Matematica financeira regular 9

CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR
Prof. Sérgio Carvalho
AULA 09 – RENDAS CERTAS
Olá, amigos!
Quero, de antemão, agradecer pelos muitos votos de melhora que recebi nestes
últimos dias. De fato, estou bem melhor. (Quase bom!). Infelizmente, precisei atrasar a aula de
ontem para hoje, por conta de mais uma daquelas intermináveis viagens que faço toda semana,
de Fortaleza para o Juazeiro do Norte... quase sete horas no volante me fizeram chegar na terra
do Padre Cícero muito cansado, mas sempre a tempo de trabalhar! À noite é que não deu.
Mas, deixemos de conversa mole, e vamos logo dar início ao assunto de hoje, que é,
por sinal, um dos mais fáceis de todo o Curso! Sim! Um dos mais fáceis!
Nas últimas aulas, aprendemos bem o que fazer diante de uma única parcela, no
Regime Composto. Todos lembrados? Claro! Por exemplo, se eu tenho uma parcela de R$1000,
e quero projetá-la para uma data posterior, o que tenho que fazer?

???

1.000,

Ora, teremos apenas que multiplicar o mil pelo parêntese famoso! Só isso! O que
corresponde a uma operação de Juros Compostos. Assim, teríamos:

1000.(1+i)n

1.000,

E se, caso contrário, quiséssemos projetar essa parcela de mil para uma data anterior?
O que teríamos que fazer?
???

1.000,

www.pontodosconcursos.com.br 1


Também já sabemos a resposta! Bastaria dividirmos o mil pelo parêntese famoso. O
que corresponde a uma operação de Desconto Composto por Dentro! Assim:

1000/(1+i)n

1.000,

Assim, um desenho bem fácil e que praticamente resume tudo o que se pode fazer
com uma parcela isolada no regime composto é o seguinte:

X/(1+i)n X.(1+i)n

X

Agora uma pergunta diferente, ainda não analisada por nós: e se, em vez de apenas
uma, houvesse uma série de parcelas de mesmo valor, dispostas em intervalos de tempo
iguais, e todas sujeitas a uma taxa de juros compostos? Como faríamos para projetá-las para
uma data posterior? E qual seria essa data posterior propícia? Vejamos:

???

P P P P P P

O que precisamos saber são apenas duas coisas:
1º) Projetaremos todas as parcelas (P) de uma vez só para uma data futura; e
2º) A data certa para projetarmos todas elas para o futuro é exatamente a data da
última parcela!

Ok?
Isto é uma operação de Rendas Certas!
Dito de outra forma: operação de Rendas Certas é aquela em que projetaremos para
uma data futura várias parcelas, de uma vez só, desde que estejam presentes as seguintes três
características:
1ª) As parcelas sejam de mesmo valor;
2ª) As parcelas estejam dispostas em intervalos de tempo iguais (exemplo: parcelas
mensais, ou parcelas trimestrais, ou parcelas anuais etc).
3ª) É preciso que estejamos trabalhando com uma taxa composta! (Não existem
Rendas Certas no regime simples!). Portanto, taxa de juros compostos!
Doravante chamaremos estas três características de pacote completo das Rendas
Certas! Ok?
Assim, se encontrarmos numa questão de prova uma seqüência de parcelas, iremos
imediatamente averiguar se está também presente o pacote completo das Rendas Certas!
Convém frisar novamente: só será uma questão de Rendas Certas se estiverem presentes as
três características do pacote! Ok? Jamais esquecer: parcelas iguais; intervalos iguais; e taxa
composta!
Assim, nosso desenho completo agora é o seguinte:
T

P P P P P P

Somente para efeitos didáticos, desenharemos as parcelas P com seta para baixo, e o
resultado do desenho (T) permanecerá com seta para cima. Teremos, enfim:
T

P P P P P P


Este acima é o desenho modelo das Rendas Certas! Por que desenho modelo? Porque
ele contém a informação crucial deste assunto, qual seja, a data propícia para se projetar as
parcelas das Rendas Certas é a mesma data da última parcela (P)!
Essa informação não poderemos esquecer de jeito algum!
A próxima pergunta, obviamente, é a seguinte: como faremos para descobrir aquele
resultado (T) do desenho? A resposta é simples: aplicando a equação das Rendas Certas, que é
a seguinte:

T = P . Sn,i
Falemos sobre cada elemento desta fórmula:
O T é o Total, o resultado das Rendas Certas. Ele, sozinho, representa todas as
parcelas do desenho! (E qual é a data em que ele aparece? Hein? Hein? É a mesma data da
última parcela!).
P é o valor de cada uma das parcelas. E têm que ser todas iguais! Já sabemos
disso! (Primeira característica do pacote completo)!
O S sozinho não é ninguém. Ele está aí apenas para indicar que estamos
trabalhando, na verdade, com um fator: o Sn,i , que será chamado por nós de Fator de
Rendas Certas! O nome de batismo desse fator é fator de acumulação de capital para uma
série de capitais. Um nome muito comprido. Melhor ficar mesmo apenas com Fator de Rendas
Certas! Combinado?
O n do Fator de Rendas Certas vai representar nada menos que o número de
parcelas! Só isso! Se são 5 parcelas, então n=5; se são 10 parcelas, então n=10; e assim por
diante.
O i é a taxa! Taxa de juros o quê? Taxa de Juros Compostos! (Terceira característica
das Rendas Certas!).
Pois bem! Aí está! Já sabemos quase tudo sobre Rendas Certas! Só falta pouca coisa!
Por exemplo, falta saber que essa fórmula acima faz uma exigência! Vejamos:

# Exigência da Fórmula das Rendas Certas:”
É preciso que a taxa (de juros compostos) da operação esteja na mesma unidade que o
intervalo de tempo entre as parcelas!
Por exemplo, se as parcelas são mensais, então preciso trabalhar com uma taxa mensal;
se as parcelas são semestrais, preciso trabalhar com uma taxa semestral; e assim por diante!
Se a questão de prova disser que as parcelas são mensais, e fornecer uma taxa
composta de, suponhamos, 60,1032% ao ano, o que teríamos que fazer? Quem me diz?
Teríamos que transformar essa taxa anual em uma taxa mensal, no intuito de cumprir a
exigência da fórmula.
Ora, 60,1032% ao ano já é uma taxa efetiva de juros compostos. Concordam?
E qual é o conceito que se aplica sempre que se quer alterar a unidade de uma taxa
efetiva de juros compostos? Qual? É o conceito de Taxas Equivalentes! Todos lembrados?
Teríamos, pois, que usar este conceito, para converter a unidade da taxa!
Teríamos! Mas não teremos! E por que não? Porque já sabemos decorado que, pelo
conceito de Taxas Equivalentes, 60,1032% ao ano = 4% ao mês!
Lembrados?


Foram pouquíssimas coisas que eu lhes pedi para decorar neste Curso. Uma delas foi
essa! Lembraram agora? A outra foi sobre a taxa de juros compostos de 9,2727% ao
trimestre! Vira quanto por cento ao mês? Vira 3% ao mês!
Voltando ao exemplo, uma vez transformando 60,1032% ao ano para 4% ao mês, e
tendo parcelas mensais nas Rendas Certas, a única exigência já estaria cumprida, de sorte que
já poderíamos aplicar a equação, sem mais demora alguma.
Mas no caso de termos, realmente, que empregar o conceito de Taxas Equivalentes,
somente para relembrar, aplicaríamos a fórmula (que se confunde com o conceito):
1 + I = (1 + i)K
Já tratamos detalhadamente sobre as Taxas Equivalentes!
Pergunta: vocês acham que é possível, numa questão de Rendas Certas, aparecer uma
taxa como 36% ao ano, com capitalização mensal? O que vocês acham?
Claro que sim! Por quê? Porque se trata de uma taxa nominal, e a taxa nominal indica,
por sua mera presença, que estamos trabalhando no Regime Composto! E as Rendas Certas são
questões do Regime Composto! Assim, taxa nominal pode (e vai!) aparecer no enunciado de
questões de Rendas Certas!
Se for o caso, já sabemos perfeitamente o que fazer diante de uma taxa nominal. Todos
lembrados? Nós a transformaremos em taxa efetiva, por meio do conceito de taxas
proporcionais! Já falamos exaustivamente sobre isso em aulas passadas! (Espero que estejam
todos estudando!).
Só para não perder a viagem: nesta transformação, de taxa nominal para taxa efetiva,
não podemos esquecer ainda que a unidade da taxa efetiva será sempre a mesma unidade da
capitalização. Assim, teríamos que:
36% ao ano, com capitalização mensal = (36/12) = 3% ao mês
(Taxa Nominal) (Taxa Efetiva)

Agora, estamos quase lá! Eu só vou precisar de três exemplos, para que vocês estejam
aptos a resolver toda e qualquer questão de Rendas Certas! Adiante!
# Exemplo 1) O João passou no concurso pra Fiscal da Receita! Puxa, que maravilha! Realizou
seu grande sonho profissional. E agora já foi nomeado e já está trabalhando! Ao final do
primeiro mês, adivinhem?, chegou a recompensa dos justos: o primeiro contra-choque, digo,
contra-cheque. Era tanto dinheiro, que o João até ficou emocionado...! E resolveu que, com
aquele primeiro salário, não faria economia alguma! Iria torrar tudo em diversões e em
presentes que daria a si mesmo! Vocês precisavam ver o que ele fez: comprou logo um carrão
zero quilômetro! (Não estou bem certo se foi um novo Civic ou se foi um Audi A4). Depois,
arranjou uma namorada (cinematográfica!), e a levou para passar um fim-de-semana na ilha de
Fernando de Noronha! (O que o dinheiro não faz, hein? Logo o João, feio pra burro...)! Quando
voltou da ilha, comprou um notebook de última geração, máquina fotográfica digital, máquina
filmadora digital, e mais meia dúzia de parafernálias eletrônicas. Quase esqueço: ainda trocou a
cozinha toda da mãe dele. Aliás, a mãe do João também é filha de Deus, e o João soube
reconhecer todo o apoio que ela lhe deu quando ele estava se preparando para o concurso.
Enfim. Acabou-se aquele mês, e para surpresa geral, ainda restaram mil reais do salário na
mão do João! Ele quase não acreditava naquilo. Minha nossa! É dinheiro demais! A experiência
mostrou ao João que ele deveria mesmo era se conformar com aquela situação degradante, e
abrir uma conta de poupança em um banco qualquer. Assim ele fez: foi ao banco, abriu uma
conta de poupança e resolveu que depositaria, todos os meses e na mesma data, uma quantia
de mil reais. O fato é que o João fez uma seqüência de 12 depósitos mensais. Considerando que
todas as aplicações estão sujeitas a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, qual será o
valor a ser resgatado, em decorrência de todas essas aplicações, na data da última aplicação?


Sol.: O humor contido neste enunciado tem um só propósito: de fazer com que vocês não
esqueçam o assunto! (E, obviamente, que se descontraiam um pouco, uma vez que
descontração e aprendizado andam de mãos dadas e formam uma dupla infalível! Cuidado: eu
disse descontração, e não desconcentração!).
Uma tradução mais séria deste enunciado seria o seguinte:
“Uma pessoa realizou doze aplicações iguais, mensais e sucessivas, no valor de R$1000
cada uma. Considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, quanto irá resgatar na
data da última aplicação?”.
Só isso. Por primeiro, façamos o desenho da questão. Teremos:
X

1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000

Olhando para o desenho, vemos a presença de várias parcelas de mesmo valor. Sabendo
disso, iremos imediatamente à procura das duas outras características do pacote completo!
Além das parcelas iguais, há também intervalo igual entre as parcelas? Sim! Há também uma
taxa de juros compostos? Sim! E nosso objetivo é o de projetar todas essas parcelas para uma
data futura? Sim!
Ótimo! Não resta mais nenhuma dúvida: estamos diante de uma questão de Rendas
Certas!
Uma vez reconhecido o assunto, resta-nos agora comparar o desenho da questão com o
desenho modelo das Rendas Certas, para sabermos se já estão de acordo? O que você me diz?
Sim ou não? Ora, o desenho modelo nos lembra que o resgate das Rendas Certas (o T da
fórmula) está sempre na data da última parcela. Lembrados? Então nosso desenho acima já
está de acordo com essa informação!
Assim, o X do desenho da questão corresponde, sim, ao T da fórmula das Rendas
Certas. Estamos, pois, diante de uma questão copiar-colar. Ou seja, uma questão de aplicação
direta da fórmula. Teremos:
T = P . Sn,i

T = 1000 . S12,2%
Tudo corria bem, até chegarmos neste ponto! Mas, e agora? Como calcular o valor deste
fator de Rendas Certas? Para isso, contaremos com um auxílio, sempre fornecido pelas
principais bancas elaboradoras de prova: a Tabela Financeira do Sn,i.
A Esaf fornece essa tabela desde 1996. Já faz dez anos, portanto, que ela nunca deixou
de constar no caderno de provas. A FCC também fornece. Ok?
Agora, teremos que redobrar nossa atenção! Já não dispomos apenas de uma, e sim de
duas tabelas financeiras: a do parêntese famoso (1+i)n, e agora também a do Fator de Rendas
Certas (Sn,i). Parece inacreditável, mas o erro mais corriqueiro entre os alunos, na prova de
Matemática Financeira, é sempre o mesmo: consultar a tabela financeira errada!

Na hora da prova, muitas vezes apressado e nervoso, o candidato acaba se atrapalhando
e trocando de tabela. Tinha que consultar a do parêntese famoso e procura na do fator de
Rendas Certas. Ou vice-versa! (Na próxima aula, a coisa fica ainda mais interessante, uma vez
que falaremos da terceira tabela financeira)!
Enfim, cada macaco no seu galho: consultaremos a tabela do parêntese famoso quando
precisarmos descobrir o valor do parêntese famoso! (Isso pode ser numa operação de juros
compostos, de desconto composto, ou de equivalência composta); consultaremos a tabela do
fator de rendas certas quando precisarmos descobrir o valor do fator de rendas certas. Ok? É só
estar atento!
A consulta à tabela das Rendas Certas é semelhante a que fazemos para o parêntese
famoso. Na linha de cima, teremos as taxas. Na coluna da esquerda, o número de parcelas (n).
Assim, se precisarmos saber o quanto vale o fator S12,2%, faremos:

i 1% 2% 3% 4% 5% ... 17% 18%
n
1
2
3
.
.
.
11
12 X

Esse X será exatamente o valor do fator de Rendas Certas S12,2%.
Ou seja, a consulta à tabela do Sn,i é tão fácil quanto a do parêntese famoso!
Consultando uma tabela de verdade, veremos:
TABELA III FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS
(1 + i ) n − 1
s n ¬i =
i

i 1% 2% 3% 4% ... 9% 10%
n
1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 ... 1,000000 1,000000

2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 ... 2,090000 2,100000

3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 ... 3,278100 3,310000

4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 ... 4,573129 4,641000

5 5,101005 5,204040 5,309136 5,416322 ... 5,984710 6,105100

... ... ... ... ... ... ... ...

12 12,682503 13,412090 14,192029 15,025805 ... 20,140720 21,384284


Assim, voltando à nossa resolução, teremos que:

T = 1000 . S12,2%
T = 1000 x 13,412090
E:
T = 13.412,09 Resposta!

Passemos ao segundo exemplo.

# Exemplo 2) Uma pessoa aplicou seis parcelas iguais, mensais e sucessivas, no valor de
R$1000,00 cada uma. Considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, qual o valor
a ser resgatado quatro meses após a última aplicação?
Sol.: Iniciemos com o desenho da questão. Teremos:
X

1000 1000 1000 1000 1000 1000

Vou lhes ensinar duas soluções possíveis para este problema. Ok? Você, ao final, decide
qual lhe parece melhor.
Solução I) Acrescentar ao desenho da questão a seta do T das Rendas Certas.
Essa é a proposta desta primeira solução. Se formos acrescentar ao desenho o T das
Rendas Certas, onde estaria localizada esta seta? Ora, na data da última parcela de mil.
Teremos:
X
T

1000 1000 1000 1000 1000 1000


Assim, o primeiro passo desta resolução é descobrir o valor do T que acabamos de
desenhar acima. Faremos isso, aplicando a fórmula das Rendas Certas. Teremos:
T = P . Sn,i

T = 1000 . S6,2%
Consultando a tabela do fator de Rendas Certas, teremos que:
(1 + i ) n − 1
s n ¬i =
i

i 1% 2% 3% 4% ... 9% 10%
n
1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 ... 1,000000 1,000000

2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 ... 2,090000 2,100000

3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 ... 3,278100 3,310000

4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 ... 4,573129 4,641000

5 5,101005 5,204040 5,309136 5,416322 ... 5,984710 6,105100

6 6,152015 6,308121 6,468410 6,632975 ... 7,523334 7,715610

Assim, teremos que:

T = 1000 . S6,2%
T = 1000 x 6,308121 T= 6.308,12
Mas esta ainda não será nossa resposta! E por que não? Porque o enunciado está
pedindo um resgate numa data futura, posterior à data da última parcela! (Quatro meses
após!).
Ora, esse valor T que acabamos de calcular representa todas as parcelas de mil do
desenho. Concordam? Assim, uma vez conhecido o valor do T, nosso novo desenho da questão
agora é o seguinte:
X
6.308,12

O que temos aqui? Uma parcela única, conhecida, no regime composto, e que será
projetada para uma data posterior! Como faremos isso? Já vimos no começo desta aula de
hoje: multiplicando pelo parêntese famoso! Ou seja, faremos uma operação de Juros
Compostos! Teremos:
M=C.(1+i)n
Assim:
M=6.308,12.(1+0,02)4


Aqui cabe uma rápida consulta à Tabela Financeira do parêntese famoso. Teremos que:

Tabelas Financeiras
TABELA I FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n

i 1% 2% 3% 4%
n
1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000
2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600
3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864
4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858

Assim, concluindo os cálculos desta operação de Juros Compostos, teremos que:
M=6.308,12.(1+0,02)4
M=6.308,12 x 1,082432
E:
M=6.828,11 Resposta!

Passemos à outra solução possível.

Solução I) Acrescentar ao desenho da questão parcelas fictícias, no intuito de tornar o
desenho da questão de acordo com o desenho modelo das Rendas Certas.
Vejamos o desenho original da questão:
X

1000 1000 1000 1000 1000 1000

Este desenho está de acordo com o desenho modelo das Rendas Certas? Não! Mas se
quiséssemos acrescer a ele algumas parcelas fictícias de R$1000, até adequá-lo ao desenho
modelo, como ficaria este desenho?
Ficaria assim:



X

1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000

Todos concordam que com o acréscimo destas quatro parcelas fictícias (em verde),
nosso desenho agora ficou compatível com o desenho modelo das Rendas Certas? Sim? Ótimo!
Agora temos a data do resgate coincidindo com a data da última parcela (embora fictícia)!
Vejam que agora temos, no total, 10 (dez) parcelas (sendo seis reais e quatro fictícias)!
Vou fazer uma pergunta, e você vai pensar antes de responder.

Se eu dissesse que aquele X (o resgate) é igual a: X=1000.S10,2% ...
... vocês acham que este cálculo estaria correto? Ou seja, você acha que este X seria a
resposta da questão?
Claro que não! Percebam que neste cálculo acima, estamos considerando um resgate
que seria alcançado se houvesse, de fato, dez parcelas! Mas ocorre que quatro delas não
existem: são parcelas fictícias!
Assim, para este cálculo ficar correto, precisaremos retirar dele um fator referente às
parcelas fictícias. E são quantas mesmo estas parcelas fictícias? São quatro. Assim, teremos:

X=1000.{S10,2% - S4,2%}
Agora, sim! Esse X é a resposta que procuramos! E em um só passo!
Fazendo as devidas consultas à Tabela Financeira do Fator das Rendas Certas, teremos:
(1 + i ) n − 1
s n ¬i =
i

i 1% 2% 3% 4% ... 9% 10%
n
1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000

... ... ... ... ... ... ... ...

4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 4,573129 4,641000

... ... ... ... ... ... ... ...

9 9,368527 9,754628 10,159106 10,582795 13,021036 13,579477

10 10,462212 10,949721 11,463879 12,006107 15,192930 15,937424


Assim, retornando aos cálculos, teremos que:

X=1000.{S10,2% - S4,2%}
X=1000.{10,949721 – 4,121608}
X=1000 x 6,828,11
E:
X=6.828,11 Resposta!
Rigorosamente a mesma resposta da primeira solução! E nem poderia ser diferente!
Em salas de aula de todo o Brasil, os alunos são praticamente unânimes em preferir esta
última solução! Mas eu penso que as duas são igualmente fáceis, e acho conveniente vocês
ficarem com estas duas cartas na manga! Não é verdade? Claro! Quem sabe duas soluções está
duas vezes melhor do que quem sabe apenas uma! E infinitamente melhor do que quem não
sabe nenhuma!
Ainda fazendo alusão a esta segunda solução, a das parcelas fictícias, podemos
generalizar a fórmula desenvolvida das Rendas Certas, dizendo que:

T=P.{STOTAL,i - SFICTÍCIAS,i}
Onde:
TOTAL é o número que corresponde à soma do número de parcelas (reais+fictícias); e
FICTÍCIAS é apenas o número de parcelas fictícias.
Esta é, portanto, a fórmula desenvolvida das Rendas Certas, para o caso de você adotar
a solução das parcelas fictícias! Ok?
Só preciso de mais um exemplo para matarmos este assunto! Vamos a ele.
# Exemplo 3) Uma pessoa faz um contrato com um banco para aplicar mensalmente
R$1.000,00 do primeiro ao quarto mês, R$2.000,00 mensalmente do quinto ao oitavo mês,
R$3.000,00 mensalmente do nono ao décimo segundo mês. Considerando que as aplicações
são feitas ao fim de cada mês, calcule o montante ao fim dos doze meses, considerando uma
taxa de juros compostos de 2% ao mês.

Sol.: A parte mais importante desta resolução será nada menos que acertar o desenho! Se
desenharmos a questão corretamente, o resto é resto!
Para acertamos o desenho, vamos reler o enunciado, para descobrir qual é o período de
tempo total em que vão ser feitas as diversas aplicações. Qual é o tempo total? É um prazo
total de um ano. Daí, desenharemos logo este período de doze meses. Teremos:

Percebam que um mês não é um tracinho! Um mês é espaço entre dois tracinhos.
Confere? Vejamos:

Final do primeiro mês


Começo do primeiro mês

Pela leitura do enunciado, percebemos que haverá não apenas um, mas três grupos de
aplicação! É dito que, entre o primeiro e o quarto mês, haverá parcelas de R$1.000,00. Diz
ainda que, entre o quinto e o oitavo mês, as aplicações serão de R$2.000,00. Por fim, entre o
nono e o décimo segundo mês, as parcelas serão no valor de R$3.000,00.
Sabendo disto, podemos agora dividir o nosso desenho que temos até aqui em três
partes, de acordo com o que acabamos de ler! Fazendo isso, teremos:

Parcelas de R$1000 Parcelas de R$2000 Parcelas de R$3000

Agora já está quase! Só temos que atentar para mais um pequeno (mas fundamental)
detalhe: as aplicações das parcelas (de R$1000, R$2000 e R$3000) serão feitas quando? No
início ou no final de cada mês?
O enunciado responde: “...as aplicações são feitas ao fim de cada mês...”. Pronto! Agora
é só obedecer ao que manda a questão. Desenhemos logo as parcelas de R$1000. Teremos:

1000 1000 1000 1000

Percebam que a primeira parcela de R$1000 está ao final do primeiro mês; a segunda
está ao final do terceiro mês; a terceira ao final do terceiro mês e finalmente a quarta parcela
de R$1000 está ao final do quarto mês. Tudo isso está absolutamente de acordo com o que diz
o enunciado: as parcelas de R$1000 estarão entre o primeiro e o quarto meses, sempre ao fim
de cada mês! Certo?
Desenhemos agora as parcelas de R$2000 e R$3000. Teremos:

1000 1000 1000 1000

2000 2000 2000 2000

3000 3000 3000 3000

Está quase concluído o desenho!


Vamos tentar identificar o assunto da questão, ok? O que você vê? Há parcelas de
mesmo valor? Sim! Como não? Se olharmos apenas para as parcelas de R$1000, então há
parcelas de mesmo valor! Se olharmos só para as de R$2000, também! E se olharmos só para
as de R$3000, idem!
Outra coisa: o intervalo entre as parcelas é o mesmo? Sim! São todas elas parcelas
mensais!
Terceiro: a taxa da operação é de juros compostos? Sim! O enunciado disse isso
expressamente: “... taxa de juros compostos de 2% ao mês...”.
O que a questão quer que nós calculemos? Ela diz assim: “...calcule o Montante ao fim
dos doze meses.” Ou seja, o enunciado pede que nós calculemos o valor que irá representar
todas as parcelas do desenho, lá no final do último mês!
Então, para deixar o desenho completo, em definitivo, faremos o seguinte:
X

1000 1000 1000 1000

2000 2000 2000 2000

3000 3000 3000 3000

Nosso objetivo é descobrir o valor daquele X.
Já vimos acima que estão presentes nesta questão aquelas três características da
operação de Rendas Certas, desde que nós consideremos, em separado, só as parcelas de
R$1000, ou só as parcelas de R$2000 ou só as de R$3000. Não é assim? Daí, já percebemos
que não vai ser possível trabalhar a questão em um único passo! Em vez disso, utilizaremos um
artifício, que nos fará resolvê-la facilmente.
O artifício é o seguinte: faremos no desenho acima alguns tracejados, que irão dividir
as parcelas em diferentes níveis! Ora, se temos parcelas de três valores distintos, então haverá
três níveis de parcelas, sendo que o primeiro deles corresponde às parcelas de menor valor, ou
seja, às parcelas de R$1000,00.
Daí, esse primeiro tracejado será feito começando da primeira parcela de R$1000, e se
estenderá até chegarmos à data do resgate!
O segundo tracejado começará pela primeira parcela do segundo “bloco”, ou seja,
começará pela primeira parcela de R$2000 e se estenderá até a data do resgate!


Finalmente, o terceiro e último tracejado, começando da primeira parcela de R$3.000, e
se estendendo até a data do resgate!
Desenhando esses três tracejados, teremos:

X

1º Nível

1000 1000 1000 1000 2º Nível

2000 2000 2000 2000
3º Nível
3000 3000 3000 3000

Pronto! Agora que já fizemos os tracejados e dividimos nosso desenho em três níveis,
nossa resolução será quase que imediata!
Trabalharemos cada nível separadamente!
Vamos fazer um esforço visual, e tentar enxergar apenas as parcelas do primeiro
nível. Enxergaram? Quantas são? São 12. E todas no mesmo valor? Sim! Todas as doze no
valor de R$1000. Daí, se nós “esquecermos” que existem o 2º e o 3º níveis, ou seja,
considerando apenas o primeiro nível, nosso desenho seria o seguinte:

T’

1º Nível

1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000


Ou seja, considerando apenas o primeiro nível, enxergamos que há doze parcelas
(n=12), todas no valor de R$1000,00 (P=1000), aplicadas em intervalos de tempo iguais
(parcelas mensais), tudo isso sujeito a uma taxa de juros compostos (2% ao mês).
Vemos ainda que a data do resgate coincide com a data da última parcela de R$1000.
Daí, se aplicarmos diretamente a fórmula das Rendas Certas, encontraremos o valor que iremos
chamar T’, que irá representar todas as parcelas do primeiro nível. Teremos que:
T = P . sn¬i T’=1000 . s12¬3% 1º Nível
Esse resultado ficará guardado, “de molho”, para o final da questão!
Vamos trabalhar agora somente com as parcelas do 2º nível. Aqui, faremos novo
esforço visual, para enxergarmos apenas os “pedaços” que compõem o segundo nível. Teremos,
então, que:
T’’

2ºNível

1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000

Todos enxergaram que nesse segundo nível estão presentes oito parcelas (n=8), e que
são parcelas mensais, e que a taxa é composta (i=2% ao mês) e que o resgate coincide com a
data da última parcela?
Ótimo! Então, resta-nos calcular o valor de T’’, o qual será o resultado do 2º nível.
Apliquemos novamente as Rendas Certas. Teremos:

T = P . sn¬i T’’=1000 . s8¬3% 2º Nível

Esse resultado também ficará guardado, “de molho”, para o final da questão! Lembre-se
que já havia um resultado aguardando o final da questão (o T’).
Para finalizar, trabalharemos com as parcelas do terceiro nível. Se enxergarmos só as
parcelas (os pedaços) que compõem esse terceiro nível, teremos o seguinte:

T’’’

3º Nível

1000 1000 1000 1000


Ou seja, neste terceiro nível, nós temos quatro parcelas (n=4) de R$1000 cada uma
(P=1000), e são parcelas mensais sujeitas a uma taxa composta (i=2% ao mês). De quebra, a
data do resgate coincide com a data da última parcela. Então, para calcular o T’’’, que será o
resultado do terceiro nível, aplicaremos mais uma vez a fórmula das Rendas Certas. Teremos:
T = P . sn¬i T’’’=1000 . s4¬3% 3º Nível

Ora, vimos que ao dividirmos as parcelas em três níveis, não restou nenhum pedaço (de
nenhuma delas) que tenha deixado de estar presente nesses níveis! Dessa forma, se
somarmos os resultados finais dos três níveis (T’, T’’ e T’’’), chegaremos à resposta da questão!
Faremos, portanto:
X = T’+T’’+T’’’ = 1000 . s12¬3% + 1000 . s8¬3% + 1000 . s4¬3%
Vamos colocar o valor 1000 em evidência:
X = 1000 ( s12¬3% + s8¬3% + s4¬3% )

Consultando a Tabela Financeira das Rendas Certas, encontraremos:
s12¬3%=13,41209
s8¬3%=8,582969
s4¬3%=4,121608

Daí: X = 1000 (13,41209 + 8,58269 + 4,12160)
E, finalmente: X = 26.116,38 Resposta!

Esta questão caiu numa prova recente de Fiscal da Receita. E repetiu-se, tal e qual, nos
dois concursos seguintes para o mesmo cargo! Ou seja, já esteve muito na moda esse
enunciado que explora blocos de parcelas, nas Rendas Certas!
Viram todos como fica fácil a resolução, desde que apliquemos este artifício de fazer os
tracejados e criar níveis de parcelas? Moleza!
Eu diria que já estamos aptos a resolver qualquer coisa de Rendas Certas.
Mas, porém, contudo, todavia e não obstante, vamos agir como pessoas extremamente
prevenidas, e vamos propor uma situação muitíssimo, muitíssimo, muitíssimo remota: e se a
elaboradora da prova não fornecer a tabela financeira do fator de rendas certas? O que faremos
para calcular esse fator?
Neste caso, e não esperamos absolutamente que isso seja necessário na sua prova, você
terá (ou teria) que conhecer a fórmula do Sn,i. É a seguinte:

⎡ (1 + i )n − 1⎤
Sn, i = ⎢ ⎥
⎣ i ⎦
É de fácil memorização esta fórmula. Veja que ela começa com o parêntese famoso no
numerador. Feito isso, só restam mais duas providências: menos 1 e sobre i. Pronto!
Assim, se quiséssemos calcular o fator S10,2%, faríamos:

⎡ (1 + 0,02)10 − 1⎤
S10, 2% = ⎢ ⎥
⎣ 0,02 ⎦

Observem que este parêntese famoso do numerador tem expoente elevado! Levaríamos
muito tempo para calculá-lo. Concordam? Conclusão: ao menos a tabela financeira do
parêntese famoso tem que ser fornecida na prova!
E assim, teríamos condições de concluir o cálculo acima!
Certo? Mas ninguém tenha medo, que já faz dez anos que essa tabela sempre é
fornecida. Não é possível que vocês sejam assim tão pé frio...! Claro que não!
Pois bem! Agora, sim. Pode bater no peito e dizer: eu sei tudo de Rendas Certas!
E para provar que é verdade, seguem as questões do nosso Dever de Casa de hoje:
Dever de Casa

01. (MDIC – 2002/ESAF) Um contrato prevê que aplicações iguais sejam feitas
mensalmente em uma conta durante doze meses com o objetivo de atingir o
montante de R$ 100.000,00 ao fim deste prazo. Quanto deve ser aplicado ao fim
de cada mês, considerando rendimentos de juros compostos de 2% ao mês?
a) R$ 7.455,96
b) R$ 7.600,00
c) R$ 7.982,12
d) R$ 8.270,45
e) R$ 9.000,00

02. Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de dezoito meses do seguinte
fluxo de aplicações realizadas ao fim de cada mês: dos meses 1 a 6, cada
aplicação é de R$ 2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplicação é de R$ 4.000,00
e dos meses 13 a 18, cada aplicação é de R$ 6.000,00. Considere juros
compostos e que a taxa de remuneração das aplicações é de 3% ao mês.
a) R$ 94.608,00 d) R$ 72.000,00
b) R$ 88.149,00 e) R$ 58.249,00
c) R$ 82.265,00

É isso, meus amigos!
Releiam esta aula com cuidado, ok?
Um forte abraço a todos! E fiquem com Deus!


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