1) Os campos elétricos surgem da necessidade de descrever a força elétrica à distância gerada por cargas elétricas. 2) O campo elétrico E(x,t) representa as modificações no espaço devido à presença de uma carga elétrica Q, independente da carga q que sentirá sua ação. 3) O campo elétrico é um vetor definido em cada ponto do espaço criado pela presença da carga elétrica pontual Q.

1. ´
Campos de calibre classicos: Maxwell
M.T. Thomaz
mariateresa.thomaz@gmail.com
Instituto de F´sica, UFF
ı
Resumo:
ı ı ¸˜ ¸˜ ´ ´ ¸˜
A partir do princ´pio de m´nima acao reobtemos as equacoes de movimento classicas reescritas atraves das equacoes
¸˜ ´
de Lagrange. Mostramos como estender esse princ´pio para obter as equacoes de movimento dos campos classicos
ı
´
e o aplicamos ao caso dos campos eletromagneticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desenvolver,
¸˜ ¸˜
estudaremos a nocao de tensores que utilizaremos para descrever as leis de transformacao da Relatividade Restrita e
¸˜
escrever as equacoes de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante). Finalmente discutiremos os campos
´ ´ ˆ ´
eletrico e magnetico em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a invariancia de calibre e implementada
nestes campos.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 1 / 36

2. ¸˜
Apresentacao:
ı ı ¸˜
1. Princ´pio de m´nima acao
˜ ´ ´
2. Revisao de topicos em Matematica
´ ¸˜
3. Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
4. Espaco de Minkowski
¸
´
5. Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
´ ´
6. Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 2 / 36

3. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
Por que precisamos de campos para descrever a
Natureza?
´
O modulo da forca gerada por uma part´cula de massa M sobre uma
¸ ı
´
part´cula teste de massa m e:
ı
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 36

4. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
Por que precisamos de campos para descrever a
Natureza?
´
O modulo da forca gerada por uma part´cula de massa M sobre uma
¸ ı
part´cula teste de massa m e:
ı ´
Gm · M
Fgrav = ,
r2
ˆ
sendo r a distancia entre as massas M e m.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 36

5. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
Por que precisamos de campos para descrever a
Natureza?
´
O modulo da forca gerada por uma part´cula de massa M sobre uma
¸ ı
part´cula teste de massa m e:
ı ´
Gm · M
Fgrav = ,
r2
ˆ
sendo r a distancia entre as massas M e m.
´ ´
O modulo da forca gerada por uma carga eletrica Q sobre uma part´cula
¸ ı
´ ´
teste de carga eletrica q e:
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 36

6. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
Por que precisamos de campos para descrever a
Natureza?
´
O modulo da forca gerada por uma part´cula de massa M sobre uma
¸ ı
part´cula teste de massa m e:
ı ´
Gm · M
Fgrav = ,
r2
ˆ
sendo r a distancia entre as massas M e m.
´ ´
O modulo da forca gerada por uma carga eletrica Q sobre uma part´cula
¸ ı
´ ´
teste de carga eletrica q e:
K|q| · |Q|
Felet = ,
r2
´ ˆ
onde r e a distancia entre essas part´culas.
ı
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 36

7. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
Por que precisamos de campos para descrever a
Natureza?
´
O modulo da forca gerada por uma part´cula de massa M sobre uma
¸ ı
part´cula teste de massa m e:
ı ´
Gm · M
Fgrav = ,
r2
ˆ
sendo r a distancia entre as massas M e m.
´ ´
O modulo da forca gerada por uma carga eletrica Q sobre uma part´cula
¸ ı
´ ´
teste de carga eletrica q e:
K|q| · |Q|
Felet = ,
r2
´ ˆ
onde r e a distancia entre essas part´culas.
ı
˜
As constantes G e K sao diferentes.
Qual a grande diferenca entre as forcas
¸ ¸
´
eletrica e gravitacional?
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 36

8. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
Por que precisamos de campos para descrever a
Natureza?
´
O modulo da forca gerada por uma part´cula de massa M sobre uma
¸ ı
part´cula teste de massa m e:
ı ´
Gm · M
Fgrav = ,
r2
ˆ
sendo r a distancia entre as massas M e m.
´ ´
O modulo da forca gerada por uma carga eletrica Q sobre uma part´cula
¸ ı
´ ´
teste de carga eletrica q e:
K|q| · |Q|
Felet = ,
r2
´ ˆ
onde r e a distancia entre essas part´culas.
ı
˜
As constantes G e K sao diferentes.
Qual a grande diferenca entre as forcas
¸ ¸
´
eletrica e gravitacional?
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 36

9. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´ ´
O sentido da forca eletrica gerada pela presenca da carga eletrica
¸ ¸
Q sobre a carga q, depende do sinal da carga q.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 36

10. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´ ´
O sentido da forca eletrica gerada pela presenca da carga eletrica
¸ ¸
Q sobre a carga q, depende do sinal da carga q.
Que quantidade f´sica usamos de maneira que levamos em
ı
¸˜
conta apenas as modificacoes no espaco pela presenca da carga
¸ ¸
´
eletrica Q?
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 36

11. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´ ´
O sentido da forca eletrica gerada pela presenca da carga eletrica
¸ ¸
Q sobre a carga q, depende do sinal da carga q.
Que quantidade f´sica usamos de maneira que levamos em
ı
¸˜
conta apenas as modificacoes no espaco pela presenca da carga
¸ ¸
´
eletrica Q?
Seja FQ→q a forca que a carga Q faz sobre a part´cula de carga
¸ ı
eletrica q. Definimos o campo eletrico gerado pela carga Q com
´ ´
sendo:
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 36

12. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´ ´
O sentido da forca eletrica gerada pela presenca da carga eletrica
¸ ¸
Q sobre a carga q, depende do sinal da carga q.
Que quantidade f´sica usamos de maneira que levamos em
ı
¸˜
conta apenas as modificacoes no espaco pela presenca da carga
¸ ¸
´
eletrica Q?
Seja FQ→q a forca que a carga Q faz sobre a part´cula de carga
¸ ı
eletrica q. Definimos o campo eletrico gerado pela carga Q com
´ ´
sendo:
FQ→q ≡ qE(x, t),
´ ´ ´
onde E(x, t) e o campo eletrico gerado pela carga eletrica Q, indepen-
´ ¸˜
dente do valor da carga eletrica q que vai sentir a sua acao.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 36

13. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´ ´
Campos eletricos gerados por cargas eletricas
pontuais:
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 36

14. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´ ´
Campos eletricos gerados por cargas eletricas
pontuais:
´ ´
Campo eletrico gerado por uma carga eletrica positiva.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 36

15. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´ ´
Campos eletricos gerados por cargas eletricas
pontuais:
´ ´
Campo eletrico gerado por uma carga eletrica positiva. ´ ´
Campo eletrico gerado por duas cargas eletricas positivas.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 36

16. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´ ´
Campos eletricos gerados por cargas eletricas
pontuais:
´ ´
Campo eletrico gerado por uma carga eletrica positiva. ´ ´
Campo eletrico gerado por duas cargas eletricas positivas.
´ ´ ˆ
No campo eletrico E(x, t) temos que x e um parametro, que representa
todos os pontos do espaco¸
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 36

17. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´ ´
Campos eletricos gerados por cargas eletricas
pontuais:
´ ´
Campo eletrico gerado por uma carga eletrica positiva. ´ ´
Campo eletrico gerado por duas cargas eletricas positivas.
´ ´ ˆ
No campo eletrico E(x, t) temos que x e um parametro, que representa
todos os pontos do espaco ⇒ E(x, t) e um campo.
¸ ´
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 36

18. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´ ´
Campos eletricos gerados por cargas eletricas
pontuais:
´ ´
Campo eletrico gerado por uma carga eletrica positiva. ´ ´
Campo eletrico gerado por duas cargas eletricas positivas.
´ ´ ˆ
No campo eletrico E(x, t) temos que x e um parametro, que representa
todos os pontos do espaco ⇒ E(x, t) e um campo.
¸ ´
Em cada ponto do espaco x temos um vetor E(x, t) criado pela
¸
´
presenca da carga eletrica pontual Q.
¸
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 36

19. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´ ´
Campos eletricos gerados por cargas eletricas
pontuais:
´ ´
Campo eletrico gerado por uma carga eletrica positiva. ´ ´
Campo eletrico gerado por duas cargas eletricas positivas.
´ ´ ˆ
No campo eletrico E(x, t) temos que x e um parametro, que representa
todos os pontos do espaco ⇒ E(x, t) e um campo.
¸ ´
Em cada ponto do espaco x temos um vetor E(x, t) criado pela
¸
´ ¸˜
presenca da carga eletrica pontual Q. O que estudamos: a evolucao
¸
¸˜
e/ou acao deste vetor em cada ponto do espaco.
¸
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 36

20. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´
No caso geral, temos campos eletrico, E(x, t), e
´
magnetico, B(x, t):
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 36

21. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´
No caso geral, temos campos eletrico, E(x, t), e
´
magnetico, B(x, t):
¸˜ ´
Equacao de movimento de uma part´cula com carga eletrica, na presenca
ı ¸
´ ´
de campos eletricos e magneticos:
d2 x(t) v(t)
m = eE(x, t) + e × B(x, t),
dt2 c
´ ´ ¸˜ ´
onde c e a velocidade da luz, x(t) e o vetor posicao onde esta a part´cula.
ı
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 36

22. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´
No caso geral, temos campos eletrico, E(x, t), e
´
magnetico, B(x, t):
¸˜ ´
Equacao de movimento de uma part´cula com carga eletrica, na presenca
ı ¸
´ ´
de campos eletricos e magneticos:
d2 x(t) v(t)
m = eE(x, t) + e × B(x, t),
dt2 c
´ ´ ¸˜ ´
onde c e a velocidade da luz, x(t) e o vetor posicao onde esta a part´cula.
ı
Temos os campos:
E(x, t) :campo eletrico
´
´
Campos eletromagneticos
B(x, t) :campo magnetico
´
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 36

23. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´
No caso geral, temos campos eletrico, E(x, t), e
´
magnetico, B(x, t):
¸˜ ´
Equacao de movimento de uma part´cula com carga eletrica, na presenca
ı ¸
´ ´
de campos eletricos e magneticos:
d2 x(t) v(t)
m = eE(x, t) + e × B(x, t),
dt2 c
´ ´ ¸˜ ´
onde c e a velocidade da luz, x(t) e o vetor posicao onde esta a part´cula.
ı
Temos os campos:
E(x, t) :campo eletrico
´
´
Campos eletromagneticos
B(x, t) :campo magnetico
´
ˆ ´
x e t: parametros nos campos eletromagneticos.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 36

24. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
¸˜
Equacoes de Maxwell
ˆ
Estudaremos a dinamica dos campos E(x, t) e B(x, t) na presenca de
¸
´
cargas e correntes eletricas conhecidas.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 7 / 36

25. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
¸˜
Equacoes de Maxwell
ˆ
Estudaremos a dinamica dos campos E(x, t) e B(x, t) na presenca de
¸
´
cargas e correntes eletricas conhecidas.
Relembrando:
• E(x, t) e B(x, t): campos (variaveis)
´
• x e t: parametros.
ˆ
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 7 / 36

26. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
¸˜
Equacoes de Maxwell
ˆ
Estudaremos a dinamica dos campos E(x, t) e B(x, t) na presenca de
¸
´
cargas e correntes eletricas conhecidas.
Relembrando:
• E(x, t) e B(x, t): campos (variaveis)
´
• x e t: parametros.
ˆ
¸˜
Vamos obter as 4 equacoes
de Maxwell locais a partir das
˜
suas expressoes globais.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 7 / 36

27. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
¸˜
Equacoes de Maxwell
ˆ
Estudaremos a dinamica dos campos E(x, t) e B(x, t) na presenca de
¸
´
cargas e correntes eletricas conhecidas.
Relembrando:
• E(x, t) e B(x, t): campos (variaveis)
´
• x e t: parametros.
ˆ
¸˜
Vamos obter as 4 equacoes
de Maxwell locais a partir das
˜
suas expressoes globais.
James Clerk Maxwell
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 7 / 36

28. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
Equacoes de Maxwell: eq. globais ⇒ eq. locais
¸˜
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 36

29. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
Equacoes de Maxwell: eq. globais ⇒ eq. locais
¸˜
´
1. Lei de Gauss do campo eletrico:
ˆ
E(x, t) · nds = 4πQ(t)
S
´
sendo Q(t) a carga eletrica total
contida no volume V
Q(t) = d3 x ρ(x, t),
V
´
e ρ(x, t) e a densidade de
´
carga eletrica em x no instante t.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 36

30. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
O Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para o
´
campo eletrico como:
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 36

31. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
O Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para o
´
campo eletrico como:
ˆ
E(x, t) · nds = d3 x [∇ · E(x, t)]
S V
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 36

32. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
O Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para o
´
campo eletrico como:
ˆ
E(x, t) · nds = d3 x [∇ · E(x, t)]
S V
= 4π Q(t) = 4π d3 x ρ(x, t),
V
´
sendo S a area fechada que delimita o volume V.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 36

33. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
O Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para o
´
campo eletrico como:
ˆ
E(x, t) · nds = d3 x [∇ · E(x, t)]
S V
= 4π Q(t) = 4π d3 x ρ(x, t),
V
´
sendo S a area fechada que delimita o volume V. Portanto:
d3 x ∇ · E(x, t) − 4πρ(x, t) = 0.
V
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 36

34. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
O Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para o
´
campo eletrico como:
ˆ
E(x, t) · nds = d3 x [∇ · E(x, t)]
S V
= 4π Q(t) = 4π d3 x ρ(x, t),
V
´
sendo S a area fechada que delimita o volume V. Portanto:
d3 x ∇ · E(x, t) − 4πρ(x, t) = 0.
V
´ ˜
Como esta igualdade tem que ser valida para qualquer volume V, entao,
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 36

35. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
O Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para o
´
campo eletrico como:
ˆ
E(x, t) · nds = d3 x [∇ · E(x, t)]
S V
= 4π Q(t) = 4π d3 x ρ(x, t),
V
´
sendo S a area fechada que delimita o volume V. Portanto:
d3 x ∇ · E(x, t) − 4πρ(x, t) = 0.
V
´ ˜
Como esta igualdade tem que ser valida para qualquer volume V, entao,
∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t),
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 36

36. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
O Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para o
´
campo eletrico como:
ˆ
E(x, t) · nds = d3 x [∇ · E(x, t)]
S V
= 4π Q(t) = 4π d3 x ρ(x, t),
V
´
sendo S a area fechada que delimita o volume V. Portanto:
d3 x ∇ · E(x, t) − 4πρ(x, t) = 0.
V
´ ˜
Como esta igualdade tem que ser valida para qualquer volume V, entao,
∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t),
´ ˜ ´ ´
So temos fluxo nao nulo de linhas de campo eletrico atraves de uma
´ ´
area fechada que engloba x se temos carga eletrica neste ponto. As
´ ´
linhas de campo eletrico comecam e terminam em cargas eletricas.
¸
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 36

37. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´
2. Lei de Gauss do campo magnetico:
ˆ
B(x, t) · nds = 0
S
sendo S uma superf´cie fechada.
ı
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 36

38. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´
2. Lei de Gauss do campo magnetico:
ˆ
B(x, t) · nds = 0
S
sendo S uma superf´cie fechada.
ı
O Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para o
´
campo magnetico como:
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 36

39. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´
2. Lei de Gauss do campo magnetico:
ˆ
B(x, t) · nds = 0
S
sendo S uma superf´cie fechada.
ı
O Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para o
´
campo magnetico como:
ˆ
B(x, t) · nds = d3 x [∇ · B(x, t)]
S V
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 36

40. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´
2. Lei de Gauss do campo magnetico:
ˆ
B(x, t) · nds = 0
S
sendo S uma superf´cie fechada.
ı
O Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para o
´
campo magnetico como:
ˆ
B(x, t) · nds = d3 x [∇ · B(x, t)]
S V
= 0,
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 36

41. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´
2. Lei de Gauss do campo magnetico:
ˆ
B(x, t) · nds = 0
S
sendo S uma superf´cie fechada.
ı
O Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para o
´
campo magnetico como:
ˆ
B(x, t) · nds = d3 x [∇ · B(x, t)]
S V
= 0,
´
Como esta igualdade tem que ser valida para qualquer superf´cie
ı
˜
fechada S, entao,
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 36

42. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´
2. Lei de Gauss do campo magnetico:
ˆ
B(x, t) · nds = 0
S
sendo S uma superf´cie fechada.
ı
O Teorema de Gauss nos permite reescrever a lei de Gauss para o
´
campo magnetico como:
ˆ
B(x, t) · nds = d3 x [∇ · B(x, t)]
S V
= 0,
´
Como esta igualdade tem que ser valida para qualquer superf´cie
ı
˜
fechada S, entao,
∇ · B(x, t) = 0.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 36

43. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´ ´
A lei de Gauss do campo magnetico na forma local/diferencial e:
∇ · B(x, t) = 0.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 36

44. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´ ´
A lei de Gauss do campo magnetico na forma local/diferencial e:
∇ · B(x, t) = 0.
´
Obtemos que o fluxo de linhas de campo magnetico atraves de´
´
qualquer superf´cie fechada e nulo. Portanto as linhas de campo
ı
´ ˜ ˜
magnetico sao fechadas. Nao temos fontes de pontuais de campos
´
magneticos. Nao˜ temos monopolos magneticos.
´ ´
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 36

45. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´ ´
A lei de Gauss do campo magnetico na forma local/diferencial e:
∇ · B(x, t) = 0.
´
Obtemos que o fluxo de linhas de campo magnetico atraves de´
´
qualquer superf´cie fechada e nulo. Portanto as linhas de campo
ı
´ ˜ ˜
magnetico sao fechadas. Nao temos fontes de pontuais de campos
´
magneticos. Nao˜ temos monopolos magneticos.
´ ´
¸˜ ´
Configuracoes de campo magnetico:
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 36

46. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´ ´
A lei de Gauss do campo magnetico na forma local/diferencial e:
∇ · B(x, t) = 0.
´
Obtemos que o fluxo de linhas de campo magnetico atraves de´
´
qualquer superf´cie fechada e nulo. Portanto as linhas de campo
ı
´ ˜ ˜
magnetico sao fechadas. Nao temos fontes de pontuais de campos
´
magneticos. Nao˜ temos monopolos magneticos.
´ ´
¸˜ ´
Configuracoes de campo magnetico:
´
Campo magnetico gerado por um fio retil´neo.
ı
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 36

47. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´ ´
A lei de Gauss do campo magnetico na forma local/diferencial e:
∇ · B(x, t) = 0.
´
Obtemos que o fluxo de linhas de campo magnetico atraves de´
´
qualquer superf´cie fechada e nulo. Portanto as linhas de campo
ı
´ ˜ ˜
magnetico sao fechadas. Nao temos fontes de pontuais de campos
´
magneticos. Nao˜ temos monopolos magneticos.
´ ´
¸˜ ´
Configuracoes de campo magnetico:
´
Campo magnetico gerado por um fio retil´neo.
ı
´ ´
Varios campos magneticos gerados por correntes.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 36

48. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
¸˜
3. Lei de Faraday (inducao):
1 d
E(x, t) · dˆ = −
l ˆ
B(x, t) · nds ,
Γ c dt S
sendo Γ um caminho fechado e
˜
orientado. A regra da mao direita ao
longo do caminho Γ determina o
ˆ ´
sentido do vetor n. S e qualquer
area delimitada por contorno Γ.
´
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 36

49. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
¸˜
3. Lei de Faraday (inducao):
1 d
E(x, t) · dˆ = −
l ˆ
B(x, t) · nds ,
Γ c dt S
sendo Γ um caminho fechado e
˜
orientado. A regra da mao direita ao
longo do caminho Γ determina o
ˆ ´
sentido do vetor n. S e qualquer
area delimitada por contorno Γ.
´
¸˜
O Teorema de Stokes nos permite reescrever a lei de inducao de
Faraday como:
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 36

50. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
¸˜
3. Lei de Faraday (inducao):
1 d
E(x, t) · dˆ = −
l ˆ
B(x, t) · nds ,
Γ c dt S
sendo Γ um caminho fechado e
˜
orientado. A regra da mao direita ao
longo do caminho Γ determina o
ˆ ´
sentido do vetor n. S e qualquer
area delimitada por contorno Γ.
´
¸˜
O Teorema de Stokes nos permite reescrever a lei de inducao de
Faraday como:
E(x, t) · dl = ˆ
ds n · [∇ × E(x, t)]
Γ S
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 36

51. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
¸˜
3. Lei de Faraday (inducao):
1 d
E(x, t) · dˆ = −
l ˆ
B(x, t) · nds ,
Γ c dt S
sendo Γ um caminho fechado e
˜
orientado. A regra da mao direita ao
longo do caminho Γ determina o
ˆ ´
sentido do vetor n. S e qualquer
area delimitada por contorno Γ.
´
¸˜
O Teorema de Stokes nos permite reescrever a lei de inducao de
Faraday como:
E(x, t) · dl = ˆ
ds n · [∇ × E(x, t)]
Γ S
1 d
= − ˆ
B(x, t) · nds .
c dt S
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 36

52. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
Como a igualdade
1 ∂
ˆ
ds n · ∇ × E(x, t) − B(x, t) =0
S c ∂t
´ ˜
tem que ser valida para qualquer superf´cie S, entao,
ı
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 36

53. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
Como a igualdade
1 ∂
ˆ
ds n · ∇ × E(x, t) − B(x, t) =0
S c ∂t
´ ˜
tem que ser valida para qualquer superf´cie S, entao,
ı
1 ∂ B(x, t)
∇ × E(x, t) = − .
c ∂t
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 36

54. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
Como a igualdade
1 ∂
ˆ
ds n · ∇ × E(x, t) − B(x, t) =0
S c ∂t
´ ˜
tem que ser valida para qualquer superf´cie S, entao,
ı
1 ∂ B(x, t)
∇ × E(x, t) = − .
c ∂t
¸˜ ´
A lei de inducao Faraday nos mostra que induzimos campo eletrico
´ ¸˜ ´ ¸˜
atraves da variacao de campo magnetico. Variacoes de campos
´ ˜ ´
magneticos sao fontes de campos eletricos.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 36

55. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
`
4. Lei de Ampere modificada por J.C. Maxwell:
1 d
B(x, t) · dl = ˆ
E(x, t) · nds
Γ c dt S
4π
+ ˆ
(x, t) · nds,
c S
sendo Γ um caminho fechado e
˜
orientado. A regra da mao direita ao
longo do caminho Γ determina o
ˆ ´
sentido do vetor n. S e qualquer
area delimitada por contorno Γ.
´
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 14 / 36

56. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
`
4. Lei de Ampere modificada por J.C. Maxwell:
1 d
B(x, t) · dl = ˆ
E(x, t) · nds
Γ c dt S
4π
+ ˆ
(x, t) · nds,
c S
sendo Γ um caminho fechado e
˜
orientado. A regra da mao direita ao
longo do caminho Γ determina o
ˆ ´
sentido do vetor n. S e qualquer
area delimitada por contorno Γ.
´
¸˜
A relacao entre a densidade de corrente
´
(x, t) e a corrente I e:
S=A (x, t)
ˆ
· nds = I.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 14 / 36

57. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
`
O Teorema de Stokes nos permite reescrever a lei de Ampere
modificada por J.C. Maxwell como:
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 36

58. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
`
O Teorema de Stokes nos permite reescrever a lei de Ampere
modificada por J.C. Maxwell como:
B(x, t) · dˆ =
l ˆ
ds n · [∇ × B(x, t)]
Γ S
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 36

59. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
`
O Teorema de Stokes nos permite reescrever a lei de Ampere
modificada por J.C. Maxwell como:
B(x, t) · dˆ =
l ˆ
ds n · [∇ × B(x, t)]
Γ S
1 d 4π
= ˆ
E(x, t) · nds + ˆ
(x, t) · nds,
c dt S c S
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 36

60. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
`
O Teorema de Stokes nos permite reescrever a lei de Ampere
modificada por J.C. Maxwell como:
B(x, t) · dˆ =
l ˆ
ds n · [∇ × B(x, t)]
Γ S
1 d 4π
= ˆ
E(x, t) · nds + ˆ
(x, t) · nds,
c dt S c S
Assim,
1 ∂ 4π
ˆ
ds n · ∇ × B(x, t)] − E(x, t) − (x, t) = 0
S c ∂t c
´
A igualdade anterior tem que ser valida para qualquer superf´cie S
ı
delimitada pelo contorno Γ. Logo,
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 36

61. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
`
O Teorema de Stokes nos permite reescrever a lei de Ampere
modificada por J.C. Maxwell como:
B(x, t) · dˆ =
l ˆ
ds n · [∇ × B(x, t)]
Γ S
1 d 4π
= ˆ
E(x, t) · nds + ˆ
(x, t) · nds,
c dt S c S
Assim,
1 ∂ 4π
ˆ
ds n · ∇ × B(x, t)] − E(x, t) − (x, t) = 0
S c ∂t c
´
A igualdade anterior tem que ser valida para qualquer superf´cie S
ı
delimitada pelo contorno Γ. Logo,
1 ∂ E(x, t) 4π
∇ × B(x, t) = + (x, t).
c ∂t c
¸˜
termo de correcao de Maxwell
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 36

62. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´
A lei de Ampere modificada pela corrente de deslocamento de Maxwell
fica:
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 36

63. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´
A lei de Ampere modificada pela corrente de deslocamento de Maxwell
fica:
1 ∂ E(x, t) 4π
∇ × B(x, t) = + (x, t).
c ∂t c
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 36

64. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´
A lei de Ampere modificada pela corrente de deslocamento de Maxwell
fica:
1 ∂ E(x, t) 4π
∇ × B(x, t) = + (x, t).
c ∂t c
¸˜ ´ ´ ˜
Esta equacao nos da que as fontes do campo magnetico sao: correntes
¸˜ ´
e variacoes do campo eletrico.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 36

65. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
¸˜
As equacoes de Maxwell
∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t),
∇ · B(x, t) = 0,
1 ∂ B(x, t)
∇ × E(x, t) = − ,
c ∂t
1 ∂ E(x, t) 4π
∇ × B(x, t) = + (x, t).
c ∂t c
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 36

66. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
¸˜
As equacoes de Maxwell
∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t),
∇ · B(x, t) = 0,
1 ∂ B(x, t)
∇ × E(x, t) = − ,
c ∂t
1 ∂ E(x, t) 4π
∇ × B(x, t) = + (x, t).
c ∂t c
¸˜ ´
A evolucao no tempo dos campos E(x, t) B(x, t) e governada pelas 4
eqs. de Maxwell acopladas.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 36

67. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
¸˜
As equacoes de Maxwell
∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t),
∇ · B(x, t) = 0,
1 ∂ B(x, t)
∇ × E(x, t) = − ,
c ∂t
1 ∂ E(x, t) 4π
∇ × B(x, t) = + (x, t).
c ∂t c
¸˜ ´
A evolucao no tempo dos campos E(x, t) B(x, t) e governada pelas 4
˜ ¸˜
eqs. de Maxwell acopladas. Esses campos sao diferentes manifestacoes
´
de um mesmo campo: campo eletromagnetico.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 36

68. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
¸˜
As equacoes de Maxwell
∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t),
∇ · B(x, t) = 0,
1 ∂ B(x, t)
∇ × E(x, t) = − ,
c ∂t
1 ∂ E(x, t) 4π
∇ × B(x, t) = + (x, t).
c ∂t c
¸˜ ´
A evolucao no tempo dos campos E(x, t) B(x, t) e governada pelas 4
˜ ¸˜
eqs. de Maxwell acopladas. Esses campos sao diferentes manifestacoes
´
de um mesmo campo: campo eletromagnetico. Temos uma primeira
¸˜
unificacao de campos na Natureza.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 36

69. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´
Campos Eletromagneticos:
E(x, t)
⇒ 6 componentes
B(x, t)
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 36

70. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´
Campos Eletromagneticos:
E(x, t)
⇒ 6 componentes
B(x, t)
ˆ ´
Interpendencia dos campos eletromagneticos: E(x, t) e B(x, t),
1d
E(x, t) · dl = − ˆ
B(x, t) · nds
Γ c dt S
e
1d 4π
B(x, t) · dl = ˆ
E(x, t) · nds + ˆ
(x, t) · nds
Γ c dt S c S
onde S e qualquer area aberta, cuja borda e a linha Γ.
´ ´ ´
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 36

71. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´
Campos Eletromagneticos:
E(x, t)
⇒ 6 componentes
B(x, t)
ˆ ´
Interpendencia dos campos eletromagneticos: E(x, t) e B(x, t),
1d
E(x, t) · dl = − ˆ
B(x, t) · nds
Γ c dt S
e
1d 4π
B(x, t) · dl = ˆ
E(x, t) · nds + ˆ
(x, t) · nds
Γ c dt S c S
onde S e qualquer area aberta, cuja borda e a linha Γ.
´ ´ ´
˜ ˜
Nao temos 6 graus de liberdade: Porque nao trabalhar com campos
com menos graus de liberdade?
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 36

72. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
Campos Auxiliares
´
Lei de Gauss para o campo magnetico:
∇ · B(x, t) = 0 =⇒ B(x, t) = ∇ × A(x, t),
´
onde A(x, t) e o potencial vetor.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 36

73. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
Campos Auxiliares
´
Lei de Gauss para o campo magnetico:
∇ · B(x, t) = 0 =⇒ B(x, t) = ∇ × A(x, t),
´
onde A(x, t) e o potencial vetor.
¸˜
Lei de inducao de Faraday:
1 ∂ B(x, t) 1 ∂ A(x, t)
∇ × E(x, t) = − =⇒ ∇ × E(x, t) + = 0.
c ∂t c ∂t
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 36

74. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
Campos Auxiliares
´
Lei de Gauss para o campo magnetico:
∇ · B(x, t) = 0 =⇒ B(x, t) = ∇ × A(x, t),
´
onde A(x, t) e o potencial vetor.
¸˜
Lei de inducao de Faraday:
1 ∂ B(x, t) 1 ∂ A(x, t)
∇ × E(x, t) = − =⇒ ∇ × E(x, t) + = 0.
c ∂t c ∂t
¸˜
Solucao geral:
1 ∂ A(x, t)
E(x, t) + = −∇A0 (x, t),
c ∂t
onde A0 (x, t) e o potencial escalar.
´
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 36

75. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
Campos Auxiliares
´
Lei de Gauss para o campo magnetico:
∇ · B(x, t) = 0 =⇒ B(x, t) = ∇ × A(x, t),
´
onde A(x, t) e o potencial vetor.
¸˜
Lei de inducao de Faraday:
1 ∂ B(x, t) 1 ∂ A(x, t)
∇ × E(x, t) = − =⇒ ∇ × E(x, t) + = 0.
c ∂t c ∂t
¸˜
Solucao geral:
1 ∂ A(x, t)
E(x, t) + = −∇A0 (x, t),
c ∂t
onde A0 (x, t) e o potencial escalar.
´
Graus de liberdade: (E(x, t), B(x, t)): 6 graus de liberdade
(A0 (x, t), A(x, t)): 4 graus de liberdade.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 36

76. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
Lembrando:
1 ∂ A(x, t)
B(x, t) = ∇ × A(x, t) e E(x, t) = − − ∇A0 (x, t).
c ∂t
Para cada conjunto de campos f´sicos (E(x, t), B(x, t)), os campos
ı
auxiliares (A0 (x, t), A(x, t)) sao unicos?
˜ ´
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 36

77. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
Lembrando:
1 ∂ A(x, t)
B(x, t) = ∇ × A(x, t) e E(x, t) = − − ∇A0 (x, t).
c ∂t
Para cada conjunto de campos f´sicos (E(x, t), B(x, t)), os campos
ı
auxiliares (A0 (x, t), A(x, t)) sao unicos?
˜ ´
Como: ∇ × (∇G(x, t)) = 0, entao se
˜
A′ (x, t) = A(x, t) + ∇G(x, t),
obtemos
∇ × A′ (x, t) = ∇ × A(x, t) + ∇ × (∇G(x, t))
= ∇ × A(x, t) = B(x, t).
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 36

78. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
Lembrando:
1 ∂ A(x, t)
B(x, t) = ∇ × A(x, t) e E(x, t) = − − ∇A0 (x, t).
c ∂t
Para cada conjunto de campos f´sicos (E(x, t), B(x, t)), os campos
ı
auxiliares (A0 (x, t), A(x, t)) sao unicos?
˜ ´
Como: ∇ × (∇G(x, t)) = 0, entao se
˜
A′ (x, t) = A(x, t) + ∇G(x, t),
obtemos
∇ × A′ (x, t) = ∇ × A(x, t) + ∇ × (∇G(x, t))
= ∇ × A(x, t) = B(x, t).
Os potenciais A(x, t) e A′ (x, t) geram o mesmo campo magnetico!!!!!
´
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 36

79. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´
Campo eletrico:
1 ∂ A(x, t)
E(x, t) = − − ∇A0 (x, t).
c ∂t
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 21 / 36

80. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´
Campo eletrico:
1 ∂ A(x, t)
E(x, t) = − − ∇A0 (x, t).
c ∂t
Potenciais vetores A(x, t) e A′ (x, t), onde
A′ (x, t) = A(x, t) + ∇G(x, t)
˜ ´
nao geram o mesmo campo eletrico,
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 21 / 36

81. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´
Campo eletrico:
1 ∂ A(x, t)
E(x, t) = − − ∇A0 (x, t).
c ∂t
Potenciais vetores A(x, t) e A′ (x, t), onde
A′ (x, t) = A(x, t) + ∇G(x, t)
˜ ´
nao geram o mesmo campo eletrico, a menos que simultaneamente:
0 1 ∂G(x, t)
A′ (x, t) ≡ A0 (x, t) − .
c ∂t
Neste caso:
0 1 ∂ A′ (x, t) 1 ∂ A(x, t)
−∇A′ (x, t) − = −∇A0 (x, t) −
c ∂t c ∂t
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 21 / 36

82. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
´
Campo eletrico:
1 ∂ A(x, t)
E(x, t) = − − ∇A0 (x, t).
c ∂t
Potenciais vetores A(x, t) e A′ (x, t), onde
A′ (x, t) = A(x, t) + ∇G(x, t)
˜ ´
nao geram o mesmo campo eletrico, a menos que simultaneamente:
0 1 ∂G(x, t)
A′ (x, t) ≡ A0 (x, t) − .
c ∂t
Neste caso:
0 1 ∂ A′ (x, t) 1 ∂ A(x, t)
−∇A′ (x, t) − = −∇A0 (x, t) −
c ∂t c ∂t
= E(x, t).
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 21 / 36

83. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
0
Os potenciais (A0 (x, t), A(x, t)) e (A′ (x, t), A′ (x, t)) relacionados atraves
´
¸˜
das transformacoes de calibre:
0 1 ∂G(x, t)
A′ (x, t) ≡ A0 (x, t) −
c ∂t
′
A (x, t) ≡ A(x, t) + ∇G(x, t)
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 36

84. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
0
Os potenciais (A0 (x, t), A(x, t)) e (A′ (x, t), A′ (x, t)) relacionados atraves
´
¸˜
das transformacoes de calibre:
0 1 ∂G(x, t)
A′ (x, t) ≡ A0 (x, t) −
c ∂t
′
A (x, t) ≡ A(x, t) + ∇G(x, t)
geram os mesmos campos f´sicos: E(x, t) e B(x, t).
ı
˜
Por que E(x, t) e B(x, t) sao chamados de campos f´sicos?
ı
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 36

85. ´ ¸˜
Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
0
Os potenciais (A0 (x, t), A(x, t)) e (A′ (x, t), A′ (x, t)) relacionados atraves
´
¸˜
das transformacoes de calibre:
0 1 ∂G(x, t)
A′ (x, t) ≡ A0 (x, t) −
c ∂t
′
A (x, t) ≡ A(x, t) + ∇G(x, t)
geram os mesmos campos f´sicos: E(x, t) e B(x, t).
ı
˜
Por que E(x, t) e B(x, t) sao chamados de campos f´sicos?
ı
ı ´
Uma part´cula com carga eletrica, na presenca de campos
¸
´
eletromagneticos sente a forca de Lorentz:
¸
d2 x(t) v(t)
m = eE(x, t) + e × B(x, t).
dt2 c
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 36

86. Espaco de Minkowski
¸
Espaco de Minkowski
¸
Mecanica nao-relativ´stica: v ≪ c, sendo c a velocidade da luz.
ˆ ˜ ı
´
O tempo e o mesmo em todos os referenciais inerciais.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 36

87. Espaco de Minkowski
¸
Espaco de Minkowski
¸
Mecanica nao-relativ´stica: v ≪ c, sendo c a velocidade da luz.
ˆ ˜ ı
´
O tempo e o mesmo em todos os referenciais inerciais.
ˆ <
Mecanica relativ´stica: v ∼ c.
ı
´ ´
Cada referencial tem o seu conjunto de reguas e relogios.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 36

88. Espaco de Minkowski
¸
Espaco de Minkowski
¸
Mecanica nao-relativ´stica: v ≪ c, sendo c a velocidade da luz.
ˆ ˜ ı
´
O tempo e o mesmo em todos os referenciais inerciais.
ˆ <
Mecanica relativ´stica: v ∼ c.
ı
´ ´
Cada referencial tem o seu conjunto de reguas e relogios.
Evento f´sico: caracterizado por x e t.
ı
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 36

89. Espaco de Minkowski
¸
Espaco de Minkowski
¸
Mecanica nao-relativ´stica: v ≪ c, sendo c a velocidade da luz.
ˆ ˜ ı
´
O tempo e o mesmo em todos os referenciais inerciais.
ˆ <
Mecanica relativ´stica: v ∼ c.
ı
´ ´
Cada referencial tem o seu conjunto de reguas e relogios.
Evento f´sico: caracterizado por x e t.
ı
´ ´
A velocidade das ondas eletromagneticas (luz) e c em todos os
referenciais ⇒ sistema relativ´stico.
ı
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 36

90. Espaco de Minkowski
¸
Espaco de Minkowski
¸
Mecanica nao-relativ´stica: v ≪ c, sendo c a velocidade da luz.
ˆ ˜ ı
´
O tempo e o mesmo em todos os referenciais inerciais.
ˆ <
Mecanica relativ´stica: v ∼ c.
ı
´ ´
Cada referencial tem o seu conjunto de reguas e relogios.
Evento f´sico: caracterizado por x e t.
ı
´ ´
A velocidade das ondas eletromagneticas (luz) e c em todos os
referenciais ⇒ sistema relativ´stico.
ı
´
H. Minkowski (1908): formalismo matematico em que o espaco e o
¸
˜ ¸˜
tempo formam um espaco em 4-dimensoes: quadri-vetor posicao: (ct, x).
¸
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 36

91. Espaco de Minkowski
¸
Exemplo de escalares no espaco Euclideano
¸
´
vetor: e independente dos eixos coordenados escolhidos.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 36

92. Espaco de Minkowski
¸
Exemplo de escalares no espaco Euclideano
¸
´
vetor: e independente dos eixos coordenados escolhidos.
´
escalar: um numero que e o mesmo em qualquer conjunto de eixos
´
coordenados.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 36

93. Espaco de Minkowski
¸
Exemplo de escalares no espaco Euclideano
¸
´
vetor: e independente dos eixos coordenados escolhidos.
´
escalar: um numero que e o mesmo em qualquer conjunto de eixos
´
coordenados.
Exemplos:
i) modulo de um vetor: |x|
´
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 36

94. Espaco de Minkowski
¸
Exemplo de escalares no espaco Euclideano
¸
´
vetor: e independente dos eixos coordenados escolhidos.
´
escalar: um numero que e o mesmo em qualquer conjunto de eixos
´
coordenados.
Exemplos:
i) modulo de um vetor: |x|
´
ii) produto escalar entre dois vetores u e v
u · v = |u||v| cos α
= ux vx + uy vy = u′ v′ + u′ v′ ,
x x y y
ˆ
sendo α o angulo entre os vetores u e v.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 36

95. Espaco de Minkowski
¸
¸˜
Transformacoes de Lorentz
y S y’ S’
V
x’
x
Figura 3.2
¸˜
Relacao entre as quadri-coordenadas de um mesmo evento, escritas
em dois referenciais inerciais que possuem movimento relativo ao longo
¸˜
da direcao x:
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 25 / 36

96. Espaco de Minkowski
¸
¸˜
Transformacoes de Lorentz
y S y’ S’
V
x’
x
Figura 3.2
¸˜
Relacao entre as quadri-coordenadas de um mesmo evento, escritas
em dois referenciais inerciais que possuem movimento relativo ao longo
¸˜
da direcao x:
0 1
x′ = γ(x0 − βx1 ) e x′ = γ(−βx0 + x1 ),
0
sendo x′ = ct′ e x0 = ct, e
V
β=
c
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 25 / 36

97. Espaco de Minkowski
¸
¸˜
Transformacoes de Lorentz
y S y’ S’
V
x’
x
Figura 3.2
¸˜
Relacao entre as quadri-coordenadas de um mesmo evento, escritas
em dois referenciais inerciais que possuem movimento relativo ao longo
¸˜
da direcao x:
0 1
x′ = γ(x0 − βx1 ) e x′ = γ(−βx0 + x1 ),
0
sendo x′ = ct′ e x0 = ct, e
V
β= ⇒ 0≤β≤1
c
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 25 / 36

98. Espaco de Minkowski
¸
¸˜
Transformacoes de Lorentz
y S y’ S’
V
x’
x
Figura 3.2
¸˜
Relacao entre as quadri-coordenadas de um mesmo evento, escritas
em dois referenciais inerciais que possuem movimento relativo ao longo
¸˜
da direcao x:
0 1
x′ = γ(x0 − βx1 ) e x′ = γ(−βx0 + x1 ),
0
sendo x′ = ct′ e x0 = ct, e
V 1
β= ⇒ 0≤β≤1 e γ=
c 1 − β2
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 25 / 36