Mecânica Clássica X Mecânica Quântica

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MECÂNICA CLÁSSICA X MECÂNICA QUÂNTICA
Maria Teresa Thomaz
Instituto de Física, Universidade Federal Fluminense, RJ

1. Introdução

Quando as pessoas começam o estudo da Mecânica Quântica e suas conseqüências, em geral se assustam por não
poderem usar o seu senso comum para prever os resultados decorrentes dessa teoria.

A teoria da Mecânica Quântica se propõe a descrever a natureza para escalas de distância de 10-10 m, que corresponde
ao diâmetro atômico. No entanto, no nosso dia-a-dia estamos acostumados a tratar com objetos de comprimento de
pelo menos 0,1mm, ou seja, 10-4 m (espessura de um fio de cabelo, etc ... ). Certamente a pergunta que nos fazemos
é: Por que os fenômenos da natureza parecem ser tão distintos naquelas escalas de tamanho, a ponto do nosso senso
comum não poder ser usado para nos guiar na resposta dos problemas da física do átomo?

Para tentar elucidar essa questão, apresentaremos a seguir uma comparação entre cinemática e dinâmica da Mecânica
Clássica e da Mecânica Quântica.

Começamos comparando as cinemáticas das duas teorias, uma vez que as quantidades cinemáticas são utilizadas
posteriormente para descrever as dinâmicas de ambas.

2. Cinemáticas: Clássica x Quântica

2.1. Cinemática da Mecânica Clássica

A Mecânica se interessa pela descrição do movimento dos corpos. Se jogamos uma bala para o ar através de um canhão,
o problema central da cinemática será o de saber exatamente onde a bala está em cada instante - a posição da bala -
assim como saber a direção e a rapidez com que ela se move, ou seja, conhecer sua velocidade em cada momento.

De modo geral, podemos dizer que conhecer o estado de movimento de um objeto corresponde a dizer que: dados
posição e velocidade iniciais do objeto em estudo, seremos capazes de, em qualquer outro instante t, saber exatamente
(a menos, é claro, dos inevitáveis erros de medida) a posição e a velocidade deste objeto. Em outras palavras: para se
determinar completamente o estado de um corpo na Mecânica Clássica, necessitamos conhecer exatamente em
cada instante a sua posição e a sua velocidade. No entanto, dizer que
conhecemos simultaneamente posição e velocidade é equivalente a dizer
que conhecemos a trajetória que o objeto percorre (pois a posição localiza o
objeto em um determinado instante, e a velocidade indica a tangente à trajetória
naquela posição).

Em resumo, podemos dizer que os objetos descritos pela Mecânica Clássica
r
seguem trajetórias e a sua cinemática é dada pelos vetores posição r e
r
velocidade v . O conhecimento simultâneo desses dois vetores nos dá toda a
informação que podemos ter sobre o movimento dos objetos.

2.2. Cinemática da Mecânica Quântica

Na Mecânica Quântica temos como um dos postulados básicos o Princípio da Incerteza de Heisenberg, que é
matematicamente expresso por:
h
∆x ⋅ ∆p ≥ (1)
4π
onde Dx é a incerteza na posição da partícula, Dp a incerteza no seu momento linear (p = mv) e h a constante de Planck,
cujo valor é 6,63 x 10-34 Js.

Uma comparação
A constante de Planck tem a mesma dimensão de uma grandeza física denominada
momento angular – que está para o movimento de rotação assim como o momento
linear está para o movimento de translação. Vamos calcular o momento angular de um
corpo macroscópico e comparar seu valor com a constante de Planck. Por exemplo:
quando um jogador pega uma bola de basquete (massa da ordem de 0,5kg), e a põe a
girar na ponta do dedo, efetuando 5 rotações por segundo, ela adquire um momento
angular da ordem de 10-1 Js, e isso é cerca de 1032 vezes maior que h !!!!

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Podemos reescrever a equação (1) de modo a explicitar a incerteza no valor do momento linear: ela é inversamente
proporcional à incerteza que a posição da partícula possui, ou seja,

h 1
∆p ≥ ⋅ (2)
4 π ∆x

Ora, a constante de Planck é pequena; no entanto, ela não é nula. Por isso, se conhecemos exatamente a posição da
partícula (ou seja, Dx = 0), a incerteza no valor do momento da partícula é total (Dp ® ¥). Portanto, o momento linear
da partícula pode assumir qualquer valor no intervalo (- ¥, ¥).
Em resumo: no mundo atômico, no qual o valor da constante de Planck não é desprezível como o é no mundo macroscópico
(lembra do exemplo da bola de basquete?), não é possível conhecer simultaneamente a posição exata x(t) e o
momento linear exato p(t) da partícula quântica. Como conseqüência dessa impossibilidade, os objetos quânticos não
seguem trajetória. Esta é a diferença fundamental das características do movimento dos objetos decorrentes da
Mecânica Clássica e da Mecânica Quântica.

Assim, como as quantidades utilizadas na cinemática clássica não podem ser usadas para descrever completamente
o estado quântico de um objeto, precisamos de novas quantidades para descrever esse estado. É o que veremos a
seguir. Antes, porém, acompanhe o exemplo do quadro abaixo.

Outro exemplo do mundo macroscópico

Os efeitos quânticos relacionados ao
princípio da incerteza não são percebidos
no nosso dia-a-dia. Para exemplificarmos
como esses efeitos são desprezíveis em
objetos macroscópicos, consideremos um
lápis que se equilibra sobre a sua ponta de
0,1mm, conforme mostra a figura.
Sabemos que o lápis se manterá
equilibrado sobre a sua ponta enquanto a
linha vertical que contém o seu centro de
massa (CM) passar através da sua ponta,
de maneira que o torque de todas as forças
que agem sobre o lápis em relação à sua
ponta é zero e ele não roda em relação a
este ponto, mantendo o seu equilíbrio.
Portanto, enquanto o lápis se encontra em
equilíbrio, podemos afirmar que a posição
do CM é conhecida dentro da precisão Dx = 0,1 mm. Esta incerteza na localização do CM
leva a uma incerteza Dp no momento p do CM. Assumindo que a massa do lápis seja igual a
5g, vejamos quanto tempo o lápis levaria para cair devido ao movimento que ele adquire, em
função do Princípio da Incerteza de Heisenberg. Como só estamos interessados na ordem de
grandeza do fenômeno, vamos assumir que:

h 1
∆p = m ⋅ ∆v ~ ⋅ ⇒ ∆v ~ 10 −28 m / s (verifique!!)
4π ∆x

Atribuindo essa velocidade ao CM (pois ele estava inicialmente em repouso), e percebendo
que, para o lápis tombar, basta que o CM se desloque Dx/2 = 0,05 mm = 5 x 10-5 m, podemos
calcular o tempo para que o lápis tombe devido ao efeito quântico:
5 ⋅ 10−5
t= − 28
= 5 ⋅ 1023 s
10

Para termos uma idéia do significado deste tempo, basta compará-lo com o tempo de vida do
Universo, tUniv ~ 5 x 1017 s (15 bilhões de anos). Temos então que:

t ~ 106 x tUniv !!!

Você há de concordar que é muito mais provável o lápis tombar devido a uma brisa que o
balance do que devido a efeitos quânticos. Mas na escala do átomo, como as coisas ocorrem?

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3. Dinâmicas: Clássica x Quântica

O que se deseja da Física em cada fenômeno? Ela deve fornecer condições para que, conhecido o estado inicial de um
sistema sob estudo, seja possível determinar o seu novo estado após ter decorrido um tempo t. Desejamos que a Física
seja capaz de determinar a dinâmica de cada fenômeno, ou seja, como ele evolui no tempo.

Nesta apresentação nos restringiremos ao estudo da dinâmica de sistemas unidimensionais (em uma dimensão
espacial, que denominaremos x) e conservativos (a energia total do sistema se conserva).

3.1. Dinâmica Clássica

A dinâmica da Mecânica Clássica é dada pela 2a lei de Newton, que pode ser expressa por:

F=ma (3)

sendo (m) a massa da partícula, (a) a sua aceleração e (F) a força externa a que ela está sujeita. Como a equação (3),
que determina a dinâmica da partícula, nos permite obter a aceleração, precisamos de mais duas informações precisas
sobre o movimento da partícula para obter a sua trajetória x(t). Assim, dados:

i) condições iniciais: x(0) e v(0)
(4)
ii) 2a lei de Newton: F = ma,

podemos determinar a função x(t).

Como exemplo da obtenção da trajetória de uma partícula clássica pela 2a lei de Newton,
consideremos um carro de massa m = 1,0 x 103 kg, inicialmente em repouso (v(0) = 0) na
posição x(0) = 10m, que é submetido a uma força resultante horizontal, de módulo constante
F = 3,0 x 103 N. A partir da 2a lei de Newton, encontramos a aceleração:

a = 3,0m/s2, que juntamente com as condições iniciais, nos permite escrever:

v(t) = 3,0 t e x(t) = 10 + 3,0 t + 1,5 t2

Observação

Mesmo nas situações em que a força resultante não é constante – considere como
exemplo a situação anterior, a resultante agora sendo dada por F – Rar, esta última
variando no decorrer do tempo – métodos matemáticos de resolução do que se denomina
uma equação diferencial permitem que se determine a função x(t). Portanto, conhecida
a força externa F(t) que age sobre o objeto e as suas posição x(0) e velocidade v(0)
iniciais, a 2a lei de Newton nos determina exatamente a posição do objeto em qualquer
outro instante t. Concluímos que a dinâmica clássica é determinística.

3.2. Dinâmica Quântica

Como já discutimos, as quantidades x(t) e p(t) não podem ser usadas para descrever o estado de um sistema quântico
devido ao Princípio da Incerteza de Heisenberg. No entanto, a lei de conservação da energia,

mv 2 p2
E = Ec + Ep ⇒ E= + Ep ( x ) ⇒ E= + Ep ( x ) (5)
2 2m

onde E é a energia mecânica total, p o momento linear da partícula, m a sua massa e Ep(x) a energia potencial a que a
partícula está sujeita, continua a ser válida na escala atômica. A diferença é que os termos que aparecem na equação
(5) são reinterpretados, como postularemos agora.

Na Mecânica Quântica, os “objetos” que aparecem nos dois lados da equação (5) – x, p e E – ganham o “status” de
operadores (vide quadro a seguir), que substituídos naquela equação, originam a chamada equação de Schrödinger,
que dá a dinâmica – evolução no tempo – dos sistemas quânticos não-relativísticos (sim, pois ainda temos a Mecânica
Quântica relativística, que deve ser utilizada para objetos cujas velocidades são comparáveis à da luz! Mas isto é
assunto para outro artigo...):

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h 2 ∂ 2Ψ(x, t) ∂Ψ( x, t )
- + V( x )Ψ(x, t) = i h ⋅ (6a)
2m ∂x 2 ∂t
ou, de modo mais compacto,
∂Ψ( x, t )
H Ψ(x, t) = i h ⋅ (6b)
∂t
h
onde i é o imaginário puro e h = , sendo h a constante de Planck.
2π

Observações

1. De modo geral, chamamos de operador a algo que executa uma transformação em uma
função. Um exemplo bem simples: podemos definir o operador D2, que aplicado a uma função,
divide-a por dois. Assim, se f(x) = 4x2 + 10, teremos que D2f(x) = 2x2 + 5. Claro que os
operadores da mecânica quântica são “um pouquinho” mais complexos que o deste exemplo.

2. No nível de conhecimento matemático em que você se encontra, a equação de Schrödinger
nada (ou quase nada) significa para você. Mas alguns conceitos básicos dessa equação
(estamos nos referindo à forma 6b da equação) você poderá compreender:

H – denominado operador hamiltoniano – corresponde ao que classicamente denominamos a
energia total do sistema, no caso de ele ser conservativo;
∂
– operador matemático denominado derivada parcial relativa ao tempo – mede a taxa com
∂t
que a função sobre a qual é aplicada varia como o tempo;

Y(x, t) – é uma função que depende de x e de t, denominada função de onda. É ela que
descreve o sistema quântico e contém toda a informação disponível sobre ele. A função de
onda não é uma quantidade que possa ser medida experimentalmente (como por exemplo
podem ser a posição e a velocidade de uma partícula clássica), de forma que em geral esta
função pode ser complexa. Para relacionarmos a função de onda Y(x, t) com os fenômenos
atômicos na natureza, é utilizada a interpretação de que a Mecânica Quântica é uma teoria
probabilística (em vez de determinística, como é a mecânica clássica), em que IY(x, t)I2 dá
a probabilidade de a partícula ser encontrada na posição x no instante t.

3.2.a. Por que função de onda?

Usualmente afirmamos que a equação de Schrödinger (equação 6) é uma equação de ondas. Mas o que caracteriza
uma equação de ondas? Entre outras coisas, o princípio da superposição, ou seja, o fato de duas (ou mais) ondas
poderem atingir a mesma posição no mesmo instante e interferirem uma com a outra!!!!

É do seu conhecimento que tal fato ocorre com as ondas luminosas. A figura (a) a seguir relembra como se pode
analisar a interferência luminosa: na superfície do anteparo se projeta a luz emitida através dos dois orifícios S1 e S2, que
“funcionam” como duas fontes luminosas pontuais e coerentes. O padrão de interferência que se forma sobre o anteparo
está representado na figura (b).

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Este fenômeno de interferência também ocorre na Mecânica Quântica, uma vez que nesta teoria os objetos
são descritos por funções de onda, e o princípio de superposição é válido!!! De forma análoga aos fenômenos
luminosos, a distribuição de probabilidade de encontrar uma partícula quântica - por exemplo, um elétron - num certo
ponto de um anteparo, tendo ela dois orifícios pontuais através dos quais ela pode passar, está representada na figura
a seguir:

Os elétrons emitidos pelo emissor atravessam a parede através de duas fendas (a) e são
detectados sobre o anteparo. As probabilidades P1(x) = IY1(x, t)I2 e P2(x) = IY2(x, t)I2 do
elétron ser detectado na posição (x) sobre o anteparo, se apenas a fenda correspondente
estiver aberta, é mostrada em (b). A distribuição de probabilidade P12(x) de o elétron ser
detectado na posição (x) se ambas as fendas estiverem abertas está representada em (c).
Observe que o comportamento do elétron nesta experiência é análogo ao caso eletromagnético
(interferência luminosa), e completamente distinto do que prevê a Mecânica Clássica!

Pelo que discutimos nesta seção, fica claro que quando desejamos buscar alguma experiência do dia-a-dia para
entendermos o que acontece no mundo quântico, devemos procurar analogias no estudo da luz na região da Óptica
Física (Eletromagnetismo). Tanto o Eletromagnetismo quanto a Mecânica Quântica são fenômenos ondulatórios.

4. Algumas conseqüências da equação de Schrödinger

Vejamos agora duas aplicações da equação de Schrödinger a situações que ocorrem no âmbito do átomo, e que tornam
claras algumas das principais diferenças entre as mecânicas clássica e quântica.

4.1. Quantização da Energia

Para compararmos a diferença entre os resultados previstos pela
Mecânica Clássica e a Mecânica Quântica do mesmo sistema físico,
consideremos o átomo de hidrogênio. Trataremos apenas o elétron
como a partícula quântica.

O elétron está sujeito a uma força de atração elétrica por parte do
núcleo. Pela Mecânica Clássica de Newton, pode-se demonstrar que
o elétron “sente” um potencial efetivo que está representado no gráfico
ao lado (r é a distância do elétron ao próton).

Para o elétron com energia total E dada por Emin £ E < 0, o seu movimento
é restrito à região do espaço em que rmin £ r £ rmax. Dentro do intervalo
(Emin, 0), não há pela mecânica clássica nenhum impedimento para
que o valor da energia total E do elétron possa variar continuamente.
Em outras palavras: classicamente, todas as órbitas são permitidas
para o elétron ligado ao núcleo, a sua distância ao núcleo dependendo
apenas de sua energia total.

Já ao considerarmos a equação de Schrödinger para o caso do átomo de hidrogênio, com o elétron ligado ao núcleo,
encontramos que apenas os seguintes valores de energia são permitidos (a energia é negativa, pois E = 0 corresponderia
ao elétron “arrancado” do átomo) :
−13,6 eV
En = (7)
n2

onde n = 1, 2, 3, ... e 1 eV = 1,6 x 10-19 J

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Como no caso clássico, o estado quântico do elétron também possui um valor mínimo (Emin) para a energia do estado
ligado, que para n = 1 vale:

Emin = -13,6 eV (8)

A separação entre dois valores consecutivos de energia do estado quântico do elétron é da ordem de -13,6 eV = -2,2 x 10-18 J.
Esta escala de energia é muito menor que a energia disponível em objetos macroscópicos. Este fato poderia fazer com
que pensássemos não ser possível perceber nem medir a discretização da energia dos estados ligados do átomo de
hidrogênio. Apesar da escala de energia na equação (7) ser diminuta, o fato do espectro de energia dos estados ligados
do átomo de hidrogênio ser discreto traz conseqüências mensuráveis. Como? A energia total se conserva a nível
microscópico; assim, quando o elétron realiza a transição de um nível de energia mais elevado para outro de energia
menor, essa diferença de energia entre os estados do átomo de hidrogênio é emitida na forma de luz:

 1 1 ∆E
∆E = Ei − Ef = 13,6eV  2 − 2  = hf ⇒ f= (9)
n  h
 f ni 

onde DE é a energia que o elétron perde ao realizar a transição do estado quântico inicial ni para o estado quântico final
nf. Esta diferença de energia é emitida na forma de uma onda eletromagnética (luz) de freqüência f. Como ni e nf só
assumem valores inteiros e positivos, vemos da equação (9) que a Mecânica Quântica prevê que o átomo só emite
certas raias com freqüências bem definidas.

Qual das duas teorias descreve corretamente o átomo de hidrogênio? O resultado experimental é apresentado na figura
a seguir, em que cada elemento da natureza é caracterizado pelas suas raias de emissão e absorção, mostrando que
a Mecânica Quântica descreve corretamente sistemas atômicos.

Em (a): raias de emissão na região visível do espectro dos elementos hidrogênio, mercúrio e
neônio; em (b): raias de absorção do hidrogênio.

Concluindo: quando a partícula está num estado ligado, como é o caso do elétron no átomo, os valores que E pode
assumir são discretos, enquanto que a descrição clássica do mesmo sistema permite que a energia E da partícula varie
continuamente. A discretização dos valores da energia para estados ligados corresponde à 1a Quantização da Mecânica
Quântica.

4.2. Tunelamento

O fenômeno de tunelamento, que aparece em teorias ondulatórias, é outro fenômeno que distingue de forma clara as
conseqüências da Mecânica Clássica das da Mecânica Quântica.

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Consideremos uma partícula num movimento
unidimensional, sujeita à energia potencial Ep(x),
descrita na figura ao lado. Para uma partícula clássica
com energia total E tal que 0 < E < E0, a conservação
da energia do sistema nos dá (lembrando que Ec não
pode assumir valores negativos):

E = E c + Ep ( x ) ⇒ E c = E − Ep ( x ) ≥ 0 (10)

Como estamos considerando o caso em que 0 < E < E0, a equação (10) implica que o movimento clássico da partícula
ocorre em duas regiões distintas: x £ 0 ou x ³ a. A região 0 < x < a é chamada de região classicamente proibida, uma
vez que nesta região espacial temos que Ec < 0:

Feixe de partículas clássicas incidentes pela esquerda sobre a “barreira” de potencial Ep(x). A
energia E das partículas incidentes é menor que o valor máximo da energia potencial Ep(x). O
feixe é refletido pelo potencial (a mesma coisa ocorreria para um feixe vindo da direita).

Já na Mecânica Quântica, a conservação da energia é descrita pela equação de Schrödinger para estados com energia
bem definida. Esta equação possui solução para toda a região de x no intervalo (-¥, ¥), o que significa que existe a
probabilidade de a partícula ser encontrada na região “classicamente proibida”:

A primeira das figuras acima mostra a função de onda de uma partícula que vem da
esquerda em direção à barreira de energia potencial. Vemos que na região classicamente
permitida: (x £ 0 ou x ³ a), a função de onda é oscilatória, enquanto que na região
classicamente proibida, 0 < x < a, a função de onda é uma função monotonicamente
decrescente. Apesar da função de onda diminuir muito à medida que a partícula adentra
a região classicamente proibida, temos uma probabilidade não nula de encontrar a
partícula do outro lado da barreira, apesar de sua energia ser menor do que o valor
máximo da energia potencial (E < E0).

Será que este fenômeno é observado experimentalmente? Sim, temos emissão espontânea das partículas a (núcleo do
átomo de hélio, 4He2), submetidas ao potencial nuclear apresentado de forma esquemática na figura a seguir, apesar de
a energia das partículas a ser menor que o valor máximo da barreira do potencial:

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Este texto é uma adaptação autorizada de versão inicialmente publicada no projeto “Abordagem de
Física Moderna e Contemporânea no 2o Grau”, realizado pelo Depto. de Física da Universidade
Federal Fluminense, com o apoio CAPES/FAPERJ. Organizadores: Marly da Silva Santos, Lucia da
Cruz Almeida e Isa Costa.

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