1. Geofísica-Computación Científica
Sistemas de Coodenadas
y Transformaciones
Josué Diaz Avalos
http://www.ccunmsm.blogspot.com/
Curso Electivo de Geofísica de la EAP de Computación Científica
Dictado por el Astrónomo Hugo Trigoso A.
UNMSM, Lima, Perú
Los sistemas de coordenadas de la Astronomía nos permiten algo esencial: desde
observar objetos cuya posición conocemos previamente, a deducir la posición
aproximada de un objeto que estamos observando, para identificarlo. Conociendo
las coordenadas de un astro podemos localizarlo en el cielo, ya sea directamente
mediante los círculos graduados de nuestro telescopio (en el caso de que disponga de
ellos) o indirectamente mediante cartas celestes. Presentamos una breve descripción
de los sistemas de coordenadas astronómicos, y las transformaciones entre ellas.
Introducción
Para localizar un objeto celeste no necesitamos saber a qué distancia se encuentra, sino
únicamente conocer la dirección hacia la que hemos de mirar (u orientar nuestro telescopio).
Por este motivo se introduce el concepto de esfera celeste, que es una esfera imaginaria de radio
arbitrario centrada en el observador, sobre la cual se proyectan los cuerpos celestes. Nosotros
queremos orientar nuestro telescopio en la dirección dada por la proyección, sobre la esfera
celeste, del astro que deseamos observar. Las posiciones de los puntos, en particular de los astros,
en la esfera celeste se determinan por las coordenadas esféricas. Los sistemas de coordenadas
más usados son cuatro. En cada uno de ellos la posición de un punto se determinan por dos
coordenadas, una de las cuales da la distancia angular de este punto al plano de cierto círculo
fundamental (análogamente a la latitud geográfica), en tanto que la otra cuenta a lo largo de
este círculo fundamental a partir de un punto determinado del mismo(de manera análoga a la
longitud geográfica).Pasaremos a continuación a examinar con detalle cada uno de estos sistemas.
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2. Geofísica-Computación Científica
Sistema de Coordenadas Horizontales
Las coordenadas horizontales tienen como plano de referencia el horizonte matemático del
observador. Tales coordenadas permiten ubicar la posición aparente de un astro para un
observador cualquiera situado a una latitud y longitud dadas para un instante de tiempo
especifico.
Las coordenadas son
A = azimut (o acimut), h = altura.
El azimut A de un astro es el ángulo contado sobre el horizonte que comienza a medirse desde el
punto cardinal sur en dirección de las agujas del reloj hasta la vertical del astro correspondiente.
El azimut tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo:
La altura h de un astro es el ángulo contado sobre la vertical del astro que comienza a medirse
desde el horizonte hasta el astro correspondiente.
Tenemos que el signo de la altura h de un astro relativo a un observador constituye un criterio
de visibilidad del mismo. Si el astro está por encima del horizonte (visible para el observador)
tendremos h>0; pero si está por debajo del horizonte (invisible para el observador) obtenemos
h<0.
La altura tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo:
El complemento de la altura es llamado distancia cenital, denotado por z, de tal forma que:
Es importante recalcar el hecho de que a causa del movimiento diurno las coordenadas
horizontales de un astro están cambiando permanentemente por lo que es necesario especificar
el tiempo de la observación con la mayor exactitud. De igual forma, para el mismo instante de
tiempo, las coordenadas horizontales de dos observadores con distintas latitudes y/o longitudes
difieren también.
Por lo tanto, altura h(o el cenit z) y el acimut A dependen de la latitud del lugar y del momento de
observación.
Nota: En geodesia el acimut se cuenta a partir del punto del norte N.
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3. Geofísica-Computación Científica
En este gráfico representamos el sistema de coordenadas horizontales (A,h). En este caso se mi
de el acimut desde el sur del observador; por convención también se comienza a medir desde el
norte, pero en ambos casos en sentido del movimiento de las agujas del reloj.
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4. Geofísica-Computación Científica
Sistema de Coordenadas Ecuatoriales
Las coordenadas ecuatoriales horarias tienen como plano de referencia el ecuador celeste.
Las coordenadas son:
=declinación
=ascensión recta
La declinación se cuenta desde el ecuador hasta el punto dado por el semicírculo mayor que pasa
por el polo celeste (polo del mundo) y dicho punto (por el circúlo de declinación). En el hemisferio
boreal la declinación es positiva, en el austral negativa.
Nótese que:
La ascensión recta se mide a partir del punto vernal en el hemisferio boreal en el sentido
antihorario a lo largo del ecuador hasta su intersección con el círculo de declinación que pasa por
el punto dado. Generalmente, se expresa en medida horaria partiendo de que 24h=360o; 1h=15o;
1min=15’; 1s=15’’; 1o=4min.
La ascensión recta tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo:
En el sistema ecuatorial de coordenadas ( y ) la posición del astro no depende de la rotación
diaria de la esfera celeste ni del lugar de observación.
Las coordenadas ecuatoriales son absolutas, esto es, son válidas para cualquier observador
independiente de su latitud y longitud geográfica. Por tal razón, los almanaques astronómicos
expresan la posición de las estrellas, planetas, Luna, Sol y otros cuerpos celestes en términos de
las coordenadas ecuatoriales.
Nota
Consideraremos un segundo sistema ecuatorial ( , ) donde es la misma que en el primer
sistema y t es el ángulo contado sobre el ecuador celeste que comienza a medirse desde el
meridiano del observador en dirección hacia el oeste (occidente) hasta el círculo de declinación
del astro correspondiente.
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5. Geofísica-Computación Científica
En resumen, consideramos dos casos en el sistema de coordenadas ecuatoriales. Para ambos la
declinación es la misma.
El primero, , que es la ascensión recta se mide a partir del punto vernal(punto de aries), en
sentido antihorario.
En el segundo, t, es el ángulo horario medido desde el punto de intersección del ecuador con el
meridiano del observador, en el sentido de las agujas del reloj.
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6. Geofísica-Computación Científica
Transformaciones
Para encontrar relaciones entre los distintos tipos de coordenadas necesitamos de los conceptos de
trigonometría esferica.
El caso clásico de transformación entre coordenadas celestes es el paso entre las horizontales a
ecuatoriales horarias o viceversa.
Considérese la figura en donde están representadas las coordenadas horizontales (A,h) y las
ecuatoriales (H, ) (segundo sistema) de un astro cualquiera. Concentremos nuestra atención en el
triángulo esferico resaltado en la figura.
Es evidente que tenemos los siguientes valores como lados y ángulos de dicho triángulo:
Lados Ángulos
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7. Geofísica-Computación Científica
Por el teorema de senos:
De aqui:
Del teorema del coseno:
se obtiene:
Aplicando el teorema del coseno con otro de los lados:
que se convierte en :
Estas ecuaciones son suficientes para pasar del sistema horizontal al ecuatorial o viceversa.
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8. Geofísica-Computación Científica
De horizontales a ecuatoriales : Conocidos , y determinar y .
NOTA: En el cálculo de se ha de tener mucho cuidado con el verdadero cuadrante en el que
está situado el astro. Puesto que va de 0 a 360 grados al tomar las funciones inversas de los
valores entre paréntesis de la ecuacion anterior las calculadoras y computadoras sólo muestran
uno de los dos valores que satisfacen la ecuación. Una manera inmediata de determinar el
correcto cuadrante de H es utilizando la siguiente regla, donde H es el valor calculado con la
fórmula del coseno inverso :
Si entonces
Si entonces
De ecuatoriales a horizontales : Conocidos , y determinar y .
Antes de comenzar a reemplazar en las fórmulas se ha de tener cuidado en convertir el angulo
horario (que usualmente viene en unidades de tiempo) en unidades de grados.
NOTA: Al igual que en el cálculo de para determinar se ha de tener cuidado con el
verdadero cuadrante en el que está situado el astro. Como antes, una manera segura de
determinar el correcto cuadrante de A es utilizando la siguiente regla, donde A es el valor
calculado con la fórmula del coseno inverso:
Si entonces
Si entonces
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9. Geofísica-Computación Científica
Cuestionario
(resuelto)
1.-¿En qué punto del cielo la declinación es igual a -90º?
Rpta.- En el polo sur celeste.
2.-La estrella polar dista del polo(norte) celeste 58’. ¿Cuál es su declinación?
Rpta.- La declinación sería 90º-58’=89º 2’, es decir, muy cerca del polo norte.
3.-¿A qué son iguales los acimuts de los puntos norte, sur, este y oeste?
Rpta.- Si medimos el acimut(A) desde el punto norte : norte=0º, sur=180º, este=90º, oeste=270º.
4.-¿A qué es igual la declinación del punto cenital a la latitud geográfica de 42º?
Rpta.-El cenit tiene una declinación de 42º.
5.-¿Cuáles son la ascensión recta ( ) y la declinación( ) del punto vernal ?
Rpta.- Como la ascensión recta se comienza a medir desde el punto vernal, entonces la ascensión recta
del punto vernal es 0º; como el punto vernal se encuentra en el círculo ecuatorial, tiene declinación 0º.
6.-Determinar la distancia cenital del Sol cuando la longitud de la sombra de un objeto es igual a su altura.
Rpta.- La distacia cenital sería z=45º.
7.-La declinación de un astro es de 30º, la ascensión recta es igual a 7 horas. ¿en que constelacion se encuentra?
Rpta.- En la constelación de géminis aproximadamente.
(http://www.google.com/intl/es_es/sky/)
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10. Geofísica-Computación Científica
Dia Juliano
Apéndice
El día juliano es una forma de referirse al tiempo basándose en un origen temporal
situado a las doce del mediodía del 1 de enero del año 4713 antes de Cristo, sobre
el meridiano de Greenwich. A lo largo de la historia cada cultura ha elaborado sus
calendarios locales, los cuales han sufrido (o sufren periódicamente) modificaciones
para corregir las derivas acumuladas. Estos avatares de los calendarios pueden dar
lugar a ambigüedades. El día juliano, o por extensión, la fecha juliana establece una
forma de operar con fechas sin ambigüedades independientemente del momento
histórico y del calendario local. Su creador, Scaliger, lo llamó juliano en referencia
al calendario juliano (este último en honor a Julio César, promotor del cambio de un
calendario lunar al primer calendario solar de Roma) aunque algunas referencias
mencionen que lo hizo en honor a su padre, que así se llamaba.
Calculando el día Juliano
Por sencillez vamos a considerar que tenemos una fecha dada en años(A), meses(M) y días(D).
Horas, minutos y segundos los tendremos en cuenta como fracciones de día.
#Código en Python usando Sagemath
A=1989 #año
M=1 #mes
D=26 #día
if (M<=2):
A=A-1
M=M+12
x = int(A / 100 )
y = 2 - x + int( x / 4 )
JD = int(365.25*(A + 4716) ) + int(30.6001*(M + 1)) + D + y-1524.5
print 'Día Juliano :', JD
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