionLineal.pdf
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