Estatistica basica unidade i

Professora conteudista: Maria Ester Domingues de Oliveira
Revisor: Francisco Roberto Crisóstomo

Sumário
Estatística Básica
Unidade I
1 CICLO SEMPRE CRESCENTE............................................................................................................................2
2 ESTATÍSTICA: CIÊNCIA DA QUAL DERIVAM DOIS CAMPOS ...............................................................2
3 ESTATÍSTICA..........................................................................................................................................................3
4 ESTATÍSTICA DESCRITIVA.................................................................................................................................3
5 ESTATÍSTICA DE TESTE.......................................................................................................................................3
5.1 Estatística F................................................................................................................................................4
5.2 Estatística T................................................................................................................................................4
6 ESTATÍSTICA DESCRITIVA (ESTUDO)............................................................................................................5
6.1 Etapas estudadas na estatística descritiva ...................................................................................5
6.2 Coleta de dados (dados brutos).........................................................................................................6
6.3 Dados coletados (dados brutos)........................................................................................................7
6.4 Rol (dados organizados em certa ordem) .....................................................................................7
6.5 Deﬁnição dos limites do Rol............................................................................................................ 10
6.6 Amplitude................................................................................................................................................12
6.7 Classes.......................................................................................................................................................15
7 NÚMERO DE CLASSES (NC) – RAIZ E STURGES..................................................................................16
8 FÓRMULA DA RAIZ QUADRADA................................................................................................................16
9 FÓRMULA DE STURGES ................................................................................................................................17
10 INTERVALO DE CLASSE (IC).......................................................................................................................19
11 LIMITES DE CLASSES.................................................................................................................................... 21
12 DEFINIÇÃO DE CLASSES.............................................................................................................................23
13 PONTO MÉDIO DE CLASSE ........................................................................................................................26
14 FREQUÊNCIA DE CLASSE ...........................................................................................................................29
15 FREQUÊNCIA ACUMULADA DE CLASSES ............................................................................................32
16 FREQUÊNCIA RELATIVA DE CLASSES ....................................................................................................33
17 FREQUÊNCIA PERCENTUAL.......................................................................................................................35
18 FATOR DE REFERÊNCIA (I) E F (I).............................................................................................................38
19 FATOR DE REFERÊNCIA AO QUADRADO – F (I).................................................................................39
Unidade II
20 OBJETIVOS DA ESTATÍSTICA......................................................................................................................40
21 MEDIDAS DE POSIÇÃO................................................................................................................................ 41

22 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES .................................................................................................................. 41
23 MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA..........................................................................................................44
24 MÉDIA GEOMÉTRICA...................................................................................................................................48
25 MÉDIA HARMÔNICA....................................................................................................................................49
26 MÉDIA DE DADOS AGRUPADOS............................................................................................................. 51
27 MEDIANA.........................................................................................................................................................53
28 MEDIANA DADOS AGRUPADOS (INTERPOLAÇÃO)..........................................................................55
29 MODA................................................................................................................................................................56
30 MODA DADOS AGRUPADOS (INTERPOLAÇÃO).................................................................................59
31 SITUAÇÃO ESPECIAL DE MEDIDAS DE POSIÇÃO..............................................................................62
32 MEDIDAS DE DISPERSÃO ..........................................................................................................................63
33 DESVIO PADRÃO DOS ELEMENTOS (Σ) ................................................................................................65
34 DESVIO PADRÃO DE DADOS AGRUPADOS.........................................................................................67
35 HISTOGRAMA.................................................................................................................................................68
36 HISTOGRAMA E POLÍGONO DE FREQUÊNCIA....................................................................................69
37 POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA........................................................................................ 70

1
ESTATÍSTICA BÁSICA
Unidade I
5
10
15
20
25
30
35
ESTATÍSTICA, LÓGICA E CICLO CRESCENTE
Introdução
Ciência: conjunto de conhecimento para o estudo de um
determinado objeto.
Método cientíﬁco:
• objetividade;
• lógica.
Fatos
Bases para
a teoria
Teorias
Explicam os fatos
Estão ligados pela
lógica e pela teoria

2
Unidade I
1 CICLO SEMPRE CRESCENTE
Observação
Previsão de novos
eventos
Desenvolvimento
da teoria
Abstração dos
elementos
essenciais para
servir de base para
a teoria lógica.
2 ESTATÍSTICA: CIÊNCIA DA QUAL DERIVAM
DOIS CAMPOS
1. Observação dos dados: Estatística descritiva.
• Caracterizada como a organização e descrição dos dados
experimentais.
— Exemplo:: índice de inﬂação; número de acidentes.
2. Comparações das observações (previsões/teorias):
Estatística indutiva.
— Exemplo:: análise e interpretação dos dados.
• População: conjunto de elementos com pelo menos uma
característica comum.

3
— Exemplo:: conjunto de alunos numa sala de aula; lote
de peças de uma máquina.
• Amostra: subconjunto de uma população.
— Necessidade de se recorrer aos elementos da amostra:
– população muito grande;
– tempo;
– custo.
Estatística
descritiva
Amostra
Cálculo de
probabilidade
Estatítica
indutiva
3 ESTATÍSTICA
Estudo da análise dos dados; compreendida a estatística
descritiva e a inferência estatística. As grandezas são
calculadas com base nos elementos de uma amostra como
a média; costuma-se usar a estatística como instrumento
para estimar os parâmetros populacionais desconhecidos
(medida estatística).
4 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Pode ser definida como um segmento que busca interpretar
por meio de observações de fenômenos de mesma natureza a
coleta de dados observados e a sua organização e apresentação
das informações através de gráficos, tabelas, listagens etc., além
de cálculos de coeficientes estatísticos que permitem descrever
resumidamente os fenômenos.
5 ESTATÍSTICA DE TESTE
A estatística de teste é uma grandeza calculada com base
em observações usadas para o teste da hipótese nula (teste de

4
Unidade I
validação de uma determinada hipótese). Com ela, é possível
identificar (a partir da distribuição conhecida) se a hipótese nula
é verdadeira ou não. Se o valor da estatística de teste não fizer
parte de um intervalo que represente a distribuição, a hipótese
será considerada sem validade de pertinência ou nula.
5.1 Estatística F
Considerando a análise de variância de uma estatística
que testa a hipótese nula de que todos os grupos provêm de
populações com mesma média, na análise de regressão, uma
estatística testa a hipótese nula de que não há relacionamento
entre as variáveis independentes e dependentes.
5.2 Estatística T
Estatísticausadaparatestarahipótesenuladequeoverdadeiro
valor de um coeficiente na análise de regressão é sempre zero.
EXERCÍCIOS
1. Ciclo crescente: o que pode ocorrer após desenvolver uma
teoria?
2. Qual o objetivo da estatística descritiva?
3. Qual a utilidade da estatística de teste?
4. Qual a utilidade da estatística F?
5. Qual a utilidade da estatística t?
6. Qual a utilidade da estatística indutiva?
Resolução dos exercícios
1. Previsão de novos eventos.

5
2. Organizar e apresentar informes através de gráficos e
tabelas visando descrever fenômenos de forma resumida.
3. A estatística de teste tem como finalidade definir a
validade de observações consideradas, visando estabelecer
uma hipótese nula.
4. Considerando análise de variância, testa a hipótese nula de
todos os grupos (populações de mesma média) avaliando
as variáveis dependentes e independentes.
5. Testa a hipótese nula de que o verdadeiro valor de um
coeficiente na análise de regressão é sempre zero.
6.Representacomparareobservarprevisõeseteorias(análise
e interpretação de dados coletados).
6 ESTATÍSTICA DESCRITIVA (ESTUDO)
A estatística descritiva representa uma sequência de etapas
que visam estabelecer uma organização, tabulação, listagem,
e ainda procedimentos de análise de interesse sobre um
determinado estudo.
6.1 Etapas estudadas na estatística descritiva
1. Coleta de dados brutos.
2. Organizar dados (Rol).
3. Definir limites do rol.
4. Determinar amplitude.
5. Classes.
6. Número de classes (Raiz).
7. Número de classes (Sturges).

6
Unidade I
8. Intervalo de classe.
9. Limites de classe.
10. Ponto médio de classe.
11. Frequência de classe.
12. Frequência acumulada de classe.
13. Frequência relativa/porcentual.
14. Valor referencial (i).
15. Frequência de i (f i).
16. Frequência de i2 (f i2).
17. Medidas de posição.
18. Média aritmética.
19. Média aritmética ponderada.
20. Média geométrica.
21. Média harmônica.
22. Média de dados agrupados.
23. Média harmônica.
24. Mediana.
25. Moda.
26. Medidas de dispersão.
27. Desvio padrão de elementos.
28. Desvio padrão de dados (classe).
6.2 Coleta de dados (dados brutos)
Dados iniciais pós-coletados, que o pesquisador obtém no início
dotrabalho(dadosdesorganizadosedesordenados),nãosãoválidos
como referenciais e não permitem qualquer tipo de análise.

7
6.3 Dados coletados (dados brutos)
Os dados abaixo relacionados representam um conjunto
de informações coletadas que (conforme podemos observar
visualmente)estãototalmentedesorganizadasedesordenadas,ou
seja, não permitem qualquer análise ou possibilidade de estudo.
Colunas
165,30 152,60 147,70 137,10
156,60 188,40 119,40 153,70
Linhas 146,30 172,00 159,20 155,10
188,60 133,10 165,80 141,50
173,00 119,00 152,10 175,10
Bruto: rudes; toscos; grosseiros; como veio da natureza;
totais; dados sem qualquer ordem; desorganizados
(antônimo: ordenados; civilizados; organizados).
• Espanhol: bruto.
• Inglês: rough.
• Francês: brut.
• Alemão: grob.
• Italiano: greggio.
6.4 Rol (dados organizados em certa ordem)
Caracteriza uma organização dos dados em ordem crescente
ou decrescente de valores e, com essa ordem, permite uma
análise primária dos dados.
Exemplo:: os dados abaixo relacionados representam um
conjunto de informações coletadas, porém, diferentemente,
se apresentam de forma ordenada (crescente, do menor para
o maior), o que já permite observar visualmente como estão

8
Unidade I
distribuídos os dados e possibilita uma visão preliminar dos
mesmos.
Rol (dados em ordem crescente)
119,00 146,30 155,10 172,00
119,40 147,70 156,60 173,00
133,10 152,10 159,20 175,10
137,10 152,60 165,30 188,40
141,50 153,70 165,80 188,60
EXERCÍCIOS
1. O que signiﬁca “dados brutos”?
2. Como se denomina o quadro com dados organizados?
3. Qual o procedimento para se obter a amplitude?
4. O que signiﬁca rol com ordem crescente?
5. Como se denominam os dados, logo após a coleta?
6. Ordenar os dados apresentados (5 linhas e 4 colunas):
167,70 144,20 170,30 186,20
130,50 199,50 148,20 163,70
184,90 166,20 199,70 176,40
164,80 157,40 163,20 152,60
158,80 129,80 183,10 176,90
158,80 129,80 186,20 163,70
167,70 142,40 170,30 176,40
150,50 199,50 148,20 152,60
184,90 166,20 199,70 176,90
164,80 158,40 163,20 183,10

9
167,70 144,20 170,30 185,20
163,70 199,50 148,20 158,80
176,40 166,20 199,70 129,80
152,60 157,40 163,20 183,10
176,90 130,50 184,90 164,80
1. Dados coletados sem ordem, sem organização, sem base
para análise.
2. O quadro de dados organizados denomina-se ROL.
3. Amplitude representa a diferença entre o limite máximo
do ROL e o limite mínimo do ROL.
4. SigniﬁcadomenorvalordoROLparaomaiorvalorcontido
no ROL.
5. Os dados recém-coletados são denominados dados brutos.
6. Dados ordenados:
129,80 157,40 166,20 183,10
130,50 158,80 167,70 184,90
144,20 163,20 170,30 186,20
148,20 163,70 176,40 199,50
152,60 164,80 176,90 199,70
7. Dados ordenados:
129,80 158,40 166,20 183,10
142,40 158,80 167,70 184,90
148,20 163,20 170,30 186,20
150,50 163,70 176,40 199,50
152,60 164,80 176,90 199,70

10
Unidade I
8. Dados ordenados:
129,80 157,40 166,20 183,10
130,50 158,80 167,70 184,90
144,20 163,20 170,30 185,20
148,20 163,70 176,40 199,50
152,60 164,80 176,90 199,70
6.5 Deﬁnição dos limites do Rol
Os limites do Rol, de ordem crescente, são representados
pelos valores extremos posicionados no limite mínimo (menor
valor) e limite máximo (maior valor), ou seja, o primeiro valor e
o último valor.
PodemosobservarqueoslimitesdoRol,deordemdecrescente,
são representados pelos valores extremos posicionados no limite
máximo (maior valor) e no limite mínimo (menor valor), ou
seja, ordem do maior para o menor. É importante ressaltar que
geralmente se utiliza a ordem crescente para a organização do
rol, isto é, do menor para o maior.
Exemplo:
Rol
119,00 146,30 155,10 172,00
119,40 147,70 156,60 173,00
133,10 152,10 159,20 175,10
137,10 152,60 165,30 188,40
141,50 153,70 165,80 188,60
• Maior valor do Rol =188,60 (limite superior, maior valor).
• Menor valor do Rol =119,00 (limite inferior, menor valor).
EXERCÍCIOS
1. Ordenar os dados apresentados (5 linhas e 4 colunas) e
determinar os limites do rol:
Amostra com reposição: método
de escolha de uma amostra em que
os elementos coletados devem ser
devolvidos à população. Observa-se que
todos os elementos dessa população
têm a chance de serem escolhidos
mais de uma vez.

11
167,70 144,20 170,30 186,20
130,50 199,50 148,20 163,70
184,90 166,20 196,70 176,40
164,80 157,40 163,20 152,60
158,80 129,80 183,10 176,90
158,80 129,80 186,20 163,70
167,70 142,40 170,30 176,40
150,50 199,50 148,20 152,60
184,90 166,20 199,70 176,90
164,80 158,40 163,20 183,10
167,70 144,20 170,30 185,20
163,70 199,50 148,20 158,80
176,40 166,20 199,70 129,80
152,60 157,40 163,20 183,10
176,90 130,50 184,90 164,80
1. Dados ordenados:
129,80 157,40 166,20 183,10
130,50 158,80 167,70 184,90
144,20 163,20 170,30 186,20
148,20 163,70 176,40 199,50
152,60 164,80 176,90 199,70
Limite mínimo 129,80
Limite máximo 199,70

12
Unidade I
2. Dados ordenados:
129,80 158,40 166,20 183,10
142,40 158.80 167,70 184,90
148,20 163,20 170,30 186,20
150,50 163,70 176,40 199,50
152,60 164,80 176,90 199,70
3. Dados ordenados:
129,80 157,40 166,20 183,10
130,50 158.80 167,70 184,90
144,20 163,20 170,30 185,20
148,20 163,70 176,40 199,50
152,60 164,80 176,90 199,70
6.6 Amplitude
Caracteriza-se como a diferença entre os valores extremos
de um rol, ou seja, deve ser representada matematicamente pelo
valor máximo menos valor mínimo do rol.
Exemplo:
Os dados relacionados no rol representam um conjunto de
informações coletadas e apresentadas de forma organizada
e ordenada, portanto podemos detectar o maior e o menor
elemento do rol e, consequentemente, deﬁnir a amplitude
(medida de dispersão).

13
A amplitude representa uma medida de dispersão entre os
elementos do rol, ou seja, a amplitude caracteriza as variações
dos valores dos elementos que estão no rol.
Devemosressaltarquealémdaamplitudedevemosconsiderar
como medida de dispersão o desvio padrão.
Amplitude
(R)
Limite
Máximo
Limite
Mínimo
Amplitude
(R)
188,60 119,00 R = 69,60
Amplitude: extensão em largura e comprimento;
largueza de espaço; amplidão; extensão; âmbito;
comprimento; vastidão; variação entre valores extremos.
• Espanhol: amplitud.
• Inglês: width.
• Francês: ampleur.
• Alemão: weite.
• Italiano: amplitudine.

14
Unidade I
EXERCÍCIOS
determinar a amplitude:
167,70 144,20 170,30 185,20
163,70 199,50 148,20 158,80
176,40 166,20 199,70 129,80
152,60 157,40 163,20 183,10
176,90 130,50 184,90 164,80
167,70 144,20 170,30 186,20
130,50 199,50 148,20 163,70
184,90 166,20 196,70 176,40
164,80 157,40 163,20 152,60
158,80 129,80 183,10 176,90
158,80 129,80 186,20 163,70
167,70 142,40 170,30 176,40
150,50 209,50 148,20 152,60
184,90 166,20 199,70 176,90
164,80 158,40 163,20 183,10
1. Dados ordenados:
129,80 157,40 166,20 183,10
130,50 158,80 167,70 184,90
144,20 163,20 170,30 185,20
148,20 163,70 176,40 199,50
152,60 164,80 176,90 199,70
Amplitude 69,90

15
2. Dados ordenados:
129,80 157,40 166,20 183,10
130,50 158,80 167,70 184,90
144,20 163,20 170,30 186,20
148,20 163,70 176,40 199,50
152,60 164,80 176,90 199,70
Amplitude 69,90
3. Dados ordenados:
129,80 158,40 166,20 183,10
142,40 158.80 167,70 184,90
148,20 163,20 170,30 186,20
150,50 163,70 176,40 199,50
152,60 164,80 176,90 199,70
Amplitude 69,90
6.7 Classes
O objetivo de se utilizar classes no estudo de estatística
está diretamente relacionado ao aspecto da análise de grupos
especiais dentro das informações obtidas.
No caso de um rol de valores numéricos, o fator mais
importante está relacionado à quantidade, ou seja, o aspecto
quantitativo deve prevalecer.
Exemplo: em determinado rol, deﬁnir quantos elementos
existem entre o valor qualquer x (limite inferior da classe) e
outro valor qualquer y (limite superior da classe).
Classe: categoria social; grupo; divisão dum conjunto;
aula; alunos de uma aula; anos de certos cursos; sociologia
(classessociais:grandesgruposhumanosquesediferenciam
pelo lugar que ocupam em um sistema de produção social,
historicamente determinado pelas relações em que se
encontram relativamente aos meios de produção); valores
numéricos em determinada ordem.

16
Unidade I
• Espanhol: classe.
• Inglês: class.
• Francês: classe.
• Alemão: klasse.
• Italiano: classe.
7 NÚMERO DE CLASSES (NC) – RAIZ E STURGES
Fórmula com a qual se deﬁne o número de classe (grupos
de elementos) no estudo de um determinado rol. Observa-se
que os métodos apresentados têm como referência o número
de elementos do rol (n) e deve-se observar que o resultado
dessa estimativa do número de classe deve ser número inteiro
(arredondado).
8 FÓRMULA DA RAIZ QUADRADA
Número de classes (NC) = √n
Exemplo: de número de classes através da raiz quadrada:
• número de elementos do Rol (n) = 20
• número de classes (NC) = √20
• número de classes (NC) = 4,47...
• número de classes (NC) = 5 (números inteiros).
Amostra estratiﬁcada: método de amostragem em
que a população deve ser dividida em camadas ou estratos
que apresentem características semelhantes entre si para
evidenciar o agrupamento.

17
9 FÓRMULA DE STURGES
Número de classes (NC) = 1 + 3,3 .log n.
Número de elementos do rol (n) = 20.
Número de classes (NC) = 1 + 3,3 .log 20 (log 20 = 1,301...).
Número de classes (NC) = 1 + 3,3 .1,301...
Número de classes (NC) = 1 + 4,293.
Número de classes (NC) = 5,293.
Número de classes (NC) = 5 (números inteiros).
Intervalo: distância; espaço de lugar ou de tempo;
intermitência; (música) distância de um som a outro; espaço
compreendido entre valores extremos.
•Espanhol: intervalo.
•Inglês: interval.
•Francês: intervalle.
•Alemão: pause.
•Italiano: intervallo.
EXERCÍCIOS
1. Considerando um rol com 40 elementos, qual o número de
classes a serem consideradas através da raiz quadrada?
classes a serem consideradas através do método Sturges
(log 46 =1,663)?

18
Unidade I
(log 60 =1,778)?
(log 26 =1,881)?
(log 95 =1,978)?
1. 7 (arredondamento de 6,325)

19
10 INTERVALO DE CLASSE (IC)
O valor do intervalo de classe será representado pelo limite
superior do rol menos o limite inferior do rol, ou seja, a amplitude
dividida pelo número de classes. As classes serão determinadas
através da adição do intervalo de classe ao primeiro elemento do
rol. O primeiro elemento será o limite inferior da primeira classe,
e o resultado do primeiro elemento adicionado do intervalo de
classe será o limite superior de primeira classe.
Intervalo de
classes (IC) R NC
Intervalo de
classes (IC) 69,60 5 IC = 13,92
EXERCÍCIOS
1. Considerando os dados apresentados no quadro a seguir,
deﬁnir os limites do intervalo de classe do rol:
116,50 146,30 155,10 172,00
119,40 147,70 156,60 173,00
133,10 152,10 159,20 175,10
137,10 152,60 165,30 188,40
141,50 153,70 165,80 198,10
167,70 144,20 170,30 185,20
163,70 199,50 148,20 158,80
176,40 166,20 199,70 119,80
152,60 157,40 163,20 183,10
176,90 130,50 184,90 164,80

20
Unidade I
167,70 144,20 170,30 186,20
130,50 199,50 148,20 163,70
184,90 166,20 196,70 176,40
164,80 157,40 163,20 152,60
158,80 129,80 183,10 176,90
158,80 129,80 186,20 163,70
167,70 142,40 170,30 176,40
150,50 209,50 148,20 152,60
184,90 166,20 199,70 176,90
164,80 158,40 163,20 183,10
1.
116,50 146,30 155,10 172,00 163,32 |---–132,82
119,40 147,70 156,60 173,00 132,82 |---–149,14
133,10 152,10 159,20 175,10 149,14 |---–165,46
137,10 152,60 165,30 188,40 165,46 |---–181,78
141,50 153,70 165,80 198,10 171,80 |---–198,10
2.
167,70 144,20 170,30 185,20 119,80 |---–137,78
163,70 199,50 148,20 158,80 137,78 |---–151,76
176,40 166,20 199,70 119,80 151,76 |---–167,74
152,60 157,40 163,20 183,10 167,74 |---–183,82
176,90 130,50 184,90 164,80 183,82 |---–199,70

21
3.
167,70 144,20 170,30 186,20 129,80 |---–143,74
130,50 199,50 148,20 163,70 143,74 |---–157,68
184,90 166,20 196,70 176,40 157,68 |---–171,62
164,80 157,40 163,20 152,60 171,62 |---–185,56
158,80 129,80 183,10 176,90 185,56 |---–199,50
4.
158,80 129,80 186,20 163,70 129,80 |---–145,74
167,70 142,40 170,30 176,40 145,74 |---–161,68
150,50 209,50 148,20 152,60 161,68 |---–177,62
184,90 166,20 199,70 176,90 177,62 |---–193,56
164,80 158,40 163,20 183,10 193,56 |---–209,50
11 LIMITES DE CLASSES
De forma geral, são caracterizados como as duas fronteiras
de uma determinada classe usada para agrupar dados. Essas
fronteiras são denominadas de limite inferior e limite superior
de cada classe. Observa-se ainda que entre cada fronteira deve
ser considerada a diferença denominada intervalo de classe.
Exemplo:
Limite Inferior
Limite
Superior
Deﬁnição de classe
119,00 |--- 132,92
Maior
ou
igual a:
119,00
Menor que:
132,92
132,92 |--- 146,84 132,92 146,84
146,84 |--- 160,76 146,84 160,76
160,76 |--- 174,68 160,76 174,68
174,68 |---| 188,60 174,68 ou igual a: 188,60

22
Unidade I
Observação:
• Intervalo fechado: tem números extremos.
— Exemplo::  3 e �7.
– Menor valor ou número extremo = 3.
– Maior valor ou número extremo = 7.
• Intervalo aberto: não tem números extremos.
— Exemplo:: > 3 e < 7.
– Não existe menor valor ou número extremo, pode
ser 3,1 ou 3,0001...
– Não existe maior valor ou número extremo, pode
ser 6,9 ou 6,9999...
Símbolos de intervalo de classe usados em estatística
–--
Intervalo
aberto à esquerda
e
aberto à direita
|--- fechado à esquerda aberto à direita
–--| aberto à esquerda fechado à direita
|---| fechado à esquerda fechado à direita
Exemplo:
Intervalo fechado (tem números extremos).
Exemplo: 3
|---|
7
Maior ou igual a
3
Menor ou igual a
7
–--| Maior que
|--- Maior ou igual a
Menor que
--- Maior que
EXERCÍCIOS
1. Demonstrar através de símbolos utilizados em estatística
os seguintes intervalos:

23
a) maior que 12 e menor ou igual a 27.
b) maior que 19 e menor que 23.
c) maior ou igual a 18 e menor que 23.
d) maior ou igual a 9 e menor ou igual a 14.
e) maior que 11 e menor ou igual a 16.
f) maior que 12 e menor que 21.
g) maior ou igual a 8 e menor que 13.
h) maior ou igual a 5 e menor ou igual a 8.
1. a) 12 –----| 27
b) 19 –---– 23
c) 12 |----– 23
d) 9 |-----| 14
e) 11 –----| 16
f) 12 –---– 21
g) 8 |----– 13
h) 5 |-----| 28
12 DEFINIÇÃO DE CLASSES
Tem como característica demonstrar o rol por meio
de agrupamentos de valores, ou seja, classes (grupos) de
elementos.
A primeira classe está representada pelo limite mínimo maior
ou igual a 119,00 e o limite máximo menor que 132,92, ou seja,
todos os elementos dentro desse intervalo pertencem à primeira
classe.

24
Unidade I
A segunda classe está representada pelo limite mínimo
maior ou igual a 132,92 e o limite máximo menor que 146,84,
ou seja, todos os elementos dentro desse intervalo pertencem à
segunda classe.
A terceira classe está representada pelo limite mínimo maior ou
igual a 146,84 e o limite máximo menor que 160,76, ou seja, todos
os elementos dentro desse intervalo pertencem à terceira classe.
A quarta classe está representada pelo limite mínimo maior ou
igual a 160,76 e o limite máximo menor que 174,68, ou seja, todos
os elementos dentro desse intervalo pertencem à quarta classe.
A quinta classe está representada pelo limite mínimo maior
ou igual a 174,68 e o limite máximo menor ou igual a 188,60,
ou seja, todos os elementos dentro desse intervalo pertencem à
quinta classe.
Rol Classes
119,00 146,30 155,10 172,00 119,00 |--- 132,92
119,40 147,70 156,60 173,00 132,92 |--- 146,84
133,10 152,10 159,20 175,10 146,84 |--- 160,76
137,10 152,60 165,30 188,40 160,76 |--- 174,68
141,50 153,70 165,80 188,60 174,68 |---| 188,60
EXERCÍCIOS
1. Considerando o quadro (rol), determine a amplitude, o
intervalo de classe e as classes:
115,70 146,30 155,10 172,00 |---
119,40 147,70 156,60 173,00 |---
133,10 152,10 159,20 175,10 |---
137,10 152,60 165,30 188,40 |---
141,50 153,70 165,80 199,90 |---|

25
116,70 146,30 155,10 172,00 |---
119,40 147,70 156,60 173,00 |---
133,10 152,10 159,20 175,10 |---
137,10 152,60 165,30 179,90 |---
141,50 153,70 165,80 188,40 |---|
111,70 146,30 155,10 172,00 |---
119,40 147,70 156,60 173,00 |---
133,10 152,10 159,20 175,10 |---
137,10 152,60 165,30 188,40 |---
141,50 153,70 165,80 189,90 |---|
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
1.
115,70 146,30 155,10 172,00 115,70 |--–132,54
119,40 147,70 156,60 173,00 132,54 |--–149,38
133,10 152,10 159,20 175,10 149,38 |--–166,22
137,10 152,60 165,30 188,40 166,22 |--–183,06
141,50 153,70 165,80 199,90 183,06 |---| 199,90
Amplitude 84,20
Intervalo de classe 16,84
2.
116,70 146,30 155,10 172,00 116,70 |--–131,04
119,40 147,70 156,60 173,00 131,04 |--–145,38
133,10 152,10 159,20 175,10 145,38 |--–159,72
137,10 152,60 165,30 179,90 159,72 |--–174,06
141,50 153,70 165,80 188,40 174,06 |---|188,40
Amplitude 71,70

26
Unidade I
3.
111,70 146,30 155,10 172,00 111,70 |--–127,34
119,40 147,70 156,60 173,00 127,34 |--–142,98
133,10 152,10 159,20 175,10 142,98 |--–158,62
137,10 152,60 165,30 188,40 158,62 |--–174,26
141,50 153,70 165,80 189,90 174,26 |---| 189,90
Amplitude 78,20
13 PONTO MÉDIO DE CLASSE
Valormédioobtidoentreosvaloresextremosdeumadeterminada
classe, ou seja, a soma dos valores extremos (superior e inferior) de
uma classe dividida por dois. O valor do ponto médio será de muita
valia para análise das variações e dispersões presentes no rol.
Exemplo:
• A 1ª classe (Limite inferior = 119,00 e Limite superior
=132,92):
— (119,00 + 132,92) / 2
— 251,92 / 2
– 125,96.
=146,84):
— (132,92+146,84 ) / 2
— 279,76 / 2
– 139,88.
=160,76):

27
— (146,84+160,76) / 2
— 307,60 / 2
– 153,80.
=174,68):
— (160,76+174,68) / 2
— 335,44 / 2
– 167,72.
=188,60):
— (174,68+188,60) / 2
— 363,28 / 2
– 181,64.
Rol Classes
Ponto médio de
classe
119,00 146,30 155,10 172,00 119,00 |--- 132,92 125,96
119,40 147,70 156,60 173,00 132,92 |--- 146,84 139,88
133,10 152,10 159,20 175,10 146,84 |--- 160,76 153,80
137,10 152,60 165,30 188,40 160,76 |--- 174,68 167,72
141,50 153,70 165,80 188,60 174,68 |---| 188,60 181,64
EXERCÍCIOS
1. O que signiﬁca ponto médio de classe?
2. O que representa limites de classe?
3. Analisar e obter a amplitude, o intervalo de classe, a
deﬁnição das classes e o ponto médio das classes:

28
Unidade I
Rol Classes Ponto médio de classe
111,70 146,30 155,10 172,00 |---
119,40 147,70 156,60 173,00 |---
133,10 152,10 159,20 175,10 |---
137,10 152,60 165,30 188,40 |---
141,50 153,70 165,80 189,90 |---|
4. Analisar e obter amplitude, intervalo de classe, deﬁnição
das classes e ponto médio das classes:
Rol Classes Ponto médio de classe
115,70 146,30 155,10 172,00 |---
119,40 147,70 156,60 173,00 |---
133,10 152,10 159,20 175,10 |---
137,10 152,60 165,30 188,40 |---
141,50 153,70 165,80 199,90 |---|
1. Valor médio entre os limites inferior e superior, isto é, a
média dos limites.
2. Limite de classe representa os valores extremos de uma
determinada classe, ou seja, limite inferior e limite superior
da classe.
3.
Rol Classes
Ponto médio
de classe
111,70 146,30 155,10 172,00 111,70 |--–127,34 119,52
119,40 147,70 156,60 173,00 127,34 |--–142,98 135,16
133,10 152,10 159,20 175,10 142,98 |--–158,62 150,80
137,10 152,60 165,30 188,40 158,62 |--–174,26 166,44
141,50 153,70 165,80 189,90 174,26 |---| 189,90 182,08
Amplitude 78,20

29
4.
Rol Classes
Ponto médio
de classe
115,70 146,30 155,10 172,00 115,70 |--– 132,54 124,12
119,40 147,70 156,60 173,00 132,54 |--–149,38 140,96
133,10 152,10 159,20 175,10 149,38 |--–166,22 157,80
137,10 152,60 165,30 188,40 166,22 |--–183,06 174,64
141,50 153,70 165,80 199,90 183,06 |---| 199,90 191,48
Amplitude 84,20
14 FREQUÊNCIA DE CLASSE
Representa o número de elementos de cada classe (a soma
de todas as frequências de classe deve corresponder à soma
total dos elementos contidos no rol).
Exemplo::
• A 1ª classe (2 elementos):
— valor igual ou maior que 119,00 e menor que 132,92
– {119,00 e 119,40}.
– {133,10; 137,10; 141,50; 146,30}
– {147,70; 152,10; 152,60; 153,70; 155,10; 156,60;
159,20}.

30
Unidade I
– {165,30; 165,80; 172,00; 173,00}.
— valor igual ou maior que 174,68 e menor ou igual a
188,60
– {175,10; 188,40; 188,60}.
Rol Classes Ponto médio de classe Frequência de classe
119,00 146,30 155,10 172,00 119,00 |--- 132,92 125,96 2
119,40 147,70 156,60 173,00 132,92 |--- 146,84 139,88 4
133,10 152,10 159,20 175,10 146,84 |--- 160,76 153,80 7
137,10 152,60 165,30 188,40 160,76 |--- 174,68 167,72 4
141,50 153,70 165,80 188,60 174,68 |---| 188,60 181,64 3
EXERCÍCIOS
1. Qual a ﬁnalidade da frequência de classe?
2. Como se determina a frequência de classe?
3. Considerando os dados, analisar, interpretar e determinar
frequência de classes e frequência acumulada:
Rol Classes Ponto médio de classe Freq. Freq. Acum.
111,70 146,30 155,10 172,00 111,70|--–127,34 119,52
119,40 147,70 156,60 173,00 127,34|--–142,98 135,16
133,10 152,10 159,20 175,10 142,98|--–158,62 150,80
137,10 152,60 165,30 188,40 158,62|--–174,26 166,44
141,50 153,70 165,80 189,90 174,26|----|189,90 182,08
4. Considerando os dados, analisar, interpretar e determinar
frequência de classes e frequência acumulada:

31
115,70 146,30 155,10 172,00 115,70 |--– 132,54 124,12
119,40 147,70 156,60 173,00 132,54 |--–149,38 140,96
133,10 152,10 159,20 175,10 149,38 |--–166,22 157,80
137,10 152,60 165,30 188,40 166,22 |--–183,06 174,64
141,50 153,70 165,80 199,90 183,06 |---| 199,90 191,48
5. Como deﬁnimos a frequência acumulada em estatística?
1. Determinar o número de elementos ontidos em cada
classe.
2. Determinando o número de elementos contidos em cada
classe, ou seja, número de elementos contidos entre o
limite mínimo e o limite máximo.
3. Determinação da frequência de classes e da frequência
acumulada:
Rol Classes Ponto médio de classe Freq. Freq Acum.
111,70 146,30 155,10 172,00 111,70|--–127,34 119,52 2 2
119,40 147,70 156,60 173,00 127,34|--–142,98 135,16 3 5
133,10 152,10 159,20 175,10 142,98|--–158,62 150,80 7 12
137,10 152,60 165,30 188,40 158,62|--–174,26 166,44 5 17
141,50 153,70 165,80 189,90 174,26|----|189,90 182,08 3 20
4. Determinação da frequência de classes e da frequência
acumulada:
115,70 146,30 155,10 172,00 115,70 |--– 132,54 124,12 2 2
119,40 147,70 156,60 173,00 132,54 |--–149,38 140,96 5 7
133,10 152,10 159,20 175,10 149,38 |--–166,22 157,80 8 15
137,10 152,60 165,30 188,40 166,22 |--–183,06 174,64 3 18
141,50 153,70 165,80 199,90 183,06 |---| 199,90 191,48 2 20

32
Unidade I
5. Representa uma somatória das frequências, classe a classe,
até a última classe que deverá resultar no valor total de
elementos do rol.
15 FREQUÊNCIA ACUMULADA DE CLASSES
Apresenta os valores acumulados das classes de um
determinado rol. Os valores acumulados são representados pelo
número de elementos de cada classe somados ao número de
elementos das classes posteriores.
Exemplo:
• A 1ª classe (2 elementos)
— (10 classe = 2).
— (10 classe = 2) + (20 classe = 4).
— (10 classe = 2) + (20 classe = 4) + (30 classe = 7).
— (10 classe = 2) + (20 classe = 4) + (30 classe = 7) + (40
classe = 4).
— (10 classe = 2) + (20 classe = 4) + (30 classe = 7) + (40
classe = 4) + (50 classe = 3).
Rol Classes
Ponto médio
de classe
Frequência
de classe
Frequência
de classe acumulada
119,00 146,30 155,10 172,00 119,00 |--- 132,92 125,96 2 2
119,40 147,70 156,60 173,00 132,92 |--- 146,84 139,88 4 6
133,10 152,10 159,20 175,10 146,84 |--- 160,76 153,80 7 13
137,10 152,60 165,30 188,40 160,76 |--- 174,68 167,72 4 17
141,50 153,70 165,80 188,60 174,68 |---| 188,60 181,64 3 20

33
16 FREQUÊNCIA RELATIVA DE CLASSES
Representa o número de elementos de cada classe dividido
pelo total de elementos do rol. A soma de todas as frequências
relativas será igual a um (1).
É muito importante ressaltar que a frequência relativa será
utilizada para se obter a frequência percentual.
Exemplo:
— 2 / 20
– 0,10.
— 4 / 20
– 0,20.
— 7 / 20
– 0,35.
— 4 / 20
– 0,20.
— 3 / 20
– 0,15.
Classes
Ponto médio de
classe
Frequência
de classe
Frequência
de classe acumulada
Frequência
de classe relativa
119,00 |--- 132,92 125,96 2 2 0,10
132,92 |--- 146,84 139,88 4 6 0,20
146,84 |--- 160,76 153,80 7 13 0,35
160,76 |--- 174,68 167,72 4 17 0,20
174,68 |---| 188,60 181,64 3 20 0,15

34
Unidade I
Índice de preços: uma medida do nível de preços. Índice
de Preços ao Consumidor (IPC), de forma geral, representa a
medida do nível em uma determinada época e baseia-se no
preço de aquisição de uma cesta básica para o consumidor.
Índice de Preços ao Produtor (IPP) representa a medida do
nível de preços dos produtos para o produtor.
EXERCÍCIOS
1. O que representa a frequência relativa?
2. Como fazer para obter a frequência relativa?
3. Considerando o quadro abaixo, determine a frequência
relativa:
Classes
Ponto médio
de classe
Frequência
de classe
Frequência
de classe acumulada
Frequência
de classe relativa
129,00 |--- 143,78 136,79 3 3
143,78 |--- 157,76 150,77 3 6
157,76 |--- 171,74 164,75 7 13
171,74 |--- 185,72 178,73 5 18
185,72 |---| 199,70 192,71 2 20
4. Considerando o quadro abaixo, determine a frequência
relativa:
Classes
Ponto médio
de classe
Frequência
de classe
Frequência
de classe acumulada
Frequência
de classe relativa
129,00 |--- 143,78 136,79 1 1
143,78 |--- 157,76 150,77 5 6
157,76 |--- 171,74 164,75 7 13
171,74 |--- 185,72 178,73 5 18
185,72 |---| 199,70 192,71 2 20

35
1. Representa um valor decimal, que posteriormente
será multiplicado por 100 para se obter a frequência
percentual.
2. A frequência acumulada (valor decimal) é resultante da
divisão no número de elementos de cada classe dividido
pelo número de elementos do rol.
3. Determinação da frequência relativa:
Classes
Ponto médio
de classe
Frequência
de classe
Frequência
de classe acumulada
Frequência
de classe relativa
129,00 |--- 143,78 136,79 3 3 0,15
143,78 |--- 157,76 150,77 3 6 0,15
157,76 |--- 171,74 164,75 7 13 0,35
171,74 |--- 185,72 178,73 5 18 0,25
185,72 |---| 199,70 192,71 2 20 0,10
4. Determinação da frequência relativa:
Classes
Ponto médio
de classe
Frequência
de classe
Frequência
de classe acumulada
Frequência
de classe relativa
129,00 |--- 143,78 136,79 1 1 0,05
143,78 |--- 157,76 150,77 5 6 0,25
157,76 |--- 171,74 164,75 7 13 0,35
171,74 |--- 185,72 178,73 5 18 0,25
185,72 |---| 199,70 192,71 2 20 0,10
17 FREQUÊNCIA PERCENTUAL
Representada pela frequência relativa de classe multiplicada
por 100. A soma de todas as frequências percentuais deve ser
100%.

36
Unidade I
Exemplo:
— 2 / 20
– 0,10
– 0,10 . 100 = 10%.
— 4 / 20
– 0,20
– 0,20 . 100 = 20%.
— 7 / 20
– 0,35
– 0,35 . 100 = 35%.
— 4 / 20
– 0,20
– 0,20 . 100 = 20%.
— 3 / 20
– 0,15
– 0,15 . 100 = 15%.
Classes
Ponto médio
de classe
Frequência
de classe
Frequência
de classe
acumulada
Frequência
de classe
relativa
Frequência
de classe (%) percentual
119,00 |--- 132,92 125,96 2 2 0,10 10%
132,92 |--- 146,84 139,88 4 6 0,20 20%
146,84 |--- 160,76 153,80 7 13 0,35 35%
160,76 |--- 174,68 167,72 4 17 0,20 20%
174,68 |---| 188,60 181,64 3 20 0,15 15%

37
EXERCÍCIOS
1. O que representa para um estudo estatístico a frequência
percentual?
2. Considerando o quadro a seguir, determine a frequência
percentual:
Classes
Ponto médio
de classe
Frequência
de classe
Frequência
de classe
acumulada
Frequência
de classe relativa
Frequência
129,00 |--- 143,78 136,79 1 1 0,05
143,78 |--- 157,76 150,77 5 6 0,25
157,76 |--- 171,74 164,75 7 13 0,35
171,74 |--- 185,72 178,73 5 18 0,25
185,72 |---| 199,70 192,71 2 20 0,10
3. Considerando o quadro a seguir, determinar a frequência
percentual:
Classes
Ponto médio
de classe
Frequência
de classe
Frequência
de classe acumulada
Frequência
de classe
relativa
Frequência
de classe (%)
percentual
129,00 |--- 143,78 136,79 3 3 0,15
143,78 |--- 157,76 150,77 3 6 0,15
157,76 |--- 171,74 164,75 7 13 0,35
171,74 |--- 185,72 178,73 5 18 0,25
185,72 |---| 199,70 192,71 2 20 0,10
1. A frequência percentual determina a percentagem
representada em cada classe.
2. Determinação da frequência percentual:

38
Unidade I
Classes
Ponto médio
de classe
Frequência
de classe
Frequência
de classe acumulada
Frequência
de classe relativa
Frequência
129,00 |--- 143,78 136,79 1 1 0,05 5%
143,78 |--- 157,76 150,77 5 6 0,25 25%
157,76 |--- 171,74 164,75 7 13 0,35 35%
171,74 |--- 185,72 178,73 5 18 0,25 25%
185,72 |---| 199,70 192,71 2 20 0,10 10%
3. Determinação da frequência percentual:
Classes
Ponto médio
de classe
Frequência
de classe
Frequência
de classe acumulada
Frequência
de classe relativa
Frequência
129,00 |--- 143,78 136,79 3 3 0,15 15%
143,78 |--- 157,76 150,77 3 6 0,15 15%
157,76 |--- 171,74 164,75 7 13 0,35 35%
171,74 |--- 185,72 178,73 5 18 0,25 25%
185,72 |---| 199,70 192,71 2 20 0,10 10%
18 FATOR DE REFERÊNCIA (I) E F (I)
Números inteiros que representam e demonstram o
posicionamento da frequência em relação ao valor central das
classes (classe que apresenta maior frequência), com a maior
frequência de elementos. As frequências f (i) representam o
conjunto das frequências de classes multiplicadas pelo fator de
referência, obtendo-se ∑ (ﬁ).
Exemplo:
Classes
Ponto médio
de classe
Frequência
de classe
Frequência
de classe
acumulada
Frequência
de classe
relativa
Frequência
de classe (%)
percentual
Fator
(i)
Frequência
(i)
119,00 |--- 132,92 125,96 2 2 0,10 10% -2 -4
132,92 |--- 146,84 139,88 4 6 0,20 20% -1 -4
146,84 |--- 160,76 153,80 7 13 0,35 35% 0 0
160,76 |--- 174,68 167,72 4 17 0,20 20% 1 4
174,68 |---| 188,60 181,64 3 20 0,15 15% 2 6
∑ (f i )
2

39
Observação: com o resultado ∑ (ﬁ) = 2, temos que as classes
apresentam elementos com um relativo posicionamento para
valores acima. Considerando o ponto médio da classe de maior
frequência, o resultado ∑ (ﬁ) = 2 demonstra que as classes acima
do ponto médio (valores superiores) apresentam maior número
de elementos.
19 FATOR DE REFERÊNCIA AO QUADRADO – F (I)2
Números inteiros que representam e demonstram o
posicionamento da frequência em relação ao valor central das
classes (classe que apresenta maior frequência) com a maior
frequência de elementos. As frequências f (i)2, representam o
conjunto das frequências de classes multiplicadas pelo fator de
referência elevado ao quadrado, obtém-se ∑ f (i)2
.
Exemplo:
Classes
Ponto
médio
de classe
Frequência
de classe
Frequência
de classe
acumulada
Frequência
de classe
relativa
Frequência
de classe
(%)
percentual
Fator
(i)
Frequência
(i)
Frequência
(i)
f(i)2
119,00 |--- 132,92 125,96 2 2 0,10 10% -2 -4 8
132,92 |--- 146,84 139,88 4 6 0,20 20% -1 -4 4
146,84 |--- 160,76 153,80 7 13 0,35 35% 0 0 0
160,76 |--- 174,68 167,72 4 17 0,20 20% 1 4 4
174,68 |---| 188,60 181,64 3 20 0,15 15% 2 6 12
∑ (f i)
2
∑ f(i)2
28
Observação: o resultado ∑ f (i)2
será utilizado no cálculo do
desvio padrão de dados agrupados (classes).

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