1. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos Conclusiones
Identificación
de puntos de mezcla de las bandas caóticas
en la ecuación logística
Miguel Rebollo
Taller de Caos
Máster en Física de Stmas. Complejos
Univ. Politécnica de Madrid
Enero, 2012
@mrebollo Taller Caos. MFSC. UPM
Identificación de puntos de mezcla de las bandas caóticas en la ecuación logística

2. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos Conclusiones
Introducción
Además de las bifurcaciones, el los mapas de sistemas dinámicos
discretos aparecen otros puntos que son importantes en el estudio
del comportamiento de los sistemas
punto de Feigenbaum-Myrberg: punto de acumulación de los
desdoblamiento de periodo 1,2,4,8,. . .
punto de Misiurewicz: puntos en los que cambia el perido
puntos vacíos o puntos de mezcla
Objetivo
En este trabajo se estudian los puntos de mezcla y cómo
calcularlos a partir de sistemas de polinomios
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Identificación de puntos de mezcla de las bandas caóticas en la ecuación logística

3. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos Conclusiones
Contenidos
1 Introducción
2 Ecuación logística
3 Bifurcaciones inversas y puntos de mezcla
4 Identificación de los puntos de mezcla mediante polinomios
críticos
5 Conclusiones
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Identificación de puntos de mezcla de las bandas caóticas en la ecuación logística

4. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos Conclusiones
Mapas logísticos
Modelo de crecimiento de poblaciones creado por Verhulst
(1845)
xn+1 = r · xn (1 − xn )
múltiples aplicaciones en diversos campos
interés por el comportamiento caótico que emerge a partir de
ciertos valores del parámetro r
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5. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos Conclusiones
Puntos de mezcla en el digrama de bifurcación
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6. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos Conclusiones
Histograma de bifurcación
En el punto que pasa de una órbita de periodo 6 a una de perido 3
las barras están agrupadas por parejas
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7. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos Conclusiones
Identificación de puntos vacíos
Cuando r = 4 los puntos se distribuyen por toda la banda. A partir
de r = 3,6785 . . . esta banda se desdobla en 2. Puede verse el
hueco en la serie temporal y en el histograma
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8. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos Conclusiones
Polinomios críticos
Definition (Polinomios críticos (Zeng et al., 1984))
Sea un mapa unidimensional xn+1 = f (r , xn ) y x0 un punto inicial
que produce órbitas superestables. Los polinomios críticos son un
sistema de polinomios de la forma
Pn+1 = f (r , Pn )
En el caso del mapa logístico Pn+1 = rPn (1 − Pn )
P0 = 1/2
P1 = r 1/2(1 − 1/2) = r /4
P2 = r · r /4(1 − r /4) = r 2 (1 − r /4)/4 = r 2 /4 − r 3 /16
P3 = . . .
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9. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos Conclusiones
Puntos de mezcla como cruces de los polinomios críticos
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10. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos Conclusiones
Superposición de los polinomios críticos
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Identificación de puntos de mezcla de las bandas caóticas en la ecuación logística

11. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos Conclusiones
Cálculo de los puntos de mezcla
Puntos de mezcla en la intersección de 2 polinomios
Los puntos de mezcla se encuentran en la intersección de al menos
2 polinomios críticos Pi y Pj . Para hallarlos, basta con calcular las
raíces de Pi − Pj = 0, siendo Pi el polinomio de mayor grado
Por ejemplo, en la figura, el punto de mezcla de la banda caótica
de periodo 1 con la banda caótica de periodo 2 se encuentra en la
primera intersección entre P3 y P4 .
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12. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos Conclusiones
Aproximación al diagrama de bifurcación
Si aumentamos el número de
polinomios obtenemos un
diagrama semejante al de
bifurcación (imagen generada
con 500 polinomios)
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13. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos Conclusiones
Aproximación al diagrama de bifurcación
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14. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos Conclusiones
Conclusiones
Los puntos de mezcla tienen propiedades interesantes en el
estudio de las bifurcaciones
los puntos de mezcla son intersecciones de dos o más
polinomios críticos
hallar los puntos de mezcla es equivalente a obtener las raíces
de un polinomio
inconveniente: el grado de dichos polinomios crece muy
rápidamente (2n + 1)
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