1. Introdução à Física Nuclear
Modelos Nucleares
Pojucan, M.M.S.
Trabalho apresentado à Disciplina de Introdução à Física
Nuclear ministrada pelo Prof. MS.c. Ubiratan Barbosa.

2. 1. Introdução
O Átomo
Existe uma grande diferença entre o estudo teórico dos
átomos e o estudo teórico dos núcleos. Os estudos sobre as
forças atuantes nos elétrons dos átomos eram bem
conhecidas em comparação com o que se sabia a respeito dos
das propriedades dos átomos.

3. 1. Introdução
Propriedades dos núcleos
As forças nucleares não são triviais, apesar de dispormos
atualmente de uma gama considerável de informações sobre
o núcleo, não existe uma modelo amplo dos núcleos. Com
base nisso, não podemos explicar todas as propriedades de
um núcleo atômico unicamente pela relação de suas forças
nucleares. Apesar de já termos alguns modelos e teorias
cujas validades são restritas.

4. 1. Introdução
Diferença fundamental Átomo x Núcleo
A diferença fundamental entre o átomo e seu núcleo é o nível
de energia.
Energia dos Núcleos Na ordem de 1 MeV
Energia dos átomos Na ordem de 1 eV

5. 1. Introdução
Diferença fundamental Átomo x Núcleo
Devido essa diferença, explica-se excitação de um átomo, sua
relativa facilidade de se ligar a outros átomos, constituindo a
maioria dos compostos químicos.
Devido a maior energia dos núcleos, necessita-se de
condições especiais para excitá-los.

6. 2. Propriedade dos núcleos
O comprimento característico dos núcleos é cinco ordens de
grandeza inferior ao comprimento de 1Å característico dos
átomos. Seu valor é:
10 −13 cm = 10 −15 m = 1 fentómetro = 1 fm
onde fm significa Fermi, que é a unidade de comprimento
nuclear.

7. 2. Propriedade dos núcleos
Densidade dos núcleos
A densidade dos núcleos é dada pela seguinte equação:
ρ (0)
ρ (r ) =
1 + e (r − a )/ b
Onde:
a= 1,07 A1/3 fm (raio a meia altura);
ρ (r) é a densidade do núcleo em função do raio do núcleo,
b = 0,5 fm. Com base nisso, sabe-se que o valor da densidade
cai lentamente a medida que o valor de A aumenta

8. 3. Principais modelos de nucleares
O núcleo do átomo dispõe dos seguintes modelos principais:
I) Modelo da Gota Líquida
II) Modelo de gás de Fermi
III) Modelo de capas ou Modelo de Camadas
IV) Modelos coletivos
V) Modelos unificados

9. 4. Modelo da Gota Líquida 1,
O modelo da Gota Líquida que foi criado por Borh,
basicamente, trata o núcleo como um esfera que possui
densidade constante em seu interior e rapidamente decresce
para zero quando chega em sua superfície onde seu volume e
raio são descritos pela equação abaixo:
4 3
πR ~ A
3
Onde, R = R0 A1/ 3
R é o Raio do núcleo;
A é a massa nuclear,
R0 é o raio de Férmi

10. 4. Modelo da Gota Líquida 1,2
O modelo da gota líquida se baseia em duas principais
propriedades:
1) As densidades de massa dos núcleos são praticamente as
mesmas
2) energias totais de ligação são diretamente proporcionais às
massas nucleares pois
B( A, Z )
f = ≅ C te
Onde: A
f = Energia de ligação média por núcleon
A = número de massa
B(A,Z) = Energia de ligação do núcleo

11. 4. Modelo da Gota Líquida 2
Desvantagens:
Não inclui átomos com A pequenos.
Vantagens:
Com base nesse modelo, a Energia de Volume, a Energia de
Superfície e a Energia de Coulomb, que são termos principais
da energia de ligação do núcleo, podem ser calculados.

12. 4. Modelo da Gota Líquida 2
Energia de volume:
Cada núcleon, em sua formação, libera energia. Essa energia é
diretamente proporcional ao número de núcleons
constituintes ou ao seu volume.
Esta contribuição das interações de volume, Bv , para a
energia de ligação, foi encontrada para a maioria dos núcleos
BV = a1 A
Onde:
Bv é a contribuição de energia por volume;
a1 é constante relacionada a energia de volume;

13. 4. Modelo da Gota Líquida 2
Energia de volume:
A equação anterior representa uma avaliação acima do
aceitável da energia de ligação, pois os núcleons situados
perto da superfície têm menos vizinhos, consequentemente
estão menos ligados do que os núcleons que estão no interior
do volume. Portanto deve-se subtrair a energia de superfície
(Bs) da energia de ligação.
BS = − a 2 A 2 / 3
O valor de a2 pode ser calculado em termo da constante a1. O
valor numérico entre elas são semelhantes e
experimentalmente correspondem a 16 MeV.

14. 4. Modelo da Gota Líquida
Onde:
Bs = é a energia de superfície
a2 = é constante

15. 4. Modelo da Gota Líquida 1,2
Energia de Coulomb:
Quando considera-se a distribuição de carga dentro da gota,
contínua, existirá uma energia potencial devido às repulsões
coulombianas entre os prótons, reduzindo assim, a energia de
ligação.

16. 5. Modelo do Gás de Fermi
O Modelo do gás de Fermi, talvez tenha sido o primeiro
modelo nuclear proposto. Foi construído em 1935 por H.
Bethe. Nele, se despreza as forças entre os pares de núcleons
e considera-se a força média em cada núcleon, admitindo-o
que seja esférico.
Esse modelo, interpreta o núcleo como se fosse um gás
quântico, portanto, bem diferente das propriedades clássicas
de um gás. Esse modelo, em equilíbrio termodinâmico, tende
a se comportar como um gás ideal quântico sem transferência
de energia e momento entre as partículas, pois seus níveis
inferiores estariam proibidos pelo princípio da exclusão de
Pauli.

17. 5. Modelo do Gás de Fermi 1
Admitindo que as partículas estejam em um cubo de aresta a,
portanto volume Ω = a3 . Com isso, as soluções para a equação
de Schrödinger é
Ψ ( x, y, z ) = Nsen(k x x) sen(k y y ) sen(k z z )
Onde N é uma constante de normalização e kxa=mxπ, kya=myπ
e kza = mzπ com mx , my e mz inteiros positivos.
Cada um desses conjuntos de inteiros descrevem um estado
de energia
Em x m y m z =
h
2M
[ ]
k x2 + k y + k z2 =
2 h 2k 2
2M

18. 5. Modelo do Gás de Fermi
Considerando um gás de Fermi com partículas np, np estados
de menor energia estarão completos. Ou seja, os estados
ocupados serão k ≤ kmáx, onde o kmáx é descrito por
1/ 3
 np 
k máx = (3π )  
2 1/ 3
Ω
 
Ω = Volume de um cubo imaginário de aresta a;
np = Estados quânticos de energia;
k = Estados ocupados de energia

19. 5. Modelo do Gás de Fermi
As energias de ligação de próton e nêutron, respectivamente,
no modelo de gás de Fermi, são
2/3
Z
E prot
F = C 
 A
2/3
N
E = C 
neut
F
 A
EFProt = Energia de Férmi do próton;
EFNeut = Energia de Férmi do Neutrôn;
Z = Prótons,
N = Neutrôns.

20. 6. Modelo de capas ou camadas
O modelo da Gota Líquida explicou uma gama de fenômenos
nucleares como a fissão, a fusão, e muitos decaimentos
nucleares. O que fez com que os modelos de partículas
independentes fossem menos utilizados. Com base nos dados
obtidos por uma gama de experiências, foi observado que
várias propriedades nucleares apresentavam
descontinuidades para certos valores de N e Z.
Experimentalmente foi observados que os números 2, 8, 20,
28, 50, 82 e 126 correspondem ao número de prótons ou de
nêutrons que dão estabilidade ao núcleo específico, valores
esses cujas descontinuidades foram observadas. Esses
números foram chamados de números mágicos.

21. 6. Modelo de capas ou camadas
Em contrapartida, outras propriedades nucleares, como,
as energias dos estados excitados nucleares ou os
momentos magnéticos nucleares, necessitam, para seu
entendimento, a consideração de propriedades
individuais que não são enfatizadas em um modelo de
natureza coletiva como, por exemplo, o modelo de gota
liquida.

22. 6. Modelo de capas ou camadas
O princípio do modelo atômico de camadas estrutura-se por
uma série de aproximações sucessivas. Em primeiro
momento considera que os níveis de energia dos elétrons
atômicos, considerando-se um núcleo com carga Ze, são
preenchidos de maneira sucessiva, a partir dos níveis de
energia com valores mais baixos até os níveis com valores
mais altos de energia, contendo o átomo neutro Z elétrons
que ocupando sucessivos níveis de energia atômicos. Onde o
efeito dos elétrons entre si fossem desconsiderados e
corrigidos. Com isso, ocorreria uma suavização do modelo de
camadas atômico. A princípio os elétrons se movimentariam
independentemente através de um campo Coulombiano.
Um potencial do tipo oscilador harmônico foi utilizado para
descrever essa interação.
V = 1 kR 2 = 1 mω 2 R 2
2 2

23. 6. Modelo de capas ou camadas
V = Potencial elétrico;
k = Estados quânticos ocupados;
R = Raio atômico;
m = massa da partícula;
ω = Velocidade angular

24. 6. Modelo de capas ou camadas 3
Já os níveis de energia então obtidos para os
núcleons são dados por
E = (N + 3/2)hω
Onde:
N = 2(n-1)+l, onde l é o número quantico
momento angular;
ħ = constante de Plank,
ω = Velocidade angular.

25. 6. Modelo de capas ou camadas
Como os números mágicos apresentavam a descontinuidade,
M. Mayer e J. Jensen, em 1949, independentemente,
adicionalmente ao potencial nuclear, postularam
l.s = ½ [j(j+1) - l(l+1) – s(s+1)] ħ2 , tal que
l.s = ½ l ħ2
para j = l + ½
e
l.s = -½ (l+1) ħ2
para j = l - ½
Onde o fator spin-órbita influencia na descontinuidade no
potencial nuclear

26. 7. Modelos Coletivos 3
O modelo coletivo passa a ser algo complementar ao modelo de Capas ou
Camadas. Pois, utilizando esse modelo, vê-se que estados excitados de
núcleos par-par o gasto energético para criar uma excitação por meio de
uma partícula-poço.
A saída encontrada para representar um modelo mais otimizável foi
modelar com base no Modelo da Gota Líquida, excitações em torno de
suas posições de equilíbrio. No geral, isso pode ser feitos com base em
uma oscilação harmônica. Essa vibração pode ser descrita em função de
cinco parâmetros α2µ(t)
2
1 . 1
H = T + V ~ ∑µ B α 2 µ + ∑µ C α 2 µ
2
2 2

27. 7. Modelos Coletivos 3
Onde,
H = Hamiltoniana;
T = Energia Cinética;
V = potencial.
α2μ(t) = Função de vibração em função do
tempo.

28. 7. Modelos Coletivos 3
Onde os parâmetros B e C podem ser descritos
através do modelo semiempírico de massas de um
fluido nuclear incompressível e irrotacional
2
B= Am p R 2 0
8π
3 Z 2e2
C = 4 R0 as −
10π R0
Onde mp é a massa do próton
Com isso os valores conseguiram explicar bem
alguns dados experimentais.

29. 8. Modelos Unificados
Através desses modelos, pôde explicar as
interações de núcleos par-par. No entanto,
para explicar os núcleos par-impar, foi
necessário tratar os eventos com uma força
em potencias deformados.
Essas deformações axialmente simétricas
foram chamdas de níveis de Nilsson e
conseguiu explicar os espectros do Plutônio-
239

30. Referências
[1] Modelos nucleares, Disponível em:
<http://www.tandar.cnea.gov.ar/~scoccola/teaching/nuclear/cap5.pdf > Acesso
em 14/06/2011 23:05
[2] Física atômica e nuclear, Disponível em:
<http://w3.ualg.pt/~arodrig/Documentos/InfPagina/fancap8b.DOC > Acesso em
14/06/2011 23:46
[3] Vasconcelos, C. A. Z., Física do Século XX B, Disponível em:
http://www.cesarzen.com/FIS1057Lista10.pdf Acesso em 15/06/2011 00:12