Unidad No. 2 - Búsqueda en Espacios de Estados

INTELIGENCIA ARTIFICIAL - ICIF0021
Unidad 2 - B´squeda en Espacio de Estados
u

Docente: Milton A. Ram´ Klapp
ırez
miramire@gmail.com

Universidad San Sebasti´n
a
Facultad de Ingenier´ y Tecnolog´
ıa ıa

Primer Semestre 2011

M. Ram´
ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 1 / 51

Objetivos de la Unidad

Conocen la estructura general de un agente de b´squeda.
u
Identifican los tipos de b´squeda que existen y comprenden las diferencias entre
u
ambos enfoques.
Conocen las diferentes m´tricas que existen para evaluar el rendimiento de un
e
algoritmo determinado en funciń de par´metros como completitud, optimalidad,
o a
complejidad temporal y complejidad espacial.
Realizan b´squedas no informadas empleando las estrategias en anchura y en
u
profundidad.
Comprenden la problem´tica que tiene la b´squeda no informada y entienden la
a u
necesidad de contar con informaciń adicional en un problema.
o
Resuelven problemas aplicando estrategias de b´squeda informada con heur´
u ısticas
admisibles.

M. Ram´

Contenidos

1 Estructura de un espacio de estados.
2 ´
Arboles de b´squeda.
u
3 Algoritmo general de b´squeda.
u
4 B´squeda no informada: por anchura y en profundidad.
u
5 B´squeda informada: A*.
u
6 Admisibilidad de heur´
ısiticas.
7 M´tricas para evaluar el rendimiento de una soluci´n.
e o

M. Ram´

Introducci´n
o

Cualquier sistema que se precie de ser inteligente debe maximizar en
todo sentido su medida de rendimiento.
Es por ello que es necesario que se establezcan objetivos que tenga
que realizar.
Veremos en esta clase c´mo hacer el modelamiento apropiado.
o

M. Ram´

Ejemplo introductorio

Pensemos en un europeo que viene a hacer turismo a Chile en Febrero
¿Qu´ objetivos puede tener en mente?
e

descansar
tomar fotos
tur´
ısticas
mejorar su espa˜ol
n
disfrutar de la vida
nocturna
ir al Festival de Vi˜a
n
del Mar

M. Ram´


e

descansar
tomar fotos
tur´
ısticas
mejorar su espa˜ol
n
nocturna
n
del Mar

M. Ram´


e

descansar
tomar fotos
tur´
ısticas
mejorar su espa˜ol
n
nocturna
ir al Festival de
Vi˜a del Mar
n

M. Ram´


descansar Todos esos
objetivos hace que
tomar fotos
tur´
ısticas
el problema sea
muy complejo de
mejorar su espa˜ol
n abordar.
disfrutar de la vida Principales
nocturna elementos a
n considerar: dinero,
del Mar tiempo.
. . . y hacer todo eso Dividir para
en un solo mes. conquistar.

M. Ram´


Si lo primordial fuera conocer Concepciń
o

El problema se simplifica bastante.
Cualquier objetivo que no apunte a conocer Concepciń se puede
o
descartar.
El objetivo se reformula a “conocer Concepciń”.
o

M. Ram´

Representaci´n de problemas
o

Primer paso. Formular el objetivo.
Objetivo. Conjunto de estados del mundo que satisfacen el problema.
Resolver un problema es encontrar una secuencia de estados que
permiten lograr los estados objetivos.
Formular un problema signiﬁca decidir qu´ acciones y qu´ estados
e e
relevantes se tienen que considerar.

M. Ram´

Para el problema del turista europeo

El estado actual del turista es la ciudad en que se encuentre en un
momento dado.
Una acci´n es manejar de una ciudad a otra.
o
El objetivo es llegar a Concepci´n.
o

M. Ram´

¿Y c´mo se consigue el objetivo?
o

Si el turista no conoce las carreteras

Al no conocer las carreteras, lo mejor que puede hacer es tomar
cualquier ruta al azar, a ciegas.
No est´ definida la acciń “preguntarle a un carabinero” qu´ caminos
a o e
ir tomando.

Si el turista dispone de un mapa carretero

Maneja informaciń adicional.
o
Puede elegir el pr´ximo estado a visitar dependiendo de su ubicaciń
o o
actual.
Puede hacer una estimaciń de cuńto le falta para llegar al objetivo.
o a

M. Ram´

Importante
Todo lo anterior recibe el nombre de b´squeda.
u

M. Ram´

Formalizaciń de un problema
o

Un problema es cualquier situaciń real o abstracta que buscaremos
o
resolver mediante alguna tćnica de IA.
e
La representaciń que se utilice va a depender de la naturaleza del
o
problema.
A veces, una metodolog´ m´s especializada ayuda a que la resoluciń
ıa a o
sea m´s eficiente.
a

M. Ram´

o
Un problema lo podemos caracterizar de manera formal (no ambigua)
mediante tres conjuntos
P =< E, Φ, M >

E: estados

Un estado es la representaciń elegida para los elementos de un
o
problema.
Elementos distinguidos:
El estado inicial, que identifica el punto de partida para la resoluciń
o
del problema.
Los estados finales u objetivos que corresponden a las metas a
alcanzar.
Un estado de fracaso (o de error) denotado por ¶, asociado cuando
una operaciń no est´ permitida a un estado determinado.
o a
¶ puede tener m´ltiples representaciones, que al final confluyen en este
u
s´
ımbolo.
M. Ram´

o

P =< E, Φ, M >

Φ: operaciones o acciones

Un operador ∆ ∈ Φ es lo que permite ir de un estado a otro, es decir:

∆ : E −→ E

Por convenci´n diremos que
o

∀∆ ∈ Φ : ∆(¶) = ¶

M. Ram´

o

P =< E, Φ, M >

Φ: operaciones o acciones

La ecuaci´n ∆(x) = ¶ no necesariamente tiene soluci´n unica en E.
o o ´

M. Ram´

o

P =< E, Φ, M >

M: objetivos

Son todas las metas que persigue la resoluci´n del problema.
o
Si un problema tiene varias metas, cada una de estas se puede ver
como un problema por separado.
Claramente
M ⊆ E, M = φ

M. Ram´

o

test de objetivos
Es un predicado l´gico que indica si el estado que se est´ visitando
o a
actualmente corresponde al objetivo.

funci´n de costo
o
Le asigna un valor num´rico a cada camino de la b´squeda de la soluci´n.
e u o

M. Ram´

Ejemplos
Puzzle 8

Tablero con 9 posiciones, de las cuales 8 estń numeradas del 1 al 8.
a
En cada celda hay una ficha y una siempre queda en blanco.
Las fichas se pueden mover trasladńdose a la posiciń vac´ si es
a o ıa,
que ´sta es adyacente por izquierda, derecha, arriba o abajo,
e
intercambiando su posiciń con ella.
o
Ningń movimiento debe permitir que una ficha salga del tablero, o
u
que llegue al otro extremo por arte de magia.
Tanto la configuraciń inicial como la final son arbitrarias.
o

M. Ram´

Ejemplos
Puzzle 8

Modelar de manera algebraica este juego si suponemos que su estado
1 2 3 8 2
inicial es 4 5 6 y su objetivo es 4 7 6 .
7 8 3 5 1

M. Ram´

Puzzle 8
Sea P =< E, Φ, M > la representaciń del problema. . .
o

Definiciń de E
o

Cualquier estado se representa como una matriz cuadrada de orden 3
numerada del 1 al 8, dejando un espacio en blanco.
As´
ı:
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2
E= 4 5 6 , 4 5 6 , 4 5 6 ,..., 3 4 5 ,¶
7 8 7 8 7 8 6 7 8

 
1 2 3
El estado inicial es  4 5 6 .
7 8
 
8 2
El estado final es  4 7 6 .
3 5 1
¿Cu´l es el tamaõ de E?
a n
M. Ram´

Puzzle 8
o

Definiciń de Φ
o
Si pensamos que s´lo vamos a mover la ficha en blanco, tenemos claro que
o
podemos hacerlo en cuatro direcciones posibles: arriba, abajo, izquierda,
derecha.
Si denotamos por D al conjunto de las direcciones posibles tenemos que

D = {↑, ↓, ←, →}

Entonces, a cada elemento d ∈ D le hacemos corresponder una funciń
o

md : E −→ E

la ficha en blanco se mueve en la direcciń dada por md
o
Por lo tanto:
Φ = {m↑ , m↓ , m← , m→ } = {md }d∈D

M. Ram´

Puzzle 8
o

Algunos ejemplos para m↑ , m↓ , m← , m→
   
3 1 2 3 1 2
m↑  4 5 6  =  5 6 
8 1 4 8 1
 
1 2 3
m↓  4 5 6  = ¶
7 8
 
2 3 5
m ←  4 6  = ¶
7 8 1
   
2 3 5 2 3 5
m→  7 4 6  =  7 4 6 
8 1 8 1

M. Ram´

Puzzle 8
o

Deﬁnici´n de M
o
 
 8 2 
M=  4 7 6 
3 5 1
 

M. Ram´

Ejemplos
Las N reinas en el tablero de ajedrez

Para un n´mero natural N la idea es colocar N reinas en un tablero
u
de ajedrez de tama˜o N × N .
n
Sin que las reinas se maten entre s´
ı.
Veamos c´mo modelar este problema para N = 4.
o

M. Ram´

Las N = 4 reinas en el tablero de ajedrez
o

Definiciń de E
o

Cada estado puede representar un tablero de ajedrez de orden 4.

4
0Z0Z
El estado inicial es el tablero vac´ sin reinas:
ıo,
3
Z0Z0
2
0Z0Z
1
Z0Z0
a b c d

Otros posibles estados que puede tener este problema son:

4
0Z0Z 4
0Z0Z 4
0ZqZ 4
0ZqZ
3
Z0Z0 3
Z0Z0 3
l0Z0 3
l0Z0
2
0Z0Z 2
qZqZ 2
0Z0Z 2
0ZqZ
1
l0Z0 1
Z0Z0 1
ZqZ0 1
ZqZ0
a b c d a b c d a b c d a b c d
¿Dńde aparece ¶?, ¿cuńtos elementos tiene E?
o a

M. Ram´

o

Deﬁnici´n de Φ
o

Un operador consiste en colocar una sola reina en alguna casilla del
tablero.
Por ejemplo, poner una reina en la casilla a4.
Algunas consideraciones:
la reina a colocar no debe estar previamente inscrita en el tablero y
el efecto de incluirla no provoque que se mate con las otras que hayan.

M. Ram´

o

Formalizaciń de los operadores de Φ
o

La posiciń de una reina viene dada por dos coordenadas:
o
una letra entre a y d para denotar la columna en que est´
a
un n´mero entre 1 y 4 para denotar la fila en que est´
u a
Definamos A = {a, b, c, d} y B = {1, 2, 3, 4}.
Por lo tanto, una coordenada para una reina es un elemento
(a, b) ∈ A × B.

M. Ram´

o

Ya conocemos A = {a, b, c, d} y B = {1, 2, 3, 4}

A cada elemento (a, b) ∈ A × B se hacemos corresponder un operador

rab : E −→ E

rab : colocar una reina en la posici´n (a, b) del tablero.
o
Por lo tanto:

Φ = {rij : (i, j) ∈ A × B}
= {ra1 , ra2 , ra3 , ra4 , rb1 , . . . , rd4 }

M. Ram´

o

Algunos ejemplos de rab (e) = e

rij e e
4
0Z0Z 4
0Z0Z
3
Z0Z0 3
Z0Z0
2
0Z0Z 2
0Z0Z
ra1 1
Z0Z0 1
l0Z0
a b c d a b c d

4
0Z0Z 4
0Z0Z
3
l0Z0 3
l0Z0
2
0ZqZ 2
0ZqZ
rb1 1
Z0Z0 1
ZqZ0 (¶)
a b c d a b c d

M. Ram´

o

Definiciń de M
o

Este es un problema donde el estado final no se puede escribir
expl´
ıcitamente como en el ejemplo anterior.
Se puede demostrar que ∀N ≥ 4 el problema de las N reinas tiene
soluciń.
o
Por lo tanto, M = φ.
La forma de hallarla puede ser a trav´s de un algoritmo de b´squeda.
e u

M. Ram´

Otros problemas de la vida real

B´squeda de una ruta viajera.
u
Vendedor viajero.
Navegaci´n de un robot.
o
Secuencia de ensamblado autom´tico.
a
B´squeda en Internet.
u

M. Ram´

¿Qu´ vimos la clase pasada?
e

Definiciń de problema.
o
Elementos de un problema.
Un par de ejemplos de representaciń algebraica.
o

M. Ram´

Juego de los misioneros y can´
ıbales

Modele algebraicamente este problema

Tenemos tres misioneros y tres can´
ıbales en la orilla de un r´
ıo.
Deben cruzar a la otra orilla utilizando un bote que s´lo puede llevar
o
a dos personas.
En ning´n momento el n´mero de misioneros en una orilla puede ser
u u
menor al n´mero de can´
u ıbales, ya que pueden ser devorados por estos
ultimos.
´

M. Ram´

Temas a tratar

´
Arboles de b´squeda.
u
Conceptos asociados con los ´rboles de b´squeda.
a u
Algoritmo general de b´squeda.
u

M. Ram´

Presentaci´n
o

Sabemos c´mo plantear un problema.
o
¿C´mo lo resolvemos?
o
Mediante una exploraci´n del espacio de estados.
o
El ´rbol de b´squeda es la estructura de datos que permite hacer el
a u
escaneo y se construye a partir del espacio de estados.

M. Ram´

Presentaciń
o

En l´
ıneas generales, se parte del estado inicial del ´rbol de b´squeda
a u
y se va evaluando cada operaciń posible hasta llegar a la soluciń del
o o
problema, respetando en todo momento las restricciones del mismo.

M. Ram´

Importante
Las acciones que lleguen a ¶ deben evitarse siempre.

M. Ram´

Espacio de estados

El espacio de estados se puede representar como un grafo donde:
cada nodo corresponde a un estado del problema,
los arcos (aristas) representan la aplicaciń de un operador.
o
Si f ∈ Φ y para algń x ∈ E : f (x) = y, la representaciń gr´fica de
u o a
esto es:

f
x y

M. Ram´

Espacio de estados

v1 NODO INICIAL

o1 o2

v2 v3

o1 o1
o1
o2 NODOS
INTERMEDIOS
o2
o2
o2
v4 v5 v6

o1 o2 o1

v7 v8 v9
NODOS OBJETIVOS
01, 02 01, 02
01, 02
NODO DE FRACASO

M. Ram´

Espacio de estados

Identiﬁque todos los elementos del espacio de estados de la ﬁgura
anterior:
conjunto de estados E
conjunto de operadores Φ
para cada operador ∆ ∈ Φ indique en una tabla el valor de ∆(x), x ∈ E
conjunto de objetivos M

M. Ram´

Importante
Es f´cil advertir en general que, independiente del problema P:
a

(∀m ∈ M)(∀∆ ∈ Φ) : ∆(m) = m

´
Arboles de b´squeda
u

Las deﬁniciones de nodo y arco son las mismas que ocupamos para
explicar el espacio de estados.
Recordar que en un ´rbol
a
existe un unico camino entre cada par de nodos y
´
no hay ciclos.

M. Ram´

´
Arboles de b´squeda
u
Conceptos particulares

La ra´ del ´rbol corresponde al estado inicial.
ız a
La expansi´n de un nodo es el proceso que permite encontrar sus
o
sucesores inmediatos.
Los sucesores de un nodo reciben el nombre de hijos.
El objetivo es un nodo terminal del ´rbol que se recibe el nombre de
a
hoja.

RAÍZ

NODO N

NODOS SUCESORES DE N

M. Ram´

Esquema general de b´squeda
u

Elementos principales

La lista ABIERTO contiene a los estados que han sido generados pero
no explorados, lo que quiere decir que hasta el momento no se saben
si son estado ﬁnal ni cu´les son sus estados sucesores (o hijos) dentro
a
del ´rbol de b´squeda.
a u
La lista CERRADO guarda todos los estados que ya se han visitado.

M. Ram´

u

Entrada: representaciń del espacio de estados
o
Salida: ´xito o fracaso
e
1: Crear el ´rbol de b´squeda T con X como nodo inicial
a u
2: ABIERTO ← [X]
3: CERRADO ← []
4: mientras ABIERTO = [] hacer
5: remover un estado X del conjunto ABIERTO
6: si X es un estado objetivo entonces
7: retornar ´xito: camino hasta X en T
e
8: sino
9: generar el conjunto de sucesores admisibles del estado X
10: agregar X al conjunto CERRADO
11: eliminar los sucesores que estń en ABIERTO o en CERRADO
e
12: agregar el resto de los sucesores al conjunto ABIERTO
13: incorporar los sucesores que queden de X en el ´rbol T creando los arcos
a
correspondientes
14: fin si
15: fin mientras
16: retornar fracaso

M. Ram´

u

En la l´
ınea 11 del algoritmo general de b´squeda, el hecho de
u
eliminar los sucesores que est´n en ABIERTO o en CERRADO evita
e
caer en ciclos, para que no sean considerados de nuevo.
Dependiendo del orden en que se traten los elementos de ABIERTO,
se obtienen diferentes tipos de recorrido.

M. Ram´

Fin de la Unidad 2

M. Ram´

Unidad No. 2 - Búsqueda en Espacios de Estados

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