A aula aborda três tópicos principais: 1) a propriedade visual do desvio padrão, que mostra que 68%, 95% e 99% dos elementos de um conjunto estão dentro de 1, 2 e 3 desvios padrão da média, respectivamente; 2) o Teorema de Tchebychev, que relaciona a média, desvio padrão e proporções máxima e mínima de elementos fora e dentro de um intervalo; 3) a variância relativa, definida como o quadrado do coeficiente de variação.

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AULA 08 – MEDIDAS DE DISPERSÃO – PARTE 2
Olá, amigos!
Espero que estejam todos bem!
Hoje daremos seqüência ao estudo das Medidas de Dispersão.
Em vez de começar resolvendo as questões pendentes, veremos logo alguns tópicos
importantes, e que ainda não foram comentados na aula passada. Ok?
Começando por uma propriedade do Desvio Padrão. Vamos lá!
# Propriedade Visual do Desvio Padrão:
Chama-se propriedade visual porque basta memorizar o desenho abaixo, e já estaremos
conhecendo esta teoria. Vejamos:
-3S -2S -S X +S +2S +3S
≅68%
≅95%
≅99%
Agora vamos tentar entender o desenho acima:
Aproximadamente 68% dos elementos de um conjunto encontram-se dentro
do intervalo que vai de média menos um desvio padrão até média mais um desvio
padrão;
Aproximadamente 95% dos elementos de um conjunto encontram-se dentro
do intervalo que vai de média menos dois desvios padrões até média mais dois desvios
padrões;
Aproximadamente 99% dos elementos de um conjunto encontram-se dentro
do intervalo que vai de média menos três desvios padrões até média mais três desvios
padrões.
É só isso!
O que você não pode esquecer a respeito desta propriedade, é o seguinte:
1º) Esta propriedade não é válida para todo e qualquer conjunto! Mas,
apenas para distribuições simétricas, ou quase simétricas.
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2º) Não se trata de uma propriedade de exatidão, e sim de aproximação.
No mais, esta propriedade só vai ser usada por nós, eventualmente, para acertar
uma questão teórica! Somente! Não tem aplicação prática para questões de cálculo.
Ok?
Vamos falar agora sobre um Teorema de nome complicado, mas de muito fácil
entendimento: o Teorema de Tchebychev. Adiante.
# Teorema de Tchebychev:
Quanto ao nome desse sujeito, eu não dou garantia absoluta de estar certa a
escrita, mesmo porque já o vi escrito de três formas diferentes em livros por aí...! Mas,
tudo bem! O importante é conhecer o Teorema e como ele funciona.
O Teorema de Tcheb (vamos chamá-lo assim, já que vamos ter mesmo que ficar
íntimos dessa teoria...) trata acerca de uma relação entre a Média ( X ) e o Desvio-
Padrão (S) de um conjunto.
Aprende-se esse Teorema de uma forma quase que meramente visual. Vejamos
o desenho abaixo:
Esta curva é representativa de uma distribuição qualquer. Certo? Daí,
suponhamos que a Média esteja aí mais ou menos pelo meio da curva. Teremos:
X
O que a questão vai fazer? Vai fornecer o valor desta Média, e vai fornecer o
valor do Desvio-Padrão (S).
E vai também fornecer dois limites, os quais definirão um intervalo qualquer.
Depois disso, a questão vai poder fazer uma destas duas perguntas:
1ª) Qual a proporção máxima de elementos fora destes limites?
ou
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2ª) Qual a proporção mínima de elementos dentro destes limites?
Vou criar um exemplo, para entendermos melhor.
Suponhamos que eu diga que para um conjunto qualquer, o valor da média é
igual a 100 (cem) e o desvio-padrão é igual a 10 (dez). Ok?
Daí, eu estabeleço um intervalo, que vai de 70 a 130.
E pergunto: qual a proporção máxima de elementos do conjunto que está fora
desse intervalo?
Desenhando a questão, teremos:
70 100 130
Quem for bom observador já percebeu que a distância entre a média e o limite
superior desse intervalo será a mesma entre a média e o limite inferior. Ou seja, os
limites são eqüidistantes da Média. Chamando essa distância de D, teremos:
70 100 130
D D
Até aqui, tudo bem? Pois agora vem a pergunta. E pode ser qualquer uma entre
as seguintes:
1ª) Qual a proporção máxima dos elementos do conjunto fora do intervalo
70 a 130? Essa pergunta seria representada ilustrativamente assim:
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70 100 130
Repetindo: qual a proporção máxima dos elementos que estão fora dos limites do
intervalo, ou seja, nestas duas áreas destacadas (à esquerda do 70 e à direita do 130)?
2ª) Qual a proporção mínima dos elementos do conjunto dentro do intervalo
70 a 130? Essa pergunta seria representada ilustrativamente assim:
70 100 130
Entendido?
As perguntas serão sempre assim: proporção máxima fora do intervalo ou
proporção mínima dentro do intervalo.
Sabendo disso, vamos aprender agora como responder a estas duas possíveis
perguntas.
Para responder à primeira pergunta, relativa à proporção máxima fora do
intervalo, realizaremos os seguintes passos:
1º Passo) Calculamos o valor D que é a diferença entre qualquer dos limites do
intervalo e a média do conjunto.
Repetindo um desenho já feito, esse valor D será o seguinte:
70 100 130
D D
No caso desse exemplo, teríamos D=30.
2º Passo) Calcularemos o valor da fração (D/Desvio-Padrão), a qual chamaremos de K.
Ou seja:
D
K=
S
Com os dados do nosso exemplo, encontraremos que: K=(30/10)=3,0
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3º Passo) Aplicação direta da fórmula de Tcheb.
1
PMÁXIMA=
K2
Teremos, pois, que:
1 1
PMÁXIMA= = = 0,1111 =11,11%
32 9
Ou seja: 11,11% é a proporção máxima dos elementos do conjunto que estão
fora daquele intervalo (70 a 130).
Uma vez conhecedores da PMÁXIMA fora do intervalo estabelecido, sem
maiores problemas chegaremos à pmínima dos elementos dentro do mesmo intervalo.
Basta fazer o seguinte:
pmínima = 1 – PMÁXIMA
Para o mesmo exemplo, teríamos que:
pmínima = 1 – PMÁXIMA pmínima=1-0,1111=0,8889=88,89%
Entendido? É só isso e mais nada!
Uma rápida observação: se o enunciado pedir que você descubra qual a
proporção fora dos limites de um intervalo qualquer, já será sua obrigação saber que se
trata de uma proporção máxima!
Igualmente, se pedir que você descubra a proporção dentro dos limites daquele
intervalo, será sua obrigação saber, de antemão, que se trata de uma proporção
mínima!
Ok? Não precisa a questão dizer mais nada!
Passemos à resolução da questão 36, que caiu na prova do AFRF/2003. Veremos
que agora seremos capazes de resolvê-la sem nenhuma dificuldade. Vamos a ela:
AFRF/2003) As realizações anuais Xi dos salários anuais de uma firma com N
empregados produziram as estatísticas:
N
1
X=
N
∑X
i =1
i = R$14.300,00
0,5
⎡1 ⎤
∑ (X i − X ) ⎥
N
2
S=⎢ = R$1.200,00
⎣N i =1 ⎦
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Seja P a proporção de empregados com salários fora do intervalo [R$ 12.500,00; R$
16.100,00]. Assinale a opção correta.
a) P é no máximo 1/2
b) P é no máximo 1/1,5
c) P é no mínimo 1/2
d) P é no máximo 1/2,25
e) P é no máximo 1/20
Sol.: Observemos que o enunciado pergunta por uma proporção que estará fora de um
determinado intervalo. Daí, sabemos imediatamente que se tratará de uma proporção
máxima.
Aqui não tem segredo: basta aplicar os passos aprendidos acima. Teremos:
1º Passo) Calculamos o valor D que é a diferença entre qualquer dos limites do
intervalo e a média do conjunto.
O desenho de nossa questão é o seguinte:
12500 14300 16100
D D
Daí, teremos que: D=1.800
2º Passo) Calcularemos o valor da fração K. Teremos:
D
K= K=(1800/1200)=1,5
S
3º Passo) Aplicação direta da fórmula de Tcheb.
1
PMÁXIMA=
K2
Teremos, pois, que:
1 1
PMÁXIMA= 2
= Resposta!
1,5 2,25
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E é só isso! Não precisava nem fazer a última conta, pois a resposta já foi dada
em termos fracionários!
Há uma última medida de dispersão, que nunca foi objeto de prova, até agora,
mas que passou a contar de alguns dos últimos programas de Estatística Básica. Refiro-
me à Variância Relativa. Vejamos do que se trata.
# Variância Relativa: Vr
Conceitualmente, a Variância Relativa – Vr – nada mais é que o quadrado do
Coeficiente de Variação. Ou seja:
Vr = (CV)2
Ora, sabemos que o CV=S/ X .
Logo: Vr=(CV)2 = S2/ X 2
Assim, vamos aprender o seguinte: poderemos chamar a Variância (comum) de
Variância Absoluta. Fazendo isso, poderemos dizer que a variância relativa é igual à
variância absoluta em relação a alguém. E esse alguém é o quadrado da média!
Ok?
Nunca houve questão de prova com este conceito. Mas eu penso que se surgir,
deverá ser um enunciado que explore o conceito de variável transformada!
A aula de hoje irá apenas até aqui, com a explanação destes três conceitos, que
nos fazem concluir o estudo teórico das medidas de dispersão.
Na próxima aula, exploraremos a prática, ou seja, a resolução de todas as
questões deste assunto! Creio que será uma aula também muito proveitosa! Ok?
Seguem mais algumas questões do nosso...
... Dever de Casa
77. (AFRF-2000) Tem-se um conjunto de n mensurações X1, ... , Xn com média
aritmética M e variância S , onde M = (X1 + ... + Xn )/ n e S2 = (1/ n) Σi
2
( Xi – M )2 . Seja θ a proporção dessas mensurações que diferem de M, em
valor absoluto, por pelo menos 2S. Assinale a opção correta.
a) Apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar θ exatamente,
mas sabe-se que 0,25 ≥ θ.
b) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na
realidade tem-se θ = 5% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.
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c) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na
realidade tem-se θ = 95% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.
d) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na
realidade tem-se θ = 30% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.
e) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na
realidade tem-se θ = 15% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.
78. (AFRF-2003) As realizações anuais Xi dos salários anuais de uma firma com
N empregados produziram as estatísticas
N
1
X=
N
∑X
i =1
i = R$14.300,00
0,5
⎡1 ⎤
∑ (X i − X ) ⎥
N
2
S=⎢ = R$1.200,00
⎣N i =1 ⎦
Seja P a proporção de empregados com salários fora do intervalo [R$ 12.500,00; R$
16.100,00]. Assinale a opção correta.
a) P é no máximo 1/2 d) P é no máximo 1/2,25
b) P é no máximo 1/1,5 e) P é no máximo 1/20
c) P é no mínimo 1/2
79. (AFPS 2002/ESAF) Sejam X1, X2, X3, ... , Xn observações de um atributo X.
Sejam
1 n
x= ∑ xi
n i =1
1 n
s2 = ∑ (xi − x )
2
n i =1
Assinale a opção correta.
a) Pelo menos 95% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S.
b) Pelo menos 99% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S.
c) Pelo menos 75% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S.
d) Pelo menos 80% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S.
e) Pelo menos 90% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S.
80. (Analista CVM - 2000/ ESAF) Uma firma distribuidora de eletrodomésticos
está interessada em estudar o comportamento de suas contas a receber em dois
meses consecutivos. Com este objetivo seleciona, para cada mês, uma amostra de
50 contas. As observações amostrais constam da tabela seguinte:
Valor (R$) Freqüência de Março Freqüência de Abril
1.000,00 6 10
3.000,00 13 14
5.000,00 12 10
7.000,00 15 13
9.000,00 4 -
11.000,00 - 3
Assinale a opção que corresponde a amplitude do intervalo interquartílico,
em reais, para o mês de março.
a) 3.250,00 d) 6.000,00
b) 5.000,00 e) 2.000,00
c) 4.000,00
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(AFC-94) Para a solução das três próximas questões considere os dados da tabela
abaixo, que representa a distribuição de freqüências das notas em uma prova de
estatística aplicada em três turmas de 100 alunos cada.
Classes Freqüências das Notas na Prova de Estatística
de Notas TURMA 01 TURMA 02 TURMA 03
0 |— 2 20 10 5
2 |— 4 40 15 10
4 |— 6 30 50 70
6 |— 8 6 15 10
8 |— 10 4 10 5
Total 100 100 100
81. (AFC-94) Assinale a afirmação correta:
a) Moda (turma 2) < Moda (turma 3) d) Mediana (turma 1) < Mediana (turma 2)
b) Média (turma 1) > Média (turma 2) e) Mediana (turma 2) > Mediana (turma 3)
c) Média (turma 2) < Média (turma 3)
82. (AFC-94) A única opção errada é:
a) 1º quartil (turma 1) > 1º quartil (turma 3)
b) desvio-padrão (turma 2) > desvio-padrão (turma 3)
c) média (turma 2) = média (turma 3)
d) coeficiente de variação (turma 2) > coeficiente de variação (turma 3)
e) na turma 3: média = mediana = moda
83. (AFC-94) A distribuição de notas é simétrica em relação à média aritmética:
a) Nas três turmas c) Nas turmas 1 e 3 e) Nas turmas 2 e 3
b) Nas turmas 1 e 2 d) Somente na turma 1
Bons estudos!
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