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1. I UNIDAD: ALGEBRA EN LOS REALES.
1.- RAZONES Y PROPORCIONES
Horas : 6
OBJETIVOS:
• Utilizar propiedades de las razones y proporciones en la resolución de
problemas.
• Aplicar el concepto de variación proporcional directa , inversa y conjunta en la
resolución de problemas con enunciado.
• Aplicar propiedades y conceptos de porcentajes en la resolución de problemas
con enunciado.
RESUMEN DE CONTENIDOS:
• RAZONES: es la comparación de dos números mediante el cuociente o división. Está
compuesta de dos elementos que son el antecedente y el consecuente.
Antecedente → a
Consecuente → b
- se lee “a es a b”.
- en la razón geométrica existen infinitos pares de números que cumplen con la razón dada.
• PROPORCIONES: es la igualdad de dos razones equivalentes. Está compuesta de dos
términos medios y dos términos extremos.
- Toda proporción puede escribirse de dos maneras:
d
c
b
a
= o bien dcba :: =
- En toda proporción se cumple que el producto de medios es igual al producto de extremos.
 Propiedades de las proporciones:
1. Alternar extremos:
a
c
b
d
=
2. Alternar medios
d
b
c
a
=
3. Permutar
b
a
d
c
=
4. Invertir
c
d
a
b
=
5. Componer
c
dc
a
ba +
=
+
d
dc
b
ba +
=
+
1

2. 6. Descomponer
c
dc
a
ba −
=
−
d
dc
b
ba −
=
−
EJEMPLOS
1) En un curso, la razón entre el número de varones y damas es 5:4. Si el número de damas es 8.
¿Cuál es el número de alumnos?
Solución:
Sea a = número de varones
b = número de damas=8
a + b = Nº de alumnos
la razón es
4
5
=
b
a
reemplazando los datos se tiene:
4
5
8
=
a
10=⇒a
el número total de alumnos resulta de a+b =10+8 = 18 alumnos.
2) En 1999 la utilidad neta de una empresa fue de $53.126 siendo su activo total de $134.930.
¿Cuál fue la razón de la utilidad neta al activo total?
Solución: 39,0
930.134
126.53
= la utilidad neta fue de 39,0
3) Una librería, cuya existencia promedio de mercancía es de $30.000 obtuvo una utilidad de
$36.000 sobre una venta de total de $180.000 en el año anterior. Encontrar:
a) la razón del total de ventas al inventario promedio.
b) la razón de la utilidad a la venta total.
Solución:
a) 6
000.30
000.180
==
promedioinventario
totalventa
la razón es de 3 a 1
b)
10
3
000.180
000.36
==
ventas
utilidad
la razón es de 1 a
10
3
4) El acero para herramientas puede trabajarse en el torno a la velocidad de corte de 6 mm. Por
minuto, en tanto que el hierro fundido puede trabajarse con una velocidad de corte de 13,5
mm
/min . Hállese la razón de las velocidades de corte.
Solución:
Sea a= acero
h= hierro
se forma la razón 4,0
5,13
6
==
h
a
luego la razón es 4 a 9.
5) La masa de oxígeno ocupa 500 lt a presión de 740 mm de Hg. Determinar el volumen de esa
masa a presión normal, permaneciendo constante la temperatura.
2

3. NOTA: - Ley de Boyle: “A temperatura constante, el volumen de una masa de un gas ideal
varía inversamente con la presión a que se somete un gas”.
2211 VPVP ⋅=⋅
- Presión normal = 1 atmósfera = 760 mm de Hg
Solución:
2760500740 VHgdemmltHgdemm ⋅=⋅
2
11
2
P
VP
V
⋅
=
ltV 4872 =
6) Un vaso de papel en forma de cono, se llena con agua a razón de 3 cc. por seg. La altura del
vaso es de 10 cm y el radio de la base es de 5 cm. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua
cuando es 4 cm?.
Nota: - volumen del cono hrV 2
3
1
π=
Solución: formando la proporción
cm
h
cm
r
105
=
210
5 hh
r ==
variación del volumen de agua c/r al tiempo es
3
5
3
cmV = cuando h=4cm
por tanto 3
2
12
1
23
1
hh
h
V ππ ⇒





=
como el volumen de agua varía c/r al tiempo se aplica la regla de la cadena formándose
( )3
12
h
dt
d
dt
dV π
= = 





dt
dh
h2
3
12
π
=
dt
dhh






4
2
π
al sustituir
5
3 3
cm
dt
dV
= y h=4 cm se obtiene
dt
dh
=
π4
3
3

4. scm
dt
dh
/24,0=
EJERCICIOS PROPUESTOS DE RAZONES
1) En un curso, la razón entre el número de varones y damas es 3:2. Si el número de damas es
10.¿Cuál es el número de alumnos en total?
2) La razón entre las velocidades de un avión y un tren es de 15:2. Si la velocidad del tren de 60
km./h. ¿Cuál es la velocidad del avión?
3) La razón entre dos cantidades es 0,8. Si el antecedente es 4, ¿Cuál es el consecuente?
4) Calcular el antecedente en una razón cuyo valor es 1,5 y el consecuente es 6.
5) Calcular el consecuente de una razón cuyo valor es 1,5 y el antecedente es 6.
6) Calcular el valor de las siguientes razones, desarrollando mecánicamente las divisiones y
comprobándolas con calculadora:
a) 0,064 : 1,6 b) 1: 0,002 c) 0,3: 0,03 d) 0,5:2
e) 0,04: 10 f) 4: 10 g) 0,003:0,1 h) 0,2: 100
i) 5: 0,0005 j) 2,5: 0,05 k) 24: 0,12 l) 0,36: 1,8
7) Las aristas de dos cubos miden respectivamente 2cm y 4cm. ¿En que razón están sus
volúmenes?
8) Los lados de dos terrenos cuadrados miden respectivamente 10m y 20 m. ¿En que razón
están sus áreas?
9) La altura de una puerta y una ventana en un edificio miden 1,80 m y 1,20 m respectivamente.
En la maqueta, la puerta corresponde a 6 cm ¿Cuál es la altura de la ventana?
10) La menor de dos poleas unidas por una correa hace 240 revoluciones por minuto, en tanto que
la mayor hace 80.¿Cuál es la razón de sus velocidades?
11) Dos ruedas que engranan tienen velocidades que guardan una razón de 2:3. Suponiendo que
la menor haga 75 revoluciones por minuto ¿cuántas revoluciones por minuto hará la mayor?
(La razón de sus velocidades es la inversa de la razón de sus diámetros).
12) Un tren expreso marcha a la velocidad de 80 km./h mientras que un aeroplano vuela a 300
km./h. Hállese la razón de sus velocidades.
13) Un metro de alambre de cobre de 0,025 mm de diámetro tiene una resistencia de 8,6 ohmios,
en tanto que un metro de alambre de aluminio del mismo diámetro tiene una resistencia de 15
ohmios. ¿Cuál es la razón de las dos resistencias?
14) El bronce para campanas se compone de 4 partes de cobre y una parte de estaño. Hállese la
cantidad de cada metal que hay en una campana que pesa 8,5 kg.?.
15) El metal Britannia consiste en dos partes de antimonio, una parte de bismuto y una parte de
estaño. ¿Cuántos kilos de cada metal hay en una pieza fundida que pesa 24 kg.?.
16) La longitud de una circunferencia de 2,75 cm de diámetro es 8,6394 cm. Hallar la razón de la
circunferencia al diámetro. Indicar la respuesta con cuatro decimales.
4

5. 17) La razón entre el contenido de un estanque y su capacidad es 2:3. Si para llenarlo se
necesitan 15 litros, ¿Cuál es la capacidad del estanque?
18) Se efectúa una partición de los bienes de una cierta sociedad. Se deja explícita referencia que
la diferencia entre los socios es de $750.000. Si se sabe que la razón en que dichos bienes
son asignados es de 3:5. Determine la cantidad de dinero que corresponde a cada uno de
ellos.Rp.: A:$1.125.000 ; B: $1.875.000
19) Se está proyectando la construcción de un cinematógrafo, las dimensiones entre el largo y el
ancho de la sala es de 10:18. Se considera que cada espectador debe ocupar 0,55 2
m para
estar cómodo. Si la sala tiene un ancho de 20 m. ¿Cuál será la capacidad de espectadores en
un cine?
Rp.: 404 espectadores
20) Se desea adquirir un terreno. Hay un sitio cuyo fondo es de 7 m. Se desconoce la dimensión
del frente, pero la razón entre sus dimensiones es de 4:6 respectivamente. Si el metro
cuadrado vale 300 UF. Determinar cuanto se pagará por el terreno.
Rp.:220.500UF.
21) Una empresa comercializadora de ropa usada importada, recibe dos fardos de ropa usada, los
que son calificados, de primera categoría y de segunda categoría. Se disponen ofertas por: dos
artículos de primera y tres de segunda por $28.800. Si los precios de los artículos están en
razón de 3:4 y el valor de los artículos de cada categoría es igual. ¿Cuál es el valor de los
artículos de cada clase en esta oferta?
Rp.: A:$4.800 ; B:$6.400
22) En un examen de selección de personal para operadores de un específico sistema de
información, se aplicó el test de Dr.Jhonson. Un postulante usando el artefacto para
operaciones pudo ejecutar 8 operaciones en 20 seg. ¿Cuál es la razón correspondiente de
dichas operaciones por minuto? Rp.: 24 operaciones por minuto
23) La razón entre dos números es 8:3 y su diferencia es 55.calcular los números.
24) Dos números están en la razón 5:2. Si sumados dan 42. Calcular los números.
25) Se desea cortar un tubo de acero de 12 m de la longitud en razón de 2:3. Calcule la longitud de
cada parte.
26) Los accidentes de trabajo en la cabeza y en las manos están en la razón de 2:5, entre 120
obreros de una constructora. Calcule la cantidad de obreros en cada sección.
27) Dos personas se reparten $18.000 tal que sus partes están en la razón de 8:4.¿Cuánto recibe
cada uno?
Soluciones:
1) 25 alumnos 2) 450 km./h 3) 5 4) 9 5) 4
6) a) 0,04 b) 500 c) 10 d) 0,25 e) 0,004 f) 0,4
g) 0,03 h) 0,002 i) 10.000 j) 50 k) 200 l) 0,2 l) 0,2
7)1:8 8) 1 : 4 9) 4 cm 10) 3:1
11) 112,5 12)4:15 13) 113 a 150 14) 8,5
15)12 kg. Sb,6 kg. Bi,6 kg. 16) 3,1416 17) 30 litros
5

6. _______________________________________________________________________________
CLASIFICACIÓN DE PROPORCIONES:
continua → tiene repetido los medios o los extremos
discontinua → tiene todos sus términos diferentes.
• Media proporcional geométrica: se repite el término desconocido en
los medios o extremos
d
x
x
a
= o
x
c
b
x
=
• Tercera proporcional geométrica: se repite un término conocido según
se establezca la proporción y pueden darse 2 valores de ella.
a
c
x
a
= o
d
b
b
x
=
• Cuarta proporcional geométrica: no se repite ningún término y depende
de la proporción que se establezca entre las cantidades, pudiendo tener
hasta tres valores.
d
c
b
x
=
EJERCICIOS
1. Hallar la media proporcional geométrica entre;
a.
4
1
y
9
1
b. 49 y 0,25 c.2 y 8
d. 2
4
1
y 3
16
1
e. 0,4 y 0,08 f. 12,6 y
2
5
g. 2
4
1
y 3
6
1
h.0 0,0064 y 225 i. 16 y 25
j. 2 y 4,5 k. 9 y 36 l. 0,5 y 100
2. Hallar la cuarta proporcional entre las siguientes cantidades, tomándolas en el mismo
orden:
a.
6
5
,
4
1
,
3
2
b. 2, 3 y 6 c. a 2
, ab, 2
d. 12,5; 10; 2,5 e. 12; 6,4; 3,75 f. 6; 12,5; 2,88
g. 0,5; 0,1; 0,15 h.
3
7
,
5
1
,
6
1
i.
3
1
,
2
1
,
6
5
3. Hallar la tercera proporcional de los pares siguientes:
a. 2 y 3 b. -2 y 8 c. 8 y 0,4 d.
6
5
y
3
2
e. 4 y 8 f. 2,5 y 5 g.
9
4
y 0,6 h. 0,4 y 0,2
i. 1,8 y
9
7
j. 0,2 y
10
1
k. 5 y
5
1
l. 3,2 y 1,4
6

7.  TIPOS DE PROPORCIONES:
• Proporción directa: Dos cantidades a y b son directamente proporcionales si al
aumentar o disminuir una de ellas, la otra aumenta o disminuye
el mismo número de veces.
1. Se le simboliza como kba = (k =cte. proporcionalidad)
2. Los cuocientes que forman una proporción directa tienen siempre un valor constante.
3. Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen.
• Proporción inversa: dos cantidades a y b son inversamente proporcionales cuando
haciéndose mayor o menor la primera cantidad, la segunda se hace menor o mayor el
mismo número de veces.
1. Se le simboliza como
b
ka
1
= (k = cte. proporcionalidad)
2. El producto de dos cantidades inversamente proporcionales es siempre constante.
3. Su gráfica es una asíntota al eje X.
• Proporción compuesta: ser presenta como una combinación de proporciones directas e
inversas. Pueden darse tres casos:
- combinación de dos proporciones directas; se realiza un producto cruzado de los
términos.
Ej.: Cuatro operarios producen en 10 días 320 piezas de un cierto producto.
¿Cuántas piezas de este mismo producto serán producidas por 10 operarios en 16
días?
Solución:
n° de operarios n° de piezas n° de días
4 320 10
10 x 16
1280
104
1632010
=
⋅
⋅⋅
=x piezas producidas.
- combinación de dos proporciones inversas; producto hacia los lados de sus
términos
Ej.: 9 obreros trabajando 8 horas diarias, pintan un edificio en 12 días. ¿Cuántos
días demoran 18 obreros en pintar el mismo edificio, trabajando 6 horas diarias?.
Solución:
n° de obreros n° de días n° de horas diarias
9 12 8
18 x 6
8
618
8129
=
⋅
⋅⋅
=x días
7

8. - combinación de proporción directa e inversa:
Ej.: 20 máquinas aran un terreno de 60 hectáreas en 18 días. ¿Cuántas máquinas
aran un terreno de 36 hectáreas en 12 días?
Solución:
n° de días n° de máquinasn° de hect.
18 20 60
12 x 36
18
60121
362018
=
⋅
⋅⋅
=x máquinas
EJERCICIOS
1. Cuánto cuestan 27 reglas a $2.400 la docena?
2. Un vehículo recorre m metros a una velocidad v, ¿cuántos metros recorrerá otro vehículo a
una velocidad W?
3. 3,1 h equivalen a ¿cuántas horas y minutos?
4. Una vertiente llena una garrafa de 18 litros en 16 minutos. ¿Qué capacidad daremos a un
estanque para almacenar el agua de toda una noche (12hr)
5. La diferencia entre dos números es 48 y están en la razón 9:5.¿cuál es el menor número?
6. Un grifo que entrega 0,6lt de agua por seg., llena un estanque en 21 h. ¿Cuánto tiempo
tardará en llenarlo otro grifo que da 0,9lt por seg.?
7. Para hacer un alumbrado en un condominio industrial se necesitan 388 postes a 1,50m de
distancia. ¿Cuántos postes se ocupan si se ponen a 2m uno del otro?
8. ¿Cuánto recorre un automóvil en 20 minutos a 64 km./h?
9. Un operario puede tornear 12 pasadores en 15 min. ¿Cuánto tardará en tornear 250
pasadores?
10. Una rueda dentada de 18" engrana con otra de 6". Suponiendo que la rueda mayor tenga
72 dientes, ¿cuántos tendrá la más pequeña?
11. Si una pieza fundida que pesa 14 kg. cuesta $2.100, ¿cuánto costará una pieza que pesa
30 kg.?
12. Los largos de los rectángulos de la figura son proporcionales a sus anchos. ¿Cuál es el
largo del menor de los rectángulos?
13. Un alambre de cobre de 120 m de largo tiene una resistencia de 1.084 ohmios. ¿Cuál será
la resistencia de un alambre de 750 m?
14. Una polea de 60 cm de diámetro y que da 180 revoluciones por minuto, mueve a otra polea
de 36 cm de diámetro. ¿Cuántas revoluciones por minuto dará la polea más pequeña?
15. Una polea de 35 cm da 240 revoluciones por minuto y mueve una polea mayor que da 210.
¿Cuál es el diámetro de esta última polea?
8
12 cm
7,25 cm
4,5
cm

9. 16. Las áreas de los círculos son proporcionales a los cuadrados de sus diámetros. Hallar el
área de un círculo de 9 cm de diámetro, si el área de un círculo de 5 cm es igual a 19,635
cm 2
.
17. Una dactilógrafa escribe a máquina una página de 54 líneas a doble espacio. ¿Cuántas
líneas escribirá en la misma página a triple espacio?
18. 9 trabajadores podían terminar una obra en 10 días; el trabajo ha durado 18 días.
¿Cuántos trabajadores faltaban?
19. Un trazo de k cm se divide en dos segmentos que están en la razón 5:7. ¿Cuál es la
longitud del segmento más largo?
20. Siete obreros cavan en dos horas una zanja de 10 m. ¿Cuántos metros cavarán en el
mismo tiempo 42 obreros?
21. Expresar mediante una ecuación en la que intervenga una constante de proporcionalidad K
los enunciados siguientes:
a. La longitud de una circunferencia es directamente proporcional a su diámetro.
b. El período T de la oscilación de un péndulo simple en un lugar determinado es
directamente proporcional a la raiz cuadrada de su longitud.
c. La fuerza de atracción F entre dos masa m 1 y m 2 es directamente proporcional
al producto de ambas masas e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia r entre ellas.
d. A temperatura constante el volumen V de una masa dada de un gas perfecto es
inversamente proporcional a la presión p a la cuál está sometida.
22. La fuerza de un motor de gas aumenta con el área del émbolo. Suponiendo que un motor
con una superficie de émbolo de 54 cm 2
desarrolla 25,5 Hp. ¿Cuántos Hp desarrollará un
motor con un émbolo cuya superficie sea de 45,15 cm 2
?
23. El hierro fundido pesa 7,2 kg. por dm 3
y el pino blanco pesa 0,4 3
/ dmkg . Suponiendo
que un modelo hecho en madera de pino pese 2,25 kg. ¿Cuánto pesará una pieza que se
funda con hierro fundido?
24. Si
5
7
=
b
a
y a – b = 30. Hallar a y b.
25. Si
y
x
=
n
m
y x – m = 20, y – n =15, n = 6. Hallar el valor de m.
26. Sea x + y + z = 50 y x : y : z = 3 : 5 : 2. Calcular x, y, z.
27. La suma de tres números es 36 y están en la razón 2:3:4. Calcular los números.
28. Sea a : b : c = 7:5:2 y a – b + c = 20.Calcular a, b, c.
29. Si x : y : z = 8:5:2 tal que 2x + y + 5z = 93.Calcular x, y, z.
30. Un segmento de 120 cm se divide en tres partes cuyas longitudes son directamente
proporcionales a los números 3, 4, 5. Hallar las longitudes de cada una de ellas.
31. Calcular los ángulos interiores de un triángulo, si se cumple la condición: α :β : γ=
5:3:10
32. Calcular los ángulos interiores de un cuadrilátero si verifican;
α : β : γ :δ = 5: 6: 7: 9
33. Sea
2
a
=
4
b
=
3
c
; y a – b + c = 20. Calcular a, b, c.
34. Si
7
t
=
3
u
=
2
v
; y t – u – v = 16. Calcular t, u, v.
35. Si a: b: c: d = 5: 4: 6: 2 tal que 6a+ 5b − 4c − 5d = 144.
Hallar a, b, c, d
36. Para una adecuada comercialización, un producto debe presentar una óptima proporción
entre sus sabores. Si estos componentes son A,B,C y se sabe que la razón entre A y B es
de 5:3: =BA , la razón entre B y C es 7:4: =CB ¿Cuántos kilos de cada una de estas
componentes, hay en 150 kilos del producto?
9

10. 37. En una industria textil se requiere trabajar con gran cantidad de agua destilada, para tal
efecto se dispone de un depósito de 12m de profundidad el que es llenado en 8 días a
razón de 50 lt por segundo. Si el agua que debiera ocuparse cayera a razón de 65 lt por
segundo y el depósito fuera de sólo 8m de profundidad. ¿Cuántos días tardaría en
llenarse?
38. Son observadas dos variables, x e y.
X 400 800 1.600
Y 2.000 1.000 500
a. ¿Cuál es la relación de proporcionalidad entre las variables?
b. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
c. ¿Cuál es el valor que corresponde a y para un x=6.400?
39. Un control de calidad estipula que un líquido en envase de transporte convencional debe
ser inversamente al volumen V que ocupa y directamente proporcional a la temperatura
absoluta T. ¿A que presión se deben someter 100 3
m de gas de helio a 1 atmósfera de
presión y 253° absolutos de temperatura, para que se reduzcan a 50 3
m a una
temperatura de 313° absolutos?
SOLUCIONES.
1. a. no b. si c. no d. si e. si f. si
g. si h. Si
2. a. 4:2=10:5 b. 7:2=14:4 c. 3:5=6:10 d. 10:4=5:2
3. 88 y 33 4. 30 y 12 5. 7,2m y 4,8m 6. 34 y 85 obreros
7. $12.000 y $6.000 8. $5.400 9. mW/v 10. 3 h 6 min.
11. 810 litros 12. 60 13. 14 horas 14. 291 postes
15. 21,3 km.
16. a. 7 b. 2,4 c. 8 d. 30 e. 0,6 f. 4
g. 3 h. 5 i. 35/8 j) 2 k. 0,4 l. 15/16
m. 1/125 n. 0,4 ñ. −1,92
17. a. 1/6 b. 3,5 c. 4 d. 2 5/8 e. 0,18 f) 5,61
g. 8/57 h. 1,2 i. 20 j. 3 k. 18 l. 50
18. a. 1/5 b. 9 c. 2b/a d. 2 e. 2 f. 6
g. 0,03 h. 1/70 i. 5/4
19. a. 4,5 b. −32 c. 0,02 d. 8/15 e. 16 f. 10
g. 0,81 h. 0,1 i. 245/729 j. 1/20 k. 1/125 l. 49/80
20. 125 21. 160 22. 5 h 12 min. 30s. 23. 24 dientes
24. $4.500 25. 7,4 cm 26. 6.775 ohm 27. 300 rev.
28. 40 cm 29. 63,617 cm2
30. 36 líneas
31. 4 trabajadores 32. 7k/12 33. 60 m
34. a. C = kD b. T= k l c. 2
21
r
mm
kF = d. V= k/p
10

11. 35. 21 77/240 HP 36. 40,5 kg. 37. a=105 b= 75 38. m = 8 39.
x=15, y=25, z=10 40. 8, 12, 16 41. a=35, b=25 , c=10 42. x=24, y=15, z=6 43.
30cm,40cm,50cm 44. 50º, 30º, 100º 45. 66,6º, 80º, 93,3º, 120º
46. a=40, b=80, c=60 47. t=52, u=24, v=16 48. a=45, b=36, c=54, d= 8
50. 4,08 días 51. a. inv proporcionales b. 800.000 c. 125
52. 2,4743083
• TANTO POR CIENTO
 Es una razón de consecuente 100.
 Para calcular problemas relacionados con %, se procede a plantear el
problema como una proporción.
 Precio de compra es el valor que paga el comerciante al comprar mercadería.
 Precio de venta es el valor que el comerciante fija a la mercadería para el
público.
 Ganancia es la diferencia entre el precio de compra y el precio de venta.
 Pérdida es la diferencia entre el precio de venta y el precio de compra.
EJEMPLOS
I.- Hallar el tanto por ciento de un número:
Ejemplo: Hallar el 18% de 96.
Solución: Sabemos que el 100% de 96 es 96 y al 18% de 96 le designaremos por "x"
formando la siguiente proporción:
x
96
=
%18
%100
⇒ x=
100
1896 ⋅
= 17,28
luego, el 18% de 96 es 17,28.
EJERCICIOS:
1) Calcular los siguientes porcentajes:
a) 8% de 250 b) 15% de 462 c) 25% de 9,6
d) 2,3% de 48,72 e) 33
3
1
% de 1236 f) 0,75% de 24
g) 3
4
1
% de 112,3 h) 2% de 7 i) 18% de 76
j)
2
1
% de 18 k) 35% de 180 l) 42% de 1250
2) El metal blanco se compone de 3,7% de cobre, 88,8% de estaño y 7,5% de antimonio.
¿Cuántos kilos de cada metal hay en 465 kg.?
11

12. 3) El metal Muntz se compone de 59,5% de cobre, 39,9% de zinc y 0,6% de plomo. ¿Cuántos
kilos de cada metal hay en 432 kg. de la aleación?
4) El fabricante de cierta marca de automóviles calcula sus costos como sigue: materiales, 38,5%;
mano de obra 41,25%; gastos generales 6,5% y ganancia 13,75%. Hallar el costo de cada una
de estas partidas en un automóvil que se vende a U$ 8.500.
5) Cierto mineral rinde el 4,25% de hierro. ¿Cuántos kilos de hierro hay en una tonelada de ese
mineral?
6) Si sobre una factura de $242.850 se hace un descuento del 2%, ¿Cuánto hay que pagar?
7) A un mecánico que gana $28.500 por semana le redujeron el salario en un 15%.¿Cuánto gana
después de la reducción?
II.- Hallar un número conociendo un tanto por ciento de él:
Ejemplo: ¿De qué número es 36 el 18%?
Solución: Si 36 es el 18% del número buscado, el 100% será un número
desconocido "x", con lo que formamos la siguiente proporción;
x
36
=
%100
%18
⇒ x=
18
10036 ⋅
= 200
luego, el número buscado es 200.
EJERCICIOS:
1) De qué número es :
a) 3 el 75%? b) 22,4 el 75%? c)
3
2
el 25%?
d) 35 el 5%? e) 60 el 90%? f) 76 el 10%
g) 20 el 80%? h) 12 el 2%? i) 15 el 60%?
2) El rendimiento de un motor es del 90%, esto es, la cantidad de energía entregada es el 90% de
la que recibe. Suponiendo que el motor produzca 8 Hp. ¿Cuál es la cantidad de energía que
recibe?
3) Un comerciante vende un artículo en $3.600, perdiendo un 10%. ¿Cuánto le costó el artículo?
4) Cierto mineral rinde el 5% de hierro. Cuántas toneladas de mineral se necesitan para producir
2,5 toneladas de hierro?.
5) Los inspectores de control de calidad de una fábrica rechazan 33 piezas por imperfectas. Esto
representa el 1
2
1 % de la producción diaria. ¿Cuántas piezas se produjeron?
6) Un mecánico obtiene un aumento en su salario de $3.900 por semana, que representa un
aumento del 15%. ¿Cuál es su nuevo sueldo?
12

13. 7) Un motor cuyo rendimiento es del 86%, produce 10,75% Hp. ¿Cuántos Hp recibe?.
III.- Qué tanto por ciento es un número de otro dado.
Ejemplo: ¿Qué % es 9 de 36?
Solución: Tenemos que 36 es el 100%, luego 9 será el x% de 36, formándose la
siguiente proporción;
9
36
=
%
%100
x
⇒ x=
36
%1009 ⋅
= 25%
luego, 9 es el 25% de 36.
EJERCICIOS:
1. ¿Qué tanto por ciento de:
a) 8 es 7? b) 7,2 es 18,5? c) es 3,25 de 5,5?
d) 860 es 129? e) 30 es 6? f) es 0,64 de 512?
g) 1600 es 320 ? h) 86 es 172? i) es 75 de 1250?
2. Un motor que recibe 8 Hp entrega 6,8 Hp. ¿Qué tanto por ciento de la energía recibida es la
energía entregada?
3. Una tonelada de mineral contiene 80 kg. de hierro. ¿Qué tanto por ciento del mineral es hierro?
4. Cuando se funden tuberías de hierro suele contarse con una contracción de 1 cm por metro,
¿Qué % representa esta merma?
5. Para hacer 95 kg. de soldadura empleamos 11,5 kg. de plomo y 83,5 kg. de estaño. ¿Qué %
de cada metal se utilizó?
6. La potencia indicada de una máquina a vapor es de 9,4 Hp, en tanto que la potencia efectiva
es de 8,1 Hp. ¿Qué % de la potencia indicada es la potencia efectiva?
7. De una producción total de 2,715 cojinetes de bolas fabricadas en una jornada, los inspectores
rechazaron 107. ¿Qué % del total se rechazó?
8. Una persona paga $5.750 por un artículo y después lo vende por $6.500.¿Qué % de ganancia
obtiene?
9. Un trabajo realizado en un taller mecánico exigió 42 h. de torno; 7,5 h en la fresadora y 11
4
1
h
en la cepilladora. ¿Qué % del tiempo deberá cargarse a cada máquina?
IV.- Encontrar un número sabiendo que porcentaje mayor o menor que él es otro numero dado:
Ejemplo: ¿De que número, 214 es un 7% mayor?
Solución: 214 es mayor en un 7% que un número "x". Si x es el 100% se tendrá que
214 será el 100% + 7%, formando la proporción siguiente:
x
214
=
%100
%107
⇒ x=
107
100214 ⋅
= 200
13

14. luego, 214 es el 7% mayor que 200.
Ejemplo: ¿De que número, 276 es el 8% menos?
Solución: 276 es el 8% menos de un número x. Si x es el 100%, se tendrá que 276
es el 100% menos el 8%, es decir, es el 92% de x, con lo que se puede
formar la siguiente proporción:
x
276
=
%100
%92
⇒ x=
92
100276⋅
= 300
luego, 276 es el 8% menor que 300.
EJERCICIOS:
1) ¿De que número es,
a) 30 un 16
3
2 % es mayor? b) 48 un 20% menor?
c) 208 un 4% mayor? d) 276 el 8% menor?
2) ¿Cuál tiene que ser la longitud de un modelo para fundir una pieza de 18,5 cm de largo si la
merma por contracción del metal es de 1 cm por metro?
3) Un comerciante vende carbón a $280.000 la tonelada. Si su ganancia es del 12%, ¿cuánto le
cuesta el carbón?
4) ¿Qué número aumentado en un 15% equivale a 437?
5) Si se aumenta en un 8% el precio de un artículo, el nuevo precio queda en $162. ¿Cuál era el
precio primitivo?
Soluciones:
1.− a) 20 b)69,3 c)2,4 d) 1,1 e)412 f) 0,2
g) 3,65 h) 0,14 i) 13,68 j) 0,09 k) 63 l) 525
2.− 17,205 kg. de cobre; 412,92 kg. de estaño; 34,875 kg. de antimonio.
3.− 257,04 kg.; 172,368 kg.; 2,592 kg.
4.− Materiales, $3.272,5; mano de obra $3.506,25; gastos $552,5; ganancia $1.168,75
5.− 42,5 kg. 6.− $237.993 7.− $24.225
II.−
1.− a) 4 b)
15
1329 c)
3
22 d) 700 e)
3
266
f) 760 g) 25 h) 600 i) 25
2.−
9
88 H.P. 3.− $4.000 4.− 50 toneladas
5.− 2.200 piezas 6.− $26.000 7.− 12,5 H.P.
14

15. III.−
1.− a) 87,5% b) 256,9% c) 59,1% d) 15% e) 20%
f) 1/8 % g) 20% h) 200% i) 6%
2.− 85% 3.− 8% 4.− 1% 5.− 12,1% de plomo; 87,9% de estaño.
6.− 86,2% 7.− 3,9% 8.− 13% 9.− 69,1%; 12,3%; 18,5%
IV.−
1.− a)
7
180 b) 60 c) 200 d) 300
2-.− 18,7 cm 3.− $250.000 4.− 380 5.− 150
EJERCICIOS RESUELTOS DE PORCENTAJES
1) Calcular el balance de 2O en la siguiente composición explosiva:
Nitrato de amonio = 94%
Petróleo = 6%
Solución:
-El B.O. del nitrato de amonio es 22234 22 OOHNNNONH ++⇔
El peso molecular (PM) del nitrato de amonio es 80, así 2 moléculas pesan 160 gr. y 2 de O
pesan 32gr.
B.O. = %20
160
10032
=
⋅
- La reacción para el petróleo es OHCOOCH 2222 2232 +⇔+
el PM del petróleo es 14, así 2 moléculas pesan 28gr y 6 átomos de O pesan 96 gr.
B.O.= %85,342
28
10096
−=
⋅
Luego el B.O. de la reacción Anfo de composición 94% de nitrato de amonio y 6% de petróleo
es
Nitrato de amonio 8,1820,094 =⋅
Petróleo 52,2042,36 −=−⋅
Por tanto resulta de esta diferencia -1,72 osea ligeramente negativo, lo que representa una
leve disminución en la efectividad de la explosión y una pequeña generación de gases CO
(monóxido de carbono).
2) Se disuelven 8 gr NaCl 



 =
mol
grPM 5,58 en 120 cc OH 2 obteniéndose 124 cc de
solución. Calcular : a) %
p
p
b) %
v
p .
NOTA: - % p/p = porcentaje peso-peso; gr de soluto en 100 gr de solución.
-% p/v = porcentaje peso-volúmen; gr de soluto en 100cc de solución.
Solución:
solucióngr
solutogr
solucióndegr
solutodegrx
p
p
128
8
100
% =⇒
15

16. p
px %25,6=
solucióndecc
solutogr
solucióngr
solutodegrx
v
p
124
8
100
% =⇒
solucióndeccx %45,6=
Los resultados anteriores significan que en 100 gr de solución hay 6,25 gr y 6,45 cc de soluto.
3) En el período de un año, en una empresa se han producido 10 lesiones incapacitantes y se
trabajaron 200.000 H.H. Determinar:
a. Tasa de frecuencia
b. Tasa de gravedad (considere que los 10 accidentes significaron 45 días perdidos)
c. Tasa de accidentabilidad
d. Tasa de riesgo
Solución:
a) Tasa de frecuencia = n° de lesiones incapacitantes ocurridas por cada millón de H.H. de
exposición.
)(exp..
..106
estrabajadorosiciónHH
HHtesincapactanlesionesden
TF
⋅°
=
50
..000.200
1010 6
=
⋅
=
HH
TF
b) Tasa de gravedad = es la cantidad de días perdidos por lesiones incapacitantes por
cada millón de H.H.
).(.
..10)( 6
trabajadasHH
HHDCDPperdidosdíastotal
TG
⋅+
=
Total días perdidos considera:
DEP= días efectivamente perdidos por lesiones incapacitantes = 45 días
DC= días cargo (invalideces permanentes) = 150 días (pérdida falange dedo índice) =150
días
975
000.200
10195 6
=
⋅
=
días
TG
c) Tasa de accidentabilidad= n° de lesiones incapacitantes ocurridas por cada 100
trabajadores
100⋅
°
°
=
promedioestrabajadorden
accidentesden
TA
16

17. d) Tasa de riesgo = es el n° de días efectivamente perdidos por accidentes
incapacitantes y por enfermedades profesionales por cada 100 trabajadores
períododelestrabajadorpromedio
perdidosnteefectivamedíasden
TR
100⋅°
=
4) En una fábrica eléctrica se compra a un proveedor 20.000 unidades de diodos
mensuales. ¿Cuántas piezas nos venderá el proveedor si bajo en un 30% la provisión
de diodos?
Solución:
C
x
B
A
=
Datos: A= 20.000
B= 100%
C= 70%(100%-30%)
X= unidades que nos proveerá
%70%100
000.20 unidadesxunidades
= ⇒ x= 140.000 unidades proveerá
5) Calcular el descuento que se hace a un pagaré de n $500,00 seis meses antes de su
vencimiento con una tasa de descuento simple del 40%.
Solución:
Datos: 6 meses = 0,5 años
Descuento (D) = pagaréelsimpledescuentodetasaaño ⋅⋅1
000.100$00,50040,05,0 nD =⋅⋅=
6) La empresa Leche Sur tiene el 34% del mercado de la región metropolitana. Si la
totalidad del mercado es de 400.000 personas. ¿Cuántas personas faltarían para cubrir
la totalidad del mercado?
Solución:
C
X
B
A
=
Datos: A= 400.000
17

18. B= 100%
C= 34%
X= cantidad de habitantes
%34%100
000.400 habitantesxhabitantes
= ⇒ habitantesx 136=
APLICACIÓN DE PROPORCIONES Y PORCENTAJES A PROBLEMAS CON ENUNCIADO
1. Los gastos que demandan en una empresa los departamentos de personal, marketing y
finanzas son de $36.000.000 mensuales y están en la razón 6:10:14. A)¿Cuál es el gasto del
departamento de marketing, en un período de un año? B) Qué porcentaje representa el gasto
anual del departamento de personal? (Rp.: a) $144.000.000 b) 20% )
2. Un comerciante compra un producto en $250.000 la unidad, precio neto, pero desea obtener
una ganancia de un 15% sobre el precio neto. Determinar:
a) precio de venta al público
b) monto del IVA declarado por el comerciante
c) monto de la ganancia real del comerciante
d) porcentaje real de ganancia
(Rp.: a) $339.250 b) $6.750 c) $37.500 d) 15% )
3. La empresa CTI vendió a un distribuidor de provincia; 10 equipos de música a $77.000 cada
uno con un descuento del 20%, 12 televisores a $110.000 cada uno, con un descuento del
16%. Determinar el monto a cancelar por el distribuidor, si debe agregar el IVA.
4. En los estudios de eficiencia del sistema de transporte público se estableció que la razón entre
la cantidad de vehículos participantes, buses de locomoción colectiva y camiones es 9:6:5. Si
el parque automotriz de este tipo de vehículos asciende a 800.000 unidades. ¿Cuántos
vehículos de cada tipo hay?
Rp.: veh. participantes:360.000 ; buses: 240.000 ; camiones: 200.000
5. Repartir US$ 500.000 entre 3 socios A,B,C de modo que las partes de A y B estén en la razón
4:7 y las de B y C en la razón 5:8. ¿Cuánto corresponde a cada uno de ellos?.
Rp.: A:US$90.090,09 ; B:US$ 157.657,66 ; C:US$ 252.252,25
6. La suma de 3 capitales es de $400.000.000. Cada socio A,B,C aportan a este capital montos
de dinero en la razón 36:15:6. ¿Cuál es el porcentaje en que cada socio contribuyente a la
sociedad?
Rp.: A: 63,16% ; B: 26,32% ; c: 10,53%
7. Una sociedad de amigos que participan en juegos de azar, resultaron ganadores de un premio
de $80.000.000. A,B,C los amigos deben repartir dicho premio de acuerdo a su participación
en la sociedad. El socio A recibe el 45% del premio, B recibe el 78% de lo de A, más
$2.300.000 y el socio B recibe el dinero restante. ¿Cuánto recibe este último?.
Rp.: c:$13.620.000
8. Se coloca un capital de US$ 5.000 al 3% durante 2 años. Se retira y se vuelve a colocar el
capital al 5% durante 6 años. ¿A qué % único hubiera debido presentarse el capital, para que,
en el mismo tiempo, produjera el mismo interés? ¿Cuáles son los montos invertidos?
Rp: US$25.000 ; US$32.000
18

19. 9. Un inversionista deposita una cierta cantidad de dinero en el banco al 15% de interés anual. Si
al año retira, por dicho concepto US$13.294 . Determina el monto depositado inicialmente.
Rp: US$88.626,67
10. Los 2/3 de un capital de $575.000 se depositaron durante 2 años al 10%. El resto se depositó
durante un año a otra tasa de interés. Si el interés producido por ambas partes es de $120.000.
¿Cuál es la tasa de interés que afectó al capital?.
Rp.: 22.61%
11. Se efectúa una partición de los bienes de una cierta sociedad. Se deja explícita referencia que
la diferencia entre los socios es de $750.000. Si se sabe que la razón en que dichos bienes
son asignados es de 3:5. Determine la cantidad de dinero que corresponde a cada uno de
ellos.
Rp.: A:$1.125.000 ; B: $1.875.000
12. En un control, motivo de un ahorro de recursos, se determinó que un equipo quedó encendido,
desde las 20:00 hrs. del día miércoles hasta las 8:00 hrs del día jueves siguiente. ¿Cuál será el
costo y energía utilizada, si dicho equipo tiene consumo de 85 Kilowatt/hr tiene un valor de
$60?.
Rp.: $61.200
13. Se está proyectando la construcción de un cinematógrafo, las dimensiones entre el largo y el
ancho de la sala es de 10:18. Se considera que cada espectador debe ocupar 0,55 2
m para
estar cómodo. Si la sala tiene un ancho de 20 m. ¿Cuál será la capacidad de espectadores en
un cine?
Rp.: 404 espectadores
14. Se desea adquirir un terreno. Hay un sitio cuyo fondo es de 7 m. Se desconoce la dimensión
del frente, pero la razón entre sus dimensiones es de 4:6 respectivamente. Si el metro
cuadrado vale 300 UF. Determinar cuanto se pagará por el terreno.
Rp.:220.500UF.
15. Una empresa comercializadora de ropa usada importada, recibe dos fardos de ropa usada, los
que son calificados, de primera categoría y de segunda categoría. Se disponen ofertas por: dos
artículos de primera y tres de segunda por $28.800. Si los precios de los artículos están en
razón de 3:4 y el valor de los artículos de cada categoría es igual. ¿Cuál es el valor de los
artículos de cada clase en esta oferta? Rp.: A:$4.800 ; B:$6.400
16. En un examen de selección de personal para operadores de un específico sistema de
información, se aplicó el test de Dr.Jhonson. Un postulante usando el artefacto para
operaciones pudo ejecutar 8 operaciones en 20 seg. ¿Cuál es la razón correspondiente de
dichas operaciones por minuto?.Rp.: 24 operaciones por minuto
19

20. TEMA 2: CONJUNTOS NUMERICOS
OBJETIVOS: Relacionar los conjuntos numéricos de dimensión uno
Operar con potencias , raíces y logaritmos
Horas: 6
DESARROLLO DE CONTENIDOS:
• CLASIFICACION DE LOS CONJUNTOS NUMERICOS
1) Números Dígitos: son los números básicos a partir de los cuales se forma
el resto de los números.
D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
20

21. 2) Números Naturales: son los números positivos que empiezan con la
unidad y que se forman a partir de los números dígitos.
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
3) Números Cardinales: corresponden a los números naturales con el cero.
N*
= No = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
4) Números Enteros: formado por los naturales y sus opuestos incluyendo el
cero.
Z = {... , –4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
5) Números Primos: corresponde a los números que son divisibles sólo por 1
y por si mismos.
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}
6) Números Racionales: está formado por todos los números que pueden
expresarse como el cuociente entre dos números enteros.
7) Números Irracionales: todos aquellos números que no pueden expresarse
como cuociente entre dos números enteros.
8) Números Reales: grupo que representa la unión del conjunto de los
números racionales con el de los irracionales
• PRE-REQUISITOS A LA UNIDAD:
 Propiedades de las fracciones:
1. Simplificar una fracción
b
a
equivale a
nb
na
:
:
. Sólo se pueden efectuar
en presencia de multiplicación
21
}0,,,/{ ≠∈∀== bZba
b
a
xxQ
,...}3,2,,{ πeI =
IQR ∪=

22. 2. Amplificar una fracción
b
a
equivale a
nb
na
⋅
⋅
3. Máximo común divisor (MCD) entre dos o más números es el mayor número
que divide exactamente a todos ellos.
Ej.: el MCD entre 48-96-64 es 16.
4. Mínimo común múltiplo (mcm) entre dos o más números es el menor número
que es divisible por cada uno de ellos.
Ej.: el mcm entre 48-96-64 es 192.
5. Fracción propia es la fracción menor que la unidad. Ej.:
25
3
6. Fracción impropia es la fracción igual o mayor que 1. Ej.:
3
25
7. Las fracciones impropias se transforman en números mixtos. Ej.
3
1
8
3
25
=
8. Igualdad de fracciones: bcad
d
c
b
a
=⇔=
9. Comparación entre dos fracciones bcad
d
c
b
a
≤⇒≤
10. Intercalar un racional entre dos racionales dados:
- ordenar de menor a mayor los racionales
- sumar los numeradores y denominadores respectivamente
- la fracción así obtenida se ubica entre las fracciones dadas
Ej.: ubicar una fracción entre
4
5
5
2
∧
4
5
45
52
5
2
〈
+
+
〈 entonces se determina que
4
5
9
7
5
2
〈〈
11. Multiplicación de fracciones:
bd
ac
d
c
b
a
=⋅
Ej.:
21
40
73
58
7
5
3
8
=
⋅
⋅
=⋅
12. División de fracciones:
bc
ad
d
c
b
a
d
c
b
a
==:
Ej.:
45
8
59
42
4
5
9
2
4
5
:
9
2
=
⋅
⋅
==
22

23. 13. Problemas con enunciado y de aplicación:
Es conveniente considerar las siguientes recomendaciones generales para
formular un problema en términos de una expresión algebraica o ecuación:
- lea reflexivamente el problema, identificando los datos dados y la cantidad
desconocida que se debe encontrar.
- exprese la cantidad desconocida por x u otra letra.
- bosqueje la situación planteada a través de un dibujo considerando los
datos e incógnita.
- reconozca las relaciones que existen entre los datos conocidos y la
cantidad incógnita.
- formule una expresión algebraica o ecuación que refleje el enunciado del
problema.
- resuelva la ecuación planteada.
- analice la solución al problema respecto de sus condiciones iniciales y
concluya.
 Propiedades de los decimales:
1. Decimales finitos; su denominador es una potencia de 10.
2. Decimales infinitos; pueden ser periódicos o semiperiódicos.
3. Lecto-escritura de un decimal:
Ej.: 2 4 , 0 5 6 1 3 7 = 24 enteros 56.137 millonésimas
7 millonésimas
3 cien milésimas
1 diez milésimas
6 milésimas
5 centésimas
0 décimas
4. Conversión de un decimal finitoa fracción: “como se lee, se escribe”
en función de las potencias de 10.
Ej.:
5
4
10
8
8,0 ==
125
257
1000
2056
1000
56
2056,2 == o
5. Conversión de un decimal periódico (dp) a fracción:
23

24. períodoeltengacifrascomotantos
dadadecimalcifra
dp
9
=
Ej.:
11
6
99
54
54,0 == (el período es 54)
6. Conversión de un decimal semiperiódico (dsp) a fracción:
oanteperíoddelcifrassegúntantosdeseguidoperíodocifrassegúntantos
períodoantedecimalcifra
dsp
0,9
−
=
Ej.:
198
25
990
125
990
13138
813,0 ==
−
= (el período es 8 y el anteperíodo es 13)
7. Multplicación por una potencia de 10: ( )→ la coma se corre hacia la
derecha, tantos lugares como ceros tenga la potencia de 10 o lo
indique el exponente de ésta. Note que la cifra crece.
Ej.: 49,01000049,0 =⋅ 5600106,5 3
=⋅
8. División por una potencia de 10: ( )← la coma se corre hacia la
izquierda, tantos lugares como ceros tenga la potencia de 10 o lo
indique el exponente de ésta. Note que la cifra disminuye.
EJ.- 000049,0100:0049,0 = 0056,010:6,5 3
=
• DEFINICIÓN DE POTENCIA.
......aaaaaan
⋅⋅⋅⋅= a ∈R, n ∈N +
donde se identifican los siguientes elementos:
a es la base
n es el exponente, e indica las veces que se repite la base como factor.
• PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS.
1) Signos de una potencia :
a) una potencia de base positiva, siempre es positiva.
b) una potencia de base negativa es positiva si n es par, y es negativa si n es
impar.
2) Potencia de base 1: 11 =n
3) Potencia de base 0: 00 =n
4) Potencia de exponente cero: 10
=a , a≠0
5) Potencia de exponente negativo =−n
a p
a
1
,a≠0
6) Producto de potencias de igual base: mnmn
aaa +
=⋅
24

25. 7) División de potencias de igual base: mnmn
aaa −
=:
8) Potencia de otra potencia: ( mnmn
aa ⋅
=)
9) Elevación de un producto a potencia: ( ) nnn
baba ⋅=⋅
10) Elevación de un cuociente a potencia:
n
b
a






n
n
b
a
= , 0≠b
11) Potencia de exponente fraccionario: m n
aa
m
n
= , 0≠m
12) Las potencias como operación tienen prioridad ante la suma, resta, multiplicación y división.
Ej: Determinar el valor de
16
293
16
5
92
4
5
32 2
2
=+⋅=+⋅
13) Las potencias no cumplen con la propiedad distributiva respecto de la suma y resta.
( ) nnn
baba ±=/±
Ej: En ( )2
35 + no se puede distribuir como 22
35 +
sino se debe desarrollar como prioridad la operación al interior del ()
resultando
64)8()35( 22
==+
• NOTACION CIENTIFICA
Es una manera de escribir cantidades muy grandes o muy chicas en forma
abreviada utilizando las potencias de 10 tanto con exponentes negativos como
positivos.
A continuación se presenta un resumen de las potencias de 10 y los prefijos
y sufijos que se sustentan en ellas y que son de gran utilidad en las diferentes
asignaturas de tu especialidad:
NOMBRE SIMBOLO VALOR
Yotta Y 1.000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000 = 24
10
Zetta Z 1. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000 = 21
10
exa E 1. 000. 000. 000. 000. 000. 000 = 18
10
peta P 1. 000. 000. 000. 000. 000 = 15
10
tera T 1. 000. 000. 000. 000 = 12
10
giga G 1. 000. 000. 000 = 9
10
mega M 1. 000. 000 = 6
10
25

26. kilo K 1. 000 = 3
10
hecto H 100 = 2
10
deca D 10
unidad 1
deci d 0.1 = 1
10−
centi c 0. 01 = 2
10−
mili m 0. 001 = 3
10−
micro µ 0. 000. 001 = 6
10−
nano n 0. 000. 000. 001 = 9
10−
pico p 0. 000. 000. 000. 001 = 12
10−
femto f 0. 000. 000. 000. 000. 001 = 15
10−
atto a 0. 000. 000. 000. 000. 001 = 18
10−
zepto z 0. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 001 = 21
10−
yocto y 0. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 001 = 24
10−
Ej: 2 nanómetro=2 nm = 9
102 −
⋅ = 0. 000. 000. 002 m = 0. 000. 001mm= 0. 001 µ
m
EJERCICIOS DE LAS PROPIEDADES DE POTENCIAS.
1) Potencias de exponente entero negativo; es conveniente que siempre dejes
expresado las potencias con exponente entero positivo.
Ejemplo:
9
1
3
1
3 2
2
==−
4
25
2
5
5
2
22
=





=





−
a)2 3−
= b) 3 1−
= c) –4 )( 2
4
−
=
d) 2
2 −
− b = e) )( =−
−2
2b f)
=⋅ −3
105
g) =−2
10
8
h) =
⋅ −− 22
4
yx
i) =





−3
4
3
j) =





−3
y
x
k) ( ) =
−1
02,0 l) =−
−
ba
ab
2
4
26

27. m) ( ) ( ) ( ) =++
−−− 336
125,025,05,0
n)
( )
=






−
3
3
3
1
1
75,0
2) Propiedad Exponente fraccionario; de esta propiedad nacen las raíces.
Ejemplo: 86444 32
3
===
a) =3
2
8 b) ( ) 3
2
8− = c) ( ) =− 3
1
3
x
d) =




 2
1
16
1
e) =





−
3
2
8
1
f) =
−
3
1
x
g) =
−
3
2
8 h) ( )1−−
=5
3
i) ( ) =−
−
3
1
3
x
3) Propiedad Exponente cero: sólo se afecta la letra o número que lleva de
exponente el 0.
Ejemplo: 202
33 aba =
a) =0
7 b) =





−
0
3
2
c) ( ) =−
0
3
d) =⋅ 0
104 e) ( ) =−
0
yx f) =0
3x
g) ( ) =
0
3x h) ( ) ( ) =
00
43 yx
4) Potencia de otra potencia:
Ejemplo: ( ) 3331 ++
= nn
xx
a) ( ) =
24
2x b) ( ) =
+− 11 nn
x
27

28. c) =





4
32
3
2
ya d) ( ) =
63
3,0 x
e) =





3
2
5
4
t f) ( ) =
405
1,0 ym
5) Multiplicación de potencias de igual base:
Ejemplo: bababa
xxx 2332 −−+
=⋅
a) =⋅ xx 23 2 b) =⋅ −+ 11 nn
xx
c) =⋅ abba 5,0
3
2 2
d) =⋅ −54
3,03,0 xx
e) =⋅ aa x
5,0
5
1
1 f) =⋅ xxn
6,0
4
1
2
6) Multiplicación de potencias de igual exponente:
Ejemplo: ( ) 10
2
4
2
24
3
1
3
3
1
3 xxxxx =





⋅=





⋅
a) ( ) =





⋅
2
22
2
1
26,0 nn
aa b) ( ) ( ) =⋅ −+ nnnn
xx 121
5,06,0
c) =





⋅





nn
xx 2
5
2
2
1
1 d) ( ) ( ) =⋅
xx
aa 32
7) División de potencias de igual base:
Ejemplos: 246
4
6
xx
x
x
== −
3
37474 1
x
xxxx ===÷ −−
a) =÷ xx5
b) =÷ 106
22
c) =÷ +1
63 xx
aa d) =÷ +− 11
4
3
3
2 nn
xx
e) =+
+
3
42
x
x
a
a
f) =
−
x
x
3
3 1
28

29. 8) División de potencias de igual exponente:
Ejemplo:
9
1
3
1
3
4
9
4
3
1
1
9
4
2222
=





=





÷=





÷





a) =





÷





33
3
10
2
5
b) ( ) ( ) =÷ −+ 3232 xx
aa
c) =2
2
5
1,0
d) =3
3
75,0
2
EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LAS POTENCIAS DE 10.
1) Usando potencias de base 10, escribir en forma abreviada
a) 0,000.001.8= b) 400.000.000.000=
c) 0,0342 = d) 5,36 =
e) 62,8 = f) 108.000.000=
g) 0,000.49= h) 200.000=
i) –0,000.0002= j) –32.500=
2) Escribir en notación científica las magnitudes indicadas:
a) En el espacio, la luz recorre 25.920.000.000 km diario.
b) El espesor de una hoja de papel blanco corriente es 7 cienmilésimas de
metro.
c) La longitud de un meridiano terrestre es de 40.000.000 m.
d) La velocidad del sonido es de 1.200.000 m/hr.
e) La distancia de la tierra al sol es de 150.000.000 km.
.
f) La velocidad de la luz es de 300.000.000 m/s.
g) La masa del electrón es 0,000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.91kg
29

30. h) El diámetro de un glóbulo rojo de la sangre es de un cienmilésimo de metro.
i) La sal de mesa está formada por iones de sodio y cloro. La distancia entre
un ión de sodio y uno de cloro es de 0,000000028 cm., aproximadamente.
Expresar esta distancia en metros.
j) El espesor de la película que forma una pompa de jabón mide
aproximadamente un cienmilésimo de centímetro.
k) En un milímetro cúbico de sangre hay, aproximadamente, 5.500.000
glóbulos rojos.
l) La distancia media de Marte al sol es de 229.000.000 km.
m) Uno de los átomos más pesados es el de Plutonio cuyo peso y diámetro
son respectivamente 0,000.000.000.000.000.000.000.000.39 kg y
0,000.000.06 cm.
3) Determinar la cifra que corresponde a:
a) =⋅ 3
102,7 b) =⋅ −2
104,6
c) =⋅ −4
109 d) =⋅ −2
1018,1
e) =⋅ −2
102,3 f) =⋅ −5
106
g) =⋅ 3
1012 h) =⋅ 2
106,3
• RAICES
Una potencia de exponente fraccionario representa a una raíz, es decir:
m nm
n
aa =
Ejemplos:
1) 2
5
5
33 = 2) 8
7
8 7
22 =
La raíz enésima de un n° se representa por :
abba nn
=⇔=
Ej:
3814
= ya que 8134
=
30

31. PROPIEDADES:
1) nn
aa
1
=
2) nnn
abba =.
3) n
n
n
b
a
b
a
=
mnn m
aa .
=
.
EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN
1.- Calcular las siguientes expresiones:
a) 3 9
7 = e) 0,125 3
1
=
b) 5 10
2 = f) 0,04 5.0
=
c) =4
5 g) 16 25,0
d) =





18
2
1
h)
−






3,0
8
1
2.- Calcule.
=
=
=
=
44
33
33
2.8)
44.3)
125.5)
9.3)
d
c
b
a
e) =mbbm.
f) 3 23 2
. xyyx =
g) =−+ 53.53
h) =x xx xx x 333
2.2.2
3.- Calcular el valor de cada expresión:
a) 24
25 yx
31

32. b) 3 66
64 nm
c) 4
16.81
d) 268
49 qrp
e) 3 38
125 ba
f) =642
144.49.64 zyx
4.- Descomponer las siguientes raíces:
a) 243 b) 50 c)3
24
5.- Descomponer las siguientes raíces:
a) 108 + =20
b) =+− 250128116 33
c) =−+ 804520
6.- Calcule:
a) 3
4
3
a
a
b)
2
7250 −
c) mnmn 2:128 3
d) =+ 5,0:)18,05,0(
7.- Calcule el valor de cada expresión:
a) 4
7
b) 81
c) 3 5 18
4
d) 3 5 60
6
8.- Racionalice:
a)
7
6
b)
8
3
32

33. c) 3 2
1
m
f) 3
xz
y
SOLUCIONES:
1.- a) 343 b)4 c)25 d) 1/8 e)0,5 f) 0,2
g) 2 h)1/2
2.-a)3 b) 25 c)4 d)2 e)mb f)xy g)2 h)2
3.-a)5x y2
b)4m 22
n c)6 d)7p qr 34
e)5a b6
f9672xy 32
z
4.-a)9 3 b)5 2 c)2 3
3
5.-a) 6 3 +2 5 b)33
2 c) 5
6.-a) a b)-1 c)8n d)1,6 e)4
7.-a8
7 b)3 c)5
12 d) 36
8.-a)
7
76
b)
4
23
c)
b
ba
d)
m
m3
e)y xzzx /3 22
LOGARITMOS:
El logaritmo de un número , es calcular el exponente el exponente x al que se
debe elevar una base b para obtener cierto número a.
Es decir :
axab b
x
log=⇔= , con b 0〉 , 1≠b
Ej. Calculemos algunos logaritmos, aplicando la definición:
1) 327log3 = , porque 3 273
=
2) 532log2 = , porque 2 325
=
3) 3)
125
1
(log5 −= , porqu 1255 3
=−
33

34. Ejercicios de autoevaluación 1:
Calcular el logaritmo, usando la definición:
a) =16log4 b) =216log6 c) =729log3 d) 216log6
e) 





16
1
log 2/1 = f) =4log 2
El calculo del logaritmo, depende de la base . por lo tanto, si queremos clcular el
logaritmo de un número, deberemos explicar la base con la que trabajaremos, por
ejemplo:
664log2 = 364log4 = 264log8 =
Podemos observar, que al calcular el logaritmo de 64 obtenemos distintos
resultados dependiendo de la base del logaritmo aplicado.
Tomando en cuenta la base, tenemos lo que se conoce como sistemas de
logaritmos, los más usados son:
• Los logaritmos en base 10, conocidos como logaritmos vulgares o de
Briggs.
• Los logaritmos naturales o neperianos.
- Los logaritmos vulgares tienen como base el número 10 , el cual no se
escribe.
Ej. 1) log 15=1,17609…., este resultado lo entrega la calculadora.
Ej. 2) log 1= 0 log0,1=-1
log 10=1 log 0,01=-2
log 100=2 log0,001=-3
log 1000=3 ………….
De esto podemos deducir que “el logaritmo en base 10 de una potencia de 10 es
igual al exponente de dicha potencia”.
nn
=10log
Los logaritmos naturales tienen como base el número e , cuyo valor es
e=2,71828……Se abrevian “ln”, y su resultado lo entrega la calculadora.
34

35. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS.
1) 01log =b
2) 1log =bb
3) NMNM bbb loglog).(log +=
4) NMNM bbb loglog)/(log −=
5) ana b
n
b log.)(log =
Observación: El logaritmo de una raíz , se considera como una aplicación del
logaritmo de una potencia.
Cambio de base:
b
a
a
k
k
b
log
log
log = , donde k es la nueva base
Esta propiedad permite cambiar la base de cualquier logaritmo. Poder cambiar la
base de un logaritmo permite que con una calculadora científica común y
corriente, se puedan calcular logaritmos en cualquier base, esto es cambiar
cualquiera de las bases del logaritmo, a base 10 o logaritmo naturales.
Ejemplos:
Calcular el 8log (16)
Si cambiamos la base convenientemente podremos calcular el valor de este
logaritmo.
Cambiaremos el logaritmo a base 2, por lo tanto ahora tenemos:
8log (16) =
8log
16log
2
2
35

36. De esta manera podemos calcular fácilmente cada uno de los logaritmos del
cuociente, esto es:
4
22 2log16log = y =8log2 log 3
2 2
Aplicando propiedades de las potencias y del logaritmo de la base, tenemos que:
3
4
16log8 =
Calcular )125(log25
Cambiaremos la base del logaritmo a 5 ya que es una base común para 25 y 125.
2/3
25log
125log
1250log
5
5
25 ==
Ejercicios de autoevaluación 2 :
1.- Descomponer al máximo los logaritmos aplicando propiedades
a) ).log( 32
yx
b) 







3
log
m
c) 







y
x
3
log2
d) 





7
log
32
5
nm
e) 







35
.2
.3
log
c
ba
f) 







5 .
.
log
yx
yx
36

37. 2.- Expresar como un solo logaritmo las siguientes expresiones:
a) xlog2log +
b) zx log3log2 +
c) ba log
3
1
log
2
1
−
d) zyx log2log
3
1
log
3
2
−+
e) qnm log
2
1
log
3
1
log5 −−
f) y777 log
5
2
5log
3
1
3log5 −−
3.-) Si log2= 0,3010 log3= 0,4771 log= 0,6989, calcular lo siguientes logaritmos, aplicando
propiedades y utilizando los valores dados como únicos valores conocidos.
a) 6log
b) 15log
c) 





5
6
log
d) 90log
e) 5log8
f) )5,1(log15
g) ( )64log)24(log)150(log 2345 −+
Soluciones a los ejercicios de autoevaluación del capítulo
1. a) 2logx+3logy b) 1/2log m-log3 c) 1/2 yx 222 log3loglog −−
d) 2 3log5 +m −n5log 7log5 e) +3log5 +a5log c55 log
3
1
2log
2
1
−
e) 4logx-2logy-4/5logx-4/5logy
2. a) log x2log2 b) logx 32
z c)
3
log
b
a
d)
2
3 2
log
z
yx
37

38. e)
qn
m
3
5
log
3. a) 0,7781 b) 1,1760 c) 0,0792 d) 0,9770 e) 0,3869
f) 0,1497 g) 3,5626
EJERCICIOS PROPUESTOS DE LOGARITMOS
I.- Desarrolle los siguientes ejercicios aplicando las propiedades de los logaritmos.
1) =+ 8log64log 162
4
27
2) =+ 32log
8
125
log 8
2
5
9
14
3) =+ 16log
64
1
log 125,02
3
40-
4)
=27log
3
1
– 6
5) )
4
9
(log16log)
16
9
(log
2
364
3
4 ++ =
3
2
6) =−+ 32log000.10log512log 28 2
7) =+− )
1024
32
(log)
216
125
(log)
9
4
(log
2
1
6
5
3
2 4
8) =+− 000.10log449log325log2 75 14
9) =+− )
81
16
(log2)
32
125.3
(log4)
8
27
(log7
2
3
5
2
3
2 -9
10) =−+ )
343
216
(log5)
125
8
(log2)
49
25
(log4
7
6
5
2
7
5 -1
11)
=−+ 243log6125log732log2
3
1
5
1
4
1
4
38

39. II.- Desarrolle cada uno de los siguientes ejercicios como suma y resta de
logaritmos:
a) =5,0
75,032
log
d
cba
b) =−+ 5,02
)32log( xx
c) =
+
22
3
1
5
3
3
2
)(
log
wz
zwzw
d) =
+−
32
2
1
4
3
)()(
log
gf
gfdc
III.- Reducir a un solo logaritmo:
a) =+−− edba log
3
2
log
4
3
log
3
2
log
4
3
b) =−+ 12log38log
3
2
c) =−−−++ )1log()1log()1log( 2
xxx
d) =−−− )5log()25log( 2
aa
IV.- Calcular x en:
a) 3
2
log
4
1 −=x b)
2
1
log 2,0 −=x
c) 4log 2
=x d) log 3
x =-2
e) log
5,0
4=x f)
6log
2
1 =x
g) x
25,0
log =-2 h) log
3
2 5=x
V.- Calcular el valor de la base :
39

40. a) xlog 125= -3 e) log x 3
64
27
−=





b) xlog 49= -2 f) xlog 2363
=
c) log x 3
4
3
−=





g) log x 0,729= 3
h) log x 0,25=.-2
VI.- Calcular el valor de cada uno de las siguientes expresiones:
a)
( )
=
−
+
3
2
3
5
3
3
22
81log27log
16log32log
31
95−
b) ( =− 25125
log5 2
3
7 3
2 )243log8log 3
49
25
c) ( )5
13
3
11 169log121log − 9
16log: =





4
3
15
8−
d) ( )[ ] 5257
log49log
125 25log = 3
2
e) ( ) =
3 2
3 27log
3
3
2 243log:256log 5
4
VII- Aplicando propiedades llegue a la solución más simple:
a) 3
2
log
loglog
x
xyyx −
=
b) 125log32log
64log25log
⋅
⋅
=
5
4
c) =
2log
16log
8
d) ( ) ( )=32
3log:81log 24
e) =+− 75,0log275,6log5,1log 2log3−
40

41. f) =5,0
4 3
2
log
log
a
a
3
1
g) ( ) =÷ 04,0log5log 3
4
3
−
h) =+−
243
32
log
9
5
log2
16
75
log log 2
VIII.- Calcular el valor de los siguientes logaritmos:
a) =
⋅
)
7
49343
(log
7
1 -4
b) =⋅ )328(log2 8
c) =2log2
8
1
IX.- Calcular el antilogaritmo (x = argumento):
a) 2log 3,0 =x b) 2log
3
2 −=x
c)
2log
9
8 −=x
d) 3log 004,0 =x
APLICACIÓN DE LOS LOGARITMOS
41

42. 1. Si se depositan P dólares al 8 por 100 de interés, compuesto de forma continua, ¿cuánto tiempo
tardará en doblarse el capital ?
Solución : Para representar el hecho de que se dobla el capital escribimos
P⋅e0.08t
= 2P
e0.08t
= 2 /ln
0.08t⋅ln e = ln 2
0.08t = ln 2
t =
0.08
2ln
≈ 8.66
2. Calcular el nivel de potencia sonora de una cierra circular que genera 0,02w
de potencia sonora.
Solución:
El nivel de potencia sonora (NWS) es la cantidad producida de energía acústica de
área se calcula mediante la fórmula
0
log10/
W
W
dBNWS =
donde
0
12
0 log1010
X
X
dBwattsW == −
reemplazando los datos
w
w
dBNWS 12
10
02,0
log10/ −
=
210log10
1210
22
log10/ =
−
−
=
E
E
dBNWS
dBdBNWS 01,103/ =
3. Calcular el nivel de presión sonora (NPS) de un equipo que tiene una presión
sonora de 1,25 N/M2
.
Solución:
Sea 20
0
52log20
M
N
EPdondedB
P
P
NPS −==
Reemplazando dB
E
NPS 500,62log20
52
25,1
log20 =
−
=
dBdBNPS 967958,420 =⋅=
4. La presión atmosférica P ( en libras por pulgadas al cuadrado), a x millas sobre
el nivel del mar, está dada aproximadamente por P = 14,7e–0,21x
42

43. ¿A qué altura será igual la presión atmosférica a la mitad de la que existe al nivel del mar?
Sugerencia : La presión al nivel del mar es aquélla donde x = 0 Resp.
3,3 millas
3.-EXPRESIONES ALGEBRAICAS:
OBJETIVO: Operar con expresiones algebraicas
43

44. N°de horas: 6 horas
DESARROLLO DE CONTENIDOS:
ALGEBRA FUNDAMENTAL
El álgebra es la rama de las matemáticas que permite expresar cualquier número en forma de
símbolos
Término algebraico: El elemento básico para trabajar en álgebra es el término algebraico .Se
compone de signo, coeficiente numérico y factor literal
Ej. 5x 3
Dependiendo de la cantidad de términos algebraicos estos se clasifican en :
Monomios: tienen sólo un término algebraico.
Binomios : tienen dos términos algebraicos
Trinomio : tienen tres términos algebraicos
Con más de dos términos en la misma variable (letra) recibe el nombre de polinomio
Y si la variable es distinta recibe el nombre de multinomio.
Términos semejantes :Dos o más términos son semejantes si se componen del mismo literal e
igual exponente.
Ej: 8x , 27x, -10x
También son términos semejantes -4a b2
y -5 a b2
Adición y sustracción de términos semejantes:
Un polinomio formado por varios términos semejantes se puede reducir a una expresión sumando
o restando los coeficientes numéricos y manteniendo la o las variables con su respectivo
exponente.
Ej 8x+ 2x -9x = x
Actividad 1:
Después de escuchar las explicaciones de su profesor resuelva
1) Ordenar los polinomios siguientes:
a) 1563 432
−++− xxxx =
b) 342
2358 zzzz +−+− =
c) 6965 234
+−+− aaaa =
d) 1034126912
yxyxyxy −+− =
2) Reducir los términos semejantes en las siguientes expresiones algebraicas:
a) –x + 19x –18x= b) 7a-9b +6a-4b=
44

45. c) 5x –11y –9 +20x –1 –y= d) 28a-(35a+23b)+45b=
e) xy
3
1
+ xy
6
1
= f) ab
5
3
+ ab
10
1
=
g) 0,25 a +
4
1
a = h) 2 yxxyxy 24,0
5
1
++ =
i) 2,5 x + x 2
-x –7x 2
= j) ax + 5xa –3ax- 0,4xa=
k) a x
+ a 1+x
-8a x
- 2a 1+x
= l)
8
x
a
-3 x
a +0,2 x
a -0,125 x
a =
3) Sumar los siguientes polinomios:
a) 2a +3b; 6b-a= b) 2x-3y; -4x-3y=
c) a 4
+ a 6
+ 6; a 6
-15= d)
2222
2
7
4
5
;
2
1
4
3
xyyxxyyx +− =
e) 0,25ax – 0,125 ay; ayax
8
5
4
3
+ = f) 0,4x 2
y -
4
3
xy; 0,75yx+ yx2
5
1
1
4) Restar el segundo polinomio del primer polinomio:
a) 2x + 6y; 9x- y
b) 3a 3
-5a 2
; 6a-9a 3
c) 0,2xy – 3x –6y; 2xy-x+ y
3
1
d) 1,4ab - a
2
3
; aab 5,0
5
7
+
5) Simplificar, suprimiendo los paréntesis y reduciendo los términos semejantes:
a) 2a + [a - (a + b)]=
b) b) 3x - [ x + y -( 2x+y)]=
c) a+{(-2a+b)-(-a+b)-c+a}=
d) 2x +[-5x-(-2y+{-x+y})]=
e) –(a+b) + [-3a+b-{-2a+b-(a-b)}+2a]=
f) 4x 2
+ [-(x 2
-xy)+(-3y 2
+2xy)-(-3x 2
+y 2
)]=
45

46. 6) Multiplicación de polinomios:
Recuerde que : a(b+c+d)= ab+ac+ad
Aplicando la definición anterior , calcule:
a) 4x ( 5x- 3x 2
+ 6x 3
) = b) ( ) 223
263 xxxx ⋅−+ =
c) ( )( )53 −+ aa = d) ( )( )64 2
+− xx
e) ( )( )1111 −+−+
−− xxxx
baba = f) ( )( )221 −+
−− nnnn
xxxx =
g) –2x (x-7)(x+3)= h) (ax-2)(x+6)(ax-5)=
i) 





+





− baba
3
1
2
1
2
1
3
1
= j) 





+





− xxx 25,0
5
2
4
3
2
1 32
=
k) 





+− abbaaab 5,0
3
4
5
2
125,0 3232
=
l) ( )nnnn
yxyx 39,0
5
2
6,0 −





+ =
7) División de polinomios:
(a+b+c): d=a:d+b:d+c:d
a) ( ) aaba ÷−2
= b) ( ) xxxx ÷+− 23
4 =
c) ( ) mnmnnmm 22086 223
−÷+− = d) ( ) xxxxx 515105 234
−÷+−− =
e) ( ) abaaba 2653 2223
−÷−− = e) ( ) 24232
353 xxayx −÷− =
f) ( ) 21
aaa mx
÷+ −
= g) ( ) 24
2 ++
−÷ aa
xx =
h)
3
2
2
1 2
÷





x = i) baba 23
5
4
5
3
−÷





− =
j) xxx
3
2
3
2
2
1 2
÷





− = k) ( ) ( )3323
+÷−+ aaa =
l) ( ) ( )xxx −÷−+ 38152
= m) ( )÷+−− xyyx 22815 22 ( )xy 32 − =
46

47. RESPUESTAS:
1)a) 1635 234
−−++ xxxx b) 3825 234
−−++ zzzz
c) 6596 234
+−−+ aaaa d) 1210369412
yyxyxyx +−−
2) a) 0 b) 13a-13b c) 25x-12y-10 d)-7a+22b e) xy
2
1
f) ab
10
7
g) a
2
1
h) xy
5
23
i) xx 5,16 2
+− j) 2,6ax k) 1
7 +
−− xx
aa
l)
x
a
5
14
−
3) a) a+9b b) -2x-6y c) 92 46
−+ aa d) 22
32 xyyx +
e) ayax
2
1
+ f) yx2
20
29
4) a) –7x+7y b) aaa 6512 23
−− c) yxxy
3
19
2
5
9
−−− d) –2a
5) a) 2a-b b) 4x c)a-c d) –2x+y e) –a-b+2c f) 22
436 yxyx −+
6) a) 432
241220 xxx +− b) 345
1262 xxx −+ c) 1522
−− aa
d) 2446 23
−−+ xxx e) 221122
2 −−++
+− xxxx
bbaa
f) 1213223 −+−
+−− nnnn
xxxx g) xxx 4282 23
++−
h) 60104276 22232
++−−+ xaaxxaxa i)
22
6
1
36
5
6
1
baba −−
j)
n
yxx 235
5
6
40
7
5
1
−− k)
325324
16
1
6
1
20
1
bababa +− l)
nnnn
yyxx 22
5
6
25
36
50
27
−−
7) a) a-b b) 142
+− xx c) nm
n
m
2043
2
−+ d) 32
5
1 23
−++− xxx
e)
223
3
5
xay +− f) 32 −−
+ mx
aa g) 2
2x− h)
2
4
3
x
i) a
4
3
j) 1
4
3
−x k)
3
30
1132
+
++−
a
aa l) 5-x
PRODUCTOS NOTABLES:
I.- CUADRADO DE BINOMIO: ( )2
ba ± = 22
2 baba +±
1) Abrevie y aplique la fórmula para desarrollar los cuadrados de binomios
siguientes:
a) =−− )2)(2( xx b) (ab+5)(ab+5)=
47

48. c) ( )( )xyxy −− 33
= d) ( )( )22
33 zxyxyz ++ =
e) ( )( )xmzzxm −− = f) ( )( )2332
3223 abbabaab −− =
g) 





+





+ 22
5,0
3
5
5,0
3
5
kknkkn = h) 





−





−
3
8
75,0
3
8
75,0 lmlm =
2) Exprese como Cuadrado de binomio:
a) 22
96 yxyx +− = b) 2
961 aa ++ =
c) 251022
+− abba = d) 53106
24169 nmnm ++ =
e) 49142
+− xx = f) 22
25309 yxyx ++ =
g) 224
44 bbaa ++ = h)
22
49
4
35
12
25
9
dada +− =
3) Completar con el término que falta para que sea cuadrado de binomio:
a) .....102
++ xx = b) 22
36....... nm +− =
c) 4942....... ++ x = d) .......182
+− yy =
e) 22
64....... qp ++ = f) .....8064 2
+− xyx =
g) 1........25 2
++x = h) 22
........4 yx +− =
i) .....22
++ xyx = j) .....816 ++ a =
k) 4....49 22
++ba = l) 2
6....... yy +− =
II.- CUBO DE BINOMIO: ( ) 32233
33 babbaaba ±+±=±
1) Aplique directamente la fórmula antes dada:
a) ( )3
23 −a =
b) ( )3
45 yx + =
c)
3
2
4
2
1
1 





− yx =
48

49. d)
3
3
1
4,0 





+ nm =
e)
3
4
3
1
25,0 





− mm =
f) ( )2
1,0 xxy − =
g)
3
25,0
3
2






− yxm =
h) ( )32
..33,05,0 +c =
III.- SUMA POR DIFERENCIA: ( )( ) 22
bababa −=−+
1) Resuelva utilizando la fórmula correspondiente:
a) ( )( )zaxzax 6262 +− = b) ( )( )xzmxzm 9797 −+ =
c) 





+





− mstmst
5
2
25,0
5
2
25,0 = d) 





+





− 4343
5
4
75,0
5
4
75,0 qpqp =
e) 





−





+ 3232
5
2
125,0
5
2
125,0 rhrh = f) ( )( )1313 −−−−
−+ nnnn
axax =
2) Expresar como suma por diferencia:
a) 22
2536 yx − = b) 2
1001 x− =
c) 26
9ba − = d) 22
0009,001,0 yx − =
e)
22
36
49
25
9
ba − = f) 86
25,004,0 us − =
g)
1210
9
64
100
81
gd − = h) 116,0 6
−f =
IV.- PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TERMINO IGUAL:
Procedimiento; 1° Producto de los dos primeros términos
2° Suma algebraica de los dos segundos términos,
por el primer término.
49

50. 3° Producto de los segundos términos
1) Utilice el procedimiento más breve y directo para resolver los siguientes
productos:
a) ( )( )79 ++ xx = b) ( )( )67 ++ xx =
c) ( )( )128 −+ yy = d) ( )( )155 −− ss =
e) ( )( )yxyx 53 22
−− = f) ( )( )5232 −+ xx =
g) ( )( )mrmr −+ 787 = h) ( ) 





+− lblb
8
3
1,0125,01,0 =
V.- TRINOMIO CUADRATICO PERFECTO:
Procedimiento:
1° Se transforma en el producto de dos paréntesis cuyos primeros
términos son iguales y resultan de descomponer el primer
término del trinomio cuadrático una vez ordenado.
2° Se buscan dos números que multiplicados resulten el tercer término
del trinomio dado, y que a su vez resulten iguales al segundo
término del trinomio.
1) Aplicando el procedimiento transforme a dos binomios con un término igual.
a) 20122
+− aa = b) 2082
−+ xx =
c) 202
−+ aa = d) 20192
−+ mm =
e) 62
−− xx = f) 652
+− xx =
g) 22
103 yxyx −− = h) 22
1610 yaya ++ =
i) 1112 48
+− xx = j) 189 2040
+− xx =
k) ( ) ( ) 158
2
++++ nmnm = l) ( ) ( ) 82
2
−−−− yxyx =
m) 22
127 baba +− = n) 3013 24
+− zz =
ñ) 48142
+− hh = o) 3013 36
−− dd =
50

51. VI.- TRINOMIO CUADRATICO IMPERFECTO:
Procedimiento: 1° Amplifique todo el trinomio por el coeficiente numérico del primer
término de él.
2° Dé forma de trinomio cuadrático perfecto
3° Factorice para simplificar el denominador y
obtener así sólo números enteros.
1) Aplique el procedimiento anterior y transforme como producto de dos binomios
con un término igual:
a) 1252 2
−+ xx = b) 2073 2
−− mm =
c) 2137 2
−+ xx = d) 576 2
−+ xx =
e) 3148 2
+− xx = f) 22
538 baba −− =
g) 22
235 yxyx −+ = h) 22
3196 baba +− =
i) 22
15172 yxyx +− = j) 22
6113 hhkk +− =
VII.- SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS: ( )( )2233
babababa +±±=±
1) Descomponga en factores:
a) 33
278 yx + = b) 33
64125 ba − =
c) 6
2161 m+ = d) 1729 3
−k =
e)
315
125,0
8
1
na + = f)
1000
1
27
1 6
−d =
g)
96
27
8
64 ml + = h) 001,06
−n
x =
2) Exprese como suma o resta de cubos perfectos:
a) ( )( )22
2515953 yxyxyx +−+ =
b) ( )( )22
168442 yxyxyx ++− =
c) ( )( )11 2
++− xxx =
d) [ ]22
)()()( zzyxyxzyx ++++−+ =
51

52. e) )964)(32( 2
+−+ xxx =
f) =+−+ )252016)(54( 22
yxyxyx
g) =+−+ ))(( 844844
bbaaba
VIII.-CUADRADO DE TRINOMIO: ( ) acbcabcbacba 2222222
±±±++=±±
Aplicar la fórmula anterior para el desarrollo de los siguientes ejercicios:
a) ( )2
32 zyx ++ =
b) ( )2
745 cba +− =
c)
2
1,05,0
3
2






−+ nm =
d)
2
2
75,0
2
3
25,0 





+− phd =
e) ( )2
6,03,0'10 +− nm =
“LA VOLUNTAD DE VIVIR NOBLEMENTE ES LO QUE DA VALOR A LA VIDA DEL SER
HUMANO”
FACTORIZACIÓN
La factorización es una operación que permite escribir una expresión como
producto, sin alterar el valor de ella. En Algebra los factores pueden ser de tres
tipos;numérico, literal o completo, es decir contiene los dos primeros casos.
I.-FACTOR NUMERICO:-se busca el número más grande que divida a todos los
coeficientes numéricos dados sin exepción; a este número se le identifica como
Máximo Común Divisor (MCD).
Identificar el MCD y factorizar:
a) 15a+10b= b) 8m-12n=
c) 16a-20x= d) 24y-18z=
e) 32x+24m= f) 0,5x-0,1y=
52

53. g) 0,25s+0,06t= h)1,5a-2,5b=
i) 0,6m+0,8n= j) 75x+100y=
k) 72m+ 48r= l) 120s-100k=
II.- FACTOR LITERAL: se reconoce como la o las letras repetidas que están
contenidas en todos los términos dados, considerando el menor exponente dado,
respectivamente.
Identificar el factor literal y factorizar:
a) 94
aa + = b) 73
3xx − =
c) 32
54 mm + = d) 274
hvh − =
e) 5293
nmnm − = f) dxd 512 5
+ =
g) yrr 87
76 + = h) amma +53
3 =
i) xx
nn 2
6,0 − = j) 3264 ++
+ mm
aa =
k) 4,5g-2,7h= l)0,01a+0.02m=
III.-FACTOR COMUN: se caracteriza por contener los dos casos anteriores en
forma simultánea, siendo generalmente el factor un monomio pero también se
dá el caso de polinomios:
1) Factor común monomio:
a) 3
64 xx + = b) 3
3618 aax − =
c) 96
2820 aa + = d) 95
6,04,0 xx − =
e) 432
7248 mnmn − = f) 76
5,15,2 xx + =
g)
24
5
12
9
4
xx + = h) abba 2,0
5
18 43
− =
i)
3924
4
15
75,0 jhjh − = j)
86
8
3
125,0 pp + =
k)
5
8
15
4
9
xxy − = l)
1013
4
3
3
4
1
5 ss + =
53

54. m) 32
862 xxx ++ = n) 2
522
y
x
y
x nn ++
+ =
ñ) 925364
52 +++
+− nnn
aaa = o)
b
a
b
a
b
a 96 23
−+ =
p) 3
6
27
8
9
16
81
x
x
−+ = q) =−+ +++ qmpmnm
xxx
IV.-FACTORIZACION CON USO DE PRODUCTOS NOTABLES:
Ις En cada uno de los siguientes ejercicios, utilize las recomendaciones de
factorización dadas anteriormente y una vez que las haya aplicado revise si el
resultado obtenido representa alguno de los productos notables antes vistos.
a) 1002
−x =
b) 100202
+− xx =
c) 2
961 aa ++ =
d) 26
9ba − =
e) 53106
24169 nmnm ++ =
f) 22
1478412 yxyx +− =
g) 23323
12123 yaxyaxa +− =
h) 247254 36
+− mm =
i) 2462
6126 mamma +− =
j) 189 2040
+− xx =
k) 65 36
++ xx =
l) ( ) ( )baba −−− 7
2
+12=
m) ( ) ( ) 158
2
++++ nmnm =
n) xx 9,04,0 3
− =
54

55. ñ) 35
1622 aa − =
o) xyyx 7512 3
− =
p) mnnm 2045 3
− =
q) abba 1805 3
− =
r) 25102
++ yy =
s) 108624 2
−− hh =
t) 2
753 x− =
u) 6
483 a− =
v) 635
12898 yxx − =
w) 23
20500 xyx − =
y) 2
2
164
y
xa
x − =
z) 32
331 aaa −−+ =
Soluciones:
I.-a)5(3a+2b) b)4(2m-3n) c)4(4a-5x) d)6(4y-3z)
e) 8(4x+3m) f) )
5
1
(
2
1
yx − g) )
25
3
2
1
(
2
1
ts + h) )53
2
1
ba −
ii.-a) )1( 54
aa + b) )31( 43
xx − c) )54(2
mm + d)
)1( 722
−vhh
e) )1( 452
−mnnm f) )512( 4
xdd + g) )76(7
ryr + h)
)13( 42
+maam
iii.-a) )32(2 2
xx + b) )2(18 2
axa − c) )75(4 36
aa + d) )32(
5
1 45
xx −
e) )32(24 32
nmmn − f) )35(
2
1 6
xx + g) )
5
3
9
1
(4 22
+xx h)
)118(
5
1 32
−baab
i) )51(
4
3 524
jhjh − j) )31(
8
1 26
pp + k) )
2
5
3(
4
3 4
xyx − l) )57(
4
3 310
+ss
55

56. m) )43(2 2
xxx ++ n) )1(
32
y
x
y
x nn ++
+ ñ) )52( 41252
aaaa nnn
+−++
o) )96( 2
−+ aa
b
a
p) )
3
8
16
9
1
(
9
1 36
xx −+ q) )( qpnm
xxxx −+
iv-a)(x+10)(x-10) b) 2
)10( −x c) 2
)31( a+ d) )3)(3( 33
baba +−
e) 253
)43( nm + f) 2
)72(3 yx − g) 23
)2(3 yxa − h) 23
)23(6 −m
i) 22
)1(6 −am j) )3)(6( 2020
−− xx k) )2)(3( 33
++ xx l)(a-b-3)(a-b-4)
m)(m+n+5)(m+n+3) n) )32)(32(
10
1
−+ xxx ñ) )9)(9(2 3
−+ aaa
o)3xy(2x+5)(2x-5) p) )23)(23(5 −+ mmmn q) )6)(6(5 −+ aaab
r) 2
)5( +y s)6(4h-9)(h+2) t) )51)(51(3 xx −+ u) )41)((41(3 33
aa −+
v) )87)(87(2 333
yxyxx −+ w)20x(5x+y)(5x-y) y) )21)(21(4
y
a
y
a
x −+
SIMPLIFICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS.
Utilizando factorización y productos notables reduzca a su más simple expresión:
a) yx
yx
7550
2114
+
+
= Rp:
25
7
b)
nm
nm
4836
3627
−
−
= Rp:
4
3
c) 22
22
2 nmnm
nm
++
−
= Rp:
nm
nm
+
−
d)
xx
xx
2
65
2
2
−
+−
= Rp:
x
x 3−
e)
33
1
2
4
−
−
x
x
= Rp:
3
12
+x
f)
16
127
2
2
−
+−
x
xx
= Rp:
4
3
+
−
x
x
56

57. g)
65
23
2
2
+−
+−
xx
xx
= Rp:
3
1
−
−
x
x
h) 43
3
10075
25
xx
x
−
= Rp:
x43
1
−
i)
454
25
2
2
−−
−
aa
a
= Rp:
9
5
−
−
a
a
j)
152
5114
24
24
−−
−−
xx
xx
= Rp:
5
17
2
2
−
−
x
x
k)
aaxax
axa
209
16
2
222
++
−
= Rp:
5
)4(
+
−
x
xa
l)
122
3
++
−
xx
xx
= Rp:
1
)1(
+
−
x
xx
m) 22
33
ba
ba
−
−
= Rp:
ba
baba
+
−+ 22
n)
140155
42273
2
2
−−
+−
xx
xx
= Rp:
)4(5
)2(3
+
−
x
x
ñ)
xx
xx
2
65
2
2
−
+−
= Rp:
x
x 3−
o)
189
96
2
2
+−
+−
mm
mm
= Rp:
6
3
−
−
m
m
p)
ba
baba
33
2 22
+
++
= Rp:
3
ba +
q)
xxx
xxx
44
103
23
23
+−
−+
= Rp:
2
5
−
+
x
x
r)
1
1
2
3
++
−
xx
x
= Rp: 1−x
57

58. 4.-ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
OBJETIVO:
- Desarrollar ecuaciones lineales, cuadráticas, literales, exponenciales e
irracionales
N° de horas : 9 horas
DESARROLLO DE CONTENIDOS
ECUACIONES:
Las ecuaciones son igualdades que se hacen válidas para un único valor o más
de un valor l.el número de soluciones que puede tener una ecuación depende del
grado o exponente mayor de la variable.
Como por ejemplo:
• Ecuación lineal (de primer grado ), tiene una unica solución
Ej: 2x+3=9
• Ecuación cuadrática (de segundo grado), Tiene máximo dos soluciones.
Ej: 4x 0122
=−+ x
• Ecuación cúbica o de tercer grado: Tiene máximo tres soluciones
Ej: 3x 0123
=− x
58

59. I.- ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO
Su forma general es :
Ax+ B= 0, con A 0≠
Esta ecuación se relaciona con la línea recta, de ahí que también se conoce como
ecuación lineal, la que se estudiará más adelante.
Para resolverla debemos debemos recordar:
a) Al tener una igualdad , podemos sumar, restar, multiplicar o elevar al cuadrado,
etc . Siempre y cuando la operación se aplique a ambos miembros de la igualdad
b) Se despeja la incógnita, aplicando las propiedades de los inversos aditivos
y/o multiplicativos, según sea el caso, después de haber desarrollado todas
las operaciones indicadas.
Ejercicios
1.-Resolver las siguientes ecuaciones:
1) 5x(8-x)-3x(5-3x)= -26-2x(7-2x)
3
2−
2) x+3(x-1)= 6-4(2x+3)
4
1−
3) (x+1)(2x+5)=(2x+3)(x-4) -1
4) 14x-(3x-2)-[ ])1(25 −−+ xx =0 17
5)
2
5
12
2 xx
x =
+
−
19
2−
6)
10
1
5
32
8
2
3
45
2
13
−
−
=
+
−
+
−
− xxxx
-2
59

60. 7) 




 −
=




 +
3
6
4
3
5
1
3
2 xx
14
8) 0
5
1
3
2
5
1
4
23
3
4
6
12
5
3
=+




 −
−




 +
−




 − xxx
2
1−
9) 





−−=





−−





−
2
7
3
1
2
3
x
x
xx
15
10)
2
1
8510
1995
2
2
=
+−
−+
xx
xx
2
11)
13
3
2
122 22
−
−
=
−−
x
xx
x
xx
2
1
12)
43
25
43
85
−
+
=
+
+
x
x
x
x
11
20−
13) 75,0
2
1
2
2
1
=
−
+
x
x
4
7
14) 222
)8()2()4(2 −=−−− xxx 9
15)
420
45
12
83
315
710 2
+
−
−
+
=
+
−
x
xx
x
x
16
16) 2)5(2)3()73(6)1(5 22
−+−−=−−−− xxxxxxx
3
7−
17) )
2
(7
4
5
)3)(3( 2 x
xxxx −−=−−−+
2
69
18)
4
3
2
2
2
1
2
11
729 +
+
=





−−−
x
x
xx 1
19)
2
118
1
)13( 2
−
=
−
− x
x
x
7
1−
20)
1
3
1
2
1
1
2
−
=
−
−
+
−
xxx 3
4−
60

61. 21) 2
55
14
44
23
33
32
22
5
=
−
−
−
−
+
+
−
+
−
− x
x
x
x
x
x
x
x
13
102
22)
64
72
94
44
1
32
7
2
+
−
−
−
=−
−
+
x
x
xx
x
2
1
23) 2
91
143
31
21
31
21
x
x
x
x
x
x
−
−
−=
−
−
−
+
+
14
24)
13
2
19
6
3
2
2
2
−
=
−
−
xx
x
9
4−
25)
32
)17(2
1
1
)3(
)3(
22
2
−−
+
+
+
−
=
−
+
xx
x
x
x
x
x
5
3−
26)
22
3
22
3
)1(
1
2
+
−=
−
−
− xxx
2
27)
126
77352
43
58
32
76
2
2
−+
+−
=
−
−
−
+
+
xx
xx
x
x
x
x
5
28)
62
78
32
63
2
42
2
2
−−
+
=
+
−
−
−
+
xx
x
x
x
x
x
3
29) 15)1(3)1(3 22
−=−−− xxx 3
30) 35)2(3)3(2)1( 22
++=+++ xxxx 2
31)
)1(9
715
)1(18
71513
)1(6
59
2
2
−
−
=
−
−−
+
−
+
y
y
y
yy
y
y
25
42−
II.-ECUACIONES LITERALES
1) abxbxbaxa =−+− )()( 22
a+b
2)
22
)()1()( xa
a
b
a
x
abxba +=++− b
61

62. 3) 





−=





+ 1
4
3
1
3
2
a
x
a
x
17a
4)
x
b
bac
x
a
+−= )(
c
1
5)
a
x
a
b
b
x
b
a 2439
−=− 3a+2b
6) 





−=




 +
−−
23
2
2
)(
4
1
2
a
x
aax
axx
17
a
7) 11)2)(2(
1
1
3
3
2
2
−





−=−−−





−





−
a
x
axax
aa
x
a
x
3
a
8) 22
22
22
)(232)(
bx
bbxx
bx
abx
bx
axb
−
−+
=
+
−+
+
−
−
a
b2
9) 222
)()()( baaxax +=−−+
a
ba
4
)( 2
+
10)
a
ax
axaxa
x +
=
+
+
+
1
2
2
2
1 a−
11) 22
)2(
xa
xca
xa
xc
xa
xb
−
−
=
−
−
+
+
−
cb
ab
−
12)
a
xb
ab
ba
b
xa 3312622 22
+
=
−
−
+
2a+3b
III.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Se resuelven por factorización o aplicando la fórmula:
X=
a
acb
b
2
42
−+
−
Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones:
1. 185)3( 22
=−+ xx 11;-8
2. 4)2)(13( −=−+ xx 1;
3
2
3. xx 155 2
−= 0;-3
62

63. 4. 23)5()32( 22
−=+−− xx
3
1;7
5. 222
)2(319911)1( −−=++− xxxx 17;-12
6.
6
1
1
1
2
1
=
−
−
− xx
4;-1
7.
2
47
1
85
+
−
=
−
−
x
x
x
x
2
5;4
8. 1
51115
2
−=
+
−
x
x
x
5;1 −
9.
x
x
x
x 742
=+
+
8;-9
10. 5
3
6
3 =
+
++
x
x 1;6
11. 5
4
=+
x
x 1;16
12. 116513 +=++ xxx 0;5
13. 53234 −=−−− xxx
3
2;3
14. 813 )2)(1(
=+− xx
2;-3
15.
1
35
13
53
+
+
=
−
+
x
x
x
x
3
2;1 −
16. 243 2
=−+ xx 3;-4
17. 018321 =+−+++ xxx
17
1;3 −
18.
32
5
27
32
+−
=
++
xx
xx
4
23;6 −
19.
5
8
1555
+
=−−+
x
xx 3;-7
63

64. 20. 155 −=+ xx 5;10
21. 5,25,1
6
−= x
x 3
11;1 −
22. 5,0
2
2
3
−=
x
x
3
4;3 −
23. 82 12
=− −−
xx
2
1±
24.Raíces de la ec. de 2° : Determinar la ecuación dadas las raíces de ec de 2°
utilizando las siguientes fórmulas:
a
b
xx −=+ 21
a
c
xx =⋅ 21
(a) 5 y 9 045142
=+− xx
(b) 32;32 − 0122
=−x
(c)
2
1
;
4
3
03108 2
=+− xx
(d) 3,
5
4
− 012115 2
=−+ xx
(e) 3,
3
2
− 0673 2
=−+ xx
(f) 6±
(g) 1;
3
2
10 032353 2
=+− xx
(h)
2
3;0 xx 32 2
=
IV.-ECUACIONES IRRACIONALES
1) 283
=−x 16
2) 0135 =+− x 8
3) 9257 3
=+− x -2
4) 121715 3
=−− x 4
64

65. 5) 67657 =+ x 24
6) 37
4
3
9 =− x
7
64
7) 175153 =+−x -1
8) 6
2
)74(3
=
+x
4
17
9) )57(3)135(2 +=+ xx 1
10) 3
11
518
=
− x
9
11) 2
3
1
5
3
=
+
+
+ xx
4
12)
4
1
8
4
3
2
1
3
2
=+−+ xxxx 81
13) 4
2
1
15,0 =− xx 16
14) 04723 =+−− xx 11
15)
32
)3(4
518325
+
+
=−−+
x
x
xx 3
16)
1
1
4
−
+
=+
x
x
x 5
17) 0
15
18
6
67
5
42
=
+
−
−
−
+ xxx
4
1
18) 41510 =++ x 7
19) 352312 =−− x 3
20) 41724 =++ x 5
21) 445737 =+− x 1
65

66. 22) 3246 =+++ x 23
23) 2235 =−++ x 6
24) 77 =++ xx 9
25) 15195 −=−− xx 20
26) xx 241313 =+− 9
27) 4816 −=+−− xx 17
V.- ECUACIONES EXPONENCIALES.
Son aquellas que tienen la incógnita en el exponente, es decir tienen la
forma:
bax
=
Se resuelven
• Igualando las bases
• Aplicación de logaritmos
Ejercicios : Resuelva las siguientes ecuaciones
1. 93
ccc xx
=⋅ −
6
2. ( ) ( )717515 −+
= xx
aa
2
1
3. 155 )31(4)25(3
=⋅ −− xx
3
2
4. 3
5
3
2
3
3
1
3
4
−−−
=
xx
aa 0
5. 626
25,016 −+
= xx
2
3
−
6. 3213
5,04 +−
= xx
8
1−
7. 193 1
=⋅+x
3−
66

67. 8. x
x
a
a
a
a
3
2
3
7
=
2
1
9. x
x
aa
a
a 47
5
8
⋅= 3
10. 42
2
4
32 −
= x
x
7
6
11.
5
61352
8
1
25,05,0:4
x
xx
−
−−






⋅=
32
5
−
12. 1554321
25,03225,0:4 +−+−
⋅= xxxx
41
14
13.
2
2
1
5
32
3
12
2
1
4
8
1
:2
x
x
x
x






⋅=





−
−
−
41
34
14.
9
32
5
3
1
4
2
9
1
:27
3
1
9
++
−






=





⋅
x
x
x
x
0
15. 32
55
2
3
1
5:
3
2
10 +
−−
=










 x
xx
-8
16. 1
3
3
4
)2(3
=−
+
x
x
-5
17. 1132
=⋅⋅ ++ xxx
aaa -1
18. ( ) 1: 5,45 7643
=⋅−−
aaa xx
8
19.
x
x
x
27
3
1
8127
12
13
=






⋅
+
−
-
4
1
20. 3
4
1425
5,0
8
1632 +
+−
=
⋅ x
xx
14
5
21. 9
27
13
1:
9
4
4
1212
=











−+ xx
2
3
67

68. 22. x
xx
49
66
9
8
7
1
5
4
4 −
−−
=





⋅





3
23. 1234
0625,032 −−
= xx
4
24. 6 4348 6927
: −+−
⋅= xxx
aaaa
45
122
25. ( ) 1: 5,45 7643
=⋅−−
aaa xx
-7
26. 4 924 68130 27820 9415 32
:: aaaaa xxxx −−−−
⋅=
10
3
27.
2
81
13
375,0
−






+=x
8
28. 513
5,04 −−
= xx
1
29. 323 2
: aaax
=+
-
5
13
VI.- ECUACIONES LOGARITMICAS
Ejemplo: Cuál de las siguientes alternativas es el valor de la ecuación
1)2(log)12(log 33 =−−+ xx
A) x=-3 B) x=3 C) x=7 D) x= -7
Solución: - 1° se transforma el entero 1 a forma logarítmica, cuidando de que
sea en la misma base de los otros logaritmos dados.
3log)2(log)12(log 333 =−−+ xx
- 2° se agrupan logaritmos a cada lado de la igualdad, usando las
propiedades que correspondan (ver síntesis teórica)
3log
2
12
log 33 =
−
+
x
x
- 3° se simplifica y opera algebraicamente
x = 7
68

69. 1) 5loglog)215log()2log()43log( −++=++− xxxx 5
2) )log()log()log(log axaxaxx +−−=−−
3
a
3) 0)1log(4log1log =+−++− xxx 5
4) 0)79log(57log2 =−−+ xx 6
5) 1)4log()23log( +−=+ xx 6
6) 12loglog)2log( =−+ xx
11
2
7) 27logloglog2 =+ xx 3
8) 1)52(log)25(log 33 =+−− xx -17
9) 2
)3log(
)5log( 2
=
+
+
x
x
3
2
−
10) 1)2(log)12(log 33 =−−+ xx 7
11) 5log30log6loglog 2222 −=+x 1
12) 2)72(log)45(log 55 =−−− xx
5
19
13) 2
)3(log
)8(log
4
2
4
=
+
+
x
x
6
1
−
14) 3)8(log)89(log 2
2
2 =−−+− xxx 9
15) )1log(log)9log( +=−+ xxx 3
16) 5log60log2loglog −=+x 6
17) 5,4log172log57log +=+++ xx 10
18) ) )52log(
2
1
log3log)log(
2
1
2log +−=−−+ xxx 10; 2
69

70. 19) 0)log(log)log()log( =−−−−++ axxbxax
ba
ab
−2
20) 2,1log15log43log +=+++ xx
3
31
;4
−
21) 2
)3log(
)5log( 2
=
+
+
x
x
3
2−
22) 3
)2log(
)56log( 3
=
−
−
x
x
4;-2
23) 25,0log)5(8log0625,0log)53( ++=+ xx x
5
14
24) 53
32 ++
= xx
3log2log
2log33log5
−
−
25) 532 −+
= xx
ba
ba
ba
log3log
log5log2
−
−−
26) 2135
623 −−
=⋅ xxx
2
1
−
27) 130log5log32log −=−+− xx
2
1
;6
28)
221
)
2
3
(22 =+ −− xx
2log2
3log22log +
29) )5log(
2
)7log(
+=
+
x
x
-3;-6
30) 8
1
10
5,0
52 −
+
=⋅ xx
7
31) 656132
=x
4
32) 7293 42
=−x
5
70

71. 33) 3055 63
=+ xx
3
34) 19 1272
=+− xx
3;4
35) 3437 952
=+− xx
2;3
71

72. .
SISTEMAS DE ECUACIONES
I.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:
1) 819
287
=−
−=−
yx
yx
2) 18)1(5)1(6
7)3(2)2(3
−=+−−
=−+−
yx
yx
Rp.: (10,9) Rp. (3,5)
3)
)1)(2()2)(5(
)4)(3()7)(4(
−+=−+
+−=+−
yxyx
yxyx
4)
145
2
7
3
2
03458
=++
=−+
y
x
yx
Rp: 7,5) Rp: (3,2)
5)
)
4
5
(4
4
)3(5
6
−=
−=
y
x
y
x
6)
7
2
5
3
7
8
2
5
3
7
−=
+
−
+
=
−
+
+
yx
yx
Rp: (60,5) Rp: (2,15)
7)
0=−
+=+
y
a
x
bay
b
x
8)
abaybx
b
y
a
x
6
0
=+
=−
Rp: (ab,b) Rp: (3a,3b)

73. 9)
1625
1835
723
−=+
−=+
−=+
zy
xz
yx
10)
8
6
4
−=−
−=−
−=−
yxz
xzy
zyx
Rp: (-1,-2,-3) Rp: (7,6,5)
11)
12027
32
2053
=−
=++
=−
xz
zyx
yx
12)
2
1
12
+=
+=
=++
xz
xy
zyx
Rp: (10,2,20) Rp: (3,4,5)
13)
3
3
3
7
5
2
2
3
2
1
1
=
−
−
=
−
−
=
−
−
x
z
z
y
y
x
14)
13
14
3
3
15
14
2
2
16
15
1
1
=
+
+
=
−
+
=
+
+
x
z
z
y
y
x
Rp: (5,7,9) Rp: ( )
2
1,
3
1,
4
1
15)
6
2
1
4
1
6
3
1
2
1
6
4
1
3
1
=+
=+
=+
zx
zy
yx
16)
15
8
20
9
12
7
=+
=+
=+
zx
zy
yx
Rp: (12,8,6) Rp: ( )
5
1,
4
1,
3
1
II.-SISTEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

74. En general los sistemas de ecuaciones de segundo grado se pueden
resolver en su mayoría por dos métodos que son:
- por sustitución
- por igualación
Cualquiera sea el método, estos sistemas se presentan en diferentes formas o
casos y su aplicación está presente en todas las disciplinas, por ello resulta
necesario que lo integres como otra de las herramientas o medios con que aporta
la matemáticas a la solución de problemáticas de especialidad.
CASO I.- Combinación de una suma y de un producto
(En este caso se recomienda despejar una variable en función de la otra
y luego sustituir)
Ejemplo-. 3x - 2y=7
2xy=40
Solución:
despejar cualquiera de las dos variables
x
y
20
=
sustituir en el sistema original 7
20
23 =⋅−
x
x
formar la ecuación de 2°grado 04073 2
=−− xx
resolver la ec. de segundo grado
3
8
5 21 −== xx
por lo tanto
2
15
4 21 −== yy
CASO II.- Combinación cuadrática y una lineal
Se recomienda despejar siempre de la ecuación lineal y luego sustituir.
Ejemplo:
35
62522
=+
=+
yx
yx
Solución:
despejando y xy −=35
sustituyendo y 625)35( 22
=−+ xx
formando la ec. de 2° 0300352
=+− xx
resolviendo la ec. de 2° 2015 21 == xx
reemplazando se obtiene 1520 21 == yy

75. CASO III: Combinación de cuadrados, sumas y productos.
Se ordenan e igualan coeficientes.
Ejemplo:
0154
0332
2
=+−
=−−
xyy
yxy
Solución:
ordenando 154
332
2
−=+−
=−
yxy
yxy
igualando coeficientes 154
664
2
−=+−
=−
yxy
yxy
se obtiene 23 == xy
por lo tanto las soluciones son
3
2
21
21
==
==
yy
xx
CASO IV.- Combinación de sumas y restas de cuadrados.
Despejar una variable y sustituirla en la otra.
Ejemplo:
15
113
22
22
=−
=+
yx
yx
Solución:
despejando x
8
1282 2
±=
=
x
x
sustituyendo este valor
7
1564 2
±=
=−
y
y
Ejemplo:
135
753
22
22
=+
=−
yx
yx
Solución:
igualando coeficientes
51525
21159
22
22
=+
=−
yx
yx

76. despejando x
17
13
±=x
sustituyendo en cualquier ecuación
17
16
−±=y
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) 36
15
=
=+
xy
yx
Rp: x=12 x=3 y=3 y=12
2) 85
12
=
=−
xy
yx
Rp: x=17 x=y=5 y=-17
3) 187
28
=
=+
xy
yx
Rp: x=17 x=11 y=11 y=17
4)
16
17822
=−
=+
yx
yx
Rp: x=43 x=-51 y=-51 y=43
SESION 10
OBJETIVO: RESOLVER PROBLEMAS APLICANDO ECUACIONE Y SISTEMAS
DE ECUACIONES
PROBLEMAS RESUELTOS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES Y SISTEMAS
DE ECUACIONES.
1. Un neumático sin cámara, que tiene una capacidad de 16 litros, soporta una
presión de 1,93 atm cuando la temperatura ambiente es de 20°C. ¿Qué
presión llegará a soportar dicho neumático si, en el transcurso de un viaje, las
ruedas alcanzan una temperatura de 80°C?
Solución:

77. Datos: Ley de los gases:
2
22
1
11
T
VP
T
VP ⋅
=
⋅
T° Kelvin= T° Celcius+273
xP
atmP
cteltVV
KT
KT
=
=
===
=+°=
=+°=
2
1
21
2
1
93,1
.16
35327380
29327320
⇒
353
16
293
1693,1 ⋅
=
⋅ x
x= 2,73 atm
2. La suma de las longitudes de dos pasadores metálicos es de 21 cm. Si la
longitud de uno de ellos es el doble de la longitud del otro. ¿Cuál es la longitud
de cada pasador?
Solución:
Datos: x = longitud pasador menor
2x = longitud pasador mayor
entonces x + 2x = 21
x = 7
es decir el pasador menor mide 7 cm y el mayor 14 cm.
3. El eje de un torno gira a 96 revoluciones por minuto (rpm). ¿Cuántos minutos
tarda en dar 5,437 revoluciones?.
Solución:
N= n° min
=°⋅ minNrpm n° de vueltas
entonces la ecuación a formular es 557,4
5,43796
=
=
N
N
4. Para obtener 8 kg de café, cuyo precio es de $4.500 el kg, se mezcla café de
tipo A que vale $6.000, con café del tipo B que vale $4.000 el kg. ¿Qué
cantidad de cada tipo tiene la mezcla?
Solución:
Sea x= n° de kg de café tipo A
y= n° de kg de café tipo B
entonces el sistema que se forma
4500
8
40006000
8
=
+
=+
yx
yx
resultando x = 2 ; y = 6

78. es decir se necesitan 2 kilos de café del tipo A y 6 kilos de café del tipo B.
5. Una empresa electrónica produce aparatos de TV y aparatos estereofónicos.
La curva de transformación denominada también curva de posibilidades de
producción, representa las combinaciones posibles y distintas de cada artículo
que se pueden producir utilizando eficientemente todos los recursos, lo da la
ecuación
130532
=++ TVTS
Calcular:
a) n° máximo de equipos estéreos que la empresa puede producir.
Solución:
13003
13053
2
2
=++
=++
TSTS
TVTSTS
013032
=−+ TSTS
1310
)1(2
)130)(1(493
21 −=∧=⇒
−
−−±−
= TSTSTS
La empresa puede producir 10 equipos estéreos.
b) N° máximo de TV que puede producir la empresa.
Solución:
130532
=++ TVTSTS
pero 13032
=+ TSTS
reemplazando 26=TV
c) Cantidad máxima de equipos si se producen 18 TV
Solución:
¿TS? Si TV=18 130532
=++ TVTSTS
130)18(532
=++ TSTS
04032
=−+ TSTS
85
2
40493
21 −=∧=⇒
−⋅−±−
= TSTS
TS
TS
es decir se podrían producir 5 equipos.
d) ¿TV si TS=7
Solución : 130532
=++ TVTSTS
1305)7(372
=++ TV
2=TV
TV
TS

79. PROBLEMAS PROPUESTOS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
1) Hállense dos números cuya diferencia sea 11, y un quinto de cuya suma sea 9.
(Rp: 28 y 17).
2) Hállense dos números cuya suma sea 34 y cuya diferencia sea 10.
(Rp 22 y 12).
3) La suma de dos números es 73, y su diferencia, 37; hállense los números.
(Rp :55 y 18).
4) Un tercio de la suma de dos números es 14, y la mitad de su diferencia es 4;
hállense los números. (Rp: 25 y 17).
5) La mitad de la suma de dos números es 20 y el triple de su diferencia es 18;
hállense los números. (Rp: 23 y 17).
6) Si se aumenta en 2 el numerador de una fracción y el denominador en 1, es
igual a
8
5 ; y, si el numerador y el denominador se disminuyen cada uno en 1,
es igual a
2
1 ; hállese la fracción. (Rp:
15
8 )
7) Si a los dos términos de una fracción se añade 1, el valor de la fracción es
3
2
,, y si a los dos términos de una fracción se resta 1, el valor de la fracción es
2
1 . Hallar la fracción. (Rp:
5
3 ).
8) Dos números están en la relación de 5 a 6. Si el menor se aumenta en 2 y el
mayor se disminuye en 6, la relación es de 9 a 8. Hallar los números.
(Rp: 25 y 30).
9) Las edades de A y B están en la relación de 5 a 7. Dentro de 2 años la relación
entre la edad de A y la de B será de 8 a 11. Hallar las edades actuales.
(Rp: 30 y 42).
10) Las edades de A y B están en la relación de 4 a 5. Hace 5 años la relación era
de 7 a 9. Hallar las edades actuales. (Rp: 40 y 50).
11) Si el mayor de dos números se divide por el menor, el cociente es 2 y el
residuo 4, y si 5 veces el menor se divide por el mayor, el cociente es 2 y el
residuo 17, Hallar los números. (Rp: 54 y 25).

80. 12) Si el duplo del mayor de dos números se divide por el triple del menor, el
cociente es 1 y el residuo 3, y si 8 veces el menor se divide por el mayor, el
cociente es 5 y el residuo 1. Hallar los números. (Rp: 27 y 17).
13) Seis veces el ancho de una sala excede en 4 m a la longitud de la sala y si la
longitud aumentada en 3 m se divide entre el ancho, el cociente es 5 y el
residuo 3. Hallar las dimensiones de la sala. (Rp: 20 x 4 m).
14) Se tienen $11.30 en 78 monedas de a 20 cts. Y de 10 cts. ¿Cuántas monedas
son de 10 cts. Y cuántas de 20 cts?. (Rp: 35 de 20 cts. y 43 de 10 cts).
15) En un cine hay 700 personas entre adultos y niños. Cada adulto pagó 40 cts. y
cada niño 15 cts. por su entrada. La recaudación es de $180. ¿Cuántos adultos
y niños hay en el cine?. (Rp: 300 adultos y 400 niños).
16)Un hombre tiene $404 en 91 monedas de a $5 y de a $4. ¿Cuántas monedas
son de $5 y cuántas de a $4?. (Rp: 40 de $5 y 51 de $4).
17) Una compañía trata de adquirir y almacenar dos tipos de artículos, X e Y.
Cada artículo X cuesta 3 dólares y cada artículo Y cuesta 2,50 dólares. Cada
artículo X ocupa 2 pies cuadrados del espacio del piso y cada artículo Y ocupa
un espacio de 1 pie cuadrado del piso. ¿Cuántas unidades de cada tipo
pueden adquirirse y almacenarse si se dispone de 400 dólares para
adquisición y 240 pies cuadrados de espacio para almacenar estos artículos?
(Rp.: 100 unidades de X y 40 unidades de Y).
18) Cierta compañía emplea 53 personas en dos sucursales. De esta gente, 21
son titulados de INACAP. Si una tercera parte de las personas que laboran en
la primera sucursal y tres séptimos de los que se encuentran en la segunda
sucursal son titulados de INACAP. ¿Cuántos empleados tiene cada oficina?
(Rp.: 18 y 35).
19) Una planta de fertilizantes produce tres tipos de fertilizantes. El tipo A contiene
25% de potasio, 45% de nitratos y 30% de fosfato. El tipo B contiene 15% de
potasio, 50% de nitratos y 35% de fosfato. El tipo C no contiene potasio, tiene
75% de nitratos y 255 de fosfato. La planta tiene suministros de 1,5 toneladas
diaria de potasio, 5 toneladas diarias de nitratos y de 3 toneladas diarias de
fosfato. ¿Qué cantidad de cada tipo de fertilizante deberá producir de modo que
agote los suministros de ingredientes?
(Rp.:
14
45
ton del tipo A,
14
65
ton del tipo B, y
14
23
ton del tipo
C).
20)Un almacén de productos químicos tiene dos tipos de soluciones ácidas. Una
de ellas contiene 25% de ácido y la otra contiene 15% de ácido. ¿Cuántos

81. galones de cada tipo deberá mezclar para obtener 200 galones de una mezcla
que contenga 18% de ácido?
(Rp.: 60 gal con un 25% de solución ácida y 140 gal con un 15% de solución
ácida).
5.-DESIGUALDADES E INECUACIONES.
Objetivo: Emplear el orden de los números reales en la resolución de desigualdades e
inecuaciones , aplicadas a la especialidad-
N° de horas : 3
DESARROLLO DE CONTENIDOS
Orden en los Números Reales.
Establecer un orden en los números reales puede tener diversas interpretaciones, según
necesidades
- En un problema de costos se determino que el valor precio de venta de un articulo es de 155 U$,
en un mes se venden 35 unidades regularmente. El fabricante garantiza un abastecimiento sin
inconveniente por pedidos de a lo menos 20 unidades de utilidad por cada articulo vendido es de
35 U$.

82. ¿Dependiendo del fabricante y su capacidad de abastecer los pedidos cual es la utilidad esperada
por un determinado mes?
- En un intercambio de opiniones un encargado de adquisiciones escucha por parte de
profesionales de la empresa los siguientes expresiones:
A: “Si el costo unitario fuera de 16 U$ y la demanda sube 1.200 unidades estaríamos en buen pie
para competir.”
B: “ Comparto tu primer valor pero la demanda debe ser entre 1000 y 2000 unidades.
C: “ Solo tengo claro que el costo unitario no podrá ser menos a 16,5 U$.
¿Qué puede inferir el empleado de todas estas operaciones?
En algunos casos es necesario interpretar, que en el ámbito de las operaciones matemáticas,
debemos ser capaces de “interpretar un orden”, con estas nuevas expresiones.
Que indican, cuando se imponen condiciones sobre un conjunto de Números Reales, esto es las
desigualdades e inecuaciones, que se utilizan tanto como las ecuaciones.
Una desigualdad es una proposición que se forma siempre que dos expresiones están asociadas
por algún símbolo de desigualdad: >,<, ≥ y ≤. Las dos expresiones se denominan miembros o
lados de la desigualdad. Una desigualdad compuesta contiene más de dos expresiones separadas
por símbolos de desigualdad.
Las siguientes expresiones son desigualdades.
-3 + 2x < 5,
3x + 7 ≤ 5 – 2x,
16x + 8 ≤ 5x + 2,
5x2
– 3x – 2 > x – 7
Éstas son desigualdades compuestas
23x < 4x – 15 < 19
x < w ≤ 2z
-8x ≤ 4x + 1 ≤ -4
y - 1 > 2x – 8 ≥ 7
Una desigualdad compuesta siempre puede escribirse como una combinación de desigualdades
simples.
La desigualdad compuesta 23x < 4x – 15 < 19 es lo mismo que las desigualdades simples 23x < 4x
– 15 y 4x – 15 < 19.
-8x ≤ 4x + 1 ≤ -4 es lo mismo que las dos desigualdades simples –8x ≤ 4x + 1 y 4x + 1 ≤ -4.
Hay tres tipos de desigualdades.
Una desigualdad condicional es verdadera para algunos números reales y falsa para otros.
El caso, x ≤ 6 es una desigualdad condicional. Es verdadera si x es igual a 6, 5
2
1
, -19, para
cualquier otro número, mayor que 6, es falsa, como 14, 13
Una desigualdad se llama absoluta, si es verdadera para todos los números reales.
Es el caso de x + 2 > x. Sin importar qué número real que se tome, siempre será una proposición
verdadera.
La opuesta de una desigualdad absoluta es la llamada contradictoria. Una desigualdad
contradictoria es falsa para todos los números reales.

83. El caso, x + 1 > x es una desigualdad contradictoria, ya que nunca es verdadera.
Una inecuación es el conjunto de todos los valores de la variable que hacen verdadera la
desigualdad.
Resolver una inecuación significa determinar dichos valores o soluciones.
Propiedades de las desigualdades.
Estas se utilizan para resolver las inecuaciones que podamos obtener de una problemática en
estudio que se pueda plantear como inecuación. Teniendo presente que al usar cualquiera de los 4
símbolos, la condición será valida
Consideremos
1. x + 4 < 7 es equivalente a x < 3. Se resta 4 en los dos miembros.
2. 8x - 4 < -6 + 12x es equivalente a 2 < 4x. Se resta 8x y se suma 6 a ambos miembros.
Esta propiedad establece que a ambos miembros de una desigualdad puede sumarse o restarse la
misma expresión sin cambiar el signo de la desigualdad.
Propiedad 1. Si a, b y c son números reales con a < b, entonces a + c < b + c.
Consideremos
1.
3
4
3
−
x
< 3x + 2 es equivalente a x – 4 < 9x + 6. Ambos miembros se multiplican por 3.
2. 3x < 12 es equivalente a x < 4. Ambos miembros se dividen entre 3.
Esta propiedad establece que ambos miembros de una desigualdad pueden multiplicarse o
dividirse por la misma expresión positiva sin cambiar el signo de la desigualdad.
Propiedad 2. Si a, b y c son números reales, con a < b y c > 0, entonces ac < bc o
c
b
b
a
< .

84. Consideremos
1. -3 < 17 es equivalente a 9 > -34. Ambos miembros se multiplican por –3.
2. -
3
x
< 6 es equivalente a x > -18. Ambos miembros se multiplican por –3.
3. -4x < 24 es equivalente a x > -6. Ambos miembros se dividen entre –4.
Esta propiedad establece que ambos miembros de una desigualdad pueden multiplicarse o
dividirse por la misma expresión positiva sin cambiar el signo de la desigualdad.
Propiedad 3. Si a, b y c son números reales, con a < b y c < 0, entonces ac > bc o
c
b
c
a
> .
Consideremos
1. Si 3 < 4 y n = 6 , entonces 36
< 46
.
2. Si 2 < 30 y n = 8, entonces 8
2 < 8
30
Esta propiedad establece que si ambos miembros de una desigualdad son positivos y n es un
número positivo, entonces la n-ésima raíz o potencia de ambos miembros, no cambia el signo de la
desigualdad.
Propiedad 4. Si a, b y n son números reales positivos y a < b, entonces an
< bn
y
n
a < n
b .
Consideremos.
1. 3+x < 6 es equivalente a –6 < x + 3 < 6.
2. 72 −x < 1 es equiva
Propiedad 6. Si x y a son lente a –1 < 2x – 7 < 1.
Propiedad 5 Si x y a son números reales, a > 0 y x < a entonces –a < x < a.
Ejemplos.
1. 5−x > 3 es equivalente a x –5 > 3 o x – 5 < -3.
2. 47 +x > 6 es equivalente a 7x + 4 > 6 o 7x + 4 < -6.
números reales, a > 0 y x > a, entonces x > a o x < -a.
Resolución de inecuaciones lineales.
Podemos usar las propiedades anteriores para resolver problemas en que aparecen
desigualdades, esto, recuerde, se hace llamar una inecuación.
Inecuación lineal.
Una inecuación lineal en una variable, x, es una expresión de la forma ax + b < 0, donde a y b son
constantes y a ≠ 0.
Si resolvemos 6x - 2 ≥ 22.

85. Solución: 6x - 2 ≥ 22
6x ≥ 24 Se suma 2 de ambos miembros.
x ≥ 4 Ambos miembros se dividen entre 6.
Esta expresión se puede escribir [ [+∞,4 , los intervalos con infinito se anotan abiertos
La solución para 6x - 2 ≥ 22 son todos los números reales mayores o iguales que 4.
Esto se indica en la figura 1
El círculo en negrita indica que 4 está incluido en la solución.
Fig. 1
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 x
Resuelva:
12
11
2
1
6
5
3 −
−
>− xx .
Solución:
12
11
2
1
6
5
3 −
−
>− xx
36 – 10 x > - 6x – 11 Se multiplica por 12, el MCD de los denominadores.
36 – 4x > - 11 Se suma 6x a ambos miembros.
-4x > 25 Se resta 36 de ambos miembros
4x < 25 Se multiplica por –1 ambos miembros
x < 25/4 Se divide por 4 ambos miembros
Esta expresión se puede escribir ] ]4/25,∞− , los intervalos con infinito se anotan abiertos.
La solución es x < 6,25, la cual se muestra la figura 2. el círculo vacío en 6,25 indica que la
solución no incluye a 6,255.
Fig. 2.
-6 -4 -2 0 2 4 6,25 8
Resuelva: 53 −x < 3.
Solución: 53 −x < 3
-13 x < 3x – 5 < 13 Se aplica la propiedad 5.
-8 < 3x < 18 Se suma 5 a las tres expresiones.
-
3
8
< x < 6 Se divide entre 3.
Esta solucion se puede anotar ] [6,3/8−
Esta solución se muestra gráficamente en la figura 16.7. observe que -
3
8
< x < 6, es equivalente a
-
3
8
< x y x < 6.
-
3
8
Fig. 3
-6 -4 -2 0 2 4 6 8

86. Resuelva: 823 ≥+x
Solución: 823 ≥+x
3x + 2 ≥ 8 o 3x + 2 ≥ -8 Se aplica la propiedad 6.
3x ≥ 6 o 3x ≤ -10 Se resta 2.
x ≥ 2 o x ≤ -
3
10
Se divide entre 3.
Esta solucion se anota ] ]3/10,−∞−  [ [+∞,2
La solución son los números menores o iguales que -
3
10
o aquellos mayores o iguales que 2.
esto se muestra gráficamente en la figura 4
-
3
10
Fig. 4
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 x
Observación : - Los infinito, positivo y negativo son anotados con corchete abierto en ese punto.
- Se puede efectuar operaciones con intervalos
Aplicación.
Resuelva algebraicamente y gráficamente las desigualdades dadas.
1.- 2.- 7 + 3x ≤ 3 - 5x
3.-
3
2
x + 5 <
3
1
x -4
4.-
2
13
3
62 +
<
+ xx
5.- 693 ≤+x
6.- 35 −>+x
Exprese la respuesta en términos de una desigualdad.
1. El manual de uso de un automovil establece que el ángulo de flexión k de los neumáticos debe
ser de +0.60° ±0.50°. exprese k como una desigualdad.
2. Una soldadura debe efectuarse a temperaturas de entre 1800°C y 2200°C. ¿cuál es el intervalo
de la temperatura en grados Fahrenheit?
3. El costo semanal de manufactura de microcomputadoras de cierto tipo esta dado por
C = 1000 + 20x; los ingresos por su venta están dadas por R = 50x. ¿cuántas microcomputadoras
deben fabricarse y venderse semanalmente como mínimo para que haya utilidades?