Este documento discute métodos iterativos para encontrar raízes reais de equações não lineares. Apresenta o método da bissecção, que reduz sucessivamente o intervalo contendo a raiz dividindo-o ao meio. Explica a interpretação geométrica e o algoritmo do método, além de estimar o número mínimo de iterações para atingir uma precisão dada e mostrar que a convergência é quase linear.

1. Raízes de equações não lineares
1
0011 0010
452

2. 1 – Introdução
1.1 – Localização das raízes
1.2 – Refinamento
2 – Método da bissecção
2.1 – Interpretação geométrica
2.2 – Algoritmo
2.3 – Estimativa do número de iterações
2.4 – Estudo da convergência
3 – Método da corda falsa
3.1 – Interpretação geométrica
3.2 – Algoritmo
3.4 – Majorante para o erro absoluto de uma estimativa
3.3 – Estudo da convergência
4 – Método de Newton–Raphson (MNR)
4.1 – Abordagem analítica
4.2 – Interpretação geométrica
1
452
4.3 – Algoritmo
4.4 – Estudo da convergência
5 – Método da secante
0011 0010

3. 1. Introdução
1
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4. Pretendemos estudar alguns métodos iterativos que nos permitem
obter raízes reais (aproximadas) de uma equação não linear f (x ) = 0,
onde f é uma função real de variável real.
Exemplos de equações não-lineares:
2 x 4 + 3x 2 + 7 = 0,
1
x 4 + 3x = 0,
2
e − x − x 2 = 0,
e − x + cos(4 x ) = 0.
1
0011 0010
452

5. Definição. Se f é uma função real de variável real e
f (r ) = 0, então dizemos que r é um zero da função f
ou que r é uma raíz da equação f (x ) = 0.
Graficamente, os zeros reais de f são as abcissas dos pontos de
intersecção do gráfico de f com o eixo dos x.
1
0011 0010
452

6. Não existem fórmulas resolventes para a generalidade das equações,
pelo que é necessário recorrer a outros métodos, chamados métodos
iterativos.
Um método iterativo é uma sequência de instruções que são
executadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em
ciclos; cada ciclo recebe o nome de iteração.
Estas iterações utilizam valores obtidos em iterações anteriores
para encontrar uma nova aproximação para a raíz.
1
0011 0010
452

7. Um processo iterativo para calcular as raízes de uma
equação f ( x ) = 0, pode ser dividido em duas fases:
1º Localização das raízes
Consiste em obter um intervalo [a, b] que contém uma única raiz r.
2º Refinamento
Escolhida uma aproximação inicial no intervalo [a, b] melhorá-
la sucessivamente por um processo iterativo (usando a
aproximação anterior) até obter uma aproximação para a raíz
dentro de uma precisão ε prefixada.
1
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8. 1.1 Localização das raízes
Nesta fase é feita uma análise gráfica e teórica da função.
Análise Gráfica
Esta análise pode ser feita através de um dos seguintes processos:
(i) Esboçar o gráfico da função f e localizar as abcissas dos
pontos de intersecção do gráfico com o eixo dos x.
40
Exemplo: f ( x) = x3 − 9 x + 3
30
r1 ∈ [−4,−3] 20
10
r2 ∈ [0,1]
1
r1 r2 r3
0
r3 ∈ [2,3]
452
-10
-20
0011 0010 -30
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

9. (ii) A partir da equação f (x) = 0, obter a equação equivalente
g(x) = h(x),
esboçar os gráficos de g(x) e h(x) no mesmo eixo Cartesiano
e localizar as abcissas dos pontos de intersecção dos dois
gráficos.
f ( r ) = 0 ⇔ g ( r ) = h ( r ).
Exemplo 8
f ( x) = e − x − x = 0 7
6
g
Resolução 5
h
x = e−x 4
3
g ( x) = e − x 2
h( x ) = x 1
0
r
Logo r ∈ [0,1] -1
1
452
-2
-2 -1 0 1 2 3 4
0011 0010

10. Análise Teórica
Teorema (Corolário do teorema de Bolzano). Seja f uma função
contínua no intervalo [a, b]. Se f (a) f (b) <0, então existe pelo menos
um r ∈ (a, b ) tal que f (r) = 0.
y
Graficamente
a r1 r2 r3 b x
y
1
0011 0010
a r1 r2 b x
452

11. Teorema de Rolle. Se f é contínua em [a, b], diferenciável em (a,b)
e f(a) = f(b) = 0, então existe c ∈ (a, b) tal que f’(c)=0.
Portanto, sob as hipóteses do teorema anterior, se f’(x) existir e não
mudar de sinal em [a, b], então existe uma única raíz nesse intervalo.
y y
Graficamente
a b x a b x
f ' ( x) > 0, ∀ x ∈ [a, b] f ' ( x) < 0, ∀ x ∈[a, b]
1
0011 0010
452

12. Podemos aplicar este teorema atribuindo valores a x e analisando o
sinal de f (x).
Exemplo f ( x ) = x − 9 x + 3
3
x -10 -5 -3 -1 0 1 2 3 4
f(x) - - + + + - - + +
- Analisando a mudança de sinal, podemos concluir que existe pelo
menos uma raíz dentro dos intervalos indicados.
1
f ' ( x ) = 3 x 2 − 9 não muda de sinal em cada um dos
- A derivada
intervalos, portanto cada raíz é única no intervalo.
0011 0010
452

13. Observação
Se f (a) f (b) > 0 então podem existir ou não raízes no intervalo [a,b].
y
Graficamente
a b x
y
y
1
a
0011 0010
r1 r2 b x
a r1 b x
452

14. 1.2 Refinamento
Esta fase implica a resolução de vários problemas:
• Escolher uma aproximação inicial x0 para a raiz r.
• Construir uma fórmula de recorrência que permite obter
sucessivamente novas aproximações xk a partir da anterior.
Obtemos assim uma sucessão x0 , x1 , x 2 ,... de aproximações da
solução r.
A cada aproximação corresponde o erro absoluto ek = xk − r
xk − r
e o erro relativo .
r
• Estudar a convergência da sucessão.
1
Obviamente estamos interessados em que o método iterativo
seja convergente; ou seja, deve verificar-se que
0011 0010 k = r ou lim ek = 0.
lim x
k →∞ k →∞
452

15. • Estudar a velocidade de convergência.
Definição. Se para um dado método iterativo existirem constantes c > 0 e p ≥ 1
ek
tais que lim p = c,
k →∞ e
k −1
dizemos que p é a ordem de convergência do método e c a constante de erro
assimptótico do método relativamente ao zero r da função.
A expressão nesta definição costuma por vezes escrever-se na forma assimptótica
ek ≈ cekp−1 quando k → ∞.
Se p = 1, a convergência diz-se linear.
Se 1 < p < 2 , a convergência diz-se supralinear.
Se p = 2 , a convergência diz-se quadrática
1
Quanto maior for a ordem de convergência, mais rápida è, em geral, a velocidade
de convergência do processo. A constante de erro assimptótico, normalmente, só é
452
considerada quando se comparam processos iterativos com a mesma ordem de
convergência. Aqui, quanto menor for a constante de erro assimptótico mais rápida
0011é a convergência do processo.
0010

16. •
É impraticável realizar um número infinito de iterações; é
necessário parar num determinado termo x k .
Dizemos que o valor de xk é raíz aproximada com precisão ε se:
(i) | x k − r |< ε
(ii) | f ( xk ) |< ε
Nem sempre é possível ter as duas condições satisfeitas
simultaneamente:
y | xk − r |> ε | xk − r |< ε
y
| f ( xk ) |< ε | f ( xk ) |> ε
r xk x
xk r 1
452
x
0011 0010

17. Como não conhecemos o valor da raíz r para aplicar o teste
xk − r < ε , usamos frequentemente a estimativa xk − xk −1 < ε
do erro absoluto para o critério de paragem.
Critérios de paragem alternativos:
• xk − xk −1 < ε
xk − xk −1
• <ε
xk
• f (xk ) < ε
1
0011 0010
• Impondo um número máximo de iterações 452

18. 2. Método da bissecção
1
0011 0010
452

19. Condições para aplicação:
A função deve ser contínua no intervalo [a, b], onde
contém uma única raíz.
O objectivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo
inicial que contém a raiz até que seu comprimento seja
menor que a precisão desejada, usando para isso sucessivas
divisões a meio do intervalo [a, b].
1
0011 0010
452

20. 2.1 – Interpretação Geométrica
y
a0
1 a2
x1 x2 r x0
a3 b2
3
1 b0 x
Iteração 3:
Iteração 2:
Iteração 1:
xx2= (a02+ bb2)
0 = (a + 0) a3 = x2
1 a0
1 1
2
1
⇒
2 1
b1 = x0
2 b1 1
0011 0010
ff (x1) < 0
(x2 ) > 0
0
3 2
r ∈ [a1 , b1]
3
2 3
2
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21. 2.2 Algoritmo do método da bissecção
Seja f contínua em [a, b] , com uma única raíz neste intervalo.
1. Dados iniciais:
- intervalo inicial [a, b]
- precisão ε
2. Se a − b < ε , então escolha para r qualquer x∈[a, b]. FIM
3. k = 0
4. xk =
a+b
2
5. Se f (a) f ( xk ) > 0 , faça a = xk . Vá para o passo 7
6. b = xk
7. Se a − b < ε , escolha para r qualquer x∈[a, b].
1
FIM
0011 0010
8. k = k +1. Volte ao passo 4
452

22. 2.3 Estimativa do número de iterações
Dada uma precisão ε e um intervalo [a, b], vamos determinar quantas
iterações, no mínimo, terão que ser efectuadas pelo método da bissecção
para que xk − r < ε .
a0 x0 b0
a1 x1 b1 b0 − a 0
x 0 − r ≤ b1 − a1 =
2
a2 x2 b2 b1 − a1 b0 − a0
x1 − r ≤ b2 − a 2 = =
2 22
a3 b3 b2 − a2 b0 − a0
x2 − r ≤ b3 − a3 = =
2
1 23
0011 0010
M
a k +1 b k + 1
M
xk − r ≤ bk +1 − ak +1 =
2 452
bk − ak b0 − a0
= k +1
2

23. Vamos determinar o menor inteiro k tal que xk − r < ε :
Sabemos que
b0 − a0
xk − r ≤ k +1
2
Então
b0 − a0 k +1 b0 − a0
k +1
<ε ⇒ 2 >
2 ε
 b0 − a0 
⇒ (k + 1) log 2 > log 
 ε 
⇒k >
log(b0 − a0 ) − log ε
− 1, k ∈ Ζ . 1
0011 0010
log 2
452

24. 2.4 Convergência do método da bissecção
A convergência do método da bissecção é quase linear:
xk +1 − r 1
lim ≈
k →∞ xk − r 2
1
0011 0010
452

25. 3. Método da corda falsa
1
0011 0010
452

26. Condições para aplicação:
A função f deve ser contínua no intervalo [a, b], onde contém uma única raíz r.
No método da corda falsa, a função f é substituída pela recta l que passa pelos
pontos (a, f (a )) e (b, f (b )) .
É muito semelhante ao método da bissecção, só que em vez de determinar o ponto
médio do intervalo [a, b] é determinado um ponto c
tal que
f (b)(b − a )
c =b−
f (b) − f (a)
que é a abcissa do ponto de intersecção da recta l com o eixo dos x .
1
O intervalo [a, b] é então substituído pelo intervalo limitado por c e pelo extremo a
452
ou b , em que a função tem sinal contrário a f (c ). O processo repete-se agora para
este novo intervalo (que contém a raiz) e assim sucessivamente até atingir a
0011 0010
precisão desejada.

27. 3.1 Interpretação geométrica
y
•
l0
•
• l1
a x1 x0 b x
•
1
0011 0010
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28. 3.2 Algoritmo do método da corda falsa
Seja f contínua em [a, b], com uma única raíz neste intervalo.
1. Dados iniciais:
- intervalo inicial [a, b]
- precisões ε 1 , ε 2
2. k = 0
b−a
xk = b − f (b )
3. f (b ) − f (a )
4. Se | f ( x k ) |< ε 1 , faça r = xk. FIM
5. Se f (a) f ( x k ) > 0, faça a = x k . Vá para o passo 7
6. b = xk
1
0011 0010
7. Se b − a < ε 2 , faça r = x k . FIM
8. k = k +1. Volte ao passo 3 452

29. 3.3 Majorante para o erro absoluto de uma estimativa
e a ( x k ) = x k − r ≤ max {x k − a k , b k − x k }.
3.4 Ordem de convergência do método da corda falsa
xk − r
lim =c
k →∞ xk −1 − r
f ' (r )
onde c = 1− >0
f ' (ε )
com ε ∈ (a, b ) e f ' (r ) < f ' (ε ), pelo que a convergência do
método da corda falsa é linear. 1
0011 0010
452

30. 4. Método de ewton Raphson
1
0011 0010
452

31. 4.1 Abordagem analítica
Seja f uma função com derivadas contínuas até à segunda ordem no
intervalo [a, b] , f (a ) f (b ) < 0 e f ' (x ) ≠ 0 para todo x ∈ (a,b ).
Seja r a única raíz da equação f (x) = 0 nesse intervalo.
Pela fórmula de Taylor, se x0 ∈ [a,b],
,b
f ' ' (ξ )
f (r ) = f ( x 0 ) + (r − x 0 ) f ' (x 0 ) + (r − x 0 )
2
2!
para algum ξ entre r e x 0 .
1
0011 0010
452

32. Como f (r ) = 0 e f ' (x0 ) ≠ 0 ,
f (x 0 ) f ' ' (ξ )
r = x0 − + (r − x 0 )
2
f ' (x 0 ) 2 f ' (x 0 )
Se r está próximo de x0 , o termo
f ' ' (ξ )
(r − x0 )
2
2 f ' (x 0 )
é pequeno em valor absoluto e podemos escrever
f (x 0 )
r ≈ x0 − .
f ' (x 0 )
1
0011 0010
452

33. Deste modo
f (x 0 )
x1 = x 0 −
f ' (x 0 )
é uma estimativa para a raíz r.
Pondo f ( x1 )
x2 = x1 −
f ' ( x1 )
temos outra estimativa para a raíz r.
Este procedimento pode repetir-se e obtemos assim uma
sucessão
x 0 , x 1 , x 2 ,... 1
de
0011 0010 valores aproximados da raíz r. 452

34. A partir de uma aproximação inicial x0 gera-se uma sucessão
x 0 , x 1 , x 2 ,...
de aproximações sucessivas da raíz r através do processo
iterativo dado por
f ( x k −1 )
x k = x k −1 − , k = 1, 2 ,...
f ' ( x k −1 )
1
0011 0010
452

35. 4.2 Interpretação Geométrica
Dado o ponto ( xi , f ( xi )), traçamos a recta Li, tangente à curva
nesse ponto, dada por Li ( x) = f ( xi ) + f ' ( xi )( x − xi ) e a abcissa do
ponto de intersecção desta recta com o eixo dos x dá-nos uma
f
aproximacão xi +1 da raíz.
L1
y
•
•
L0
x0 r x2 x1 x
•
1
0011 0010
452

36. 4.3 Algoritmo do M R
Consideremos a equação f(x)=0.
1. Dados iniciais:
- aproximação inicial x0
- precisões ε 1 , ε 2
2. Se | f ( x0 ) |< ε 1, façar = x0 . FIM
3. k = 1
f (x k −1 )
(x
4. x k = x k −1 −
f ' ( x k −1 )
5. Se | f ( x k ) |< ε 1 
 faça r = x k . FIM
ou se | x k − x k −1 |< ε 2 
6. k = k + 1. Volte ao passo 4
1
0011 0010
452

37. 4.4 Estudo da Convergência do M R
Teorema. Seja f uma função que verifica as condições:
(i) f tem derivadas contínuas até à segunda ordem num
intervalo [a,b] ;
(ii) f (a ) f (b ) < 0 ;
(iii) f ' ( x ) ≠ 0 para todo x ∈[a, b] ;
(iv) f ' ' não muda de sinal no intervalo [a,b] ;
(v) f (x0 ) f ' ' ( x0 ) > 0 para algum x 0 ∈ [a , b ]
Então a sucessão x 0 , x 1 , x 2 ,...
gerada pelo MNR, converge para a única raíz de f (x ) = 0
1
em [a, b] .
0011 0010
452

38. Teorema. Seja f uma função que verifica as condições:
(i) f tem derivadas contínuas até à segunda ordem num
intervalo [a,b] ;
(ii) f (a ) f (b ) < 0 ;
(iii) f ' ( x ) ≠ 0 para todo x ∈[a, b] ;
(iv) f ' ' não muda de sinal no intervalo x ∈ [a,b] ;
f (a ) f (b )
(v) f ' (a ) ≤b−a e ≤ b − a.
f ' (b )
Então a sucessão gerada pelo MNR, converge para a única
raíz de f ( x ) = 0 em [a, b] , para qualquer valor inicial
x 0 ∈ [a, b] .
1
0011 0010
452

39. Ordem de convergência do M R
xk − r
lim 2
= c>0
k →∞
xk -1 − r
Assim, para k suficientemente grande,
2
xk − r ≈ c x k −1 − r
O erro da iteração do MNR é proporcional ao quadrado do erro
da iteração anterior. Por isso, a convergência é quadrática.
1
0011 0010
452

40. 5. Método da secante
1
0011 0010
452

41. A desvantagem que o método de Newton-Raphson apresenta
ao ser necessário calcular a derivada da função (em certos
problemas pode consumir muito tempo computacional) pode
ser contornada pelo método da secante.
No método da secante, a derivada é substituída por:
f ( xk −1 ) − f ( xk − 2 )
f ' ( xk −1 ) ≈ .
xk −1 − xk − 2
Consequentemente, substituindo na fórmula iterativa do
método de Newton-Raphson, obtemos a fórmula iterativa do
método da secante:
f ( xk −1 )( xk −1 − xk − 2 )
xk = xk −1 − , k = 2,3,...
f ( xk −1 ) − f ( xk − 2 )
1
0011 0010
452

42. Esta transformação faz com que seja necessário mais uma
aproximação inicial para aproximar a primeira derivada.
Os critérios de convergência são os mesmos do método de Newton-
Raphson, à excepção da última condição que pode ser adaptada para
a escolha de duas estimativas iniciais:
f (a ) f (b )
Se ≤b−a e ≤ b − a,
f ' (a ) f ' (b )
então quaisquer x0 , x1 ∈ [a, b] podem ser utilizados para iniciar o
método.
Por outro lado, se existirem x0 , x1 ∈ [a, b] tais que
1
f ( x0 ) f ' ' ( x0 ) > 0 e f ( x1 ) f ' ' ( x1 ) > 0, então esses valores podem ser
estimativas iniciais.
0011 0010
452

43. A ordem de convergência do método da secante é
1+ 5
p = ≈ 1 . 618 .
2
1
0011 0010
452

44. Interpretação geométrica
y
f
r xk xk − 2 xk −1 x
•
•
A partir de duas aproximações xk−2 , xk−1 , a aproximação xk
é obtida como sendo a abcissa do ponto de intersecção
1
452
do eixo dos x e da recta que passa pelos pontos (xk−1, f (xk−1)) , (xk−2, f (xk−2 )).
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