Leonardo de Pisa introdujo el sistema de numeración hindu-arábigo en Europa en su libro Liber Abaci. Investigó la serie de Fibonacci para modelar el crecimiento de la población de conejos, donde cada número es la suma de los dos anteriores. Los números de Fibonacci se encuentran comúnmente en la naturaleza, como en la distribución de pétalos, semillas y en el ángulo de giro de las plantas.

2. LEONARDO DE PISA
• Leonardo nació en Pisa en 1170.
• Pisa era una importante ciudad comercial en la época y tenía
enlaces con numerosos importantes puertos del
Mediterráneo.
• Su padre era un oficial de aduanas en Argelia. Por tanto,
Leonardo creció en el norte de África con una educación
árabe y además luego viajó mucho por la costa
mediterránea..
• Conoció a muchos comerciantes de los que aprendió
aritmética (especialmente sistemas de numeración).
• Pronto se dio cuenta de las ventajas del sistema “hindu-
arábigo” sobre todos los demás.

3. Liber abaci
 En LIBER ABACI, Leonardo introdujo el sistema de
numeración hindu-arábigo en Europa -el sistema
posicional que usamos hoy en día- basado en 10
dígitos con la coma decimal y un símbolo para el
cero: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
 El libro describe las reglas que aprendemos en los
colegios para sumar, restar, multiplicar y dividir,
junto con muchos problemas.

4. Los conejos de Fibonacci
• El problema original que Fibonacci investigó (en 1202) era
sobre la velocidad a la que se reproducirían los conejos en
circunstancias ideales.
• Supongamos que una pareja de conejos recién nacidos, un
macho y una hembra se sueltan en un campo. Los conejos se
pueden reproducir al mes de vida, por tanto, al final del
segundo mes, una hembra puede engendrar otra pareja de
conejos. Supongamos que nuestros conejos nunca mueren, y
que la hembra siempre produce otro nuevo par de conejos
(uno macho y otro hembra) cada mes desde el segundo mes.
• ¿Cuántas parejas habrá al cabo de un año?

5. • Al final del primer mes, solo hay
una pareja.
• Al final del segundo mes, la
henbra da a luz a un nuevo par
de conejos, por tanto ahora hay
2 pares de conejos en el campo.
• Al final del tercer mes, la pareja
original produce un segundo
par de conejos. Por tanto, hay 3
pares en el campo.
• Al final del cuarto mes, la pareja
original produce otro par de
conejos. Igualmente la pareja
que nació hace dos meses,
produce otro par de conejos.
Por tanto, hay cinco pares de
conejos.

6. • El número de parejas de
conejos en el campo al
comienzo de cada mes
es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
34, ...
• Por tanto, la respuesta
era 377 parejas

7. Las abejas y sus árboles de familia
• Las abejas viven en colonias en
colmenas y sus árboles de familia son
bastante inusuales.
En las colonias de abejas hay una
hembra especial llamada reina.
Hay muchas otras abejas
trabajadoras que también son
hembras, pero al contrario de la
reina, no producen huevos. Hay
algunos zánganos que son machos y
no trabajan.
• Los huevos no fertilizados de la reina
producen machos, por tanto, ¡las
abejas macho tienen madre pero no
tienen padre!
Todas las hembras se producen
cuando la reina se junta con un
macho por tanto, tienen dos padres.
• Por tanto, las abejas
hembra tienen 2
progenitores, una hembra y
un macho, mientras que las
abejas macho solo tienen
un progenitor, una hembra.

8. Árbol familiar de un zángano
Tiene 1 progenitor, una hembra.
Tiene 2 abuelos, pues su madre tuvo dos padres, una hembra y un
macho.
Tiene 3 bisabuelos: su abuela tuvo dos progenitores pero su abuelo
solo tuvo uno.
¿Cuántos tatarabuelos tiene?

9. La serie de Fibonacci
• Una serie donde cada número es la suma de
los dos anteriores se llama serie de Fibonacci.
Matemáticamente,
F(i+2) = F(i+1) + F(i)
La primera y más fácil de estas series sería:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 …

10. Los números de Fibonacci y el Número
de Oro
•Si calculamos la razón de dos
números consecutivos en la serie
de Fibonacci, obtendremos la
siguiente serie de números:
1/1=1
2/1=2
3/2=1,5
5/3=1,666666
8/5=1,6
13/8=1,625
21/13=1,615385
32/21=1,619048
55/34=1,617647
89/55=1,618182
1n
n
F
F
+
→Φ

11. Más acerca de las razones de números
de Fibonacci
• ¿Qué ocurre si calculamos la razón de números
Fibonacci, pero en vez de números consecutivos,
tomamos uno cada dos, es decir F(n)/F(n-2)?
22n
n
F
F
+
→Φ
• ¿Y si tomamos uno de cada tres números, es decir
F(n)/F(n-3)? 33n
n
F
F
+
→Φ

12. Otra relación
• es un número algebraico. Es la solución de
Por tanto,
Y si seguimos,
Φ
2
1 0x x− − =
2 2
1 0 1Φ − Φ − = ⇒ Φ = Φ +
( ) ( )
3 2
4 3 2
5
6
1 2 1
2 1 1 3 2
5 3
8 5
Φ = Φ + Φ = Φ + + Φ = Φ +
Φ = Φ + Φ = Φ + Φ + = Φ +
Φ = Φ +
Φ = Φ +

13. Otras relaciones numéricas
 Si sumamos cualesquiera diez números consecutivos
de Fibonacci, el resultado siempre es divisible por 11.
55+89+144+233+377+610+987+1597+2584+4181=10857
(10857/11=987)
 La diferencia entre el cuadrado de cada número de
Fibonacci y el producto del número anterior y
posterior es 1.
2
5 25
3 8 24
=
⋅ =

14. Ejemplos en la naturaleza
Los números de Fibonacci están en
las plantas

15. Pétalos y flores
Cuenta los
pétalos de estas
flores y te
sorprenderás

16. La flor de la pasión
La flor de la pasión tiene, vista por
abajo, 3 pétalos que protegen el
capullo, luego 5 pétalos verdes más
exteriores seguidos por una capa de 5
pétalos verdes más pálidos.
Vista desde arriba, tiene dos conjuntos
de 5 pétalos verdes exteriores. Siguen
una gran variedad de estambres
morados y blancos con 5 estambres
verdosos con forma de T en el centro
y, también en el centro, por encima
hay 3 carpelos marrón oscuro.

17. Semillas en el capullo
• Los números de Fibonacci
también se pueden ver en la
distribución de las semillas en
algunas flores.
• La razón parece ser que estas
formas de distribución son una
forma óptima para el “embalaje”
de las semillas, de tal forma, que
independientemente del tamaño
del capullo, las semillas están
distribuidas de forma uniforme,
no aglomerándose en el centro y
no siendo escasas en los
laterales.

18. Piñas
Los números 8 y 13 son números de Fibonacci

19. Ángulo de giro óptimo de las plantas
• El ángulo de Goodwin
222.49 es el óptimo
360º
1,618.... el número de oro!!!
222.49º
= ⇒