Makalah ini membahas tentang kombinatorika dan menjelaskan aturan penjumlahan dan perkalian dalam menghitung kemungkinan susunan objek. Dibahas pula contoh-contoh permasalahan kombinatorika beserta penyelesaiannya seperti menentukan jumlah anggota klub, memilih perwakilan, dan membentuk bilangan tiga angka.

1. Revisi Tugas Kelompok I
MAKALAH MATEMATIKA DISKRIT
“KOMBINATORIK”
Disusun Oleh :
1. IWAN SURYA DINATA (140311807076)
2. MUHAMMAD IKMAL (140311807858)
PROGRAM STUDI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PASCA SARJANA
UNIVERSITAS NEGERI MALANG
SEPTEMBER 2014

2. “ELEMENTARY COMBINATORICS”
A. Pendahuluan
Teori kombinatorial telah berkembang sejak awal abad 6 SM. Hingga pada
abad pertengahan, teori ini terus berkembang dengan memanfaatkan teori lainnya
seperti teori bilangan serta teori probabilitas. Aplikasi dari kombinatorial pun
sangat luas karena dapat dipakai dalam berbagai permasalahan sehari-hari. Salah
satu aplikasi dari kombinatorial yang sering dipakai adalah dalam integrasinya
dengan teori peluang untuk memprediksi suatu kejadian.
Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung jumlah
penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan
susunannya. Sementara itu, peluang merupakan cabang ilmu matematika yang
bersangkutan dengan analisis suatu kejadian acak. Suatu variabel acak merupakan
objek utama dalam teori peluang. Suatu variable acak dapat melakukan kejadian
acak berkali-kali hingga dapat memunculkan suatu statistik tertentu.
Hubungan antara teori peluang serta kombinatorial sangatlah erat. Banyak
teori dasar dari kombinatorial yang dapat diintegrasi dengan teori peluang. Istilah-istilah
dalam teori peluang dapat direpresentasikan secara matematis dengan
kombinatorial. Logika-logika pada persoalan peluang dapat diselesaikan dalam
daerah penyelesaian kombinatorik.
Salah satu contoh permasalahan yang dapat diselesaikan dengan
kombinatorial adalah menghitung banyaknya kombinasi angka nomor polisi
mobil, dimana nomor polisi terdiri atas lima angka dan diikuti dua huruf, serta
angka pertama bukan nol. Cara paling sederhana untuk menyelesaikan persoalan

3. sejenis adalah dengan mengenumerasi semua kemungkinan jawabannya.
Mengenumerasi berarti mencacah atau menghitung satu per satu setiap
kemungkinan jawaban. Akan tetapi enumerasi masih mungkin dilakukan jika
jumlah objek sedikit, sedangkan untuk persoalan di atas, cara enumerasi jelas
tidak efisien. Misalnya untuk menjawab persoalan banyaknya cara menyusun
nomor kendaraan di suatu kota, apabila kita melakukan enumerasi, maka
kemungkinan jawabannya adalah sebagai berikut:
12345AB 12345AC 12345BC … 34567MT 34567ML …
dan seterusnya…
Sangatlah mungkin bahwa kita sudah lelah sebelum proses enumerasi
selesai dilakukan. Disinilah peran kombinatorial, yang merupakan “seni
berhitung”, menyelesaikan persoalan semacam ini dengan cepat. Persoalan
kombinatorik yang sederhana lain yang telah diselesaiakan dalam masyarakat.
Misalkan, saat pemilihan pemain untuk tim sepak bola yang terdiri dari 11
pemain. Apabila ada 20 orang ingin membentuk suatu tim sepak bola, ada berapa
kemungkinan komposisi pemain yang dapat terbentuk? Selain itu dalam
menentukan sebuah password panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh
berupa huruf atau angka. Berapa banyak kemungkinan password yang dapat
dibuat ? Tetapi selain itu para ilmuwan pada berbagai bidang juga kerap
menemukan sejumlah persoalan yang harus diselesaikan. Kombinatorik
merupakan cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek
tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya.

4. B. Aturan Penjumlahan Dan Aturan Perkalian
Pembahasan mengenai kombinatorika diawali dengan pengenalan dua
kaidah pencacahan, yaitu kaidah penjumlahan dan kaidah perkalian. Kedua
kaidah ini sangat bermanfaat untuk menyelesaikan masalah yang kompleks
dengan cara memecah atau mengurai masalah tersebut menjadi beberapa bagian
yang lebih sederhana yang selanjutnya dapat diselesaikan dengan kedua kaidah
tersebut. Misalnya, kaidah pencacahan bermanfaat untuk menentukan apakah
terdapat cukup nomor telepon atau alamat internet protokol untuk memenuhi
permintaan pelanggan. Salah satu prinsip dasar yang mendasari perkembangan
probabilitas terutama yang terkait dengan masalah penghitungan adalah konsep
dasar pencacahan. Ada dua perinsip dasar pada konsep dasar pencacahan yaitu
aturan penjumlahan dan aturan perkalian.
1. Aturan Penjumlahan
Jika untuk melakukan A dapat dikerjakan dengan n cara dan untuk melakukan
B dapat dikerjakan dengan m cara, sedangkan A dan B tidak dapat dikerjakan
bersama-sama, maka A atau B dapat dikerjakan dengan n + m cara. Artinya, jika
Anda mempunyai dua kasus yang mungkin terjadi namun tak mungkin terjadi
bersamaan, maka jumlahkan. Jika Anda hanya dapat melakukan salah satu hal
atau hal yang lain saja, maka jumlahkan. Secara lebih teoritis, jika Anda
mempunyai n himpunan A
1
, A
2
, …, A
n
yang tidak saling beririsan satu dengan
lainnya, maka cacah anggota semua himpunan samadengan jumlah anggota
masing-masing himpunan.

5. Ai ∩ Aj = ∅ ∀ i ≠ j ⇒ | ⋃ 퐴푖 푛푖
=1 | = Σ | 퐴푖 | 푛푖
=1
Secara tidak langsung, pada prinsip penjumlahan, setiap himpunan bagian A
, A
1
,
2
…, A
n
tidak saling tumpang tindih (saling lepas). Untuk himpunan yang saling
tumpang tindih tidak berlaku lagi prinsip penjumlahan, dan ini harus diselesaikan
dengan prinsip inklusi-eksklusi.
 Contoh 1.
Misalkan klub sepakbola dari sekolah mempunyai 40 anggota, sedangkan klub
bulutangkis mempunyai 20 anggota. Misalkan ada 7 siswa yang merangkap menjadi
anggota kedua klub. Tentukan jumlah anggora dari kedua klub tersebut!
Penyelesaian:
Untuk menentukan jumlah anggota kedua klub tersebut kita akan membentuk tiga
himpunan yang saling lepas atau tidak beririsan.
Pertama, himpunan atau klub yang terdiri dari pemain sepakbola saja:
40 – 7 = 33 siswa
Kedua, himpunan atau klub yang terdiri dari pemain bulutangkis saja:
20 – 7 = 13 siswa
Ketiga, himpunan yang terdiri dari pemain sepak bola sekaligus pemain bulutangkis
yaitu 7 siswa. Dengan demikian jumlah anggota dari kedua klub adalah 33 + 13 + 7 =
53 siswa.
 Contoh 2.
Ketua angkatan S2 Pend. Matematika 2014 di pilih hanya 1 orang (pria atau
wanita). Jumlah pria = 35 orang dan jumlah wanita = 55 orang. Berapa banyak cara
memilih ketua angkatan?

6. Penyelesaian:
Dari jumlah keseluruhan mahasiswa S2 Pend. Matematika angkatan 2014 yakni
sebanyak 90 mahasiswa, akan dipilih seorang ketua angkatan (pria atau wanita), maka
berdasarkan aturan penjumlahan banyaknya cara memilih yaitu 35 + 55 = 90 cara.
2. Aturan Perkalian
Jika untuk melakukan A dapat dikerjakan dengan n cara dan untuk melakukan
B dapat dikerjakan dengan m cara yang tidak tergantung pada bagaimana A
dikerjakan, maka untuk mengerjakan A dan B dapat dilakukan dengan 푛 × 푚
cara. Secara teoritis, banyaknya anggota himpunan hasil kali Cartesius n
himpunan sama dengan hasil kali banyaknya anggota setiap himpunan
 Contoh 3.
Misalkan kita pergi dari kota A ke kota C dan harus melalui kota B. Dari kota
A ke kota B ada 5 jalan, dan dari kota B ke kota C ada 6 jalan. Tentukan banyak
cara untuk pergi dari kota A ke kota C dan harus melalui kota B.
Penyelesaian:
Setelah kita memilih jalan dari A ke B, pilihan jalan dari kota B ke C tidak
tergantung pada pilihan pertama. Dengan demikian menurut aturan perkalian,
banyak cara dari kota A ke kota C melalui B adalah 5 x 6 = 30 cara.

7.  Contoh 4.
Dua orang perwakilan Kelas B yang terdiri dari 3 pria dan 13 wanita protes
mendatangai Bapak Dosen untuk nilai ujian. Wakil yang dipilih 1 orang pria dan 1
orang wanita. Berapa banyak cara memilih 2 orang wakil tersebut?
Penyelesaian:
Dari jumlah mahasiswa kelas B yang sebanyak 13 orang, maka akan dipilih 3
diantaranya untuk menjadi perwakilan kelas sehingga berdasarkan aturan
perkalian diperoleh penyelesaian yakni : 3  13 = 39 cara.
 Contoh 5.
Dari tujuh angka 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9 akan dibentuk sebuah bilangan 3 angka dan
lebih dari 500. Berapa banyak bilangan genap yang dapat dibentuk jika :
a) angka-angkanya boleh berulang
b) angka-angkanya tidak boleh berulang
penyelesaian :
a) Angka pertama sebagai ratusan dapat dipilih 4 kemungkinan, yaitu 5, 6, 8
atau 9. Angka kedua dapat dipilih dari 7 kemungkinan. Angka satuan dapat
dipilih dari 3 kemungkinan. Banyaknya bilangan yang terbentuk ada 4 x 7 x 3
= 84 bilangan.
b) Pada bagian inilah timbul sebuah permasalahan. Jika kita menjawab
banyaknya bilangan adalah 4 x 5 x 3 dengan alasan bahwa banyaknya
bilangan yang mungkin untuk angka ratusan ada 4 dan angka satuan ada 3
sedangkan sisa bilangan tinggal 5 maka jawaban tersebut adalah keliru. Jika
angka ratusan yang dipilih adalah 5 atau 9 maka banyaknya kemungkinan

8. angka satuan memang benar ada 3 yaitu 4, 6 atau 8. Tetapi bila angka ratusan
yang dipilih adalah 6 atau 8 maka angka satuan yang mungkin dipilih hanya
tinggal 2. Sedangkan jika kita menjawab banyaknya bilangan adalah 4 x 5 x 2
juga mengandung kesalahan dengan alasan bahwa jika angka ratusan yang
kita pilih adalah 5 atau 9 maka kemungkin angka satuan yang dipilih adalah
tetap 3. Lalu bagaimana cara kita menjawab soal ini ?
Ada dua alternatif yang akan dibahas.
Alternatif 1 :
Sudah dijelaskan bahwa banyaknya kemungkinan untuk angka ratusan ada 4
namun pemilihan angka ratusan ternyata menimbulkan dampak yang berbeda
untuk angka satuan. Maka penyelesaian soal ini adalah dengan membagi kasus
terhadap pemilihan angka ratusan.
Kasus pertama adalah jika angka ratusannya adalah 5 atau 9. Banyaknya cara
memilih angka ratusan ada 2. Banyaknya kemungkinan angka satuan tetap ada 3
sedangkan angka puluhan tinggal 5 kemungkinan. Banyaknya bilangan untuk
kasus pertama ini adalah 2 x 5 x 3 = 30 bilangan.
Kasus kedua adalah jika angka ratusannya adalah 6 atau 8. Banyaknya cara
memilih angka ratusan ada 2, yaitu 6 atau 8 tersebut. Banyaknya kemungkinan
angka satuan tinggal 2. Penjelasannya adalah jika angka ratusan yang dipilih
adalah 6 maka kemungkinan angka satuannya adalah 4 atau 8 sedangkan jika
angka ratusan yang dipilih adalah 8 maka kemungkinan angka satuannya adalah 4
atau 6. Sedangkan angka puluhan tinggal 5 kemungkinan. Banyaknya bilangan
untuk kasus kedua ini adalah 2 x 5 x 2 = 20 bilangan.

9. Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk ada 30 + 20 = 50 bilangan.
Alternatif 2 :
Caranya sebenarnya sama dengan alternatif 1, tetapi kita memulainya dari
angka satuan. Kita bagi kasus pemilihan angka satuan menjadi 2 kasus.
Kasus pertama adalah jika angka satuan yang dipilih adalah 4. Banyaknya
cara memilih hanya ada 1. Angka ratusan yang dipilih tetap ada 4 kemungkinan
yaitu 5, 6, 8 atau 9. Sedangkan angka puluhan tinggal 5 kemungkinan. Banyaknya
bilangan untuk kasus pertama ini adalah 1 x 5 x 4 = 20 bilangan.
Kasus kedua adalah jika angka satuan yang dipilih adalah 6 atau 8.
Banyaknya cara memilih ada 2. Angka ratusan yang dipilih tinggal 3
kemungkinan. Sedangkan angka puluhan tinggal 5 kemungkinan. Banyaknya
bilangan untuk kasus kedua ini adalah 2 x 5 x 3 = 30 bilangan.
Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk ada 20 + 30 = 50 bilangan.
3. Perluasan Kaidah Dasar Menghitung
Misalkan ada n percobaan, masing-masing dengan pi hasil yang mungkin maka
berlaku :
a. Kaidah penjumlahan : p1 + p2 + … + pn hasil
b. Kaidah Perkalian : p1  p2  …  pn hasil
 Contoh 6. (Kaidah Penjumlahan)
Sandi (password) sistem komputer panjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiap
karakter boleh berupa huruf atau angka; huruf besar dan huruf kecil tidak
dibedakan. Berapa banyak sandi yang dapat dibuat?

10. penyelesaian :
• Jumlah karakter password = 26 (A-Z) + 10 (0-9) = 36 karakter.
• Jumlah kemungkinan sandi dengan panjang 6 karakter:
(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 366 = 2.176.782.336
• Jumlah kemungkinan sandi dengan panjang 7 karakter:
(36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 367 = 78.364.164.096
• Jumlah kemungkinan sandi dengan panjang 8 karakter:
(36)(36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 368 = 2.821.109.907.456
• Jadi berdasarkan kaidah penjumlahan maka diperoleh jumlah seluruh sandi
yaitu : 2.176.782.336 + 78.364.164.096 + 2.821.109.907.456
= 2.901.650.833.888 buah.
 Contoh 7 (Kaidah Perkalian)
Berapa banyak bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan
9999 itu sendiri) yang :
(a) semua angkanya berbeda
(b) boleh ada angka yang berulang.
penyelesaian :
(a) Posisi Satuan : 5 kemungkinan angka (1, 3, 5, 7, 9)
Posisi Ribuan : 8 kemungkinan angka
Posisi Ratusan : 8 kemungkinan angka
Posisi Puluhan : 7 kemungkinan angka
Banyak bilangan ganjil seluruhnya
= (5) (8) (8) (7) = 2240 buah.

11. (b) Posisi satuan : 5 kemungkinan angka (yaitu 1, 3, 5, 7 dan 9);
Posisi ribuan : 9 kemungkinan angka (1 sampai 9)
Posisi ratusan : 10 kemungkinan angka (0 sampai 9)
Posisi puluhan: 10 kemungkinan angka (0 sampai 9)
Banyak bilangan ganjil seluruhnya
= (5) (9) (10) (10) = 4500

12. Tugas Revisi Kelompok 1
SOAL LATIHAN
1. Tentukan berapa banyak unsur dari {1,2,3,4, … … . ,10000} yang habis dibagi
4 ?
Penyelesaian :
Misal : A = {1,2,3,4, … … . ,10000}
n (A) = 10000
 Untuk menemukan banyak unsur yang habis dibagi oleh 4 dari suatu bilangan
asli pertama adalah.
푛 (퐴)
4
=
10000
4
= 2500
Sehingga banyaknya unsur yang habis dibagi 4 adalah 2500 unsur.
cat : 1. Di tambahkan dengan cara lain
2. Teorema bilangan bulat terbesar
2. Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk dari bilangan antara 100 dan
999 yang memiliki digit berbeda.?
Penyelesaian :
Banyaknya digit angka yang mungkin untuk digunakan yakni (0,1,2,….,9)
 Posisi ratusan : terdapat 9 kemungkinan angka yang dapat digunakan
yaitu 1,2,3,…9
 Posisi puluhan : tersisa 9 kemungkinan angka yang dapat digunakan
 Posisi satuan : tersisa 8 kemungkinan angka yang dapat digunakan

13. Bilangan yang akan di bentuk terdiri tiga angka yang berbeda,:
I II III
Tempat ratusan Tempat puluhan Tempat satuan
9
digit angka yang
mungkin
9
digit angka yang
mungkin
8
digit angka yang
mungkin
Sehingga menurut aturan perkalian diperoleh 9 x 9 x 8 = 648
Jadi banyaknya digit angka yang dapat dibentuk antara 100 dan 999 adalah :
648 bilangan
Banyaknya kemungkinan bilangan ganjil yang dapat terbentuk :
II III I
Tempat ratusan Tempat puluhan Tempat satuan
8
digit angka yang
mungkin
8
digit angka yang
mungkin
5
digit angka yang
mungkin
Cat : (I, II, III) merupakan langkah dalam menentukannya banyaknya
kemungkinan bilangan yang dapat dibenuk
3. Berapa banyak plat nomor kendaraan berbeda yang dapat dibentuk jika terdiri
dari 3 huruf dan di ikuti oleh 4 angka dimana angka dan huruf tersebut tidak
boleh berulang ?
Penyelesaian :
Banyaknya karakter huruf dalam huruf alphabet adalah 26 karakter,
sedangakan banyaknya digit angka yang dapat digunakan terdiri dari
(0,1,2,3,…..,9), karena huruf dan angka tidak boleh berulang sehingga
diperoleh :
 Huruf pada tempat pertama : dapat di isi dengan 26 huruf

14.  Huruf pada tempat kedua : dapat di isi dengan 25 huruf
 Huruf pada tempat ketiga : dapat di isi dengan 24 huruf
 Angka pada tempat pertama : terdapat 10 kemungkinan angka yang dapat
digunakan
 Angka pada tempat kedua : terdapat 9 kemungkinan angka yang dapat
digunakan
 Angka pada tempat ketiga : terdapat 8 kemungkinan angka yang dapat
digunakan
 Angka pada tempat keempat : terdapat 7 kemungkinan angka yang dapat
digunakan
Banyaknya Kemungkinan
Huruf
Banyaknya Kemungkinan Angka
26 25 24 10 9 8 7
Sehingga menurut aturan perkalian diperoleh : 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7