2. Santiago de Querétaro Qro, A 29 De Mayo De 2013
Ramificación
Branch-and-Bound (B&B) es una técnica eficiente para la búsqueda de soluciones donde su
objetivo es encontrar no solamente una solución, más si no la óptima solución. El algoritmo
B y B interactúa y crea un árbol de búsqueda con el problema representado en un nodo,
donde este nodo problema sufre una descomposición del problema en sub problemas,
buscando la falseabilidad de soluciones no óptimas. Casi todas las otras técnicas de
búsquedas son distintas del método B&B porque encuentran soluciones no óptimas o
soluciones sub óptimas. El problema debe ser representado con un grafo de estados, donde
el estado inicial significa el problema propuesto y el estado final es el objetivo a alcanzar.
Ha variaciones como búsqueda con retroceso, programación dinámica, los árboles de
decisión Y/O y otros.
El funcionamiento general de lo algoritmo B y B consiste en reducir el espacio de búsqueda
del problema podando las zonas del árbol aún no exploradas que no pueden crear mejores
soluciones que la solución en curso. Para tanto, el método de ramificación y acotación B&B
busca siempre la óptima solución y, nunca una buena solución.
Para comprenderemos mejor como el algoritmo B y B funciona, algunos conceptos deben
ser descritos.
Ramificación
Significa elegir el próximo nodo en curso de la lista de nodos vivos, siendo el nodo vivo
eliminado da lista y la continuación ocurre generando sus hijos. Para elegir el próximo
nodo en curso hay 3 estrategias:
FIFO: Se utiliza una cola para implementar la lista de nodos vivos, tiendo el nodo en curso
el primero nodo de la lista de nodos vivos (LNV) y sus hijos se añaden al final de la lista.
El recorrido aquí es por niveles.
LIFO: Se utiliza una pila para implementar la LNV. Aquí el próximo nodo vivo será el
primero de la LNV y sus hijos se añaden al inicio de la lista. Esta estrategia es muy similar
al recorrido en profundidad, tiendo como diferencia de generar todos los hijos del nodo en
curso antes de elegir el próximo nodo.
MINIMO COSTE: Se utiliza una cola con prioridades para implementar la LNV. Ahora,
cada nodo de la LNV tiene un prioridad o coste, de forma que siempre el nodo con mayor
prioridad será elegido. Un problema de optimización con restricciones puede ser
transformado en un problema de encontrar la solución de mínimo coste. Así, crease una
función de estimación. Encontrar una función de estimación fácil de calcular no es una
tarea fácil. Hay propiedades que la función debe cumplir. Se no se cumplen el algoritmo se
detén al encontrar la primera solución, la cual pude no ser la óptima.
En la fase de ramificación es posible emplear poda para que el tamaño del árbol de estados
sea reducido. Esta poda no es la misma que a poda realizada por el método. La poda
realizada por el método es para evitar una duplicación de los estados en el árbol, evitando,
así, que un mismo nodo sea explorado más de una vez.
3. Santiago de Querétaro Qro, A 29 De Mayo De 2013
Ejemplo
El dominio de puntos factibles para el modelo de Programación Lineal asociado es el área
demarcada converse. Dicho modelo tiene valor óptimo igual a39, conX1=1,9yX2=0
Esto corresponde ala relajación continua del PLE y nos proporciona una cota superior del
valor óptimo de dicho problema.
Además, claramente la solución de la relación continua no satisface la condición de
integralidad delmodelo de PLE.
Finalmente, en el gráfico anterior se han marcado conazultodas aquellascombinaciones que
satisfacen las restricciones del modelo de PLE. Claramente esto corresponde a
unsubdominio del problema lineal asociado lo que justifica que la relajación continua nos
entrega una cotasuperior del valor óptimo del PLE.Al aplicar el algoritmo de Branch y
Bound, el nodo inicial corresponde a la relajación continua y se vanagregando las ramas o
nodos necesarios hasta alcanzar la(s) soluciones que satisfacen las condicionesde
integralidad.
4. Santiago de Querétaro Qro, A 29 De Mayo De 2013
P0: Corresponde a la relajación continua del PLE.
P1: Po + x1<=1. (solución inicial X1=1,9 aproximada al entero inferior)
P2: Po + x1>=2 (solución inicial X1=1,9 aproximada al entero superior). Infactible.
P11: P1 + x2<=1 (solución óptima X1=1 y X2=1. Valor Óptimo Z=33.
Debido a que la solución satisfacelas restricciones de integralidad, se termina este nodo).
P12: P1 + x2>=2 (solución X1=5/7 y X2=2. No es solución óptima de PLE debido a que
X1 es aúnfraccionario. Secontinua el método debido a que el Valor Óptimo Z=37 es mayor
que el Valor Óptimo deP11, en caso contrario se detiene el método y P11 sería la solución
óptima de PLE).
P121: P12 + x1<=0 (X1=0 y X2=13/4. Z=35,75. Se continúa siguiendo el mismo
razonamiento anterior)
5. Santiago de Querétaro Qro, A 29 De Mayo De 2013
P122: P12 + X1>=1 Infactible.
P1211: P121 + X2<=3 (X1=0 y X2=3. Z=33 el Valor Óptimo más alto obtenido para los
nodos consoluciones enteras).
Se agota este nodo.
P1212: P121 + x2>=4 Infactible.
Luego la Solución Óptima del PLE) es X1=0 y X2=3 con Valor Óptimo Z=33.
Cada problema de Programación Lineal Entera para su solución se divide en dos subproblemas; para cada
subproblema puede ocurrir lo siguiente:
1. Cuando el problema es no factible se da por terminado.
2. La solución es entera mejor que cualquier solución entera conocida, es candidata a solución; en este
caso no se busca más.
3. Es fraccionario mejor que la solución entera conocida más adecuada, se parte en dos este problema.
4. Es peor que la mejor entera conocida; no se investiga más. Ejemplo:
MAX Z = 3 X1+ 5 X2
Con sus restricciones:
6. Santiago de Querétaro Qro, A 29 De Mayo De 2013
Solución Analítica:
Estandarización:
TABLERO 1 SIMPLEX
0 Cj 3 5 0
CB VB b X1 X2 S1
0 S1 20 6 8 1
0 Z 0 -3 -5 0
TABLERO 2 SIMPLEX
CB VB b X1 X2 S1
0 X2 5/2 3/4 1 1/8
0 Z 25/2 3/4 0 5/8
7. Santiago de Querétaro Qro, A 29 De Mayo De 2013
Solución Óptima Única de Programación Lineal: X*1 = 0; X*2 = 5/2; S*1 = 0; Z* = 25/2, más no de
Programación Lineal Entera.
Solución Óptima al problema de Programación Lineal Entera:
X*1 = 2; X*2 = 1; Z* = 11
8. Santiago de Querétaro Qro, A 29 De Mayo De 2013
Conclusiones
Actualmente los problemas exigen soluciones que deben ser encontradas rápida e
precisamente, tiendo un bajo costo y encontrando la solución óptima.
Para tanto, algoritmos que utilizan técnicas en reducir el espacio de búsqueda del problema,
haciendo podas en las zonas aún no exploradas hasta que la solución óptima sea encontrada
son los más eficientes. En este sentido los algoritmos Branch y Bound tienen una gran
aplicabilidad e eficiencia.
Sin embargo, el conocimiento adquirido con la ejecución de este trabajo fue,
particularmente, importante porque la aplicabilidad del algoritmo Branch-and-Bound podrá
ser desarrollado en la realidad que vivo. Lo estudio deberá ser mayor cuando se habla
dedistribución de carga para que sea aplicado de manera correcta e eficiente dentro de la
realidad que conozco.
9. Santiago de Querétaro Qro, A 29 De Mayo De 2013
Objetivo: Se Busca la introducción en el sector alimenticio de la innovación del proceso de
ahumados por la empresa “El Ahumadero”, y lograr un índice de competitividad que
desarrolle el crecimiento de la empresa, para la colocación del producto y que cumpla con
todos los requerimientos que los clientes buscan.
Visión: Deseamos mantenernos siempre a la vanguardia del sector alimenticio pero
conservando la calidad de nuestro producto que nos caracteriza, para que dentro de un
plazo establecido se pueda abrir mercado, a través de franquicias y la constante publicidad
de nuestro producto.
Misión: El Ahumadero ofrece su producto con la confianza y las características que el
cliente busca, ofreciéndole la máxima calidad y sabor que se ajusten mayores a sus
necesidades en la gran variedad de productos que se elaboran.
