Predicados

1. Introducción
A veces es difícil o imposible enumerar un conjunto mencionando todos y cada uno de sus
elementos. Una manera útil de trabajar consiste en especificar dicho conjunto mediante una
propiedad que todos los elementos del conjunto tengan en común.
La notación se usa para denotar la afirmación de que x tiene la propiedad P (el nombre
predicado se justifica porque muchos predicados gramaticales del lenguaje ordinario son
representables tienen propiedades lógicas similares a lo predicados de la lógica
matemática). Así un cierto conjunto puede ser presentado por la notación:
que se lee como « está formado por todos los tales que » o dicho de otra manera el
conjunto de elementos que tienen cierta propiedad. Por ejemplo:
El conjunto de los números naturales que son menores o igual que cuatro, coincide con el
conjunto que consta de los elementos 1, 2 y 3.
De lo anterior se sigue que cualquier elemento del conjunto es un objeto
matemático para el cual la proposición es cierta.
Igualmente el predicado puede interpretarse como una función proposicional tal que
para cada argumento de la misma en el dominio de definición resulta el valor verdadero o
falso según lo sea la proposición (lógica) en su referencia al mundo.
Predicado
Es una función del conjunto de la constante al conjunto de las proposiciones lógicamente
interpretables (en el sentido de la lógica proposicional); igualmente un predicado puede
concebirse como una función del conjunto de los cuantificadores al conjunto de predicados
de la lógica proposicional:
La lógica de primer orden generaliza a la lógica proposicional precisamente en que su
formalismo puede tratar cuantificadores de variables como predicados. La lógica de
segundo orden permitiría además cuantificadores sobre predicados, además de
cuantificadores sobre variables.

2. Cuantificadores
Los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos elementos de
un conjunto dado cumplen con cierta propiedad.
El Cuantificador Universal indica que algo es cierto para todos los individuos.
Sea A una expresión y sea x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para
todos los posibles valores de x, escribiremos (∀x) A.
Cuantificador Existencial
La Cuantificación Existencial de P(x) “Es la proposición en que existe un elemento x en
el universo de discurso tal que P(x) es verdad”.
Se denota con el símbolo ∃ x y se lee de las siguientes maneras: “hay un x tal que…)”, “hay
al menos un x tal que…” o “para algún x…”.
EJEMPLOS:
Todos los humanos respiran
(∀ x) (H(x) → R(x)) donde el predicado H significa humanos, R respiran y x es un
elemento de un dominio general que podría ser el de las personas o cualquier subconjunto
deseado.
Todos los alumnos son estudiosos
(∀ x) (A(x) → E(x)) donde el predicado A significa alumno, E estudioso y x es un
elemento de un dominio general que podría ser el de las personas o cualquier subconjunto
deseado.
Cuantificación Existencial de Unicidad
El cuantificador existencial con marca de unicidad se usa para indicar que hay un único
elemento de un conjunto A que cumple una determinada propiedad. Se escribe:
Se lee:
Existe una única x elementos de A, que cumple P(x).

3. NEGACION DE PROPOSICIONES CUANTIFICADAS
Las proposiciones universales pueden negarse como en el enunciado:
“No todos los ingenieros”.
Y se simboliza:
  Xx M
También se puede utilizar: “Ninguno, ningún, nada, nadie “.
La proposición “Ninguno es mecánico” no equivales a “No todos son mecánicos”, sino a la
expresión: Para todo x , x no es mecánico
  Xx M
Las proposiciones anteriores pueden ser negadas como por ejemplo:
“No es cierto que hay mecánicos”. En símbolos:
  Xx M
“Alguien no es mecánico”. En símbolos:
  Xx M
.
Para estudiar la negación de funciones proposicionales, es conveniente fijar nuestra
atención en el diagrama dado. Veamos las cuatro formas de proposiciones generales que
hay tradicionalmente en la lógica:
A: Todo S es P: Todos los hombres son mortales.
E: Ningún S es P: Ningún hombre es mortal.
I: Algún S es P: Algún hombrees mortal.

4. O: Algún S no es P: Algún hombre no es mortal.
En las formas anteriores, S significa un sujeto del cual se afirma o niega algo, y P es el
predicado, o sea lo que se dice del sujeto.
Observe que las dos primeras proposiciones son universales, la primera afirmativa y la
segunda negativa; las dos últimas son particulares, la primera afirmativa y la segunda
negativa.
A continuación se presentan las equivalencias, usando funciones proposicionales con
cuantificadores:
A: Todo S es P:
  xPx Universal afirmativa
E: Ningún S es P:
  xPx  Universal negativa
I: Algún S es P:
  xPx Particular afirmativa
O: Algún S no es P:
  xPx  Particular negativa
En Conclusión:
La negación de una función proposicional con un cuantificador universal es
equivalente a la negación de la misma función proposicional, precedida por el
cuantificador existencial y viceversa.
Es decir:
     xx PSxPSx 
ó
     xx PSxPSx 

5. Ejemplo:
Encontrar la negación de las siguientes proposiciones:
a.   103  xx
Solución:      103103  xxxx
b.   73  xx
Solución:      7373  xxxx
Luis Moncada
16314597
0414-5260323