Integrais de Trajetória

Integrais de Trajet´oria
Notas de Aula
Maria Teresa Thomaz
1997
1

`A todos aqueles que se sentem capazes
de lutar para realizar seus sonhos.
2

Prefácio
... o segredo é inimigo da ciência e a liberdade
de comunica¸cão e de pesquisa são vitais para
o seu florescimento.
H. Moysés Nussenzveig
Curso de F´ısica Básica; 1-Mecânica
Estas Notas de Aula sobre Integrais de Trajetória, foram apresentadas,
num curso informal, a vários alunos do Curso de Pós-Gradua¸cão em F´ısica da
UFF no primeiro semestre de 1995. Este conjunto de aulas surgiu da minha
incapacidade de continuar resistindo as reclama¸cões da Iraziet (Iraziet da
Cunha Charret) de que apesar de eu ter as notas prontas sobre o tópico, me
negar a apresentá-las na forma de um mini-curso.
É claro, que reclama¸cão não tem estado fundamental, e logo em seguida
surgiram as reclama¸cões, não só da Iraziet, de que as notas que estavam
escritas a lápis eram dif´ıceis de serem xerocadas, dada a minha letra,ser
pequena e não ter margem nas folhas escritas. A´ı surgiu o Toninho (Antônio
Tavares da Costa Jr.), que com um pouco de pressão come¸cou a digitar essas
notas. Ele não é responsável por nenhuma incorre¸cão de conteúdo no texto,
mas com a sua paciência, modificou parte do texto manuscrito de forma a
que tivéssemos no final um texto menos informal. Sem a participa¸cão do
Toninho, essas notas jamais teriam as figuras que fazem parte do seu corpo!!!
O tempo foi passando, o mini-curso terminou, as notas não ficaram prontas.
O Toninho foi criando imunidade as minhas pressões, não completava as
corre¸cões necessárias na digita¸cão e no conteúdo das Notas de Aula. Foi
a´ı que o Antonio (Antonio Cesar Aguiar Pinto) e Onofre (Onofre Rojas dos
Santos) fizeram a loucura de suas vidas: trabalhar no Mestrado comigo. Ora,
nada melhor para um futuro campista do que come¸car a estudar Integrais de
Trajetória! Os dois então fizeram revisão de pelo menos metade das Notas de
3

Aula. Como as reclama¸cões sobre a entrega das notas de aula digitadas con-
tinuaram, nada melhor do que colocar quem reclama para trabalhar. Desta
forma, a Iraziet fez a revisão da parte das notas que ainda faltava.
Essas Notas sobre Integrais de Trajetótria têm por objetivo mostrar os
cálculos simples, mas trabalhosos para definir as integrais de trajetória. As
integrais de trajetória são hoje ferramentas básicas nas diversas áreas da
F´ısica. Não procure nesta nota, nada sofisticado, mas o passo a passo que
precisamos fazer para definir e tratar essas integrais. Essas notas foram
escritas, pois apesar de termos hoje inúmeros textos excelentes sobre este
tópico, ao estudá-los, eu sempre senti falta de um texto que desse o detalhe
dos cálculos.
Certamente, as Notas de Aula sobre Integrais de Trajetória ainda têm
muitas corre¸cões a serem feitas. Se você que as ler tiver algumas corre¸cões a
sugerir, lhe serei muito grata, já que esta é a primeira versão das notas.
No futuro próximo quando novamente eu tiver a oportunidade de rea-
presentar este mini-curso, espero fazer novas modifica¸cões inclusive de conteú-
do.
Por último, gostaria de agradecer a todos que insistiram que eu apresen-
tasse o mini-curso, pois só assim essas notas foram resgatadas do seu futuro
de amarelo-arquivo. Não há como deixar de agradecer muito a todo o esfor¸co
do Toninho na digita¸cão dessas notas, e a ajuda inestimável ao Antonio,
Iraziet e Onofre que fizeram a segunda revisão de todo o texto.
Niterói, 26 de mar¸co de 1996.
Maria Teresa Climaco dos Santos Thomaz
Instituto de F´ısica, UFF
4

Prefácio da Segunda Versão
Gostaria de agradecer ao José Abdalla pelo convite para apresentar este
mini-curso aos alunos da Coordena¸cão de Forma¸cão Cient´ıfica do Centro
Brasileiro de Pesquisas F´ısicas /CNPq. Desta forma tive a oportunidade de
rever as minhas notas, no que modifiquei 40% do conteúdo original. En-
tretanto, continua o seguinte mistério: temos um número finito de palavras
e fórmulas, mas infinitos erros!!! Por favor, me avise dos erros que você
encontrar nessas notas.
Niterói, 2 de julho de 1997.
Maria Teresa Climaco dos Santos Thomaz
Instituto de F´ısica, UFF
5

Contents
1 Proposta de Feynman Para uma Nova Formula¸cão da Mecânica
Quântica de Uma Part´ıcula 7
1.1 Sistema Quântico de Uma Part´ıcula: Representa¸cão de Schrödinger
e Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 No¸cões de Derivadas Funcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Fun¸cões de Green de Uma Part´ıcula . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Rela¸cão entre a Mecânica Estat´ıstica e as Integrais de Cam-
inho 30
2.1 Fun¸cão de Parti¸cão e o Funcional Gerador das Fun¸cões de
Green Térmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Rela¸cão entre as Fun¸cões de Green Térmicas e as Fun¸cões de
Green do Espa¸co Euclideano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Integral de Caminho na Teoria de Campos 37
4 Fun¸cões de Green Conexas e Desconexas 42
4.1 Modelo λφ4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Fun¸cões de Vértice, ou Gráficos 1PI (One Particle Irreducible) 60
6 Apêndice I: Métrica 76
7 Apêndice II: Prolegomena de Mecânica
Est´ıstica 77
8 Apêndice III: Fun¸cão de Green da Teoria Livre 79
6

1 Proposta de Feynman Para uma Nova For-
mula¸cão da Mecânica Quântica de Uma Part´ıcula
• Referências Originais:
P.A.M. Dirac, Physik Z. Sowjetunion 3, 64 (1933).
R.P. Feynman , Rev. Mod. Phys. 20, 267 (1948); Phys. Rev. 80.
440 (1950)
• Outras Referências:
E.S. Abers, B.W. Lee, Phys. Rep. 9C, 1 (1973).
H.M. Nussenzveig,Integrais de Trajetória, Escola de Verão Jorge
André Swieca, Part´ıculas e Campos, 1981 (pág. 127).
Obs.: Os artigos originais estão contidos no livro Selected Papers on Quantum
Electrodynamics, editado por J. Schwinger.
1.1 Sistema Quântico de Uma Part´ıcula: Representa-
¸cão de Schrödinger e Heisenberg
A descri¸cão da Mecânica Quântica (MQ) à la Schrödinger e Heisenberg é feita
através da hamiltoniana do sistema. Entretanto, em 1933, Dirac apresenta
uma formula¸cão da Mecânica Quântica usando a lagrangeana do sistema.
Dirac afirma que, classicamente, as formula¸cões lagrangeana e hamiltoniana
são equivalentes, e que, portanto, essa equivalência deve aparecer na M.Q.
Além disso, a formula¸cão lagrangeana é covariante, uma vez que a a¸cão é
um escalar de Lorentz, enquanto a formula¸cão hamiltoniana não o é. A
formula¸cão lagrangeana poderia ser mais facilmente utilizada para se tratar
sistemas quânticos relativ´ısticos.
Basicamente, a proposta de Dirac é que, no limite em que ¯h → 0 a am-
plitude de probabilidade de uma part´ıcula que se encontra no estado |q0(t0)
no instante t0 ser encontrada no estado |q(t) no instante t é dada por
7

q(t)|q0(t0) = e
i
¯h
t
t0
Ldt
, (1)
onde L é a lagrangeana do sistema, e a trajetória escolhida para calcular
a a¸cão é a trajetória CLÁSSICA que tenha como condi¸cão de contorno as
posi¸cões q(t0) e q(t) como estados inicial e final respectivamente.
Na formula¸cão de Feynman, como iremos ver, para um intervalo de tempo
finito, temos que considerar todos os poss´ıveis caminhos que levam da posi¸cão
q(t0) em t = t0 até a posi¸cão q(t), no instante t. A contribui¸cão de cada
caminho para o processo quântico é dada por
e
i
¯h
t
t0
Ldt
, (2)
onde a a¸cão é calculada tomando-se aquela dada trajetória.
Na formula¸cão de Schrödinger e Heisenberg para a MQ, trabalhamos
com operadores que agem sobre vetores de estado, enquanto que na for-
mula¸cão de Feynman trabalharemos apenas com fun¸cões. As três formula¸cões
(Schrödinger, Heisenberg e Feynman) da M.Q. são equivalentes.
Na MQ de operadores existem duas representa¸cões que são as mais usa-
das: a representa¸cão de Schrödinger e a representa¸cão de Heisenberg. Vamos
fazer uma pequena revisão do que são essas duas representa¸cões1
.
i) Representa¸cão de Schrödinger:
a) Dinâmica dos operadores: Seja OS um operador na representa¸cão
de Schrödinger. Na representa¸cão de Schrödinger o operador não varia
no tempo:
dOS
dt
= 0. (3)
1
Estaremos, de agora em diante, usando as unidades naturais, nas quais
¯h = c = 1.
8

b) Dinâmica do vetor de estado: Seja |ψ(t) S um vetor que descreve
um estado quântico na representa¸cão de Schrödinger. A dinâmica dos
vetores de estado nesta representa¸cão é dada por:
i
d|ψ(t) S
dt
= H|ψ(t) S, (4)
onde H é a hamiltoniana total do sistema. Por hipótese, faremos a
descri¸cão quântica de sistemas fechados, de maneira que H é uma cons-
tante do movimento. Usando a equa¸cão de Schrödinger (4) e o fato de
que H é constante no tempo, podemos escrever formalmente que,
|ψ(t) S = e−iH(t−t0)
|ψ(t0) S. (5)
O ´ındice S está presente para lembrar que as quantidades estão sendo
descritas na representa¸cão de Schrödinger.
ii) Representa¸cão de Heisenberg:
a) Dinâmica dos operadores: Seja OH um operador na representa¸cão
de Heisenberg. A dinâmica dos operadores, que não dependem explici-
tamente do tempo, nesta representa¸cão é dada por:
dOH
dt
= i[H, OH], (6)
onde H é a hamiltoniana do sistema. Formalmente, esta equa¸cão tem
como solu¸cão:
OH(t) = eiHt
OH(0)e−iHt
. (7)
b) Dinâmica do vetor de estado: Seja |ψ H um vetor de estado na
representa¸cão de Heisenberg. Nesta representa¸cão os vetores de estado
não variam com o tempo:
9

d|ψ H
dt
= 0. (8)
Essa afirmativa deve ser entendida no seguinte sentido: se o sistema está
no instante t0 no estado |ψ H, no instante t ele estará no mesmo vetor
de estado |ψ H. No entanto, o fato do vetor de estado que descreve
o sistema não evoluir com o tempo não impede que t apare¸ca como
um ´ındice. Vejamos: seja OH(t) um operador na representa¸cão de
Heisenberg, que no instante inicial t0 tenha como autovetores |o, t0 , ou
seja,
OH(t0)|o, t0 = o|o, t0 . (9)
Supondo que a dinâmica do operador OH seja unitária2
, isto é, seja
dada pela eq.(7), aplicamos o operador eiH(t−t0)
no l.d. dos dois termos
da eq.(9) e obtemos que:
eiH(t−t0)
O(t0)e−iH(t−t0)
eiH(t−t0)
|o, t0 = oeiH(t−t0)
|o, t0 . (10)
Comparando a equa¸cão anterior com a eq.(7), escrevemos que
OH(t)|o, t = o|o, t , (11)
sendo que |o, t é definido como:
|o, t = eiH(t−t0)
|o, t0 . (12)
Da eq.(11) vemos que |o, t é autovetor do operador OH(t) com auto-
valor o. Os autovalores são independentes do tempo. O que ocorre
2
Transforma¸cão unitária: se U é um operador unitário, então UU†
= U†
U = 1l ⇔ U†
=
U−1
, sendo 1l, o operador identidade.
10

é que os operadores variam de instante para instante, de forma que o
conjunto completo de seus autovetores também deve variar de instante
a instante. Se num instante t0 |o, t0 é autovetor de OH(t0) com au-
tovalor o, no instante t, |o, t0 não é mais um autovetor de OH(t), e
sua decomposi¸cão espectral na base dos autoestados do operador neste
instante é
|o, t0 =
o
at|o, t . (13)
As representa¸cões de Schrödinger e Heisenberg estão ligadas através de
uma tranforma¸cão unitária,
|ψ(t) S = e−iHt
|ψ, t H, (14)
e
QS = e−iHt
QH(t)eiHt
. (15)
No nosso caso, a matriz de transforma¸cão unitária é:
U(t, 0) = e−iHt
. (16)
A hamiltoniana total do sistema, H, é a mesma nas duas representa¸cões.
O objeto que nos dá informa¸cões f´ısicas sobre o sistema são as probabi-
lidades. Entretanto, a MQ nos dá a evolu¸cão dinâmica das amplitudes de
probabilidade. Vamos então obter as amplitudes de probabilidade nas duas
representa¸cões.Apenas para simplificar a nota¸cão, vamos tratar do problema
quântico de uma part´ıcula em uma dimensão espacial e uma dimensão tem-
poral.
11

Seja F(q , t ; q, t) a amplitude de probabilidade da part´ıcula, estando na
posi¸cão q no instante t, ser encontrada na posi¸cão q no instante t . Temos
então
H q , t |q, t H = F(q , t ; q, t), (17)
que, escrita na representa¸cão de Schrödinger, fica3
F(q , t ; q, t) =H q , t |q, t H = q (t )|e−iH(t −t)
|q(t) . (18)
Vamos agora manipular a amplitude de probabilidade F(q , t ; q, t) =
H q , t |q, t H. Usando o fato de que, em cada instante ti, o conjunto de
autovetores |qi, ti H do operador posi¸cão é completo,
∞
−∞
dqi|qi, ti HH qi, ti| = 1l, (19)
e, subdividindo o intervalo t − t em sub-intervalos infinitesimais , ou seja,
tn = n + t, n = 0, 1, 2, . . . , N + 1, (20)
onde t0 = t e tN+1 = t = (N + 1) + t, temos
F(q , t ; q, t) =
∞
−∞
dq1 . . .
∞
−∞
dqN H q , t |qN , tN HH qN , tN |qN−1, tN−1 H ×
×H qN−1, tN−1|qN−2, tN−2 H . . .H q1, t1|q, t H. (21)
Entretanto4
,
H qi, ti|qi−1, ti−1 H =S qi(ti)|e−iH
|qi−1(ti−1) S, (22)
3
Note que H q , t |q, t H =S q (t )|q(t) S, pois o produto escalar é o mesmo em todas
as representa¸cões obtidas umas das outras através de uma representa¸cão unitária apenas
se os vetores de estado estão definidos no mesmo instante.
4
Por constru¸cão, o vetor de estado: |qi, ti H é autoestado do operador ˆqH(ti). A rela¸cão
entre autoestados deste operador nas representa¸cões de Schrödinger e Heisenberg é definida
pela eq.(14):
12

No limite → 0, a exponencial do operador hamiltoniano pode ser aproxi-
mada por:
e−iH
= e−i(H0+V )
= 1 − i H0 − i V + O( 2
) = e−iH0
e−iV (q)
+ O( 2
), (23)
onde H0 = p2
2m
. Assim, mantendo termos de até primeira ordem em , temos
que
e−iH
≈ e−iH0
e−iV (q)
. (24)
Levando estes resultados na equa¸cão (22) ficamos com
H qi, ti|qi−1, ti−1 H =S qi(ti)|e−iH0
e−iV (q)
|qi−1(ti−1) S. (25)
Nos casos em que o potencial só envolver o operador de posi¸cão, temos
que
H qi, ti|qi−1, ti−1 H =S qi(ti)|e−iH0
|qi−1(ti−1) Se−iV (qi−1)
, (26)
onde, agora, V (qi−1) é uma fun¸cão da coordenada qi−1(ti−1).
Como estamos tratando sistema quântico não-relativ´ıstico em que H0 só
envolve o operador momentum, vamos mudar de base para calcular o produto
escalar do l.d. da eq.(26). Usando a completeza dos autovetores do operador
momento,
|qi(ti) S = e−iHti
|qi, ti H.
Lembrando que |qi(ti) S é o autovetor do operador ˆqS no instante t, ou seja,
ˆqS|qi(ti) S = qi|qi(ti) S.
13

1l =
∞
−∞
dp|p p|, (27)
o produto escalar do l.d. da eq.(26) passa a ser escrito como:
H qi, ti|qi−1, ti−1 H =
∞
−∞
dp
∞
−∞
dp S qi(ti)|p S ×
×S p|e−iH0
|p S S p |qi−1(ti−1) S e−iV (qi−1)
. (28)
Entretanto, sabemos que
S qi(ti)|p S =
eiqip
√
2π
, (29)
S p|e−iH0
|p S = e−i p2
2m δ(p − p ). (30)
Usando estes resultados em (28) obtemos
1
2π
∞
−∞
dp
∞
−∞
dp eiqip
e−iqi−1p
e−i p2
2m e−iV (qi−1)
δ(p − p )
=
1
2π
∞
−∞
dp e−i p2
2m e−iV (qi−1)
ei(qi−qi−1)p
, (31)
ou seja5
,
1
2π
∞
−∞
dpei
(qi−qi−1)p
e−iH
. (32)
Notemos que para cada produto escalar do l.d. da eq.(18) introduzimos uma
integral sobre a variável momento. Voltando à expressão da amplitude de
probabilidade temos que
5
Note que podemos somar os argumentos das exponenciais, já que agora só temos
exponenciais de fun¸cões.
14

t’
1
2
q(0)
ε
q(t)
t
1
2 q’(t’)
t t tt tt N-1N-2 N1 2 3
t’
1
2
ε
t
1
t t tt tt N-1N-2 N1 2 3
p(t)
2
. . . . . .
Figure 1: A) Trajetórias da part´ıcula entre os pontos q, t e q , t ; B) Tra-
jetórias no espa¸co dos momentos, que não possuem condi¸cões inicial e final.
F(q , t ; q, t) =
∞
−∞
dq1 . . . dqN H q , t |qN , tN HH qN , tN |qN−1, tN−1 H . . . ×
×H q2, t2|q1, t1 HH q1, t1|q, t H
=
1
(2π)N+1
∞
−∞
dq1 . . . dqN
∞
−∞
dp0 . . . dpN e−i
p2
N
2m
−i V (qN )+i
(q −qN )
pN
×
× . . . × e−i
p2
1
2m
−i V (q1)+i
(q2−q1)
p1
e−i
p2
0
2m
−i V (q0)+i
(q1−q0)
p0
, (33)
onde q0 = q. Na eq.(33) integramos no intervalo (−∞, ∞) sobre as N + 1
variáveis de momento.
O que estamos fazendo com essas integra¸cões múltiplas é: dentre as
poss´ıveis trajetórias no espa¸co dos q s e p s, estão inclu´ıdas todas as tra-
jetórias “quebradas”. No limite em que N → ∞ ( → 0) as variáveis de
posi¸cão deixam de ser indexadas pelo ´ındice discreto i, passando a serem
fun¸cão do parâmetro cont´ınuo t. Na integral de q(t) todas as trajetórias
partem da posi¸cão q(t) e todas têm que alcan¸car a posi¸cão q (t ). A integral
sobre p(t) já não possui restri¸cões(veja figura 1).
15

Voltando à situa¸cão em que o tempo evolui continuamente, → 0, e
reconhecendo que
dq(t)
dt
= lim →0
q(t + ) − q(t)
, (34)
temos que, após tomarmos o limite do cont´ınuo, a amplitude de probabilidade
fica sendo
H q , t |q, t H =
1
(2π)N+1
q (t )
q(t)
Dq(t)
∞
−∞
Dp(t)e−i
t
t
Hdt+i
t
t
˙q(t)p(t)dt
. (35)
Estamos definindo Dq(t) e Dp(t) como sendo:
Dq(t) =
N
i=1
dqi(ti) (36)
e
Dp(t) =
N
i=0
dpi(ti) (37)
Portanto, no caso geral, a amplitude de probabilidade é dada por
H q , t |q, t H =
1
(2π)N+1
q (t )
q(t)
Dq(t)
∞
−∞
Dp(t)ei
t
t
( ˙q(t)p(t)−H)dt
. (38)
Apesar de q(t) e p(t) serem autovalores de operadores canonicamente
conjugados, é importante ressaltar que q(t) e p(t) são duas variáveis inde-
pendentes, e, por causa disso, é falso afirmar que:
p =
∂L
∂ ˙q
, (39)
sendo L a fun¸cão lagrangeana do sistema. De forma que não podemos
escrever diretamente a transforma¸cão de Legendre
16

p ˙q − H = L. (40)
Uma vez que conhecemos a dependência do operador hamiltoniano em
termos do operador momento, sabemos como a fun¸cão H depende da variável
p e realizar a integral funcional em Dp(t) para encontrar a lagrangeana efetiva
que aparece na eq.(38).
Vamos considerar a situa¸cão usual da M.Q. não-relativ´ıstica em que
H(q, p) =
p2
2m
+ V (q). (41)
Neste caso, a integral de caminho do modelo quântico fica
H q , t |q, t H =
1
(2π)N+1
q (t )
q(t)
Dq(t)
∞
−∞
Dp(t)ei
t
t
[ ˙q(t)p(t)− p2
2m
−V (q)]dt
. (42)
Vamos realizar a integral funcional em p(t) na eq.(38),
∞
−∞
N
i=0
dpi(ti)ei
N
i=1
[pi
qi+1−qi
−
p2
i
2m
]
=
N
i=0
∞
−∞
dpiei[pi
qi+1−qi
−
p2
i
2m
]
, (43)
onde (N + 1) + t = t , usando o truque tradicional de completar quadrados.
Para escrevermos cada integral sobre as variáveis pi como uma gaussiana,
completamos o seguinte quadrado:
p2
i
2m
− pi
(qi+1 − qi)
= (
pi
√
2m
−
√
m(qi+1 − qi)
√
2
)2
−
m
2
(qi+1 − qi)2
2
. (44)
A integral gaussiana em pi tem como resultado π2m
i
.
Portanto, como
17

∞
−∞
Dp(t)ei
t
t
[ ˙q(t)p(t)− p2
2m
]dt
=
N
i=0
∞
−∞
dpie
−i(
pi√
2m
−
√
m(qi+1−qi)
√
2
)2
e
im
2
(
qi+1−qi
)2
,
(45)
a integral funcional sobre a variável p(t) é igual a:
Dp(t)ei
t
t
[p(t) ˙q(t)−
p2(t)
2m
]dt
= (
π2m
i
)
N+1
2
N
i=0
e
im
2
(qi+1−qi)2
2
= (
−iπ2m
)
(N+1)
2 ei
t
t
m ˙q2(t)
2
dt
. (46)
Pelo resultado (46) sentimos as dificuldades no cálculo de integrais de
caminho, uma vez que, no limite do cont´ınuo, a constante multiplicativa é
divergente!!!
Voltando à amplitude de probabilidade de transi¸cão, eq.(38), temos que
H q , t |q, t H = lim →0(
m
2πi
)
N+1
2
q (t )
q(t)
Dq(t)ei
t
t
(m ˙q2
2
−V (q))dt
. (47)
Como a expressão da lagrangeana clássica é L = m ˙q2
2
− V (q), então
H q , t |q, t H = lim →0(
m
2πi
)
N+1
2
q (t )
q(t)
Dq(t)ei
t
t
Ldt
. (48)
Na situa¸cão em que a dependência da hamiltoniana em p seja apenas
quadrática, podemos escrever diretamente a igualdade acima. Nesse caso,
a a¸cão de cada trajetória dá o peso estat´ıstico da mesma para o fenômeno
quântico.
Em geral, os sistemas quânticos se encontram em estados |φ H, que não
são auto-estados do operador posi¸cão. Além disso, desejamos determinar
a amplitude de probabilidade do sistema ser encontrado no estado quântico
18

|ψ H num instante posterior. Desta forma, desejamos obter o produto escalar:
H ψ, t |φ, t H, para t > t, na forma de uma integral de trajetória.
Usando a completeza da base dos autovetores do operador posi¸cão nos
instantes t e t (eq.19), ou seja,
∞
−∞
dq |q , t H H q , t | = 1l e
∞
−∞
dq|q, t H H q, t| = 1l, (49)
o produto escalar H ψ, t |φ, t H passa a ser escrito como:
H ψ, t |φ, t H =
∞
−∞
dq dq H ψ, t |q , t HH q , t |q, t HH q, t|φ, t H
= lim →0(
m
2πi
)
N+1
2
∞
−∞
dq dq ψ∗
(q , t )φ(q, t)
q (t )
q(t)
Dq(t)ei
t
t
Ldt
. (50)
1.2 No¸cões de Derivadas Funcionais
Referências:
• C. Nash, Relativistic Quantum Fields, cap. 1.
• H. M. Nussenzweig,Integrais de Trajetória. Escola de Verão Jorge
André Swieca, Part´ıculas e Campos, 1981, pág. 127.
• Mark S. Swanson, Path Integrals and Quantum Processes.
Para a MQ não -relativ´ıstica, é suficiente o conhecimento das amplitudes
de probabilidade dadas pelas integrais de caminho. No entanto, em Teoria
Quântica de Campos, as chamadas fun¸cões de Green são as quantidades que
conseguimos calcular através de métodos perturbativos e não-perturbativos.
Para falarmos em fun¸cões de Green, precisamos mencionar a parte de
integrais e derivadas funcionais. Continuaremos a tratar o problema quântico
de uma part´ıcula, apenas para exemplificar.
Estamos acostumados a tratar com fun¸cões que são solu¸cões das equa¸cões
que dão a dinâmica das variáveis usadas para descrever um dado sistema
19

f´ısico. Por exemplo, no caso da Mecânica Quântica não-relativ´ıstica de uma
part´ıcula unidimensional, a dinâmica da fun¸cão de onda (F.O.) é dada pela
equa¸cão de Schrödinger:
−
1
2m
∂2
ψ(x, t)
∂x2
+ V (x)ψ(x, t) = i
∂ψ(x, t)
∂t
. (51)
Note que para cada valor do par de parâmetros (x, t) associamos um número
ψ(x, t) que denominamos de fun¸cão no ponto x no instante t. O mesmo ocorre
quando descrevemos a dinâmica clássica de uma part´ıcula, assim como vários
outros fenômenos f´ısicos.
No entanto, ao observar as eqs. (47) e (48), vemos que temos novo objeto
matemático na exponencial do integrando dessas equa¸cões, ou seja,
S[q, ˙q; t, t ] =
t
t
dt [
m
2
˙q(t)2
− V (q(t))], (52)
que é a a¸cão associada a trajetória q(t), que tem pontos extremos fixados
pelo problema quântico. Para cada trajetória (fun¸cão) q(t) associamos um
número. Ao contrário do primeiro exemplo desta se¸cão, não é suficiente
conhecer o valor do parâmetro (tempo) num único ponto. É necessário con-
hecer os valores que a fun¸cão assume num intervalo de valores do parâmetro.
Dizemos que S é um funcional da trajetória (fun¸cão) q(t).
No caso de fun¸cões f(t), ao variarmos o valor do parâmetro t, em geral,
mudamos o valor da fun¸cão f. No caso de funcionais E[f], ao se mudar a
fun¸cão f(t), em geral modificamos o valor do funcional E. Seja E[f(x)] um
funcional de f(x), um exemplo de funcional é
E[f(t)] = f(t), (53)
que é um funcional muito particular. No entanto, o resultado final da ex-
pressão (53) depende da escolha que fazermos da fun¸cão f(x), da´ı dizer que
esta expressão é um funcional. De qualquer maneira, a igualdade (53) sempre
pode ser escrita como,
20

E[f(t)] =
∞
−∞
dt δ(t − t )f(t ), (54)
sendo δ(t − t ) a fun¸cão delta de Dirac.
Consideremos agora a derivada funcional. A sua defini¸cão operacional não
é única, porém vamos usar a defini¸cão do Nash, que é a mesma do Moysés:
δE[f(x)]
δf(y)
= lim →0
E[f(x) + δ(y − x)] − E[f(x)]
. (55)
Para entendermos a necessidade da presen¸ca da fun¸cão delta de Dirac, δ(y −
x), na defini¸cão da derivada funcional, fa¸camos analogia com a derivada de
fun¸cões. Seja f(x) uma fun¸cão do parâmetro x. A derivada dessa fun¸cão em
rela¸cão a x é:
df(x)
dx
= lim
→0
f(x + ) − f(x)
. (56)
Ao variarmos o valor do parâmetro para um valor definido x através de um
incremento , em geral, o valor da fun¸cão f no ponto x + difere do valor
desta fun¸cão no ponto x. Se a fun¸cão f é uma fun¸cão cont´ınua em torno na
vizinhan¸ca do ponto x, então a sua varia¸cão devido a varia¸cão no valor do
parâmetro também tende a zero quando → 0. A derivada da fun¸cão f(x)
no ponto x corresponde a calcular o limite da razão entre duas quantidades
que vão simultaneamente a zero quando → 0. Neste tipo de derivada
variamos apenas o valor de um único valor do parâmetro.
No caso de funcionais desejamos calcular como eles variam quando seu
argumento (fun¸cão) varia para um único valor do argumento (parâmetro).
Ou seja, a deforma¸cão da fun¸cão corresponde a mudar o seu valor num único
ponto do seu argumento. Em geral, os funcionais envolvem integra¸cão so-
bre fun¸cões, como por exemplo é o caso da a¸cão clássica associada a uma
trajetória q(t) (veja eq.(52)). Neste caso o parâmetro é o tempo t. Se vari-
amos a trajetória q(t) para um único valor de t, esta varia¸cão não leva a
21

nenhuma mudan¸ca no valor da a¸cão S[q(t)], uma vez que é uma modifica¸cão
num espa¸co de dimensão nula na variável de integra¸cão:
q (t) =
q(t), t ∈ (−∞, ¯t − ) ∪ (¯t + , ∞)
q(¯t) + ∆q(¯t), t ∈ (¯t − , ¯t + )
(57)
onde estamos considerando o limite em que → 0. A modifica¸cão da fun¸cão
q(t) definida pela rela¸cão (57) implica na seguinte varia¸cão no valor da a¸cão
clássica da part´ıcula:
∆S[q(t)] =
¯t+
¯t−
dt
1
2
m ˙q(t)2
− V (q(t))
lim
→0
×
1
2
m∆ ˙q(¯t)2
− (V (q (¯t)) − V (q(¯t)) = 0, (58)
uma vez que multiplica uma quantidade finita. Para variarmos a fun¸cão
q(t) para um único valor do parâmetro t e ela ainda dar uma varia¸cão no
funcional, ou seja, a modifica¸cão do funcional ocorre devido a uma varia¸cão
num espa¸co de dimensão nula na variável de integra¸cão, então a varia¸cão
da fun¸cão neste único ponto tem que ser singular. A fun¸cão que tem essa
caracter´ıstica é a fun¸cão delta de Dirac, que é usada na defini¸cão da derivada
de funcionais (eq.(55)).
Para exemplificar a aplica¸cão de derivadas funcionais, consideremos o fun-
cional E[f(x)] = f(x). Então:
δE[f(x)]
δf(y)
= lim →0
f(x) + δ(y − x) − f(x)
= δ(y − x)
⇒
δE[f(x)]
δf(y)
= δ(x − y). (59)
Como um segundo exemplo, consideremos:
22

Ex[f] = dx K(x, x )f(x ). (60)
Então,
δEx[f]
δf(y)
= lim
→0
dx K(x, x )[f(x ) + δ(y − x )] − dx K(x, x )f(x )
= lim
→0
dx K(x, x )δ(y − x )
= K(x, y). (61)
Assim,
δEx[f]
δf(y)
= K(x, y). (62)
Da mesma forma que você pode escrever séries de potências para fun¸cões
comuns em termos de suas variáveis,
F(x) =
∞
n=0
anxn
, (63)
existe a série de Taylor funcional que corresponde a expansão do funcional
em termos da sua fun¸cão argumento. Seja P[f] um funcional de f(x), então
P[f] pode ser escrito como:
Px[f] = K0(x) + K1(x; x1)f(x1)dx1 +
+ K2(x; x1, x2)f(x1)f(x2)dx1dx2 + . . . , (64)
Se Kn(x; x1, x2, . . . , xn) é uma fun¸cão simétrica nas variáveis x1, x2, . . .,
xn, então temos que
Kn(x; x1, x2, . . . , xn) =
1
n!
δn
P[f]
δf(x1) . . . δf(xn)
|f(x)≡0. (65)
23

Outras propriedades interessantes das derivadas , e que possuem análogo
nas derivadas usuais de fun¸cões, são:
i) Sejam F e G funcionais da fun¸cão g(x), então,
δ(F[g]G[g])
δg(x)
=
δF[g]
δg(x)
· G[g] + F[g] ·
δG[g]
δg(x)
. (66)
ii) Regra da cadeia para derivadas funcionais:
F[g(f)]
δf(y)
= dx
δF[g]
δg(x)
·
δg(x)
δf(y)
. (67)
ii) Se F[g] ≡ F[g1, · · · , gn], sendo gi, i = 1, 2, · · · , n, fun¸cões do parâmetro x,
então,
δF[g1, · · · , gn] = dx
δF[g]
δgj(x)
· δgj(x), (68)
onde estamos usando a conven¸cão de soma impl´ıcita para os´ındices repetidos
j.
1.3 Fun¸cões de Green de Uma Part´ıcula
Estamos considerando uma part´ıcula quântica unidimensional não-relativ´ıstica.
A integral de caminho neste caso é6
H q , t |q, t H =
q (t )
q(t)
Dq(t)ei
t
t
Ldt
, (69)
onde L = T − V (q).
Considerando que o nosso sistema está sob a a¸cão de uma for¸ca externa
F(t), durante um certo intervalo de tempo t2 ≤ t ≤ t1 (ver figura 2), quere-
mos saber a amplitude de probabilidade do sistema estando no estado |q, t H
6
Dentro da defini¸cão de Dq(t) já está contida a constante multiplicativa.
24

t
1
t
2
t
F(t)
Figure 2: Perfil da for¸ca externa F(t)
no instante t ser encontrado no estado |q , t H no instante t . Nesse caso,
ficamos com7
,
H q , t |q, t F
H =
q (t )
q(t)
Dq(t) ei
t
t
dtL+i
t
t
F(t)q(t)dt
≡ Z[F]. (70)
A amplitude de probabilidade passa a ser um funcional da for¸ca externa
aplicada F(t).
Calculando a derivada funcional de ei
t
t
F(t)q(t)dt
em rela¸cão a F(t1), en-
contramos que,
7
No caso de uma part´ıcula clássica, a sua equa¸cão de movimento na presen¸ca de uma
for¸ca extrena F(t) é:
m¨q = −
dV (q)
dq
+ F(t).
Esta equa¸cão é obtida a partir da lagrangeana:
LF = T − V (q) + qF(t).
25

δ[ei
t
t
F(t)q(t)dt
]
δF(t1)
= lim
→0
ei
t
t
[F(t)+ δ(t−t1)]q(t)dt
− ei
t
t
F(t)q(t)dt
= lim
→0
ei
t
t
F(t)q(t)dt
ei q(t1)
− ei
t
t
F(t)q(t)dt
= ei
t
t
F(t)q(t)dt
lim
→0
1 + i q(t1) − 1
= iq(t1)ei
t
t
F(t)q(t)dt
. (71)
Portanto,
δ[ei
t
t
F(t)q(t)dt
]
δF(t1)
= iq(t1)ei
t
t
F(t)q(t)dt
. (72)
Usando o resultado (72), é fácil mostrar que
δn
[ei
t
t
F(t)q(t)dt
]
δF(t1) . . . δF(tn)
= (i)n
q(t1) . . . q(tn)ei
t
t
F(t)q(t)dt
. (73)
Voltamos para a expressão de Z[F] e expandimos a parte da exponencial que
depende de F(t):
Z[F] =
q (t )
q(t)
Dq(t)ei
t
t
Ldt
+
t
t
dt1
q (t )
q(t)
Dq(t)iq(t1)ei
t
t
Ldt
F(t1) +
+
1
2!
t
t
dt1dt2
q (t )
q(t)
Dq(t)(i)2
q(t1)q(t2)ei
t
t
Ldt
F(t1)F(t2) + . . . , (74)
onde podemos identificar
q (t )
q(t)
Dq(t)iq(t1)ei
t
t
Ldt
=
δZ[F]
δF(t1)
|F=0 (75)
q (t )
q(t)
Dq(t)(i)2
q(t1)q(t2)ei
t
t
Ldt
=
δ2
Z[F]
δF(t1)δF(t2)
|F=0 (76)
...
26

Assim,
Z[F] = Z[F = 0] +
∞
n=1
t
t
dt1 . . . dtn
1
n!
G(n)
(t1, . . . , tn)F(t1) . . . F(tn), (77)
onde
G(n)
(t1, . . . , tn) =
δn
Z[F]
δF(t1) . . . F(tn)
|F=0, (78)
são as chamadas fun¸cões de Green de n pontos. Se conhecemos as infinitas
fun¸cões de Green de n pontos, temos toda a informa¸cão sobre um determi-
nado sistema quântico, pois conhecemos a expansão funcional em série de
Taylor de Z[F].
A última coisa que nos resta é relacionar as fun¸cões de Green de n pontos
com elementos de matriz de operadores: H q , t |ˆqH(t1) . . . ˆqH(tn)|q, t H, onde
ˆqH(ti) é o operador posi¸cão na representa¸cão de Heisenberg no instante ti.
Seja t < tk < t , k = 1, 2, · · · , N. Então,
H q , t |ˆqH(tk)|q, t H = dq1 . . . dqk . . . dqN H q , t |qN , tN H ×
× H qN , tN |qN−1, tN−1 H . . .H qk+1, tk+1|qk, tk H ×
×H qk, tk|ˆq(tk)|qk−1, tk−1 H . . .H q1, t1|q, t H. (79)
Como qk, tk|ˆq(tk) = q(tk) qk, tk|, o elemento de matriz (79) é igual a:
H q , t |ˆqH(tk)|q, t H =
q (t )
q(t)
Dq(t)q(tk)ei
t
t
Ldt
. (80)
Portanto,
H q , t |ˆqH(tk)|q, t H = −i
δZ[F]
δF(tk)
|F=0. (81)
27

Vamos escrever o elemento de matriz H q , t |ˆqH(tk)|q, t H na representa¸cão
de Schrödinger. Para isso usaremos a rela¸cão entre as representa¸cões de
Heisenberg e Schrödinger dada pelas eqs. (14) e (15),
|ψ, t H = eiHt
|ψ(t) S (82)
e
QH(t) = eiHt
QS e−iHt
. (83)
Substituindo essas igualdades no bracket (81), obtemos que,
H q , t |ˆqH(tk)|q, t H = S q (t )|e−iHt
eiHtk
ˆqSe−iHtk
eiHt
|q(t) S
= S q (t )|eiH(tk−t )
ˆqSe−iH(tk−t)
|q(t) S. (84)
Usando a eq. (5), reescrevemos a igualdade acima como:
H q , t |ˆqH(tk)|q, t H =S q (tk)|ˆqS|q(tk) S. (85)
O l.d. da eq. (85) dá a representa¸cão matricial do operador ˆqS no espa¸co das
posi¸cões, inclusive os elementos fora da diagonal.
Para obtermos o valor médio da posi¸cão da part´ıcula que está no estado
quântico ψ(tk) S, no instante tk, precisamos calcular o elemento de matriz:
S ψ(tk)|ˆqS|ψ(tk) S =
=
∞
−∞
dq (tk)dq(tk) S ψ(tk)|q (tk) SS q (tk)|ˆqS|q(tk) SS q(tk)|ψ(tk) S
=
∞
−∞
dq (tk)dq(tk) ψ(qk, tk)∗
ψ(qk, tk)S q (tk)|ˆqS|q(tk) S
=
∞
−∞
dq (tk)dq(tk) ψ(qk, tk)∗
ψ(qk, tk)
q (t )
q(t)
Dq(t)q(tk) ei
t
t
Ldt
. (86)
28

Note que para obtermos a expressão (86) não seria suficiente conhecermos
apenas os elementos diagonais da representa¸cão matricial do operador ˆqS.
Consideremos agora, t < tk < tj < t . Então,
H q , t |ˆqH(tj)ˆqH(tk)|q, t H = dq1 . . . dqk . . . dqj . . . dqN ×
× q , t |qN , tN qN , tN |qN−1, tN−1 . . . ×
× . . . qj+1, tj+1|qj, tj qj, tj|ˆq(tj)|qj−1, tj−1 . . . ×
× . . . qk+1, tk+1|qk, tk qk, tk|ˆq(tk)|qk−1, tk−1 . . . ×
× . . . q1, t1|q, t . (87)
Assim,
H q , t |ˆqH(tj)ˆqH(tk)|q, t H =
q (t )
q(t)
Dq(t)q(tj)q(tk)ei
t
t
Ldt
, (88)
para t > tj > tk > t .
Seja T o operador que ordena os operadores no tempo em ordem decres-
cente, da esquerda para a direita, então,
H q , t |T[ˆqH(tj)ˆqH(tk)]|q, t H = (−i)2 δ2
Z[F]
δF(tj)δF(tk)
|F=0. (89)
Usando os resultados das eqs. (5) e (14), temos que:
H q , t |ˆqH(tj)ˆqH(tk)|q, t H =S q (tj)|e−iHtj
ˆqSeiH(tj−tk)
ˆqSeiHtk
|q(tk S. (90)
No caso geral, encontramos que
H q , t |T[ˆqH(t1) . . . ˆqH(tn)]|q, t H =
q (t )
q(t)
Dq(t) q(t1) . . . q(tn)ei
t
t
Ldt
= (−i)n δn
Z[F]
δF(t1) . . . δF(tn)
|F=0
= (−i)n
G(n)
(t1, . . . , tn). (91)
29

2 Rela¸cão entre a Mecânica Estat´ıstica e as
Integrais de Caminho
2.1 Fun¸cão de Parti¸cão e o Funcional Gerador das Fun¸cões
de Green Térmicas
Estamos interessados em descrever sistemas em equil´ıbrio termodinâmico.
Podemos entender um sistema em equil´ıbrio termodinâmico como sendo
aquele no qual os processos rápidos, comparados com o tempo de relaxa¸cão
do sistema, já ocorreram, e que processos lentos comparados com o tempo
de relaxa¸cão do sistema ainda não ocorreram. (R.P. Feynman, Statistical
Mechanics - A Set of Lectures, pág.1).
Estando o sistema descrito pela hamiltoniana H em equil´ıbrio termodinâmico
com um reservatório, a probabilidade do sistema ser encontrado no estado
quântico |n , onde H|n = En|n é,
Pn =
e−βEn
A
, (92)
onde β = 1/kT, sendo k a constante de Boltzmann e T a temperatura
absoluta do reservatório em que o sistema está em equil´ıbrio térmico. A
é a constante de normaliza¸cão.
Define-se a fun¸cão de parti¸cão do sistema como sendo
Z ≡
|n
e−βEn
, (93)
onde |n são todos os autoestados, incluindo a parte cont´ınua8
, da hamilto-
niana H do sistema quântico. A fun¸cão de parti¸cão (93) pode ser reescrita
8
Estamos usando o s´ımbolo de soma na eq.(93) apenas por conveniência de nota¸cão.
Devemos lembrar que a somatória é substitu´ıda por uma integral na parte cont´ınua do
espectro de energia do sistema quântico.
30

como9
Z(β, Ω) =
|n
n|e−βH
|n = Tr[e−βH
], (94)
onde H é o operador hamiltoniano do sistema. Como o tra¸co (Tr) de qualquer
operador independe da base utilizada para calculá-lo, podemos escolher a
base que nos é mais conveniente para calcular Z. Ω é o volume ocupado pelo
universo no qual o sistema está imerso.
Uma vez obtida a fun¸cão de parti¸cão do sistema, todas as outras grandezas
termodinâmicas são derivadas. Em particular, a energia livre de Helmholtz
é dada por,
F(β, Ω) = −
1
β
lnZ(β, Ω). (95)
O limite termodinâmico é obtido tomando-se limΩ → ∞.
2.2 Rela¸cão entre as Fun¸cões de Green Térmicas e as
Fun¸cões de Green do Espa¸co Euclideano
Já vimos que a fun¸cão de parti¸cão de um sistema quântico pode ser escrita
como:
Z(β, Ω) = Tr(e−βH
) =
|x
x|e−βH
|x . (96)
Os vetores x| e |x são definidos no mesmo instante, e, nesse caso, o
produto escalar é independente da representa¸cão que escolhemos.
Além disso, estamos somando sobre todos os estados |x .
Para calcularmos o produto escalar dos termos da eq. (96), vamos fazer
um truque análogo ao que fizemos no caso da Mecânica Quântica de uma
part´ıcula para calcularmos a amplitude de probabilidade:
9
Apesar de estar sendo escrita na forma de uma somatória, |n está somando também
sobre os autoestados da parte cont´ınua do espectro de energia do operador H.
31

S xf |e−iH(tf −ti)
|xi S. (97)
Comparando os elementos de matriz de (96) e (97) vemos que β faz o
papel de um tempo imaginário, ou seja, β = i(tf − ti). Com isso vemos que,
se nas expressões que obtivemos na Mecânica Quântica de uma part´ıcula,
fazemos a identifica¸cão τ = it e xf = xi então, o resultado é igual aos termos
que contribuem para a fun¸cão de parti¸cão do sistema. A diferen¸ca entre a
fun¸cão de parti¸cão e a amplitude de probabilidade é que os estados inicial
e final são os mesmos no caso da fun¸cão de parti¸cão, além de somarmos
sobre todos os poss´ıveis estados iniciais.
No caso da Mecânica Quântica de uma part´ıcula encontramos que:
S xf |e−iH(tf −ti)
|xi S =
xf
xi
Dx(t)e
i
tf
ti
L(x, ˙x;t)dt
, (98)
sendo que para uma part´ıcula não-relativ´ıstica, temos que
L =
m
2
(
dx
dt
)2
− V (x). (99)
Na Mecânica Estat´ıstica, fazendo a substitui¸cão t = −iτ na eq. (98),
obtemos que
Z =
x(0)
x(0)=x(β)
Dx(τ)ei
β
0
L(x,−iτ)d(−iτ)
, (100)
onde τ é um parâmetro real definido no intervalo [0, β]. Como t = −iτ,
estamos fazendo a extensão anal´ıtica da eq.(98) para tempos imaginários. É
usual chamarmos este formalismo de tempo imaginário.
A lagrangeana escrita em termos de τ fica
L =
m
2
(
dx
dt
)2
− V (x) = −
m
2
(
dx
dτ
)2
− V (x) ≡ −LE(x, ˙x; τ), (101)
32

onde LE(x, ˙x; τ) é a lagrangeana do sistema no espa¸co euclideano e ˙x ≡ dx
dτ
.
Portanto, a integral funcional da fun¸cão de parti¸cão do sistema é,
Z(β, Ω) =
x(0)
x(0)=x(β)
Dx(τ)e−
β
0
LE(x,τ)dτ
, (102)
onde LE é dada pela eq.(101).
Note que, se L(x, ˙x; t) é a lagrangeana do sistema, por exemplo eq.(99),
ou também chamada de lagrangeana no espa¸co de Minkowski10
, então
L(x, ˙x; t = −iτ) = −LE(x, ˙x; τ), (103)
onde τ é real. No caso de part´ıcula não relativ´ıstica cuja lagrangeana é dada
pela expressão (99), temos que LE(x, ˙x; τ) é igual a energia total da part´ıcula.
Da mesma maneira que no caso da MQ de uma part´ıcula, podemos aplicar
uma fonte externa F(τ) ao sistema, de forma que a fun¸cão de parti¸cão fica
sendo
Z[F(τ)] =
x(0)
x(0)=x(β)
Dx(τ)e−
β
0
(LE(x,τ)−F(τ)x(τ))dτ
. (104)
Expandindo a exponencial funcional e
β
0
F(τ)x(τ)dτ
, obtemos a série de Tay-
lor do funcional Z[F(τ)]. Usando o resultado (73), os coeficientes desta série
podem ser escritos como derivadas funcionais de Z[F] em rela¸cão a F(τ).
Em analogia ao que fizemos na MQ de uma part´ıcula, definimos a fun¸cão de
Green no espa¸co euclideano
x(0)
x(0)=x(β)
Dx(τ) x(τn) . . . x(τ2)x(τ1)e−
β
0
LE(x,τ)dτ
≡
≡ ˆxH(τn) . . . ˆxH(τ2)ˆxH(τ1) , (105)
10
Precisamos notar que ˙x possui significado diferente em L e em LE. Na lagrangeana
no espa¸co de Minkowski, L(x, ˙x; t), temos que: ˙x ≡ dx
dt , enquanto que na lagrangeana no
espa¸co euclideano, LE(x, ˙x; τ), temos que: ˙x ≡ dx
dτ .
33

onde β ≥ τn ≥ τn−1 . . . τ2 ≥ τ1. Essas fun¸cões estão associadas aos coefi-
cientes da série de Taylor de Z[F]. Usando a analogia com a eq.(90), o l.e.
da eq.(105) é reescrito na forma de elemento de matriz do operador:
ˆxH(τn) . . . ˆxH(τ2)ˆxH(τ1) ≡
x(0)
x(0)|eHτn
ˆxS(0)e−Hτn
· · · ×
×eHτ2
ˆxS(0)e−Hτ2
eHτ1
ˆx(0)e−Hτ1
|x(0 . (106)
Continuando a usar a analogia com a eq.(15), a partir da eq.(106), definimos
a rela¸cão entre operadores de posi¸cão nas representa¸cões de Schrödinger e
Heisenberg, a temperatura finita, isto é,
ˆxH(τ) = eHτ
ˆxS(0)e−Hτ
. (107)
Ao fazermos a identifica¸cão (107) a partir da eq.(15), estamos usando a ex-
tensão do parâmetro tempo para valores imaginários11
: t = −iτ.
Usando o resultado da derivada funcional (eq. (72)), podemos reescrever
as fun¸cões de Green no espa¸co euclideano como
ˆxH(τn) . . . ˆxH(τ2) ˆxH(τ1) =
δn
Z[F]
δF(τn) . . . F(τ1)
|F(τ)=0 ≡ G
(n)
E (τn, . . . , τ1).
(108)
Da mesma forma que na MQ de uma part´ıcula, a fun¸cão de parti¸cão é um
funcional da fonte externa F(τ) aplicada, de maneira que pode ser escrita
como
Z[F(τ)] = Z[0] +
∞
n=1
1
n!
β
0
dτ1 . . . dτnG
(n)
E (τ1, . . . , τn)F(τ1) . . . F(τn). (109)
11
Para ver a discussão de fun¸cões de Green a temperatura finita, veja a referência: A.A.
Abrikosov, L.P. Gorkov and I.E. Dzyaloshinski, Methods of Quantum Field Theory in
Statistical Physics, Dover Publ., NY(1963).
34

Im(t)
Re(t)
Figure 3: Representa¸cão esquemática do plano complexo t = Re(t)+iIm(t),
onde o eixo real positivo corresponde à MQ de 1 part´ıcula, e o eixo imaginário
negativo corresponde à Mecânica Estat´ıstica.
Vimos que a fun¸cão de parti¸cão Z é a continua¸cão anal´ıtica da expressão
da amplitude de probabilidade da MQ para τ = it, onde τ ∈ [0, β], de forma
que t ∈ [0, −iβ] (veja figura 3).
Desejamos relacionar as continua¸cões anal´ıticas das fun¸cões de Green no
espa¸co de Minkowski realizando a rota¸cão do desenho da figura 3, e as fun¸cões
de Green no espa¸co euclideano, G
(n)
E (τ1, . . . , τn), como definimos na (108).
Quando definimos as fun¸cões de Green no espa¸co de Minkowski, o fizemos
da seguinte forma (veja eq.(90):
H q , t |T[ˆqH(t1) . . . ˆqH(tn)]|q, t H = (−i)n
G(n)
(t1, . . . , tn), (110)
onde os estados final e inicial são quaisquer. Vamos considerar as fun¸cões
de Green de uma part´ıcula na MQ para q = q . Na defini¸cão da fun¸cão de
Green no espa¸co euclideano (veja eq.(108)), estamos somando sobre todos os
valores que x(0) pode assumir, uma vez que calculamos um tra¸co. No entanto,
35

iremos praticar um abuso de linguagem quando utilizamos a nota¸cão GE para
exprimir a extensão anal´ıtica da fun¸cão de Green no espa¸co de Minkowski
já que estamos fixando um único valor para os estados inicial e final. No
entanto, em Teoria Quântica de Campos estamos interessados em calcular
os elementos de matriz no vácuo da teoria. Devemos lembrar que o vetor
de estado que representa o vácuo, |0 , possui a propriedade: H|0 = 0. De
agora em diante, quando for mencionada a fun¸cão de Green, será no sentido
de que os estados inicial e final são os estados de vácuo da teoria. O que
vamos fazer de agora em diante não é uma demonstra¸cão, mas simplesmente
uma mostra¸cão, usando argumentos de plausibilidade. O resultado já foi
mostrado exatamente.
Na representa¸cão de Heisenberg, o operador posi¸cão em qualquer instante
t é (eq.(7)):
ˆqH(t) = eiHt
ˆqH(0)e−iHt
, (111)
de forma que
(−i)n
G(n)
(t1, . . . , tn) =H 0|ˆqH(0)e−iHt1
eiHt2
ˆqH(0)e−iHt2
. . . eiHtn
ˆqH(0)|0 H,
(112)
onde t1 > t2 > . . . > tn. Fazendo a substitui¸cão ti = zτi, onde z é uma
constante complexa e τi é real, a fun¸cão de Green passa a ser
(−i)n
G(n)
(zτ1, . . . , zτn) =H 0|ˆqH(0)e−izH(τ1−τ2)
ˆqH(0)e−izH(τ2−τ3)
×
. . . × e−ziH(τn−1−τn)
ˆqH(0)|0 H. (113)
Veja que o elemento de matriz (113) está numa forma em que podemos
introduzir rela¸cões de completeza, de maneira que a fun¸cão de Green passa
a ser escrita através de uma integral de caminho (basta seguir os mesmos
passos que na MQ de uma part´ıcula). Portanto,
36

(−i)n
G(n)
(zτ1, . . . , zτn) = Dq(τ)eiz
τ
τ
dτL(x, ˙x;zτ)
q(τ1) . . . q(τn). (114)
Lembre-se de que τ serve apenas como ´ındice para as variáveis q. Como
pela mudan¸ca de variável apenas τi está variando, este serve como o novo
´ındice para as variáveis q. No caso em que z = −i temos então que
(−i)n
G(n)
(−iτ1, . . . , −iτn) = Dq(τ)e
τ
τ
dτL(x, ˙x;−iτ)
q(τ1) . . . q(τn). (115)
No entanto, já vimos pelas eqs.(101) e (103) que L(x, ˙x; −iτ) = −LE(x, ˙x; τ).
Portanto
(−i)n
G(n)
(−iτ1, . . . , −iτn) = Dq(τ)e−
τ
τ
dτLE(x, ˙x;τ)
q(τ1) . . . q(τn)
= G
(n)
E (τ1, . . . , τn). (116)
Logo,
(−i)n
G(n)
(−iτ1, . . . , −iτn) = G
(n)
E (τ1, . . . , τn). (117)
3 Integral de Caminho na Teoria de Campos
Referências:
• E.S. Abers, B.W. Lee, Phys. Rep. 9C, 1(1973), se¸cão 12, pág. 71.
• P. Ramond, Field Theory: A Modern Primer, cap. 3, pág. 88.
Até então tratamos o sistema quântico de uma part´ıcula. Nesse caso, x
representa a posi¸cão da part´ıcula em diferentes instantes, sendo então uma
variável dinâmica. O parâmetro tempo t, nesse caso, serve apenas como um
´ındice para a variável x. No caso de campos cont´ınuos, queremos estudar
37

formas definidas no espa¸co e que podem variar com o tempo. Para fixarmos
idéia, podemos pegar uma folha de papel e soltá-la, de maneira a ver como
ela muda a sua forma de instante a instante. Em cada instante t, verificamos
se na posi¸cão (x, y, z) existe algum peda¸co do papel, e com isso vamos deter-
minando a forma da folha instante a instante. Vemos então que, no caso de
campos cont´ınuos, tanto o espa¸co como o tempo servem como ´ındices para
definir as formas que estamos estudando.
A Teoria de Campos trabalha com configura¸cões extensas, e passamos a
calcular amplitudes de probabilidade do sistema ser encontrado numa certa
configura¸cão. Passamos a falar em configura¸cão, porque estamos estudando
campos, como, por exemplo, o campo eletromagnético, o campo gravita-
cional, etc... Agora, os nossos vetores de estado passam a conter a informa¸cão
sobre configura¸cões. A correspondência entre vetores de estado na Mecânica
Quântica e na Teoria Quântica de Campos é:
|x, t H −→ |φ(x); t H, (118)
onde φop(x, t)|φ(x), t H = φ(x)|φ(x), t H, sendo φ(x) a fun¸cão que dá a con-
figura¸cão do campo em todo o espa¸co, φop(x, t) o operador de campo e
|φ(x), t H o auto-estado do operador de campo no instante t na representa¸cão
de Heisenberg. Apesar da rela¸cão ter sido escrita na representa¸cão de Heisen-
berg, ela também é verdadeira em qualquer representa¸cão.
As dinâmicas dos vetores de estado e operadores nas representa¸cões de
Heisenberg e Schrödinger ainda são dadas pelas mesmas rela¸cões que na MQ
de uma part´ıcula, assim como a rela¸cão entre as diferentes representa¸cões
que podemos utilizar para descrever os sistemas quânticos.
Daqui por diante, apenas por questão de simplicidade, restringir-nos-
emos a campos escalares, que satisfazem à álgebra usual e não possuem
graus de liberdade internos. Vamos estender gradativamente os resultados
que obtivemos na MQ de uma part´ıcula:
38

H q , t |q, t H =
q (t )
q(t)
Dq(t)Dp(t)ei
t
t
(p ˙q−H)dt
, (119)
onde H é a hamiltoniana total do sistema.
Quando o sistema possui M graus de liberdade q1(t), . . . , qM (t); p1(t), . . . ,
pM (t), a expressão acima passa a ser escrita como:
H q1, . . . , qM , t |q1, . . . , qM , t H =
=
{q (t )}
{q(t)}
M
α=1
Dqα(t)Dpα(t)ei
t
t
(
M
α=1
pα ˙qα−H)dt
. (120)
onde {q(t)} dá os valores dos M graus de liberdade no instante t e {q (t )}
os seus valores no instante t .
Para se obter esta expressão basta proceder de maneira análoga ao que
fizemos no caso da MQ de uma part´ıcula.
Vamos estender ainda mais a expressão acima. Dividimos o espa¸co em
cubinhos de volume ε3
. No limite de ε → 0, definimos o campo na posi¸cão
no centro do cubo de volume infinitesimal como sendo
φα(t) =
1
ε3
d3
x φ(x, t), (121)
onde α é o ´ındice associado à célula espacial que contém o volume ε3
.
Como estamos trabalhando com campos cont´ınuos, a lagrangeana do sis-
tema passa a ser escrita como
L =
V∞
d3
x L(φ(x, t), ∂µφ(x, t); t), (122)
sendo L a densidade lagrangeana do sistema. Quando discretizamos o espa¸co,
a lagrangeana (122) fica,
L =
N
α=1
ε3
Lα(φα(t), ˙φα(t), φα±s(t); t), (123)
39

sendo que ˙φα(t) = ∂φα
∂t
, e N é o número de células espaciais de volume 3
.
Da Mecânica Clássica, temos que o momento canonicamente conjugado
à variável φα(t) é:
pα =
∂L
∂ ˙φα(t)
= ε3 ∂Lα
∂ ˙φα(t)
≡ ε3
πα(t), (124)
onde πα(t) = ∂Lα
∂ ˙φα(t)
. A hamiltoniana total do sistema é
H =
N
α=1
pα(t) ˙φα(t) − L ≡
N
α=1
ε3
Hα, (125)
sendo que
N
α=1
ε3
Hα =
N
α=1
ε3
πα(t) ˙φα(t) −
N
α=1
ε3
Lα(φα(t), ˙φα(t), φα±s(t); t) ⇒
⇒ Hα = πα(t) ˙φα(t) − Lα(φα(t), ˙φα(t), φα±s(t); t).
Na expressão anterior, temos a rela¸cão entre densidades: densidade de la-
grangeana, densidade de hamiltoniana e densidade de momento canonica-
mente conjugado.
Voltando para a expressão da amplitude de probabilidade temos que
H φ (x), t |φ(x), t H =
φ (x,t )
φ(x,t)
N
α=1
Dφα(t)Dpα(t) ×
×ei
t
t
[
N
α=1
pα(t) ˙φα(t)−
N
α=1
3H]dt
. (126)
Porém, pα(t) = ε3
πα(t), e, além disso, limε→0
N
α=1 ε3
= ∞
−∞ dxdydz. Por-
tanto, a eq. (126) pode ser escrita como
H φ (x), t |φ(x), t H =
φ (x,t )
φ(x,t)
N
α=1
Dφα(t)ε3N
Dπα(t)e
i
t
t
dt
V∞
d3x (πα(t) ˙φα(t)−H)
.
(127)
40

Em Teoria Quântica de Campos, estamos interessados em calcular a am-
plitude de probabilidade do sistema estando no estado de mais baixa energia
(o vácuo) em tempos anteriores ao acoplamento com uma fonte externa,
volte a ser encontrado no estado de mais baixa energia do sistema após a
fonte externa ter sido desligada, ou seja,
H 0, t → ∞|0, t → −∞ J
H =
=
φ(x,t )
φ(x,t)
N
α=1
Dφα(t)ε3N
Dπα(t)ei d4x(πα(t) ˙φα(t)−H+J(x,t)φ(x,t))
≡ Z[J], (128)
onde N é o número de pontos na rede espacial, |0, t → ±∞ representa o vetor
associado ao estado de mais baixa energia (vácuo) no instante t → ±∞, res-
pectivamente. Assumimos que esses estados são representados pelos campos
φ(x, t) e φ(x, t ) nos instantes t → −∞ e t → ∞.
A amplitude de transi¸cão vácuo-vácuo é uma quantidade mal definida,
pois ela representa a superposi¸cão de fases. Para dar um significado a essas
integrais, temos as seguintes op¸cões:
1. No argumento da exponencial introduzir um termo da forma
i d4
x 2
φ2
(x, t), (129)
onde é um parâmetro para o qual será tomado o limite → 0.
2. Realizar uma rota¸cão de Wick,
it = τ → t = −iτ, (130)
onde τ é real.
Nestes casos teremos no integrando exponenciais decrescentes.
41

Apesar de dizermos que essas duas maneiras de tratar o problema dão um
significado matemático à integral de caminho, ainda existem infinitos embuti-
dos nas amplitudes de probabilidade, os quais ainda devem ser retirados. No
caso dos infinitos associados a pequenas distâncias temos a renormaliza¸cão.
Apesar de sabermos que temos que introduzir o termo (129) para dar
sentido à integral de caminho, não vamos escrevê-lo explicitamente, mas
devemos ter em mente que ele continua fazendo parte do argumento da ex-
ponencial.
4 Fun¸cões de Green Conexas e Desconexas
Analogamente ao caso da MQ de uma part´ıcula,
H 0|T[φH(x1, t1) . . . φH(xn, tn)]|0 H =
φ(x,t )
φ(x,t)
N
α=1
Dφα(t)ε3N
Dπα(t) ×
×φ(x1, t1) . . . φ(xn, tn)ei d4x (πα(x) ˙φα(x)−H)
, (131)
sendo T um operador de ordena¸cão temporal, onde os tempos são ordenados
da direita para a esquerda em ordem crescente: tn < tn−1 < · · · < t2 < t1.
Estamos usando a nota¸cão: x ≡ (t, x).
Usando os resultados conhecidos de derivadas funcionais, temos que12
φ(x,t )
φ(x,t)
N
α=1
Dφα(t) ε3N
Dπα(t)φ(x1, t1) . . . φ(xn, tn)ei d4x(πα(x) ˙φα(x)−H)
=
12
Neste caso, em que estamos num espa¸co tridimensional e temos o tempo também como
parâmetro, a derivada funcional (55) fica sendo:
δE[J]
δJ(x1, t1)
= lim →0
E[J(x, t) + δ(3)
(x − x1)δ(t − t1)] − E[J(x, t)]
.
42

=
φ(x,t )
φ(x,t)
N
α=1
Dφα(t)ε3
Dπα(t)ei d4x (πα(x) ˙φα(x)−H)
×
×
1
(i)n
δn
ei d4xJ(x,t)φ(x,t)
δJ(x1, t1) . . . δJ(xn, tn)
|J=0. (132)
Ao contrário do que fizemos anteriormente, chamamos de fun¸cão de Green
de n pontos a
G(n)
(x1, t1; . . . ; xn, tn) =H 0|T[φH(x1, t1), . . . , φH(xn, tn)]|0 H. (133)
Comparando a expressão acima com a anterior encontramos que
in
G(n)
(x1, t1; . . . ; xn, tn) =
δZ[J]
δJ(x1, t1) . . . δJ(xn, tn)
|J=0, (134)
que são as chamadas fun¸cões de Green conexas e desconexas. Num exemplo
espec´ıfico, veremos o porque do nome.
A amplitude de vácuo-vácuo é um funcional da fonte externa,
Z[J] = Dφ(x)Dπ(x)ei d4x[π(x) ˙φ(x)−H+J(x)φ(x)]
, (135)
onde x ≡ (x, t) e absorvemos a constante ε3N
na defini¸cão das medidas Dφ(x)
e Dπ(x). Realizando a expansão da exponencial13
ei Jφ
, temos que
Z[J] = Dφ(x)Dπ(x)ei d4x[π(x) ˙φ(x)−H]
× [1 + i d4
xJ(x)φ(x) +
+
(i)2
2!
d4
x1d4
x2J(x1)J(x2)φ(x1)φ(x2) + . . .]. (136)
Então,
13
Estamos usando a conven¸cão: Jφ = d4
x J(x)φ(x).
43

Z[J] = Z[0] + i d4
x1J(x1) Dφ(x)Dπ(x)φ(x1)ei d4x[π(x) ˙φ(x)−H]
+
+
(i)2
2!
d4
x1d4
x2J(x1)J(x2) Dφ(x)Dπ(x)φ(x1)φ(x2)ei d4x[π(x) ˙φ(x)−H]
+ . . .
(137)
Assim,
Z[J] = Z[0] +
∞
n=1
(i)n
n!
d4
x1 . . . d4
xnG(n)
(x1, . . . , xn)J(x1) . . . J(xn), (138)
onde
G(n)
(x1, t1; . . . ; xn, tn) = H 0|T[φH(x1, t1) . . . φH(xn, tn)]|0 H
= Dφ(x)Dπ(x) φ(x1) . . . φ(xn)ei d4x[π(x) ˙φ(x)−H]
, (139)
é a fun¸cão de Green de n pontos vestida. Note que na eq.(139) aparece a
hamiltoniana completa que descreve o sistema quântico.
4.1 Modelo λφ4
Referências:
• P. Ramond, Field Theory: A Modern Primer, 2nd
ed. (Revised Print-
ing), Addison-Wesley (1990).
• C. Nash,Relativistic Quantum Field, Academic Press (1978), cap. 1.
Para exemplificarmos como tratar as fun¸cões de Green de n pontos,
consideramos a densidade de hamiltoniana de part´ıculas escalares reais,
H(φ, ∂iφ, π; x, t) =
π2
(x, t)
2
+
1
2
( φ(x, t))2
+
1
2
m2
φ2
(x, t) + V (φ). (140)
44

V (φ) é a parte de auto-intera¸cão dos campos reais e é uma fun¸cão de φ
limitada inferiormente.
É importante lembrar que, na integral funcional, estamos integrando so-
bre todas as poss´ıveis configura¸cões de π(x, t), e que não estamos impondo
a restri¸cão
π(x) =
∂L
∂(∂φ(x)
∂t
)
=
∂φ(x)
∂t
. (141)
Voltando para a integral funcional da fun¸cão de Green de n pontos,
G(n)
(x1, . . . , xn) = Dφ(x)Dπ(x) φ(x1) . . . φ(xn) ×
×ei d4x[−π2
2
+π ˙φ]
e−i d4x[ 1
2
( φ)2+1
2
m2φ2+V (φ)]
. (142)
Lembrando que: π2
2
− π ˙φ = 1
2
[π2
− 2 ˙φ2
π] = 1
2
[(π − ˙φ)2
− ˙φ2
] e que
Dπ(x)e−i d4x[−π ˙φ+π2
2
]
2
= ei d4x
˙φ2
2 Dπ(x)e− i
2
d4x(π− ˙φ)2
. (143)
A integral funcional sobre π(x) no l. d. da equa¸cão acima, é apenas uma
constante multiplicativa. Portanto,
G(n)
(x1, . . . , xn) = Dφ(x) φ(x1) . . . φ(xn)ei d4x[1
2
( ∂φ
∂t
)2−1
2
( φ)2−1
2
m2φ2−V (φ)]
= Dφ(x) φ(x1) . . . φ(xn) ei d4x L
, (144)
onde
L =
1
2
∂µ
φ∂µφ −
1
2
m2
φ2
− V (φ), (145)
sendo que14
: ∂µ∂µ
= ∂2
∂t2 − 2
. Absorvemos na defini¸cão de Dφ(x) a constante
que vem da integral funcional funcional sobre π(x).
14
A defini¸cão da métrica está no Apêndice I.
45

Portanto, para as densidades de lagrangeana usuais, temos que
G(n)
(x1, . . . , xn) = Dφ(x) φ(x1) . . . φ(xn) ei d4x L
. (146)
Para mostrar que G(n)
(x1, . . . , xn) são as fun¸cões de Green de n pontos
conexas e desconexas, vamos tomar, por simplicidade, o modelo λφ4
, ou seja,
L =
1
2
∂µφ∂µ
φ −
1
2
m2
φ2
−
λ
4!
φ4
. (147)
Para este modelo, a fun¸cão de Green de n pontos vestida fica sendo
G(n)
(x1, . . . , xn) = Dφ(x) φ(x1) . . . φ(xn) ei d4x[ 1
2
∂µφ∂µφ−1
2
m2φ2− λ
4!
φ4]
.
(148)
A integral funcional é de quarta ordem nos campos φ, e, assim como não
sabemos resolver a integral indefinida em zero dimensões,
dxe−(x4+ax2+bx)
, (149)
não se tem esperan¸cas de obter o resultado anal´ıtico da integral funcional
(148). O que se faz é utilizar teoria de perturba¸cão na constante de acopla-
mento do potencial, se esta constante é pequena. Neste caso, a fun¸cão de
Green de n pontos fica:
G(n)
(x1, . . . , xn) = Dφ(x) φ(x1) . . . φ(xn) ×
×[1 + (−
iλ
4!
) dy1φ4
(y1) +
1
2!
(
−iλ
4!
)2
dy1dy2 φ4
(y1)φ4
(y2) +
+
1
3!
(−
iλ
4!
)3
dy1dy2dy3 φ4
(y1)φ4
(y2)φ4
(y3) + . . .] ×
×ei d4x[1
2
∂µφ∂µφ−1
2
m2φ2]
. (150)
46

Todos estes termos do l.d. da eq.(150) podem ser obtidos a partir da aplica¸cão
de derivadas funcionais ao funcional
Z0[J] = Dφ(x)ei d4x[ 1
2
∂µφ∂µ−1
2
m2φ2+J(x)φ(x)]
. (151)
em rela¸cão a J(x). Calculamos Z0[J] introduzindo o termo de amortecimento,
ou seja,
Z0[J] = Dφ(x)ei d4x[ 1
2
∂µφ∂µφ−1
2
(m2−i 2)φ2+J(x)φ(x)]
. (152)
Para obter as fun¸cões de Green de n pontos a partir de Z0[J], precisamos
explicitar a dependência em J(x) de Z0[J], pois as derivadas funcionais são
calculadas em rela¸cão a J(x). Apesar Z0[J] ser quadrático nos campos φ(x),
o resultado desta integral não é óbvio, pois nessa representa¸cão, a a¸cão não é
diagonal em φ(x). Para ter isso claro, note que a densidade de lagrangeana,
em uma dimensão espacial, depende de derivadas espaciais dos campos, ou
seja,
∂φ(x)
∂x
= lim
∆x→0
φ(x + ∆x) − φ(x)
∆x
, (153)
de maneira que a a¸cão envolve φ(x+∆x) e φ(x). Uma maneira de diagonalizar
a a¸cão clássica
S = d4
x[
1
2
∂µφ∂µ
φ −
1
2
(m2
− i 2
)φ2
+ J(x)φ(x)], (154)
é reescrever o integrando em termos das transformadas de Fourier do campo
e da corrente. As rela¸cões entre as transformadas de Fourier do campo e da
corrente são:
˜φ(p) =
1
(2π)2
d4
x eipx
φ(x),
φ(x) =
1
(2π)2
d4
p e−ipx ˜φ(p), (155)
47

e,
˜J(p) =
1
(2π)2
d4
x eipx
J(x),
J(x) =
1
(2π)2
d4
p e−ipx ˜J(p). (156)
Estamos usando a nota¸cão: px ≡ pµxµ
.
A a¸cão S escrita em termos das transformadas de Fourier do campo e da
corrente fica,
S = d4
x[
1
2(2π)4
d4
p1d4
p2(−i)2
p1µpµ
2
˜φ(p1)˜φ(p2)e−i(p1+p2)x
−
−
1
2
(m2
− i 2
)
(2π)4
d4
p1d4
p2
˜φ(p1)˜φ(p2)e−i(p1+p2)x
+
+
1
(2π)4
d4
p1d4
p2
˜J(p1)˜φ(p2)e−i(p1+p2)x
]. (157)
Como,
1
(2π)4
d4
x e−i(p1+p2)x
= δ(p1 + p2), (158)
a a¸cão S fica sendo
S = d4
p[
1
2
pµpµ ˜φ(p)˜φ(−p) −
1
2
(m2
− i 2
)˜φ(p)˜φ(−p) + ˜J(p)˜φ(−p)].
(159)
Realizamos uma mudan¸ca de variável em ˜φ(p), de maneira a reescrevermos
a expressão acima na forma de quadrados, ou seja,
˜φ (p) = ˜φ(p) +
˜J(p)
(p2 − (m2 − i 2))
. (160)
48

Calculando explicitamente, obtemos que
1
2
˜φ (p)[p2
− (m2
− i 2
)]˜φ (−p) −
1
2
˜J(p)
1
p2 − (m2 − i 2)
˜J(−p) =
=
1
2
˜φ(p)[p2
− (m2
− i 2
)]˜φ(−p) +
1
2
˜J(p)˜φ(−p) + ˜J(−p)˜φ(p) . (161)
No entanto, ao fazermos a mudan¸ca nas variáveis de integra¸cão: p → −p e
p0
→ −p0
, na integral da a¸cão, obtemos que:
d4
p ˜J(−p)˜φ(p) = d4
p ˜J(p)˜φ(−p), (162)
de forma que usando os resultados (161) e (162), reobtemos a a¸cão S.
Portanto, a a¸cão (157) pode ser reescrita como
S =
1
2
d4
p ˜φ (p)(p2
− (m2
− i 2
))˜φ (−p) −
−
1
2
d4
p ˜J(p)
1
p2 − (m2 − i 2)
˜J(−p), (163)
onde foi utilizada a mudan¸ca de variável (160). No espa¸co das quadri-
coordenadas, esta mudan¸ca de variáveis corresponde a:
φ (x) = φ(x) + F(x), (164)
onde F(x) é uma fun¸cão independente do campo φ(x), de forma que a medida
da integral funcional é invariante sob essa mudan¸ca de variável,
Dφ (x) = Dφ(x). (165)
A dependência da a¸cão na fonte externa J(x) foi separada na eq.(163).
Reescrevendo a a¸cão no espa¸co das quadri-coordenadas:
49

S =
1
2
d4
p
1
(2π)4
d4
x1d4
x2eipx1
φ (x1)(p2
− (m2
− i 2
)) e−ipx2
φ (x2) −
−
1
2
d4
p
1
(2π)4
d4
x1d4
x2eipx1
J(x1)
1
p2 − (m2 − i 2)
J(x2)e−ipx2
=
=
1
2
d4
x1d4
x2
1
(2π)4
d4
p φ (x1)[−∂2
2e−ipx2
− (m2
− i 2
)e−ipx2
]φ (x2)eipx1
−
−
1
2
d4
x1d4
x2J(x1)J(x2)
1
(2π)2
d4
p
1
(2π)2
e−ip(−x1+x2)
p2 − (m2 − i 2)
, (166)
onde ∂2
2 = ∂
∂x2µ
∂
∂xµ
2
. Definimos,
∆(x1 − x2) ≡
1
(2π)2
d4
p
1
(2π)2
e−ip(x2−x1)
p2 − (m2 − i 2)
, (167)
que é a transformada de Fourier do propagador livre. Como estamos inte-
grando sobre d4
p, temos da defini¸cão acima que ∆(x1 − x2) = ∆(x2 − x1).
Além disso,
1
(2π)4
dp(−∂2
2e−ipx2
)eipx1
= −∂2
2[
1
(2π)4
dpeip(x1−x2)
] = −∂2
2δ(x1 − x2),
(168)
e
1
(2π)4
dpe−ip(x1−x2)
= δ(x1 − x2). (169)
Portanto, a a¸cão S fica sendo
S =
1
2
d4
x1d4
x2[ −φ (x1)φ (x2)∂2
2δ(x2 − x1) −
−(m2
− i 2
)φ (x1)φ (x2)δ(x1 − x2)] −
1
2
d4
x1d4
x2J(x1)∆(x1 − x2)J(x2) ⇒
⇒ S =
1
2
d4
x φ (x)(−∂2
− (m2
− i 2
))φ (x) −
50

−
1
2
d4
x1d4
x2J(x1)∆(x1 − x2)J(x2). (170)
De forma que, voltando à expressão (152), temos que
Z0[J] = Dφ (x)e
i
2
d4x φ (x)(−∂2−(m2−i 2))φ (x)
e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
= Z0[J = 0]e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
. (171)
Note que Z0[0] é uma constante independente da fonte externa J(x) apli-
cada.
A expressão da fun¸cão de Green de n pontos é dada por (150)
G(n)
(x1, . . . , xn) = Dφ(x) φ(x1) . . . φ(xn) 1 + (−
iλ
4!
) d4
y1φ4
(y1) +
+
1
2!
(
−iλ
4!
)2
d4
y1d4
y2 φ4
(y1)φ4
(y2) +
+
1
3!
(
−iλ
4!
)3
d4
y1d4
y2d4
y3 φ4
(y1)φ4
(y2)φ4
(y3) +
+ . . . × ei d4x[1
2
∂µφ∂µφ−1
2
m2φ2]
, (172)
cujos termos podem ser obtidos através das derivadas funcionais de (171) em
rela¸cão a J(x) e calculadas para as correntes externas nulas (J(x) = 0).
Para conhecer as derivadas funcionais do funcional:
e− i
2
dx1dx2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
,em rela¸cão a corrente J(x). A partir da defini¸cão
de derivada funcional (55), temos que,
δ
δJ(y)
e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
=
= lim →0
1
e− i
2
d4x1d4x2[J(x1)+ δ(x1−y)]∆(x1−x2)[J(x2)+ δ(x2−y)]
−
−e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
=
= lim →0
1
e− i
2
d4x1d4x2∆(x1−x2)[J(x1)J(x2)+ δ(x1−y)J(x2)+ δ(x2−y)J(x1)+O( 2)]
−
51

−e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
=
= lim →0e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
×
×
e− i
2
d4x1J(x1)∆(y−x1)− i
2
d4x2J(x2)∆(y−x2)+O( 2)
− 1
=
= −i d4
x∆(y − x)J(x)e− i
2
d4x1d4x2 J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
,
onde usamos que a fun¸cão ∆(x1 − x2) é par. Assim,
δ
δJ(y)
e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
=
= −i dx ∆(y − x)J(x)e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
.
A derivada funcional de segunda ordem deste funcional é:
δ2
δJ(y)δJ(z)
e− i
2
d4x1d4x2 J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
=
= −i∆(y − z)e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
+
+(−i)2
d4
x1d4
x2 ∆(y − x1)∆(z − x2)J(x1)J(x2) ×
×e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
. (173)
Para vermos como isso tudo funciona, consideremos o caso da fun¸cão de
Green n = 2. Então,
G(2)
(x1, x2) = Dφ(x) φ(x1)φ(x2)[1 −
iλ
4!
d4
y1φ4
(y1) + . . .] ×
×ei d4x [ 1
2
∂µφ∂µφ−1
2
(m2−i )φ2]
.
Note que temos no integrando uma expansão em potências de λ. Para
cada ordem de λ na expansão temos potências do termo dxφ4
(x). Neste
caso, no ponto x temos 4 operadores de campo, e estamos somando sobre
todas as poss´ıveis posi¸cões x. Utilizamos gráficos para representar os termos
que aparecem ordem a ordem na expansão da constante de acoplamento.
52

Usamos a representa¸cão gráfica abaixo para um vértice no ponto espa¸co-
temporal x, de onde saem quatro pernas para representar que temos quatro
campos escalares com argumento x:
X1
X1
Vértice da teoria λφ4
.
Além disso, vemos da expressão (151) para Z0[J] que os termos de G(2)
(x1, x2)
podem ser escritos como derivadas funcionais deste funcional, ou seja,
G(2)
(x1, x2) =
1
i2
δ2
Z0[J]
δJ(x1)δJ(x2)
|J=0 −
iλ
4!
1
i6
d4
x
δ6
Z0[J]
δJ(x1)δJ(x2)δ4J(x)
|J=0 + . . . .
Substituindo Z0[J] pela sua expressão (171), a fun¸cão de Green G(2)
(x1, x2)
é escrita como:
G(2)
(x1, x2)
Z0[0]
=
1
i2
δ2
δJ(x1)δJ(x2)
|J=0 −
iλ
4!
1
i6
d4
x
δ6
δJ(x1)δJ(x2)δ4J(x)
|J=0 +
+ . . . × e− i
2
d4x1d4x2 J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
. (174)
O primeiro termo do l. d. da eq.(174) foi calculado explicitamente na
eq.(173), e vimos que resulta: −i∆(x1 − x2).
XX2X1X1
Representa¸cão gráfica de −i∆(x1 − x2)
53

Este é o termo de ordem λ0
, e portanto, não há qualquer vértice. O se-
gundo termo do l. d. da eq.(174) é obtido calculando-se explicitamente as
derivadas funcionais, ou reconhecendo que os termos obtidos da derivada fun-
cional apresentam todos os poss´ıveis gráficos que obtemos ligando os pontos
x1, x2 e x, e que da posi¸cão x saem 4 linhas.
X 1
X X 2
(a)
X 1
X
X 2
(b)
Gráficos referentes a (a) (−i)2
d4
x∆(x1 − x)∆(x − x2)∆(x − x) e
(b) ∆(x1 − x2) d4
x∆2
(x − x)
Como nas posi¸cões x1 e x2 temos apenas um campo, de cada um desses
pontos parte apenas uma linha. No caso de λφ4
(x), temos vários campos
idênticos na mesma posi¸cão x, e, para as derivadas funcionais, as li-
nhas que saem de x são distintas. Logo, cada gráfico é multiplicado por
uma constante, chamada fator de simetria, que varia de gráfico para gráfico.
Quando multiplicamos as expressões associadas aos gráficos pelos fatores de
simetria, fazemos uma rela¸cão um a um entre os gráficos e os termos na
expansão de ordem λ nas fun¸cões de Green de n pontos. Assim,
G(2)
(x1, x2)
Z0[0]
=
XX2
XX11
XX XX2
X1
X1
XX
X1X1 XX2
+ N1
+ N2
(c)(b)(a) (175)
54

onde N1 e N2 são os fatores de simetria. Os gráficos (a) e (b) são chama-
dos de gráficos conexos, e o gráfico (c) é denominado de gráfico desconexo.
Além disso, como o gráfico (c) tem linhas que se fecham sobre si mesmas,
sem estarem ligadas a pontos externos, estes gráficos são bolhas de flutua¸cão
de vácuo. Os gráficos que envolvem bolhas de flutua¸cão de vácuo não con-
tribuem para as fun¸cões de Green, pois são normalizadas de forma a cancelar
a contribui¸cão das bolhas de vácuo. Para termos uma idéia de como eles se
cancelam, vamos definir a fun¸cão geratriz dos gráficos conexos e desconexos
Z[J]:
Z[J] = Dφ(x) ei d4x [1
2
∂µφ∂µφ−1
2
(m2−i )φ2− λ
4!
φ4]+i d4xJ(x)φ(x)
. (176)
Notemos que
Z[0] = Dφ(x) ei d4x[1
2
∂µφ∂µφ−1
2
(m2−i )φ2− λ
4!
φ4]
=
= Dφ(x) 1 + (−i
λ
4!
) d4
x φ4
(x) +
1
2!
(
−iλ
4!
)2
d4
x1d4
x2 φ4
(x1)φ4
(x2)+
+ . . . × ei d4x[ 1
2
∂µφ∂µφ−1
2
(m2−i )φ2]
,
que representam os gráficos sem pernas externas, pois todos os pontos xi
estão sendo integrados. A representa¸cão gráfica de Z[0] é:
Z[0] = Z0[0] ×
+ N3[x ]+ ...1 + 2N+ N1
+ N4
(177)
onde Nj são os fatores de simetria. Estes gráficos são divergentes.
Quando voltamos para a fun¸cão de Green de n pontos, e tomamos o caso
particular n = 2, não é dif´ıcil ver que
55

G(2)
(x1, x2)
Z0[0]
=
2X
1n n2
n2XX
1n
2X
X1
X1
...
( XX
(
1 + + + ...)
)++ ...+1 +
+
(178)
e mostra-se que n1 = N1, n2 = N2, . . . , nj = Nj, . . ., de forma que esses
termos divergentes desaparecem, e tomamos a quantidade
G(2)
(x1, x2)
Z[0]
=
+1X1 XX2 2
XX11
XX
N1
X
2
XX11
XX
N2+ +...
+X
(179)
A expressão (179) é chamada de propagador vestido.
Consideremos agora a fun¸cão de Green de 4 pontos. Representamos grafi-
camente o que obtemos através de derivadas funcionais com rela¸cão a J(x).
Então,
G(4)
(x1, x2, x3, x4)
Z[0]
=
56

+
X1 X2
X4
X3
X1 X2
X4
X3
X1 X2
X4
X3
X1 X2
X4
X3
X
M1
X1 X2
X4
X3
+M2
X1 X2
X4
X3
+ ...3
M
+ ++ +
(180)
onde M1, M2, · · · são os fatores de simetria de cada gráfico na expansão.
Note que, na fun¸cão de Green G(4)
Z[0]
, temos gráficos conexos e desconexos.
Para eliminar os gráficos de auto-energia (flutua¸cão do vácuo) e não ter-
mos que escrever sempre a constante Z[0], redefinimos a fun¸cão de Green de
n pontos (134) como sendo:
G(n)
(x1, . . . , xn) ≡
Dφ(x) φ(x1) . . . φ(xn)ei d4x L
Dφ(x) ei d4x L
. (181)
No modelo λφ4
que temos considerado explicitamente, a densidade de
lagrangeana é dada pela eq.(147),
L =
1
2
∂µφ∂µ
φ −
1
2
m2
φ2
−
λ
4!
φ4
. (182)
Podemos reescrever a fun¸cão geratriz Z[J] como uma série de Taylor
funcional em termos da corrente externa J(x). Os coeficientes da série de
Taylor funcional são as fun¸cões de Green, ou seja,
Z[J] = Z[0] 1 +
∞
n=1
in
n!
d4
x1 . . . d4
xnG(n)
(x1, . . . , xn)J(x1) . . . J(xn) ,
(183)
onde as fun¸cões de Green envolvidas incluem gráficos conexos e desconexos.
57

No entanto, é poss´ıvel definir o funcional W[J] tal que ele seja a fun¸cão
geratriz das fun¸cões de Green de n pontos que só envolvem gráficos conexos.
Seja
Z[J] = eiW[J]
. (184)
Neste caso, usando a série de Taylor para o funcional W[J], temos que
W[J] = W[0] +
∞
n=1
in
n!
d4
x1 . . . d4
xn G(n)
c (x1, . . . , xn)J(x1) . . . J(xn), (185)
onde
in
G(n)
c (x1, . . . , xn) =
δn
W[J]
δJ(x1) . . . δJ(xn)
|J=0. (186)
Pela igualdade (184), temos que
G(n)
c (x1, . . . , xn) =
1
in+1
δn
lnZ[J]
δJ(x1) . . . δJ(xn)
|J=0. (187)
Para vermos que para as novas fun¸cões de Green contribuem apenas os
gráficos conexos, consideremos o caso particular de n = 2. Então,
i2+1
G(2)
c (x1, x2) =
δ2
lnZ[J]
δJ(x1)δJ(x2)
|J=0 =
δ
δJ(x1)
1
Z[J]
δZ[J]
δJ(x2)
|J=0 =
= −
1
Z[J]2
δZ[J]
δJ(x1)
δZ[J]
δJ(x2)
|J=0 +
1
Z[J]
δ2
Z[J]
δJ(x1)δJ(x2)
|J=0.
Portanto,
G(2)
c (x1, x2) = G(2)
(x1, x2) − G(1)
(x1)G(1)
(x2).
A fun¸cão de Green G(1)
(x) é igual ao valor médio do campo escalar no
vácuo. Como estamos considerando o caso em que m > 0 e λ > 0, então
58

o m´ınimo do potencial V (φ) = λ
4!
φ4
+ m2
2
φ2
é em φ(x) = 0. De forma que:
G(1)
(x1) = G(1)
(x2) = 0.
Usando método de recorrência, é poss´ıvel mostrar que,
G(n)
c (x1, . . . , xn) = G(n)
(x1, . . . , xn) −
<φ(x1)...φ(xn)>
< φ . . . >c . . . < φ . . . >c,
(188)
onde a soma é sobre todas as poss´ıveis parti¸cões de φ(x1) . . . φ(xn) em sub-
conjuntos. Desta forma, só restam em G(n)
c os gráficos conexos, ou seja
G(2)
c (x1, x2) =
++ N1 N2 + ...
(189)
G(4)
(x1, x2, x3, x4) =
X1 X2
X4
X3
X
+
X1 X2
X4
X3
+ ...
M1
(190)
Um gráfico poss´ıvel para G(2)
c é
X1
X2
Y2Y1 (191)
que é um gráfico conexo; porém se cortarmos a linha que liga os pontos y1
e y2, ele se quebra em dois outros gráficos poss´ıveis. Este tipo de gráfico é
dito redut´ıvel.
O funcional W[J] é denominado de geratriz das fun¸cões de Green conexas.
59

5 Fun¸cões de Vértice, ou Gráficos 1PI (One
Particle Irreducible)
Referências:
• Mark S. Swanson, Path Integrals and Quantum Processes, Academic
Press Inc. (1992), section 8.1.
• C. Nash, Relativistic Quantum Fields, Academic Press (1978), cap. 1.
• Daniel J. Amit, Field Theory, the Renormalization Group and Critical
Phenomena, McGraw-Hill (1978).
Come¸camos a estudar as fun¸cões de Green através de Z[J] que dá a
amplitude de transi¸cão vácuo-a-vácuo na presen¸ca de uma corrente J(x). As
fun¸cões de Green normalizadas (eq.(181)),
in
G(n)
(x1, . . . , xn) =
1
Z[0]
δn
Z[J]
δJ(x1) . . . δJ(xn)
|J=0, (192)
incluem contribui¸cão dos gráficos conexos e desconexos. Para nos livrarmos
da parte não conexa das fun¸cões de Green (192), definimos a transforma¸cão
(184), ou seja,
Z[J] = eiW[J]
⇒ W[J] = −ilnZ[J]. (193)
As fun¸cões de Green associadas ao funcional gerador W[J] são (eq.(187)):
in+1
G(n)
c (x1, . . . , xn) =
δn
W[J]
δJ(x1) . . . δJ(xn)
|J=0. (194)
Os gráficos associados a G(n)
c são todos conexos. Uma coisa interessante de
se notar é que G(1)
(x1) = G(1)
c (x1), isto é,
G(1)
(x1) =
1
i
1
Z[0]
δZ[J]
δJ(x1)
|J=0 (195)
e
60

G(1)
c (x1) =
1
i
1
Z[J]
δZ[J]
δJ(x1)
|J=0 =
1
i
1
Z[0]
δZ[J]
δJ(x1)
|J=0. (196)
Devemos lembrar que
G(1)
(x1) =
1
i
1
Z[0]
Dφ(x) φ(x1) ei d4x L
φ(x1)
=
1
Z[0]
0|φ(x1)|0 = G(1)
c (x1), (197)
onde 0|φ(x1)|0 é a configura¸cão média do campo escalar no estado funda-
mental do sistema para J(x) = 0.
Vejamos a representa¸cão gráfica das fun¸cões de Green que contribuem
para W[J]. Tomemos, por exemplo, os seguintes gráficos, presentes em
G(2)
c (x1, x2):
(a) (b) (c) (198)
A diferen¸ca entre os gráficos (a), (b) e (c) está em que, se cortarmos a linha
que liga as duas bolhas na figura (b), a figura se quebra em duas:
(199)
o que não acontece com as figuras (a) e (c). Se retirarmos qualquer uma
das retas dos gráficos (a) ou (c), o gráfico resultante continua ainda sendo
um único gráfico conexo. Os gráficos (a) e (c) são chamados gráficos irre-
dut´ıveis, enquanto que o gráfico (b) é denominado de gráfico redut´ıvel.
A importância dos gráficos irredut´ıveis está em que qualquer gráfico re-
dut´ıvel pode ser obtido ligando propagadores da teoria livre a gráficos irre-
dut´ıveis. Por exemplo, temos:
61

, (200)
onde a bolha cheia representa a contribui¸cão dos gráficos irredut´ıveis de dois
pontos em todas as ordens em teoria de perturba¸cão, ou seja,
...= + + +( )
-1
(201)
Nos gráficos irredut´ıveis amputamos os propagadores externos, que no espa¸co
dos momentos têm a representa¸cão gráfica :
1
p2 − (m2 − i )
=
p
=⇒ p2
− (m2
− i ) = (
p
)−1
(202)
Definimos a transformada de Legendre do funcional gerador W[J] e que-
remos mostrar que esta transformada de Legendre é o funcional gerador dos
gráficos irredut´ıveis. Seja o funcional Γ[¯φ] definido como,
Γ[¯φ] = W[J] − d4
y J(y)¯φ(y), (203)
onde
¯φ(x) =
δW[J]
δJ(x)
= G(1)
c (x), (204)
ou seja, pela eq.(197) temos que ¯φ(x) = 0|φ(x1)|0 J , sendo |0 o vetor de
estado do vácuo do sistema na presen¸ca de uma fonte externa J(x). A
62

transformada de Legendre (203) é cont´ınua, pois envolve parâmetros cujos
´ındices variam continuamente (J(x)). O gerador Γ[¯φ] é um funcional de ¯φ(x)
e não depende explicitamente de J(x). Calculemos a varia¸cão funcional de
Γ[¯φ] em termos de ¯φ, ou seja,
Γ[¯φ]
δ ¯φ(x)
=
δW[J]
δ ¯φ(x)
− d4
y
δJ(y)
δ ¯φ(x)
¯φ(y) − J(x). (205)
Porém, usando a regra da cadeia para derivadas funcionais (eq.(67)), temos
que
δW[J]
δ ¯φ(x)
= d4
y
δW[J]
δJ(y)
δJ(y)
δ ¯φ(x)
⇒
δW[J]
δ ¯φ(x)
= d4
y ¯φ(y)
δJ(y)
δ ¯φ(x)
. (206)
Substituindo o resultado (206) na expressão (205), encontramos que
δΓ[¯φ]
δ ¯φ(x)
= −J(x). (207)
Resumindo, a transformada de Legendre (203), é definida como:
Γ[¯φ] = W[J] − d4
y J(y)¯φ(y), (208)
sendo que
¯φ(x) =
δW[J]
δJ(x)
e J(x) = −
δΓ[¯φ]
δ ¯φ(x)
. (209)
O funcional Γ[¯φ] é conhecido como a a¸cão efetiva do sistema. Para en-
tendermos o porque do nome, vamos calcular exatamente este funcional na
única teoria em que podemos fazê-lo exatamente: a teoria livre.
Obtivemos anteriormente (eq. (171)) que:
Z0[J] = Z0[0]e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
. (210)
Da rela¸cão (193) temos que
63

Z0[J] = eiW0[J]
. (211)
Calculando o logaritmo da expressão (211), obtemos:
W0[J] = −ilnZ0[0] −
1
2
d4
x1d4
x2J(x1)∆(x1 − x2)J(x2).
Entretanto, para se obter Γ[¯φ] apenas em fun¸cão de ¯φ(x) é necessário encon-
trar J = J(¯φ). No caso da teoria livre, sabemos também calcular exatamente
¯φ(x) na presen¸ca de uma fonte externa qualquer, ou seja,
¯φ(x) = 0|φ(x)|0 J =
1
iZ0[J]
δZ0[J]
δJ(x)
= −
i
Z0[J]
δ
δJ(x)
e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
Z0[0]
= − d4
y∆(x − y)J(y)e− i
2
d4x1d4x2 J(x1)∆(x1−x2)J(x2) Z0[0]
Z0[J]
.
Mas, pela eq.(171) temos que
e− i
2
d4x1d4x2 J(x1)∆(x1−x2)J(x2) Z0[0]
Z0[J]
= 1. (212)
Portanto,
¯φ(x) = − d4
y∆(x − y)J(y). (213)
Entretanto, precisamos inverter a eq.(213) uma vez que precisamos de:
J = J(¯φ). Uma maneira de inverter a equa¸cão acima é aplicar o operador
∂2
+ m2
a ¯φ(x), ou seja,
(∂2
+ m2
)¯φ(x) = − d4
y[(∂2
x + m2
)∆(x − y)]J(y), (214)
que usando o resultado do apêndice III (eq.(278)), temos que
64

(∂2
+ m2
)¯φ(x) = J(x). (215)
Na eq.(215) temos J(x) como um funcional de ¯φ(x), como desejamos.
Para obtermos Γ0[¯φ], temos então
Γ0[¯φ] = −ilnZ0[0] −
1
2
d4
x1d4
x2 J(x1)∆(x1 − x2)J(x2) −
− d4
y J(y)¯φ(y). (216)
Substituindo o resultado (215) na expressão (216), ficamos com
Γ0[¯φ] = −ilnZ0[0] −
−
1
2
d4
x1d4
x2 [(∂2
1 + m2
)¯φ(x1)]∆(x1 − x2)[(∂2
2 + m2
)¯φ(x2)] −
− d4
y [(∂2
y + m2
)¯φ(y)]¯φ(y). (217)
Integrando a eq.(217) por partes, e, usando o fato de que as fun¸cões de ¯φ(x)
tendem a zero na fronteira da região considerada, então
d4
x1 [(∂2
1 + m2
)¯φ(x1)]∆(x1 − x2) =
= d4
x1 [(∂2
1 + m2
)∆(x1 − x2)]¯φ(x2)
= −¯φ(x2). (218)
Assim, voltando a eq. (216), ficamos com
Γ0[¯φ] = −ilnZ0[0] +
1
2
d4
x2
¯φ(x2)[(∂2
2 + m2
)¯φ(x2)] −
− d4
x2
¯φ(x2)(∂2
+ m2
)¯φ(x2) ⇒
⇒ Γ0[¯φ] = −ilnZ0[0] −
1
2
d4
x ¯φ(x)(∂2
+ m2
)¯φ(x). (219)
65

Integrando por partes o segundo termo do l.d. da eq. (219), encontramos
que
−
1
2
d4
x ¯φ(x)(∂2
+ m2
)¯φ(x) = −
1
2
d4
x [−∂µ
¯φ∂µ ¯φ + m2 ¯φ(x)]. (220)
Logo,
Γ0[¯φ] = −ilnZ0[0] + d4
x L(¯φ(x), ∂µ
¯φ(x)), (221)
onde
L(¯φ(x), ∂µ
¯φ(x)) =
1
2
∂µ
¯φ(x) ∂µ ¯φ(x) −
1
2
m2 ¯φ(x), (222)
que coincide com a densidade de lagrangeana (147) quando λ = 0. Vemos que
Γ0[¯φ] é, essencialmente, a a¸cão do sistema, para a configura¸cão de vácuo ¯φ(x).
No caso geral em que temos intera¸cão não é conhecida a expressão exata de
Γ[¯φ], mas ainda assim identificamo-la com a a¸cão efetiva do sistema.
No caso geral, usamos métodos aproximados ou expansões para obter a
expressão de Γ[¯φ]. Temos dois tipos de expansões em ¯φ(x): uma é a expansão
não local, com a qual estamos mais acostumados e aparecem as fun¸cões de
vértice. A outra é a expansão local, na qual aparece o potencial efetivo.
Da mesma maneira que Z[J] e W[J] são funcionais da corrente externa
J(x) e têm séries de Taylor funcionais associadas, também Γ[¯φ] é um funcional
de ¯φ(x), e tem associada a si uma série de Taylor funcional. Não discutire-
mos aqui o caso em que existe quebra espontânea de simetria (veja
o livro do Amit, pág. 91).
Temos então a expansão em torno da configura¸cão de vácuo da teoria,
quando J(x) = 0, ou seja,
¯φ(x) =
δW[J]
δJ
|J=0, (223)
66

ou,
δΓ[¯φ]
δ ¯φ(x)
= J(x) = 0. (224)
Como estamos trabalhando com teorias que por hipótese não possuem quebra
espontânea de simeteria (no nosso caso, m2
> 0), então,
¯φ(x) =
δW[J]
δJ
|J=0 = 0, (225)
e Γ[¯φ] pode ser escrita como uma expansão não local da forma
Γ[¯φ] =
∞
n=0
1
n!
d4
x1 . . . d4
xn Γ(n)
(x1, . . . , xn) ¯φ(x1) . . . ¯φ(xn), (226)
onde ¯φ(x) = δW[J]
δJ(x)
para J(x) = 0.
As fun¸cões Γ(n)
(x1, . . . , xn) são as chamadas fun¸cões de vértice, ou,
fun¸cões próprias de vértice. A rela¸cão entre Γ(n)
(x1, . . . , xn) e o funcional
gerador Γ[¯φ(x)] é:
Γ(n)
(x1, . . . , xn) =
δn
Γ[¯φ]
δ ¯φ(x1) . . . δ ¯φ(xn)
|J=0. (227)
As derivadas funcionais são calculadas na configura¸cão em que temos J(x) =
0. A situa¸cão mais simples (que é a que estamos considerando), é aquela na
qual ¯φ(x; J = 0) = 0.
Formalmente, conhecemos Γ[¯φ] e as fun¸cões próprias Γ(n)
(x1, . . . , xn),
mas, na verdade, só é poss´ıvel obter estas quantidades aproximadamente.
Precisamos relacioná-las às expressões perturbativas que temos para G(n)
e
G(n)
c . Para tanto, usamos as rela¸cões formais conhecidas (eqs.(208) e (209)):
Γ[¯φ] = W[J] − d4
y J(y)¯φ(y), (228)
67

e
¯φ(x) =
δW[J]
δJ(x)
, J(x) = −
δΓ[¯φ]
δ ¯φ(x)
. (229)
Assim,
δ2
W[J]
δJ(x)δJ(y)
=
δ ¯φ(x)
δJ(y)
, (230)
e
δ2
Γ[¯φ]
δ ¯φ(y)¯φ(z)
= −
δJ(y)
δ ¯φ(z)
. (231)
A partir das eqs.(230) e (231), decorre que
d4
y
δ2
Γ[¯φ]
δ ¯φ(y)δ ¯φ(z)
δ2
W[J]
δJ(x)δJ(y)
= − d4
y
δ ¯φ(x)
δJ(y)
δJ(y)
δ ¯φ(z)
= −
δ ¯φ(x)
δ ¯φ(z)
= −δ(x − z)
⇒ d4
y
δ2
Γ[¯φ]
δ2
W[J]
δJ(x)δJ(y)
= −δ(x − z). (232)
Portanto, − δ2Γ[¯φ]
é o inverso de δ2W[J]
δJ(x)δJ(y)
, para qualquer que seja o valor
da corrente externa. Em particular, temos que δ2W[J]
δJ(x)δJ(y)
|J=0 = G(2)
c (x, y), que
é a fun¸cão de dois pontos conexa da teoria, também chamada de propagador
vestido. Como nesta fun¸cão de dois pontos só temos gráficos conexos, então
graficamente, podemos escrever, no espa¸co dos momenta:
G(2)
c =
...+++ (233)
68

Note que é a unidade fundamental, a partir da qual todos os outros
gráficos conexos podem ser obtidos. Então,
1
[
1 -
1 + =...++ ]
= (234)
onde estamos supondo que o gráfico no denominador do lado direito é menor
que um, para que a série seja convergente. A figura nos dá a representa¸cão
gráfica de G(2)
c . Dividindo por p
, temos que
G(2)
c =
-
1
( )
-1
(235)
Como no espa¸co dos momenta,
G(2)
c Γ(2)
= −1 ⇒ Γ(2)
=
− (p2
− m2
) (236)
Vemos que a Γ(2)
estão associados os gráficos de dois pontos. Note que a
fun¸cão de dois pontos irredut´ıvel não possui pernas externas, da´ı serem estas
fun¸cões chamadas de fun¸cões de Green amputadas.
Vejamos o que acontece com Γ(3)
. Já vimos da eq. (232) que
d4
x
δ2
Γ[¯φ]
δ ¯φ(x)δ ¯φ(z)
δ2
W[J]
δJ(x)δJ(y)
= −δ(y − z).
69

Derivando funcionalmente a expressão anterior com rela¸cão a J(w) encon-
tramos
d4
x
δ2
Γ[¯φ]
δ3
W[J]
δJ(x)δJ(y)δJ(w)
+
+ d4
x
δ3
Γ[¯φ]
δ ¯φ(x)δ ¯φ(z)δJ(w)
δ2
W[J]
δJ(x)δJ(y)
= 0 ⇒
⇒ d4
x
δ2
Γ[¯φ]
δ3
W[J]
δJ(x)δJ(y)δJ(w)
+
+ d4
x1d4
x2
δ3
Γ[¯φ]
δ ¯φ(x1)δ ¯φ(z)δ ¯φ(x2)
δ ¯φ(x2)
δJ(w)
δ2
W[J]
δJ(x1)δJ(y)
= 0, (237)
com δ ¯φ(x2)
δJ(w)
= δ2W[J]
δJ(x2)δJ(w)
. Multiplicando cada um dos termos da eq.(237) por
δ2
Γ[¯φ]
δ ¯φ(y)δ ¯φ(X)
δ2
Γ[¯φ]
δ ¯φ(w)δ ¯φ(Y )
, (238)
e integrando sobre y e w, ficamos com
d4
xd4
yd4
w
δ2
Γ[¯φ]
δ3
W[J]
δJ(x)δJ(y)δJ(w)
δ2
Γ[¯φ]
δ2
Γ[¯φ]
+
+ d4
x1d4
x2 d4
y
δ2
W[J]
δJ(x1)δJ(y)
δ2
Γ[¯φ]
δ3
Γ[¯φ]
δ ¯φ(x1)δ ¯φ(z)δ ¯φ(x2)
×
× d4
w
δ2
W[J]
δJ(x2)δJ(w)
δ2
Γ[¯φ]
= 0. (239)
Os termos entre colchetes resultam, respectivamente, em −δ(x1−X) e −δ(Y −
x2). Portanto,
Γ(3)
(X, Y, t) ≡
δ3
Γ[¯φ]
δ ¯φ(X)δ ¯φ(z)δ ¯φ(Y )
=
= − d4
xd4
yd4
w
δ2
Γ[¯φ]
δ2
Γ[¯φ]
δ3
W[J]
δJ(x)δJ(y)δJ(w)
δ2
Γ[¯φ]
.
(240)
70

Então, como δ2Γ
δ ¯φ(x1)δ ¯φ(x2)
é o inverso do propagador, a fun¸cão de vértice
Γ(3)
é a fun¸cão de Green conexa amputada do propagador vestido nas pernas
externas. Diagramaticamente,
Γ
(3)
W =
(241)
De forma que Γ(3)
é a soma dos gráficos de 3 pontos irredut´ıveis. Assim,
generalizando para qualquer n, Γ(n)
é igual à soma dos gráficos irredut´ıveis
amputados com n pontos externos.
Finalmente, vejamos a expansão local do funcional gerador dos gráficos
1PI. Fazemos uma expansão de Γ[¯φ(x)] em torno de uma configura¸cão espe-
c´ıfica ¯φ(x):
−Γ[¯φ] = dx V (¯φ(x)) +
1
2
dx Z(¯φ(x))(∂ ¯φ(x))2
+ . . . , (242)
onde V e Z são fun¸cões ordinárias de ¯φ(x), e apenas de ¯φ(x), nunca de
suas derivadas. V (¯φ) é chamado de potencial efetivo do sistema. Quando a
configura¸cão média é independente da posi¸cão, ¯φ(x) = ¯φ = cte,
−Γ[¯φ] = V (¯φ)Ω, (243)
onde Ω = d4
x. É importante ressaltar que, uma vez que sabemos a de-
pendência funcional de V com ¯φ = cte., sabemos que essa dependência é
válida para qualquer ¯φ(x), pois V não envolve derivadas de ¯φ(x).
O potencial efetivo é dado pela soma das fun¸cões irredut´ıveis com mo-
mentum externo nulo. Par vermos isto, consideramos o funcional da a¸cão
efetiva do modelo λφ4
na ausência de quebra espontânea de simetria,
71

Γ[¯φ] =
∞
n=0
1
n!
d4
x1 . . . d4
xn Γ(n)
(x1, . . . , xn)¯φ(x1) . . . ¯φ(xn). (244)
Como a teoria deve ser invariante sob transla¸cões, temos que
Γ(n)
(x1, . . . , xn) = Γ(n)
(x2 − x1, x3 − x1, . . . , xn − x1). (245)
Consideremos o caso n = 4; então,
Γ(4)
(x1, x2, x3, x4) = Γ(4)
(x2 − x1, x3 − x1, x4 − x1). (246)
Mas
Γ(4)
(x2 − x1, x3 − x1, x4 − x1) =
=
1
[(2π)4]3
d4
p2ei(x2−x1)p2
d4
p3ei(x3−x1)p3
d4
p4 ei(x4−x1)p4 ˜Γ(4)
(p2, p3, p4)
=
1
[(2π)4]3
d4
p2d4
p3d4
p4 eix2p2
eix3p3
eix4p4
e−ix1(p2+p3+p4) ˜Γ(4)
(p2, p3, p4).
(247)
Logo,
Γ(4)
(x1, x2, x3, x4) =
=
1
[(2π)4]3
d4
p1d4
p2d4
p3d4
p4 δ(p1 + p2 + p3 + p4) ×
×eip1x1
eix2p2
eix3p3
eix4p4 ˜Γ(4)
(p2, p3, p4). (248)
Substituindo esta expressão na eq. (244) temos
Γ[¯φ] =
∞
n=0
1
n!
d4
x1 . . . d4
xn d4
p1
d4
p2
(2π)4
. . .
d4
pn
(2π)4
¯φ(x1) . . . ¯φ(xn) ×
×ei(p1x1+...+pnxn)
δ(p1 + . . . + pn)˜Γ(n)
(p1, . . . , pn). (249)
72

Expandindo ˜Γ(n)
(p1, . . . , pn) em torno da configura¸cão p1 = . . . = p2 = 0,
ou seja,
˜Γ(n)
(p1, . . . , pn) = ˜Γ(n)
(0, . . . , 0) + pi
∂˜Γ(n)
∂pi
|{0} +
+
1
2!
pipj
∂2 ˜Γ(n)
∂pi∂pj
|{0},i≥j + . . . , (250)
onde estamos usando a conven¸cão de soma sobre os´ındices repetidos. Voltando
à expressão (244), temos
Γ[¯φ] =
∞
n=0
1
n!
d4
x1 . . . d4
xn d4
p1
d4
p2
(2π)4
. . .
d4
pn
(2π)4
¯φ(x1) . . . ¯φ(xn) ×
×ei(p1x1+...+pnxn)
δ(p1 + . . . + pn)˜Γ(n)
(0, . . . , 0) +
+
∞
n=0
1
n!
d4
x1 . . . d4
xn d4
p1
d4
p2
(2π)4
. . .
d4
pn
(2π)4
¯φ(x1) . . . ¯φ(xn) ×
×ei(p1x1+...+pnxn)
δ(p1 + . . . + pn)pi
∂˜Γ(n)
∂pi
|{0} + . . .
Assim,
Γ[¯φ] =
∞
n=0
˜Γ(n)
(0, . . . , 0)
n!
d4
x1 . . . d4
xn d4
p1
d4
p2
(2π)4
. . .
d4
pn
(2π)4
×
×¯φ(x1) . . . ¯φ(xn) ei(p1x1+...+pnxn)
δ(p1 − (−p2 − . . . − pn)) +
+
∞
n=0
1
n!
∂˜Γ(n)
∂pi
|{0} d4
x1 . . . d4
xn d4
p1
d4
p2
(2π)4
. . .
d4
pn
(2π)4
¯φ(x1) . . . ¯φ(xn) ×
×ei(p1x1+...+pnxn)
δ(p1 + . . . + pn)pi + . . . .
73

Vamos considerar cada integral em separado:
a)
d4
x1 . . . d4
xn d4
p1
d4
p2
(2π)4
. . .
d4
pn
(2π)4
¯φ(x1) . . . ¯φ(xn) ×
×ei(p1x1+...+pnxn)
δ(p1 − (−p2 − . . . − pn)) =
= d4
x1 . . . d4
xn
¯φ(x1) . . . ¯φ(xn)δ(x2 − x1)δ(x3 − x1) . . . δ(xn − x1)
= d4
x1
¯φn
(x1).
b)
d4
x1 . . . d4
xn d4
p1
d4
p2
(2π)4
. . .
d4
pn
(2π)4
¯φ(x1) . . . ¯φ(xn) ×
×ei(p1x1+...+pnxn)
δ(p1 + . . . + pn)pi =
d4
x1 . . . d4
xn d4
p1
d4
p2
(2π)4
. . .
d4
pn
(2π)4
δ(p1 + . . . + pn)
∂
∂xi
ei(p1x1+...+pnxn)
×
×¯φ(x1) . . . ¯φ(xi) . . . ¯φ(xn).
Mas,
∂
∂xi
[ei(p1x1+...+pnxn) ¯φ(x1) . . . ¯φ(xi) . . . ¯φ(xn)] =
=
∂ei(p1x1+...+pnxn)
∂xi
¯φ(x1) . . . ¯φ(xi) . . . ¯φ(xn) +
+ei(p1x1+...+pnxn) ¯φ(x1) . . .
∂ ¯φ(xi)
∂xi
. . . ¯φ(xn). (251)
O termo do l.e. da eq.(251) é um termo de superf´ıcie, e, supondo que ϕc(x)
vá a zero para x → ∞, este não contribui para a integral (b). Sendo assim,
a integral (b) fica
74

d4
x1 . . . d4
xn d4
p1
d4
p2
(2π)4
. . .
d4
pn
(2π)4
δ(p1 + . . . + pn)ei(p1x1+...+pnxn)
×
×¯φ(x1) . . .
∂ ¯φ(xi)
∂xi
. . . ¯φ(xn) =
= − d4
x1 . . . d4
xn
d4
p2
(2π)4
. . .
d4
pn
(2π)4
eip2(x2−x1)
eip3(x3−x1)
. . . eipn(xn−x1)
×
×¯φ(x1) . . .
∂ ¯φ(xi)
∂xi
. . . ¯φ(xn)
= − d4
x1
¯φn−1
(x1)
∂ ¯φ(x1)
∂x1
.
Assim,
d4
x1 . . . d4
xn
d4
p2
(2π)4
. . .
d4
pn
(2π)4
piδ(p1 + . . . + pn) ×
×¯φ(x1) . . . ¯φ(xn) ei(p1x1+...+pnxn)
=
= − d4
x1
¯φn−1
(x1)
∂ ¯φ(x1)
∂x1
.
Voltando à expressão (244) temos
Γ[¯φ] =
∞
n=0
˜Γ(n)
(0, . . . , 0)
(n)!
d4
x1
¯φn
(x1) −
−
∞
n=0
1
(n)!
∂˜Γ(n)
∂pi
|{0} d4
x1
¯φn−1
(x1)
∂ ¯φ(x1)
∂x1
+ . . . . (252)
A primeira derivada de ˜Γ é nula, pelo menos no caso em que não há quebra
espontânea de simetria. Entretanto, a forma na qual as derivadas superi-
ores dos campos aparecem nesta expressão é a mesma que obtivemos para a
primeira derivada.
75

6 Apêndice I: Métrica
O produto escalar no espa¸co de Minkowski em 4-dimensões espa¸co-temporal
é definido como:
a · b = aµbµ
= gµν
aµbν, µ, ν = 0, 1, 2, 3, (253)
onde o tensor métrico gµν
é escolhido como:
gµν = gµν
=





1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1





. (254)
Para escrever a métrica de forma suscinta, usamos a nota¸cão:
gµν = diag(1, −1, −1, −1). Na eq.(253) usamos a conven¸cão de soma impl´ıcita
em que somamos sobre ´ındices repetidos. Continuaremos a usar esta con-
ven¸cão nestas notas.
Os vetores contra-variantes são definidos como:
xµ
= (t, x), (255)
enquanto que os vetores covariantes são definidos como:
xµ = (t, −x), (256)
Relacionamos os vetores contra-variantes e covariantes através do tensor
métrico:
xµ = gµνxν
e xµ
= gµν
xν. (257)
Os 4-vetores diferenciais são definidos como:
∂
∂xµ
≡ ∂µ = (
∂
∂t
, ), (258)
76

e
∂
∂xµ
≡ ∂µ
= (
∂
∂t
, − ). (259)
A rela¸cão (257) entre os vetores covariante e contra-variante continua
válida para o 4-vetores diferenciais,
∂µ = gµν∂ν
e ∂µ
= gµν
∂ν. (260)
O operador diferencial d’Alambertiano é um escalar de Lorentz:
∂2
≡ ∂µ∂µ
=
∂2
∂t2
− 2
= . (261)
7 Apêndice II: Prolegomena de Mecânica
Est´ıstica
Seja {|n }, o conjunto de auto-vetores da hamiltoniana H, que descreve o
sistema quântico,
H|n = En|n , (262)
onde En são os autovalores correspondentes. Os estados |n são escolhidos
ortonormais,
n|m = δnm. (263)
Assumimos que os autoestados da hamiltoniana H formam uma base com-
pleta, de forma que satisfazem a rela¸cão de completeza,
77

|n
|n n| = 1l. (264)
Qualquer operador quântico Ô, pode ser escrito como:
Ô = 1l Ô1l =
n,m
|n n| Ô|m m|. (265)
Definimos os elementos da representa¸cão matricial do operador Ô na base
dos auto-vetores da hamiltoniana como:
onm ≡ n| Ô|m . (266)
O valor médio da quantidade f´ısica associada ao operador Ô, em qualquer
auto-estado da energia, é:
l| Ô|l =
n,m
l|n n| Ô|m m|l = oll. (267)
que dá os elementos da diagonal da respresenta¸cão matricial de Ô na base
dos vetores de estado com energia definida.
Quando o sistema quântico está em equil´ıbrio termodinâmico, a proba-
bilidade dele ser encontrado no estado |n , que é auto-estado de energia com
autovalor En, é:
Pn =
e−βEn
n e−βEn
, (268)
de forma que a média estat´ıstica e quântica é igual a:
Ô T =
onne−βEn
n e−βEn
=
1
Z n
n| Ô|n e−βEn
78

=
1
Z n,m
n| Ô|m m|e−βH
|n =
1
Z n
n| Ôe−βH
|n
=
Tr[ Ôe−βH
]
Tr[e−βH]
. (269)
Portanto, a média est´ıstica e quântica, de qualquer operador quântico é:
Ô T =
Tr[ Ôe−βH
]
Tr[e−βH]
. (270)
8 Apêndice III: Fun¸cão de Green da Teoria
Livre
O propagador da teoria livre é dado por
∆(x2 − x1) =
1
(2π)2
d4
p
1
(2π)2
e−ip(x2−x1)
p2 − (m2 − i )
, (271)
onde estamos usando a conven¸cão: px ≡ pµxµ
.
Queremos mostrar que ∆(x2 − x1) é a fun¸cão de Green da teoria livre.
Para isso, consideremos a equa¸cão de movimento do campo livre.
A densidade de Lagrangeana da teoria livre é:
L =
1
2
∂µφ∂µ
φ −
1
2
m2
φ2
. (272)
A equa¸cão de Euler-Lagrange é então
∂L
∂φ
− ∂µ(
∂L
∂(∂µφ)
) = 0 ⇒ ∂µ∂µ
φ + m2
φ2
= 0. (273)
Definindo ∂2
≡ ∂µ∂µ
, a equa¸cão clássica fica:
∂2
φ + m2
φ = 0. (274)
79

Aplicamos o operador ∂2
+ m2
à fun¸cão ∆(x2 − x1):
(∂2
1 + m2
)∆(x2 − x1) =
1
(2π)2
d4
p
1
(2π)2
(
∂2
∂t2
1
− 2
1 + m2
)
e−ip(x2−x1)
p2 − (m2 − i )
,
(275)
onde p2
= p2
0 − p 2
. Então,
(
∂2
∂t2
1
− 2
1)e−ip(x2−x1)
= (−p2
0 + p 2
)e−ip(x2−x1)
= −p2
e−ip(x2−x1)
. (276)
Assim,
(∂2
1 + m2
)∆(x2 − x1) =
1
(2π)4
d4
p
−p2
+ m2
p2 − (m2 − i )
e−ip(x2−x1)
= = −δ(x2 − x1). (277)
O i que aparece no denominador da expressão (277), não contribui, pois,
de uma maneira bastante heur´ıstica, vemos que o numerador e o denomi-
nador vão a zero na mesma região de momento e, portanto, o quociente dos
dois é finito.
Encontramos desta forma que ∆(x2 −x1) é a fun¸cão de Green da equa¸cão
de movimento clássica da teoria livre,
(∂2
+ m2
)∆(x2 − x1) = −δ(x2 − x1), (278)
e que a prescri¸cão do i é utilizada para escolher as condi¸cões de contorno
que da ∆(x1 − x2) deve satisfazer.
80

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