1. 4.2.3 Método de Romberg
Para una función analítica (opuesta a la forma tabular), las ecuaciones
de error [Ec. (13.13) y (13.19)]
indican que aumentando el número n de segmentos se genera una apro-
ximación más exacta a la integral. Esta observación la comprueba la
figura 14.1, que es una gráfica del error real contra n para la integral de
f(x) = 0.2 + 25x - 200x2 = 675x3 - 900x4 + 400x5. Nótese cómo el error
decrece a medida que n crece. Sin embargo nótese también que para
valores muy grandes de n, el error empieza a crecer ya que los errores
de redondeo empiezan a dominar. También obsérvese que se necesita
un número muy grande de segmentos (y por lo tanto, esfuerzo de

2. Valor absoluto del error relativo
porcentual verdadero contra el
número de segmentos en la
determinación de la integral f(x)
= 0.2 + 25x — 200x2 + 675x3 —
900x4 + 400x5, evaluada de a = 0
a b = 0.8 usando la regla
trapezoidal de segmentos
múltiples y la regla de Simpson
de 1/3 de segmentos múltiples.
Nótese que ambos resultados
indican que para un número
considerable de segmentos, los
errores de redondeo limitan la
precisión.

3. cálculo) para alcanzar niveles altos de exactitud. Como una
consecuencia de estos inconvenientes, la regla trapezoidal de
segmentos múltiples y las reglas de Simpson algunas veces son
inadecuadas en problemas donde se necesita gran eficiencia y pocos
errores.
La integración de Romberg es un método diseñado para evitar estos
inconvenientes. Es muy similar a los métodos analizados en el
capítulo 13, en el sentido de que está basado en la aplicación
sucesiva de la regla trapezoidal. Sin embargo, mediante
manipulaciones matemáticas, se obtienen mejores resultados con
menos esfuerzo.

4. Extrapolación de Richardson
Este método usa dos cálculos de la integral para efectuar un tercer
cálculo más exacto.
El cálculo y el error asociado con la regla trapezoidal de segmentos
múltiples se representa generalmente como:
en donde I es el valor exacto de la integral, I(h) es la aproximación
de la integral usando la regla trapezoidal con n segmentos y con
tamaño de paso h = (b — a)/n y E(h) es el error de truncamiento. Si
se obtienen dos aproximaciones por separado usando tamaños de
paso h1 y h2 y se tiene el valor exacto del error, entonces

5. Ahora recuérdese que el error de la regla trapezoidal de segmentos
múltiples se representa por la ecuación (13.13) [con n = (b — a)/h]:
[14.1]
[14.2]
Si se supone que /'' es una constante que depende del tamaño del
paso, entonces la ecuación (14.2) se usa en la determinación del
promedio de los dos errores, que es:
[14.3]

6. Este cálculo tiene el importante efecto de quitar el término /'' de los
cálculos. Al hacerlo, se ha hecho posible utilizar la información
relacionada
con la ecuación (14.2) sin conocimiento previo de la segunda
derivada de la función. Para hacerlo, se reordena la ecuación (14.3)
para obtener:
la cual se puede sustituir en la ecuación (14.1)

7. la cual, puede resolverse
Por lo tanto, se ha desarrollado una expresión que calcula el error
de truncamiento en términos del valor de la integral y el tamaño de
paso. Esta estimación se sustituye en
obteniendo una estimación mejorada de la integral:
[14.4]

8. Se demuestra (Ralston y Rabinowitz, 1978) que el error de esta esti-
mación es 0(h4). Por lo tanto, se han combinado dos estimaciones de
la regla trapezoidal de 0(h2) en la obtención de una nueva estimación
de 0(h4). En el caso especial en que el intervalo se divide en dos
partes (h2 = h/2), la ecuación se transforma a:
o, reordenando términos,
[14.5]

9. EJEMPLO 14.1
Corrección de errores en la regla trapezoidal
Enunciado del problema: en el capítulo anterior (ejemplo 13.1 y el
cuadro 13.1) la aplicación de la regla trapezoidal de segmentos
múltiples lleva a los siguientes resultados:
Segmentos h Integral evr%
1 0.8 0.172 8 89.5
2 0.4 1.068 8 34.9
4 0.2 1.484 8 9.5

10. Utilícese esta información junto con la ecuación (14.5) para calcular
mejores estimaciones de la integral
Solución: los cálculos con uno y dos segmentos se combinan y se
obtiene
El error en la integral mejorada es
que es superior a la aproximación en que se basó.

11. De la misma manera, los cálculos de dos y cuatro segmentos se
combinan y se obtiene
que representa un error de
La ecuación 14.4 proporciona una forma de combinar dos
aplicaciones de la regla trapezoidal con error 0(h2) y calcular una
estimación de 0(h4). Este planteamiento es un subconjunto de un
método más general que combina integrales para obtener mejores
estimaciones. Por ejemplo, en el ejemplo 14.1, se calcularon dos
integrales mejoradas de 0(ri4) en base a tres estimaciones de reglas
trapezoidales.

12. Estas dos estimaciones mejoradas, pueden a la vez, combinarse
para obtener todavía una mejor estimación de 0{h6). Para el caso
especial en que las estimaciones mediante regla trapezoidal original
se basen en divisiones sucesivas a la mitad del intervalo, la ecuación
usada con 0(h6) de exactitud es:
[14.6]
en donde Im y J, son las estimaciones más y menos exactas,
respectivamente. De manera similar, dos resultados de 0(h6) se
combinan para calcular una integral que es 0(hs) usando
[14.7]

13. EJEMPLO 14.2
Corrección del error de órdenes mayores de dos en la estimación de
integrales
Enunciado del problema: en el ejemplo 14.1 se usa la extrapolación
de Richardson para calcular dos estimaciones de la integral de 0(h4).
Utilícense la ecuación (14.6) y combínense estas estimaciones para
calcular una integral con 0(h6).
Solución: las dos aproximaciones de 0(fi4) obtenidas en el ejemplo
14.1 fueron 1.367 466 67 y 1.623 466 67. Estos valores se
sustituyen en la ecuación (14.6) y se obtiene

14. la cual es la respuesta correcta a nueve cifras significativas que son
las obtenidas en este ejemplo.
Algoritmo de la integración de Romberg
Nótese que los coeficientes en cada una de las ecuaciones de
extrapolación [Ec. (14.5), (14.6) y (14.7)] suman 1. Por lo tanto,
representan factores de peso que, a medida que la exactitud
aumenta, coloca progresivamente pesos mayores en la estimación
de la integral. Estos planteamientos pueden expresarse en una
forma general, que se adapta muy bien a las implementaciones
mediante computadora: