Estatistica regular 10

CURSO ONLINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR
PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO

AULA 10 – CORRELAÇÃO LINEAR
Olá, amigos!
Antes de mais nada, espero que todos tenham tido um Natal muito feliz! Com muita
paz e alegria no coração!
Agora sim, passemos às explicações, pois estou lhes devendo uma tonelada delas. O
caso é que vários fatos se somaram, e acabaram por me deixar realmente impossibilitado de
escrever as últimas aulas no prazo previsto! Certamente que vocês já estudaram (ou estão
estudando) o Direito Tributário. Não é verdade? Então é muito provável que já tenham ouvido
falar em decadência. Sim? Pois é. Não raro, quando chega o fim do ano, os fiscais que
trabalham nas seções de fiscalização (o que é o meu caso) têm que se desdobrar em dois (ou
em dez!) para concluir certas operações e evitar que transcorra o tal prazo decadencial.
Por conta disso, nas últimas quatro semanas, tenho cumprido uma jornada aproximada
de doze horas de trabalho por dia, só na Receita. É isso mesmo: doze horas por dia. O estresse
de ter que concluir muitas tarefas em pouquíssimo tempo simplesmente consumiu as energias
com as quais sempre contei para escrever as aulas à noite, em casa.
Vejam que não estou dizendo que o pneu furou, tampouco que o despertador deixou de
tocar. Estou sendo sincero com vocês. Estou contando somente a verdade. Minha esposa, Sílvia,
é testemunha de o quanto estou abatido e desgostoso, por não ter conseguido entregar as aulas
nas datas certas. Este é, pelos meus cálculos, o nono (ou será o décimo?) Curso online que
ministro no Site, e esta situação nunca havia acontecido. Peço-lhes a todos, muito
sinceramente, que me perdoem por este atraso.
Sei o quanto levam a sério a sua preparação, e eu, creiam-me, da mesma forma!
Só me resta, pois, contar com a boa-vontade de vocês em me perdoar por este atraso,
e em relevar.
E não percamos mais tempo! Na seqüência, apresento-lhes um novo assunto: a
Correlação Linear. Adiante!

CORRELAÇÃO LINEAR

Até agora, todas as medidas estatísticas que estudamos neste Curso diziam respeito
somente a uma variável. Ou seja, estudamos a média das idades, ou a moda dos salários, ou a
mediana dos pesos, ou o desvio-padrão das estaturas, e assim por diante.
No que diz respeito à Correlação, surge aí uma diferença. Estaremos agora estudando,
conjuntamente, duas variáveis!
A Correlação é uma medida estatística que nos vai responder duas perguntas:
1ª) Existe alguma força unindo estas duas variáveis?
2ª) Caso exista esta força, como se comporta uma variável em relação à outra?
Por meio de exemplos, entenderemos bem melhor. Vejamos.
Suponhamos que se pretende estudar as duas seguintes variáveis: número de anos que
uma pessoa freqüentou os bancos escolares, e número de livros que esta pessoa lê por ano.
Ora, o censo comum nos levaria facilmente a crer que alguém que estudou por mais
tempo lê mais livros por ano; ao passo que quem mal freqüentou a escola pouco lê. Não é
verdade?
Mas a Estatística não trabalha com o censo comum, e sim com dados de pesquisa.
Assim, uma pesquisa seria realizada, e seriam coletados pares de informações, ou
seja, cada pessoa pesquisada responderia a estas duas perguntas: Quantos anos estudou? e
Quantos livros lê por ano?

www.pontodosconcursos.com.br 1

Desta forma, ao fim da pesquisa, teremos um grupo de pares de informações, os quais
irão alimentar uma tabela. Teríamos:

Variável X Variável Y
(Tempo de estudo, (Número de livros
em anos) lidos por ano)
2 5
5 8
7 12
4 9
3 1

E será por meio dos dados constantes nesta tabela que trabalharemos a Correlação!
Na realidade, a Correlação nada mais é que uma fórmula – veremos daqui a pouco – a
qual será preenchida por meio dos dados (os pares de informação) constantes na tabela acima,
e cujo resultado nos conduzirá àquelas duas conclusões: 1ª) se há uma força unindo as duas
variáveis; e 2ª) como se comporta uma variável em relação à outra.
Ora, é quase certo que o resultado da aplicação da fórmula da Correlação para os dados
acima nos iria indicar duas coisas: 1ª) sim, há uma força unindo estas duas variáveis; e 2ª)
estas duas variáveis se comportam de forma, digamos, diretamente proporcional. Ou seja,
aumentando-se uma, a outra também aumenta, e diminuindo-se uma, a outra também diminui.
Neste ponto convém que sejamos apresentados à fórmula da Correlação, que é a
seguinte:

n.∑ Xi.Yi − ∑ Xi.∑ Yi
r ( x, y ) =
[n.∑ Xi 2
][
− (∑ Xi ) . n.∑ Yi 2 − (∑ Yi )
2 2
]
O primeiro impulso, ao ver a fórmula acima, é o de abandonar este assunto, e ir buscar
algo mais fácil para estudar... Um engano terrível este pensamento!
Eu lhes adianto que há, basicamente, quatro tipos de questão de Correlação caindo em
prova, e que destes, três são muito fáceis! Ou seja, há 75% de chance de cair uma questão de
resolução quase imediata sobre este tema! Não vamos esquecer disso, OK?
Quanto à fórmula acima, daqui a pouco voltaremos a ela, e eu lhes ensinarei uma
maneira facílima de memorizá-la. Por hora, vamos com calma.
O resultado da aplicação da fórmula da Correlação variará, sempre, entre -1 (menos um)
e 1. Ou seja, nunca será menor que menos um, e nunca maior que um. Teremos:

-1 0 1

Vamos agora aprender como se interpreta o resultado da Correlação.
Se tomarmos os dados da tabela, aplicarmos a fórmula da Correlação, e encontrarmos
um resultado igual a zero, diremos que não existe força alguma unindo estas duas variáveis.
Ou seja, o resultado zero indica ausência total de Correlação!
À medida que o resultado da Correlação vai se afastando do zero, em direção aos
extremos (-1 ou +1), vai aumentando a intensidade da força que une aquelas duas variáveis!
Quando o resultado da fórmula é igual a -1 ou a 1, então se diz que a correlação é
máxima. Ou seja, é máxima a força que une as duas variáveis. Correlação igual a 1 é dita
correlação perfeita positiva. Igual a -1, correlação perfeita negativa.


Conhecemos, pois, a primeira análise do resultado da Correlação: a existência ou
inexistência de força unindo as duas variáveis. E quando esta força é mais intensa ou menos
intensa.
A segunda análise do resultado diz respeito ao comportamento das variáveis, uma em
relação à outra.
E é facílima esta análise:
Se o resultado da Correlação der um valor maior que zero (positivo), teremos que as
variáveis se comportam de forma diretamente proporcional, ou seja, aumentando-se o valor de
uma, aumenta também a outra, e diminuindo-se uma, diminui também a outra;
Se o resultado da Correlação for menor que zero (negativo), as variáveis se
comportarão de maneira inversamente proporcional, ou seja, aumentando-se o valor de uma, o
da outra diminui; e vice-versa.
Compreendido isso?
Assim, interpretar o resultado da correlação pode perfeitamente ser uma questão de
prova! Pelo que me consta, ainda não foi. Mas pode ser. Isso pode!
Agora vamos voltar à tabela que vimos acima:
2 5
5 8
7 12
4 9
3 1

Com os pares de informação que vemos acima, seremos capazes de criar um gráfico,
muito simples, chamado Diagrama de Dispersão, em que cada par de informação se
transformará em um ponto. Vejamos como é simples:
O primeiro par de informação é (2 e 5). Estão vendo?
2 5
5 8
7 12
4 9
3 4

Este par vai virar um ponto no gráfico.
Da mesma forma, os demais pares irão formar, cada um, um ponto no diagrama.
Os demais pontos serão, portanto, (5 e 8), (7 e 12), (4 e 9) e (3 e 4).
Marcando estes pontos no gráfico, teremos:

Yi
12
11
10
9
8
7
6

5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 Xi

Observando os pontos marcados acima, facilmente vemos que é impossível uni-los por
meio de uma reta perfeita. Todavia, percebemos também que embora não formem uma reta
perfeita, estes pontos estão dispostos em torno do formato aproximado de uma reta.
Senão vejamos:

Yi
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 Xi

Percebam ainda que esta reta é ascendente, ou seja, ela está subindo, da esquerda para
a direita. Quando isso ocorrer, ou seja, quando os pontos do diagrama de dispersão não
formarem uma reta perfeita, mas estiverem dispostos ao longo de uma reta ascendente, então
diremos que a correlação é positiva (r>1).
Outra situação possível é que os pontos do diagrama, oriundos da tabela (dos pares de
informação) também não formassem uma reta descendente perfeita, mas se aproximassem, ou
seja, estivessem dispostos ao longo de uma reta que desce, da esquerda para a direita. Seria
algo semelhante ao seguinte:

Yi
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 Xi

Neste caso, diremos que a Correlação não é perfeita, porque os pontos não formaram
uma reta perfeita, mas é negativa, porque estão dispostos ao longo de uma reta descendente!
E se os pontos do diagrama formarem uma reta perfeita? São dois casos possíveis:

1º) Os pontos, unidos, formaram uma reta ascendente perfeita:

Yi

Xi
Neste caso, temos a situação de uma correlação perfeita positiva, ou seja, r=1.
2º) Os pontos, unidos, formaram uma reta descendente perfeita:
Yi

Xi
Neste caso, temos a situação de uma correlação perfeita negativa, ou seja, r=-1.
Por fim, se estivermos estudando a existência da correlação entre as duas seguintes
variáveis: 1ª) número de anos que a pessoa freqüentou a escola; e 2ª) número do sapato que a
pessoa calça.
Ora, é muitíssimo provável que ao fazermos a pesquisa, e ao preenchermos uma tabela
com os pares de informações coletados, e depois ao marcarmos os pontos no diagrama de
dispersão, cheguemos ao seguinte gráfico:
Yi

Xi
Percebemos que, neste caso, não é possível sequer aproximar os pontos do diagrama
para o formato de uma reta, quer ascendente, quer descendente.
Quando isso ocorrer, diremos que estamos diante da ausência da correlação, ou seja,
r=0.
Com o que vimos até aqui, já estamos aptos a resolver um estilo de questão de
Correlação: aquele que pergunta pela interpretação do diagrama de dispersão.


Um resumo desta teoria que acabamos de ver é o que se segue, nos cinco quadros
seguintes:

r>1 r<1 r=1 r=-1 r=0

Acreditem-me: estes pequenos gráficos já foram objeto de prova. Era olhar para o
desenho e acertar a questão.
Mas se trata de uma questão muito rara. A chance de cair não é das maiores. Pelo sim,
pelo não, melhor é conhecermos tudo!
O terceiro tipo de questão, que aprenderemos agora, diz respeito às propriedades da
Correlação. Uma questão facílima, para quem conhece essas tais propriedades. E o bom de tudo
é que podemos reuni-las em uma única frase:
A correlação não é influenciada nem por operações de soma, nem de subtração,
nem de produto, e nem de divisão, exceto pelo sinal.
Como é isso?
Vamos ver, por meio de vários exemplos:
Uma questão de prova pode dizer que a correlação entre duas variáveis quaisquer x e y é
igual a 0,8. Ou seja, r(x,y)=0,8. E perguntar qual a correlação entre (2x-3 e 3y+5). Ou seja,
perguntar: r(2x-3, 3y+5)=?
Como resolveremos essa questão? Analisando as operações que ocorreram com as
variáveis x e y. Vejamos. Temos:
r(x,y)=0,8 e r(2x-3, 3y+5)=?
A variável x virou o quê? Virou 2x-3.
Quais as operações que ocorreram com o x? Ele foi multiplicado por 2, e depois,
subtraído de 3. Produto ou subtração afetam a correlação? Não! Por último: o x mudou de sinal?
Não!
Quais as operações que ocorreram com o y? Ele foi multiplicado por 3, e depois, somado
a cinco. Produto e soma não influenciam a correlação! Por fim, o y não mudou de sinal.
Assim, desconsiderando as operações que não influenciam na Correlação, teremos que:
r(2x-3, 3y+5) = r(x,y) = 0,8
Viram? O que temos a fazer é apenas desconsiderar aquelas operações que não
influenciam na correlação, e depois ver o que sobrou! Apenas fiquemos atentos, e muito, para
verificar se o sinal das variáveis x e y vai mudar ou não! Mais um exemplo.

Exemplo 2) Sabendo que r(x,y)=0,8, quanto será r(2x-3, -3y+5)?
Novamente, teremos que desconsiderar aquelas operações que não alteram o valor da
correlação. Fazendo isso, teremos:
r(2x-3, -3y+5)
Estão todos vendo que ao cortar o 3 que está multiplicando com o y, restou um sinal de
menos antes dele? Assim, teremos que:
r(2x-3, -3y+5) = r(x,-y) = -0,8


Ou seja: mudando o sinal de apenas uma das variáveis, muda também o sinal da
correlação!
Novo exemplo.

Exemplo 3) Sabendo que r(x,y)=0,8, quanto será r(-2x-3, 3y+5)?
Cortemos o que não altera a correlação, e teremos:
r(-2x-3, 3y+5)
Prestando bem atenção, veremos que, ao eliminar o que não interessa à correlação, o
sinal do x ficou negativo. Viram? Assim, teremos que:
r(-2x-3, 3y+5) = r(-x,y)=-0,8

Novamente, alterou-se o sinal de apenas uma das variáveis. Já sabemos o efeito disto:
muda também o sinal da correlação. (O que era 0,8 virou -0,8). Só isso!
Exemplo 4) Sabendo que r(x,y)=0,8, quanto será r(-2x-3, -3y+5)?
Fazendo os cortes devidos, de acordo com as propriedades da correlação, teremos:
r(-2x-3, -3y+5)
Percebemos que, desta vez, modificaram-se os sinais das duas variáveis. Com isso, o
sinal da correlação permanecerá inalterado!
Assim, teremos:
r(-2x-3, -3y+5) = r(-x,-y)=0,8

Até aqui, o que temos sobre as propriedades é o seguinte: cortando-se as operações de
soma, subtração, produto e divisão, se o que restar forem apenas as duas variáveis...
... com o mesmo sinal original: a correlação não se modifica;
... e modificou-se o sinal de apenas uma delas: a correlação muda de sinal;
... e modificaram-se os sinais das duas variáveis: a correlação não se modifica.

Mais algumas informações que precisamos conhecer:
1ª) A correlação entre x e x é igual a 1. Ou seja: r(x,x)=1,0.
Assim, fazendo uso das propriedades que já conhecemos:
r(-x, x)=-1,0
r(x, -x)=-1,0
r(-x,-x)=1,0
2ª) A correlação entre x e y é igual à correlação entre y e x. Ou seja:
r(x,y) = r(y,x)

Assim, recolhendo todos estes conhecimentos sobre as propriedades, já somos capazes
de resolver algumas questões de prova. Vejamos.

(BACEN-98) Duas variáveis aleatórias X e Y têm coeficiente de correlação linear igual a 0,8. O
coeficiente de correlação linear entre as variáveis 2x e 3x é:
a) 0,8
b) 0,53
c) 0,27

d) 0,32
e) 0,4

Sol.: É dito pelo enunciado que r(x,y)=0,8. E a questão pergunta quanto é r(2x,3y).

Ora, vimos exemplos bem mais interessantes que isto! Cortando os dois produtos, o que
resta é a apenas: r(2x,3y) = r(x,y) = 0,8 Resposta!

É o que eu costumo chamar de um ponto de graça! Vejamos mais uma.

(BACEN-94) O coeficiente de correlação linear entre x e y é r. Se y=4-2x, então:
a) r=1
b) 0<r<1
c) r=0
d) -1<r<0
e) r=-1

Sol.: É dito pelo enunciado que r(x,y)=r. Em seguida, é dito ainda que y=4-2x.
Assim, substituindo este valor de y, teremos:
r(x,y) = r(x, 4-2x)
Aplicando agora a propriedade da correlação, teremos:
r(x, 4-2x) = r(x, -x) = -1
Assim, concluímos que: r(x,y) = r = r(x,-x) = -1
Ou seja: r=-1 Reposta!

Mais uma.

(TRF-2006) O coeficiente de correlação entre duas variáveis Y e X é igual a +0,8. Considere,
agora, a variável Z definida como: Z = 0,2 - 0,5X. O coeficiente de correlação entre as variáveis
Z e X, e o coeficiente de variação entre as variáveis Z e Y serão iguais, respectivamente, a:”
a) -1,0 e -0,8
b) +1,0 e +0,8
c) -0,5 e -0,8
d) -0,5 e +0,8
e) -0,2 e -0,4

Sol.: A questão informa que r(x,y)=0,8.
A seguir, define que z=0,2-0,5x.
E pergunta duas coisas:
1º) r(z,x)=? e 2º) r(z,y)=?
Do início.
Substituindo a definição de z, teremos:
r(z,x) = r(0,2-0,5x , x)
Aplicando as propriedades, teremos:


r(z,x) = r(0,2-0,5x , x) = r(-x,x) = -1

Agora a segunda pergunta. Substituindo o z de novo, teremos:
r(z,y) = r(0,2-0,5x , y)
Aplicando as propriedades, teremos que:
r(z,y) = r(0,2-0,5x , y) = r(-x,y)
Ora, se foi dito pelo enunciado que r(x,y)=0,8
Então: r(-x,y)=-0,8

Assim, as duas respostas que a questão procura são: -1 e -0,8 Resposta!

O quarto tipo de questão que pode cair em prova sobre correlação é a mais difícil delas. É
a questão que exige a aplicação da fórmula!
Ou seja, é um enunciado que vai fornecer uma tabela com todos aqueles pares de
informação (das variáveis x e y), e vai pedir que seja calculado o valor do coeficiente de
correlação linear. Em outras: a questão irá querer saber o valor de r(x,y).
Antes de mais nada, convém saber do seguinte: a tabela para aplicação da fórmula da
correlação somente estará completa se contar com as seguintes cinco colunas:

Xi Yi Xi2 Yi2 Xi.Yi
. . . . .
. . . . .
. . . . .
ΣXi ΣYi ΣXi2 ΣYi2 ΣXi.Yi

Precisamos destas cinco colunas, porque a fórmula será preenchida exatamente com os
cinco somatórios que estão em azul na tabela acima!
Além desses somatórios, a fórmula traz também um tal de n. O que significa este n?
Significa número de pares de informações!
Assim, conhecendo, por meio da tabela, o número de pares de informação (n), e os
somatórios das cinco colunas acima, pronto!, já estaremos aptos a aplicar a fórmula e a fazer as
contas, e a chegar à resposta da questão!
Próximo passo: memorizar a fórmula. Vejamos novamente.

r ( x, y ) =
[n.∑ Xi 2
][
− (∑ Xi ) . n.∑ Yi 2 − (∑ Yi )
2 2
]
Para memorizar esta belezura, basta que você memorize o primeiro colchete do
denominador. É o seguinte:
n.ΣXi2-(ΣXi)2
É somente essa parcela que você precisará memorizar! Somente essa!


Assim, convém que você a repita várias e várias vezes no papel. Olhando para ela, sem
olhar para ela. De todo jeito! Até que fique definitivamente memorizada.
Depois disso, lembraremos do seguinte: o denominador está debaixo do sinal da raiz
quadrada. E dentro desta raiz, há o produto de dois colchetes: o primeiro deles é aquele que a
gente já decorou. E o segundo é praticamente igual ao primeiro, trocando-se apenas o X por Y.
Você há, portanto, de concordar comigo, que o denominador já está todo memorizado.
Concorda?
Pois bem! Voltemos àquele colchete que decoramos no começo.
Agora, vamos desenvolvê-lo. É muito fácil fazer isso. Todos concordam que Xi2=Xi.Xi?
Sim? E todos também concordam que: (ΣXi)2=(ΣXi).(ΣXi)? Sim?
Assim, podemos dizer que:
n.ΣXi2-(ΣXi)2 = n.Xi.Xi-(ΣXi).(ΣXi)
Tudo bem até aqui?
Pois bem! Observem que o desenvolvimento acima resultou em duas parcelas, nas quais
só aparece a variável X.
Mas para chegarmos ao numerador da fórmula, modificaremos ligeiramente o resultado
deste desenvolvimento, de forma que tenhamos as duas variáveis X e Y, e não apenas X.
Teremos: n.Xi.Yi-(ΣXi).(ΣYi)
Pronto! Chegamos ao numerador da fórmula. Agora, sim, conhecemos a fórmula inteira!
Com isso, estamos aptos, finalmente, a resolver mais este tipo de questão de correlação!
Vejamos algumas delas.

(AFTN-96) Considere a seguinte tabela, que apresenta valores referentes às variáveis x e y,
porventura relacionadas:
Valores das variáveis x e y relacionadas
X Y x2 Y2 xy
1 5 1 25 5
2 7 4 49 14
3 12 9 144 36
4 13 16 169 52
5 18 25 324 90
6 20 36 400 120
21 75 91 1.111 317

Marque a opção que representa o coeficiente de correlação linear entre as variáveis x e y.
a) 0,903 b) 0,926 c) 0,947 d) 0,962 e) 0,989

Sol.: Percebam que o enunciado não precisa descrever exatamente quais são as variáveis X e Y.
Ele apenas as chama por estas letras e pronto!
Eu pergunto a vocês: esta tabela fornecida nesta questão já está completa para usarmos
a fórmula da correlação linear?
O que vocês dizem? Sim, já está completa! Resta, portanto, colocar a fórmula no papel e
fazer as contas. Teremos:

r ( x, y ) =
[n.∑ Xi 2
][
− (∑ Xi ) . n.∑ Yi 2 − (∑ Yi )
2 2
]


6 x317 − 21x75
r ( x, y ) =
[ ][
6 x91 − (21) 2 . 6 x1111 − (91) 2 ]

São apenas estas as rápidas continhas que teremos que fazer!
Moral da história? Não faremos esta questão! O quê, professor? É isso mesmo! Trata-se
de uma questão asterisco. Já falei disso aqui? Questão asterisco é aquela que você vê e sabe, na
mesma hora, que será uma resolução muitíssimo demorada, e que, conseqüentemente, vai
roubar o tempo de várias outras questões de resolução mais rápida!
Assim, ao identificar uma questão asterisco, você vai colocar um imenso (adivinha o
quê?) asterisco ao seu lado, para identificá-la, e para que você possa voltar a ela, no final da
prova, depois de haver resolvido todo o resto, e, obviamente, se houver tempo para isso!
Não poderia deixar de dar esse conselho a vocês. Pulem esta questão! Ponham um
asterisco e deixem para o final.
Mas, cuidado! Nem sempre o que parece é! Vejamos a questão abaixo.

(TRF-2006) Para 5 pares de observações das variáveis X e Y, obteve-se os seguintes
resultados:

ΣX = ΣY = 15
ΣX2 = ΣY2 = 55
ΣXY = 39

Sabendo-se que esses 5 pares de observações constituem a totalidade da distribuição
conjunta populacional dessas duas variáveis, o valor do coeficiente de correlação entre X e Y é
igual a:

a) +1,000 b) +0,709 c) +0,390 d) -0,975 e) -0,600

Sol.: É mais um enunciado que pede a aplicação da fórmula da correlação linear!
Observem que não foi fornecida aqui tabela alguma. Todavia, foram fornecidos cinco
somatórios. Estão vendo? Exatamente aqueles cinco somatórios que precisamos para aplicar a
fórmula da correlação!
Assim, antes de colocarmos o tal do asterisco nesta questão, convém observarmos
melhor! Vejam que há somatórios iguais. Estão vendo? Que tal tentarmos substituir estes
valores na fórmula? Teremos:

r ( x, y ) =
[n.∑ Xi 2
][
− (∑ Xi ) . n.∑ Yi 2 − (∑ Yi )
2 2
]
5 x39 − 15 x15
r ( x, y ) =
[5x55 − (15) ][5x55 − (15) ]
. 2 2

Ora, os colchetes do denominador são iguais! Como estão sendo multiplicados, é mesmo
que um só colchete elevado ao quadrado! Assim, como é do conhecimento de todos nós, se
temos a raiz quadrada de um valor qualquer elevado à segunda potência, desaparece o sinal da
raiz. Assim, teremos:


5 x39 − 15 x15
r ( x, y ) =
5 x55 − (15) 2

Viram? O que me dizem? Dá para fazer estas contas, ou não? Claro que sim! Teremos:
r(x,y)=(195-225)/(275-225)
r(x,y)=-30/50 = -3/5 = -0,600 Resposta!

É isso, meus queridos!
Quero, mais uma vez, pedir sinceramente que me perdoem pelo atraso desta aula!
Jamais permitiria que acontecesse se estivesse em condições físicas de escrevê-la antes. Espero
que acreditem em mim, pois estou sendo honesto com vocês.
Não tem dever de casa hoje, porque eu já resolvi todas as questões. Então fica assim: o
dever de casa é estudar essa aula com muita calma, e refazer todos os exemplos que eu resolvi
neste texto. Ok?
Um forte abraço a todos! A próxima aula eu postarei ainda ao longo desta semana!
Fiquem todos com Deus!


Estatistica regular 10

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Andere mochten auch

Andere mochten auch (8)

Ähnlich wie Estatistica regular 10

Ähnlich wie Estatistica regular 10 (20)

Mehr von J M

Mehr von J M (20)

Estatistica regular 10