1. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris
Tutor Presencial Juan José Navas Díaz Curso 2012-2013
Ejercicios Propuestos:
1. Se conecta un bloque de masa m a un muelle cuyo otro extremo se mantiene fijo. Existe también un
mecanismo de amortiguamiento viscoso. Sobre este sistema se han realizado las siguientes
observaciones:
1. Si se empuja horizontalmente el bloque con una fuerza igual a m, la compresión estática del
muelle es igual a h.
2. La fuerza resistente viscosa es igual a mg si el bloque se mueve con una cierta velocidad
conocida u.
a) Para este sistema completo (en el que se incluye tanto el muelle como el amortiguador) escribir
la ecuación diferencial que rige las oscilaciones horizontales de la masa en función de m, g, h y
u.
Respondera las siguientes cuestiones en el caso de que ghu 3 :
b) ¿Cuál es la frecuencia angular de las oscilaciones amortiguadas?
c) ¿Qué tiempo a de transcurrir, expresado en forma de un múltiplo de gh , para que la energía
descienda en un factor 1/e?
d) ¿Cuál es el valor Q de este oscilador?
e) Este oscilador, inicialmente en su posición de reposo, se pone en movimiento repentinamente
cuando t=0 mediante un proyectil de masa despreciable, pero cantidad de movimiento no nula,
que se mueve en sentido positivo de las x. Hallar el valor de ángulo de fase δ en la ecuación.
2. Imaginemos un sismógrafo sencillo compuesto por una masa M colgada mediante un muelle de un
montaje rígido sujeto a la Tierra, tal como se indica. La fuerza el muelle y la fuerza amortiguadora
dependen del desplazamiento y de la velocidad relativa de la masa respecto a la superficie de la
Tierra, pero la aceleración que tiene significado dinámico es la aceleración de M relativa a las
estrellas fijas.
a) Utilizando y para denomina el desplazamiento de M respecto a la tierra y η para designar el
desplazamiento de la propia tierra, demostrar que la ecuación del movimiento es:
2
2
2
02
2
dt
d
y
dt
dy
dt
yd
b) Hallar el valor de y (vibración de estado estacionario) si 𝜂 = 𝐶 cos 𝜔𝑡.
c) Dibujar un esquema de la amplitud del desplazamiento y en función de ω, suponiendo de C es
el mismo para todos los valores de ω.
d) Un sismógrafo típico de período largo tiene un período de unos 30 s y una Q de 2,
aproximadamente. Como resultado de un terremoto violento la superficie de la Tierra puede
oscilar con un período de unos 20 minutos y con una amplitud tal que la aceleración máxima
sea aproximadamente de 10-9 m/s2. ¿Cuál será el menor valor de A que sea observable si ha de
ser detectado porel sismógrafo?
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3. Consideremos un sistema con una fuerza amortiguadora que sufre unas oscilaciones forzadas con
frecuencia angular ω.
a) ¿Cuál es la energía cinética instantánea del sistema?
b) ¿Cuál es la energía potencial instantánea del sistema?
c) ¿Cuál es el cociente entre la energía cinética media y la energía potencial media? Expresar la
respuesta en función del cociente 0 .
d) ¿Para qué valor o valores de ω son iguales la energía cinética media y la energía potencial
media? ¿Cuál es la energía total del sistema en estas condiciones?
e) ¿Cómo varía la energía total del sistema con el tiempo para un valor arbitrario de ω? ¿Para qué
valor o valores de ω es constante la energía total en el tiempo?
4. La figura muestra la potencia media de entrada P en función de la frecuencia impulsora en el caso
de una masa situada sobre un muelle con amortiguación tFF sin0 . La Q es suficientemente
elevada para que la potencia media de entrada, que es máxima para ω0, disminuya hasta la mitad del
máximo para las frecuencias 0,98ω0 y 1,02ω0.
a) ¿Cuál es el valor numérico de Q?
b) Si se suprime la fuerza impulsora, la energía disminuye de acuerdo con la ecuación:
t
eEE
0
¿Cuál es el valor de γ?
c) Si se elimina la fuerza impulsora ¿Qué fracción de energías se pierde en cada ciclo?
d) Se construye un sistema nuevo en el que se duplica la constante del muelle, pero se mantiene
sin variar la masa y el medio viscoso, y se aplica la misma fuerza impulsora 𝐹 = 𝐹0 sin 𝜔𝑡. En
función de las magnitudes correspondientes delsistema original hallad los siguientes valores:
i. La nueva frecuencia de resonancia ω’0.
ii. El nuevo factor de calidad Q.
iii. La potencia de entrada media máxima
'
mP .
iv. La energía total del sistema en la resonancia, '
0E .
5. En el caso del sistema eléctrico de la figura, hallar.
a) La frecuencia de resonancia, ω0.
b) La anchura de resonancia, γ0.
c) La potencia absorbida en la resonancia.
6. En el gráfico se indica la potencia media absorbida por un oscilador cuando se ve impulsada por una
fuerza de valor constante,y frecuencia angular variable ω.
a) En la resonancia justa. ¿Cuánto trabajo por ciclo se efectúa contra la fuerza resistente?
2T .
b) En la resonancia justa. ¿Cuál es la energía mecánica total E0 del oscilador?
c) Si se elimina la fuerza impulsora. ¿Cuántos segundos transcurren antes de que la energía
disminuya a un valor eEE 0 ?
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Soluciones:
1. Se conecta un bloque de masa m a un muelle cuyo otro extremo se mantiene fijo. Existe también un
mecanismo de amortiguamiento viscoso. Sobre este sistema se han realizado las siguientes
observaciones:
1. Si se empuja horizontalmente el bloque con una fuerza igual a m, la compresión estática del
muelle es igual a h.
2. La fuerza resistente viscosa es igual a mg si el bloque se mueve con una cierta velocidad
conocida u.
a) Para este sistema completo (en el que se incluye tanto el muelle como el amortiguador) escribir
la ecuación diferencial que rige las oscilaciones horizontales de la masa en función de m, g, h y
u.
Solución:
Se parte, como siempre de la ecuación dinámica del sistema, es decir de la 2ª ley de Newton:
0
0
2
2
kx
dt
dx
dt
xd
m
vkxma
mavkxF
Y ahora hay que adaptar esta solución general a este caso particular:
Con la observación 1 nos indican el valor de la constante elástica del muelle, dado que nos
dicen el punto de equilibrio para una masa dada:
h
mg
kkhmgF 0
Con la observación 2 nos dan la viscosidad del amortiguador:
u
mg
umgF 0
Por tanto la ecuación diferencial quedará:
0
11
00 2
2
2
2
2
2
h
x
dt
dx
udt
xd
g
x
h
g
dt
dx
u
g
dt
xd
x
h
mg
dt
dx
u
mg
dt
xd
m
Respondera las siguientes cuestiones en el caso de que ghu 3 :
b) ¿Cuál es la frecuencia angular de las oscilaciones amortiguadas?
La frecuencia la podemos calcular de dos formas diferentes:
1. Mediante la ecuación diferencial.
2. Mediante las fórmulas que vimos en la última clase.
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Ambos métodos son equivalentes, pero a partir de la ecuación diferencial, aunque es más lento
nos da más información sobre el sistema.
h
g
h
g
u
g
u
g
h
g
u
g
u
g
q
gh
g
u
g
u
g
q
g
gh
g
u
g
uq
h
x
q
u
q
gh
x
dt
dx
udt
xd
g
0
2222
22
2
2
2
2
2
2
224
4
22
2
1
4
2
1
2
1
0
11
0
11
Así ya tenemos los parámetros fundamentales de estas oscilaciones.Si ghu 3 :
h
g
i
h
h
h
gg
h
g
h
g
h
g
gh
g
h
g
u
g
36
35
36
35
36
36
36942
22
Por lo tanto:
h
g
36
35
c) ¿Qué tiempo a de transcurrir, expresado en forma de un múltiplo de gh3 , para que la
energía descienda en un factor 1/e?
Si recordamos la ecuación de movimiento de un oscilador armónico amortiguado:
tAex t
sin
Entonces si despreciamos los términos dependientes de la parte angular:
g
h
g
gh
g
gh
g
u
ug
tt
eee
e
e
ee
ke
ke
E
E
keE
keE
kekxE
t
t
t
tt
t
tt
tt
t
t
33
3
22
1
2
1
12
111
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
22
2
2
02
2
0
22
0
0
0
0
0
0
5. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris
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d) ¿Cuál es el valor Q de este oscilador?
De la energética del oscilador forzado, obtenemos que
2
0
Q y por tanto, si imponemos las
condiciones de este sistema:
h
g
h
g
h
g
h
g
h
g
g
gh
h
g
g
gh
h
g
g
u
u
g
h
g
Q 3333
3
2
2
2
2
2
0
e) Este oscilador, inicialmente en su posición de reposo, se pone en movimiento repentinamente
cuando t=0 mediante un proyectil de masa despreciable, pero cantidad de movimiento no nula,
que se mueve en sentido positivo de las x. Hallar el valor de ángulo de fase δ en la ecuación.
De la solución del oscilador forzado obtenemos que:
00
02
tan 2
0
22
0
Lo que era de esperar porque este es un oscilador libre, ya que la partícula que le golpea no
impone una oscilación continua, sino que sólo le da un impulso inicial.
2. Imaginemos un sismógrafo sencillo compuesto por una masa M colgada mediante un muelle de un
montaje rígido sujeto a la Tierra, tal como se indica. La fuerza el muelle y la fuerza amortiguadora
dependen del desplazamiento y de la velocidad relativa de la masa respecto a la superficie de la
Tierra, pero la aceleración que tiene significado dinámico es la aceleración de M relativa a las
estrellas fijas.
a) Utilizando y para denominar el desplazamiento de M respecto a la tierra y η para designar el
desplazamiento de la propia tierra, demostrar que la ecuación del movimiento es:
2
2
2
02
2
dt
d
y
dt
dy
dt
yd
Como siempre se plantea la ecuación dinámica, teniendo en cuenta que mientras que las
oscilaciones del muelle y el rozamiento sólo dependen de la elongación del muelle respecto a
la tierra, la aceleración del sistema es la del muelle y la de la tierra, con respecto al fondo de
estrellas, superpuestas.
2
2
2
02
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
00
0
dt
d
y
dt
dy
dt
yd
dt
d
y
m
k
dt
dy
mdt
yd
dt
d
mky
dt
dy
dt
yd
m
ky
dt
dy
dt
d
m
dt
yd
mky
dt
dy
dt
yd
m
vkxma
mavkyF
6. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris
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b) Hallar el valor de y (vibración de estado estacionario) si 𝜂 = 𝐶 cos 𝜔𝑡.
Como el sistema depende de las oscilaciones con respecto al fondo de estrellas, obtenemos la
derivada segunda de estas oscilaciones.
tC
dt
d
y
dt
dy
dt
yd
tC
dt
d
tC
dt
d
tC
cos2
cos
sin
cos
2
2
2
2
02
2
2
2
2
Si expresamos la solución del sistema como una función compleja, tenemos
2
;
4
2
22
2
2
22
0
22222
0
2
22
0
2
222
0
22
0
2
22
0
2
2
2
2
2
2
2
2
02
2
tg
C
A
i
C
ACAiCAiAA
eCAeeiAeA
eA
dt
yd
eiA
dt
dy
Aey
Aey
eC
dt
d
y
dt
dy
dt
yd
titititi
ti
ti
ti
ti
ti
c) Dibujar un esquema de la amplitud del desplazamiento y en función de ω, suponiendo de C es
el mismo para todos los valores de ω.
7. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris
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d) Un sismógrafo típico de período largo tiene un período de unos 30 s y una Q de 2,
aproximadamente. Como resultado de un terremoto violento la superficie de la Tierra puede
oscilar con un período de unos 20 minutos y con una amplitud tal que la aceleración máxima
sea aproximadamente de 10-9 m/s2. ¿Cuál será el menor valor de A que sea observable si ha de
ser detectado porel sismógrafo?
A partir de los datos del problema:
nmm
C
A
s
radf
s
radQ
s
radf
88,410·88,4
04,0
60015
10
10
1
4
60015
10
600
60
4
60015
10
600
60
4
60015
10
4
6001200
2
2
60
2
·15·22
1530
2
·2
9
222
9
2222
9
2222
9
22222
9
22222
0
2
0
00
Y esta es la amplitud mínima detectable.
8. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris
Tutor Presencial Juan José Navas Díaz Curso 2012-2013
3. Consideremos un sistema con una fuerza amortiguadora que sufre unas oscilaciones forzadas con
frecuencia angular ω.
a) ¿Cuál es la energía cinética instantánea del sistema?
A partir de la solución del oscilador armónico forzado podemos obtener la velocidad del
oscilador y a partir de aquí la Ec del oscilador:
t
F
k
t
F
k
t
F
k
t
F
k
tm
kF
k
tm
F
tm
F
m
t
m
F
m
mvEc
tm
F
dt
dx
v
tm
F
x
2
2
0
2
0
0
2
0
2
22
0
22
2
0
2
0
2
0
2
0
2
22
0
22222
0
2
0
22
22222
0
2
0
2
0
22
22222
0
2
0
22
22222
0
2
0
22
22222
0
2
2
0
22
22222
0
2
0
2
22222
0
0
22222
0
0
cos
22
1
cos
42
1
cos
42
1
cos
42
1
cos
42
1
cos
42
1
cos
42
1
cos
42
1
2
1
cos
4
sin
4
2
1
2
1
9. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris
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b) ¿Cuál es la energía potencial instantánea del sistema?
La energía potencia es más fácil de obtener, porque no es necesario derivar la ecuación de
movimiento del sistema:
t
F
m
t
F
m
t
F
m
t
F
m
t
F
m
tm
kF
m
tm
F
k
t
m
F
k
kxEp
tm
F
x
2
2
0
2
0
0
2
0
2
2
22
0
22
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
22
0
22222
0
2
0
2
22
22222
0
2
0
2
0
2
2
22222
0
2
0
2
0
2
22222
0
2
0
2
22222
0
2
2
0
2
22222
0
2
0
2
22222
0
0
sin
22
1
sin
42
1
sin
42
1
sin
42
1
sin
42
1
sin
42
1
sin
42
1
sin
42
1
2
1
sin
4
2
1
10. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris
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c) ¿Cuál es el cociente entre la energía cinética media y la energía potencial media? Expresar la
respuesta en función del cociente 0 .
A partir de los dos resultados anteriores:
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
0
2
0
2
2
2
0
2
0
0
2
0
2
2
0
2
0
0
2
0
2
0
2
2
0
2
0
0
2
0
cos
24
1
sin
22
1
cos
24
1
cos
22
1
m
m
pE
cE
F
m
pEt
F
m
Ep
F
m
cEt
F
k
Ec
d) ¿Para qué valor o valores de ω son iguales la energía cinética media y la energía potencial
media? ¿Cuál es la energía total del sistema en estas condiciones?
Si partimos del cociente obtenido anteriormente:
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
1
m
m
pE
cE
Que es la condición de resonancia. En estas condiciones,la energía total del sistema será:
2
0
22
022
2
0
22
02
2
2
0
2
0
2
2
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
2
2
0
2
0
2
02
2
0
2
0
2
2
2
0
2
0
2
0
2
sincos
2
sin
12
1
cos
12
1
sin
22
1
cos
22
1
sin
22
1
cos
22
1
m
QF
Ett
m
QF
t
Q
F
m
t
Q
F
m
t
F
m
t
F
m
EpEcE
t
F
m
Ep
t
F
m
Ec
11. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris
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e) ¿Cómo varía la energía total del sistema con el tiempo para un valor arbitrario de ω? ¿Para qué
valor o valores de ω es constante la energía total en el tiempo?
t
mmm
F
t
m
t
m
F
t
m
t
m
F
t
F
m
t
F
m
E
t
F
m
Ep
t
F
m
Ec
2cos
2
1
2
11
2
2cos1
2
1
2cos1
2
1
2
sin
2
1
cos
2
1
2
sin
22
1
cos
22
1
sin
22
1
cos
22
1
22
0
2
0
2
0
2
0
0
2
0
22
0
2
0
2
0
0
2
0
2
2
2
2
0
2
0
2
0
0
2
0
2
2
0
2
0
0
2
0
2
2
2
0
2
0
0
2
0
2
0
2
2
0
2
0
0
2
0
2
2
2
0
2
0
0
2
0
2
0
A partir de aquí se puede ver que la energía total del oscilador forzado varía en el tiempo con una
frecuencia doble de la del oscilador externo y sólo es constante en el tiempo cuando el oscilador se
encuentra en resonancia. Por tanto, salvo en la resonancia el sistema no es conservativo, lo cual es lógico
porque hay una fuente de potencia externa al sistema.
12. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris
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4. La figura muestra la potencia media de entrada P en función de la frecuencia impulsora en el caso
de una masa situada sobre un muelle con amortiguación tFF sin0 . La Q es suficientemente
elevada para que la potencia media de entrada, que es máxima para ω0, disminuya hasta la mitad del
máximo para las frecuencias 0,98ω0 y 1,02ω0.
a) ¿Cuál es el valor numérico de Q?
25995,24
25,25
00156878,0
1
2100156878,0
2
1
1
00156878,0
1'
74,24
00163282,0
1
2100163282,0
2
1
1
00163282,0
1
2
1
'
1
00163282,0
1
1
00156878,0
1'
2
1
1
00163282,0
1
1
00163282,0
1
2
1
'cos
1
00156878,0
1
'cos
1
02,1
02,1
1
1'
2
1
cos
1
00163282,0
1
cos
1
98,0
98,0
1
1
cos
1
02,1
02,1
1
2
1
'
2
cos
1
98,0
98,0
1
2
1
cos
1
2
1
cos
4
2
1
2
2
2
max
2
2
2
max
22
max
22
max
222
max
222
max
22
2
0
2
0
0
2
0
max
22
2
0
2
0
22
0
0
2
0
2
0
2
0
2
2
0
0
2
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Q
QQ
Q
Q
P
P
QQ
Q
Q
P
P
Q
Q
Q
Q
P
P
Q
Q
Q
Q
P
P
Q
Q
Q
Q
P
P
Q
Q
Q
Q
P
P
Q
F
m
P
m
QF
P
Q
F
m
P
Q
F
m
F
k
P
Con estos datos no se puede obtener un valor más exacto, dado que la gráfica no es simétrica,
está un poco desplazada hacia las frecuencia bajas. Haría falta obtener el valor de la potencia
13. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris
Tutor Presencial Juan José Navas Díaz Curso 2012-2013
absorbida en la resonancia, para obtenerun valor más exacto de Q.
b) Si se suprime la fuerza impulsora, la energía disminuye de acuerdo con la ecuación:
t
eEE
0
¿Cuál es el valor de γ?
A partir del valor obtenido en el apartado anterior, como el factor Q, no depende del oscilador
externo, podemos decir que será igual, por tanto:
50
25
2
00
Q
c) Si se elimina la fuerza impulsora ¿Qué fracción de energía se pierde en cada ciclo?
Si partimos de la energía de un oscilador amortiguado:
%8888,050
2
0
50
2
0
50
2
0
50
00
0
e
E
E
eEeEeEeEE T
T
T
t
Por lo tanto si se detiene el oscilador externo, el sistema pierde el 88% de su energía en un solo
ciclo.
d) Se construye un sistema nuevo en el que se duplica la constante del muelle, pero se mantiene
sin variar la masa y el medio viscoso, y se aplica la misma fuerza impulsora 𝐹 = 𝐹0 sin 𝜔𝑡. En
función de las magnitudes correspondientes delsistema original hallad los siguientes valores:
i. La nueva frecuencia de resonancia
'
0 .
Si se dobla la constante elástica,la nueva frecuencia de resonancia será:
0
'
0 22
2'
m
k
m
k
m
k
ii. El nuevo factor de calidad Q.
Como el factor
m2
no depende de la constante elástica permanecerá constante, por
tanto la variación del factor de calidad se deberá a la variación de ω0:
35,35225
2
2
2
'
' 00
Q
iii. La potencia de entrada media máxima
'
mP .
A partir del valor de la potencia de entrada máxima que habíamos visto anteriormente:
0
2
0
0
2
0
0
2
0
max
222
2
'2
'
'
m
QF
m
QF
m
FQ
P
14. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris
Tutor Presencial Juan José Navas Díaz Curso 2012-2013
Lo que se observa es que no cambia la potencia de entrada máxima, a pesar de que ha
aumentado la frecuencia de resonancia.
iv. La energía total del sistema en la resonancia, '
0E .
2
0
22
0
2
0
22
0
2
0
22
0
222
2
'2
'
'
m
QF
m
QF
m
QF
E
Vemos que tampoco cambia.
5. En el caso del sistema eléctrico de la figura, hallar.
a) La frecuencia de resonancia, ω0.
Planteemos la ley de Ohm para este sistema:
Ldt
dI
dt
dI
L
dt
dLI
dt
d
LI
dt
dV
CI
dt
dV
C
dt
dQ
CVQ
V
Q
C
L
V
dt
Vd
C
dt
dV
Rdt
dI
I
dt
dV
C
R
V
IIII
C
C
LLCR
2
2
1
Lo mismo que con el circuito LCR en serie, planteamos la función de prueba para la diferencia
de potencial y una función general para la intensidad:
000
00
00
0
2
0
00
0
2
02
2
00
00
2
2
1111
11
1
V
R
i
XX
V
R
i
L
CiI
VC
R
i
L
VC
R
V
i
L
V
iI
eCVe
R
V
ie
L
V
eiI
eV
dt
Vd
eiV
dt
dV
eVV
eiI
dt
dI
eII
dt
Vd
C
dt
dV
RL
V
dt
dI
Lc
titititi
tititi
titi
15. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris
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Por lo tanto la impedancia del sistema será en el caso del circuito LCR en paralelo:
R
XX
tg
RXXZ
Lc
Lc
1
11
1111
2
1
2
2
De aquí obtenemos la frecuencia de resonancia:
LC
f
LC
f
LCL
C
XXXX LcLc
1
2
11
2
1111
0
11
De donde vemos que la frecuencia de resonancia es la misma que para el circuito LCR en serie.
b) La anchura de resonancia, γ0.
Por analogía entre el sistema eléctrico y mecánico:
R
C
C
R
m 22
1
2
00
c) La potencia absorbida en la resonancia.
2
0
2
2
2
0
cos
111
2
1
RVP
RXX
V
P
CL
16. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris
Tutor Presencial Juan José Navas Díaz Curso 2012-2013
6. En el gráfico se indica la potencia media absorbida por un oscilador cuando se ve impulsada por una
fuerza de valor constante,y frecuencia angular variable ω.
a) En la resonancia justa. ¿Cuánto trabajo por ciclo se efectúa contra la fuerza resistente?
2T .
En primer lugar obtendremos el trabajo que realiza la fuerza de rozamiento:
t
F
tm
F
tm
F
vFP
t
F
tm
F
vF
tm
F
dt
dx
vtm
F
x
r
r
2
22222
0
22
2
0
2
22222
0
22
0
2
22222
0
2
2
0
22222
0
0
22222
0
0
22222
0
0
22222
0
0
cos
4
4
cos
4
2
22
cos
4
2
cos
4
2
cos
4
cos
4
sin
4
2
1
2
1
2
1
2
1
Y en resonancia por tanto esta será
100
75,99
10·9531,9
1
2110·9531,9
2
1
1
10·9531,9
1'
25,100
10·0503'10
1
2110·0503'10
2
1
1
10·0503'10
1
2
1
'cos
1
10·9531,9
1
'cos
1
005,1
005,1
1
1'
2
1
cos
1
10·0503'10
1
cos
1
995,0
995,0
1
1
2
;cos
1
2
1
100
222
2
2
2
2
22
cos
5
25
2
52max
5
25
2
52max
2
5
22
max
2
5
22
max
0
2
0
max
22
0
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
00
2
0
2
0
2
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
2
02
2
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Q
QQ
Q
Q
P
P
QQ
Q
Q
P
P
Q
Q
Q
Q
P
P
Q
Q
Q
Q
P
P
m
QF
P
Q
F
m
P
m
F
m
QF
m
FF
m
F
m
m
F
m
FF
T
F
PtW
F
Pt
F
P
17. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris
Tutor Presencial Juan José Navas Díaz Curso 2012-2013
b) En la resonancia justa. ¿Cuál es la energía mecánica total E0 del oscilador?
Del resultado del problema 3.d) obtenemos el siguiente valor para la energía del sistema en la
resonancia:
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
22
0 5000
2
10000
2 m
F
m
F
m
QF
E
c) Si se elimina la fuerza impulsora. ¿Cuántos segundos transcurren antes de que la energía
disminuya a un valor eEE 0 ?
La energía del oscilador amortiguado es:
SS
f
Q
t
Q
f
Q
f
Q
Q
t
e
e
E
E
eEE tt
83,3110·18,3
10
1001
2
2
22
11
5
6
00
0
0
