Entwicklung einer durch Piezoaktoren
angetriebenen Mechanik für die Micoroscan-
Vorrichtung eines Telecine - Filmscanners
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Erklärungen des Diplomanden:
Nicoletti Michele
Name Vorname
1) Ich erkläre hiermit, dass ich die vorliegende Diplomarbei...
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Bibliographische Beschreibung
Entwicklung einer durch Piezoaktoren angetriebenen Mechanik für die Micoroscan-Vorrichtung...
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Development of a piezo-actuator driven micro scan mechanism of a telecine film
scanner.
Abstract:
The study displays the...
Inhaltsverzeichnis
7
Inhaltsverzeichnis
ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS................................................................
Inhaltsverzeichnis
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5.3 FOLGEN FÜR DAS MECHANIKDESIGN ......................................................................
Abkürzungsverzeichnis
9
Abkürzungsverzeichnis
Zeichen Bedeutung SI Einheit
A Fläche m²
d() Gewöhnliches Differenziationssy...
Vorwort
10
Vorwort
Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit bei der Firma Arnold & Richter
Cine Technik, i...
Einleitung
11
1. Einleitung
1.1 Motivation
Der Wunsch nach mehr Mobilität und Komfort, gepaart mit dem Drang nach immer
le...
Einleitung
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1.2 Zielsetzung und Gliederung der Arbeit
Ziel dieser Arbeit ist eine mechanische, durch Piezoaktoren angetr...
Einleitung
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1.3 Kontext der Arbeit
Die entwickelte Mechanik soll Bestandteil eines Telecine Film Scanner der Firma Arnol...
Einleitung
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Abbildung 1-3 Der ARRISCAN: a) Prototyp 1 für die NAB
1
b) Schnitt durch den ARRI Scanner
1
National Associa...
Einleitung
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1.4 Digitale Bildverarbeitung
Am Anfang der digitalen Bildverarbeitung steht das Abtasten eines Objektes. Im...
Einleitung
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Abbildung 1-6 Pixel als integriertes Bauteil:
a) Schaltungsarchitektur eines Dreitransistor- CMOS- Pixels
b)...
Einleitung
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1.4.2 Microscannen
Wozu wird eigentlich microgescannt und wie funktioniert das?
Um die Auflösung eines digit...
Einleitung
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Tiefpassfilterung
Zerlegt man ein Bild nach einem regelmäßigen Schema, so kann das unter Umständen mit der
E...
Einleitung
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1.5 Starre und elastische Mechanismen
Was versteht man eigentlich unter einem elastischen Mechanismus und wi...
Einleitung
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Tabelle 1-1 Erweiterung klassischer mechanischer Modelle
Klassischer Mechanismus Compliance Mechanismus Adap...
Einleitung
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Kraft F bzw. auf ein Moment M zurückzuführen sind:
• die Zugbelastung
• die Druckbelastung
• die Biegebelast...
Einleitung
22
die in einen Volumenelement dV wirken, als Spannungstensor S dargestellt werden.
x xy xz
yx y yz
zx zy z
S
σ...
Einleitung
23
1.5.3 Die Biegung
Eine der zentralsten Fragen dieser Arbeit ist: „Unter welchen Bedingungen verbiegt sich ei...
Einleitung
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ϕ
r
l r ϕ=
y
z
x
l
σ+
σ−
0z =
dz
l∆
neutraleFase
20
h
Abbildung 1-13 Definition der Biegung
Wie man aus Abbi...
Einleitung
25
Somit ist der Krümmungsradius r eines unter der Last Mb gebogenen Balkens, abhängig von
seinem E- Modul und ...
Einleitung
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[ ]F N [ ]F N [ ]F N
[ ]s m[ ]s m[ ]s m
harteFeder
Federarbeit
weicheFeder
progressiv
linear
degressiv Verlu...
Einleitung
27
3
12
E h b
k
l
= [1.21]
Das an einer Biegefeder maximal zulässige Biegemoment ermittelt sich aus:
2
.
6
z zu...
Einleitung
28
1.6 Aktorik
Was sind Aktoren und wie funktionieren sie? Diese zentrale Frage soll hier beantwortet
werden, w...
Einleitung
29
1.6.1 Piezoaktoren
Die Piezoaktoren15
basieren auf dem inversen piezoelektrischen Effekt16
. Legt man nun ei...
Einleitung
30
Abbildung 1-18 Perowskit- Struktur eines Kristalls
Die Wechselwirkung zwischen elektrischen und mechanischen...
Einleitung
31
Abbildung 1-19 Darstellung der Bravais-Miller-Indizierung und den dazugehörigen
Auslenkungseffekten: a) Brav...
Einleitung
32
Für die Leerlaufauslenkung eines Multilayerstapelaktors mit Längsausdehnung gilt:
0 33x n d U= ⋅ ⋅ , [1.25]
...
Einleitung
33
Bei der Ausdehnung gegen eine wegabhängige Last, wie es z.B. bei einer Feder mit der
Federrate kFeder der Fa...
Einleitung
34
• Lebensdauer
Die Lebensdauer von PZT-Keramiken ist abhängig von der Betriebsspannung, der
Temperatur und vo...
Designstrategie
35
2. Designstrategie
Der folgende Abschnitt befasst sich mit der systematischen Herangehensweise an die
F...
Designstrategie
36
2.2 Designstrategie nach Salomon
Wie im Abschnitt 1.5 schon gezeigt, ist im Gegensatz zu klassischen st...
Designstrategie
37
Design Spezifikation
Synthese des
Starrkörper- Mechanismus
Definition der elastischen
Strukturen
Pseudo...
Designstrategie
38
Design-Spezifikation
39
3. Design-Spezifikation
In der Spezifikation werden die Randbedingungen erfasst, die zum Erstellen...
Design-Spezifikation
40
eine Bildregion beim erneuten Scannen mit demselben Pixel wie beim ersten Scannen
aufgenommen wird...
Design-Spezifikation
41
3.1.2 Registrierung und Kalibrierung
Wie im oberen Abschnitt erwähnt, wird für die Registrierung u...
Design-Spezifikation
42
3.2 Ermittlung des Dynamikbereiches
Der Dynamikbereich wird von der Belichtungszeit und vom Aufnah...
Design-Spezifikation
43
3.3 Ermittlung der technologischen Grundvoraussetzungen
In den technologischen Anforderungen werde...
Design-Spezifikation
44
Bei den Indizes λ und µ handelt es sich um eine Tensorindizierung. Aufgrund der Symmetrie
der indi...
Design-Spezifikation
45
Für die Abhängigkeit zwischen Hub und angelegter Blockierspannung ergibt sich aus
Gleichung 1-26 f...
Design-Spezifikation
46
Die Vorspannung sollte laut Hersteller nicht unter 40 N liegen. Für die Prototypen sollte eine
var...
Design-Spezifikation
47
4,9
90
h
r
A
H
 
=  
 
[3.10]
40
10
1,5
rT
tA
−
= [3.11]
Hierbei sind:
Vr: die am Piezoaktor...
Design-Spezifikation
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3.3.2 Federwerkstoff
Der Wahl des richtigen Werkstoffes kommt gerade bei Mechanismen mit hoher Leb...
Design-Spezifikation
49
3.3.2.1 Lebensdauerabschätzung
Für das Werkstück sind folgende möglichen Schädigungen zu berücksic...
Design-Spezifikation
50
Hierbei haben statisch auftretende Belastungen bei zu scharfen Übergängen, wie z.B. bei
scharfen K...
Design-Spezifikation
51
Dies führt dahin, dass zur Gewährleistung der Lebensdauer bei der Festlegung der zulässigen
Spannu...
Design-Spezifikation
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Tabelle 3-6 Zusammenfassung der wichtigsten Anforderungen an den
Positioniermechanismus
Anwendung ...
Getriebetopologie
53
4. Getriebetopologie
Die kinematische Kette ist eine geeignete Abstraktionsform zur systematischen Er...
Getriebetopologie
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Aus der reinen Laufgradbetrachtung heraus ist der Zwangslauf und somit die Anforderung
aus der Spezif...
Getriebetopologie
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Verteilung der Formänderungsenergie auf die verschiedenen Gelenke des Mechanismus. Die
daraus folgend...
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Diplomarbeit Nicoletti 2005

  1. 1. Entwicklung einer durch Piezoaktoren angetriebenen Mechanik für die Micoroscan- Vorrichtung eines Telecine - Filmscanners Diplomarbeit von Nicoletti, Michele Geb. am 25.10.1974 Fachhochschule München Fachbereich 06 Feinwerk- und Mikrotechnik Studiengang Feinwerk- und Mikrotechnik Studienrichtung Medizintechnik Referent: Prof. Dr.-Ing. O. Wallrapp Koreferent: Prof. Dr. A. Fuchsberger Externer Betreuer Michael Cieslinski bei Arnold und Richter Cine Technik Türkenstraße 89 80799 München Tag der Einreichung: 15.03.2005 München 2005
  2. 2. 3 Erklärungen des Diplomanden: Nicoletti Michele Name Vorname 1) Ich erkläre hiermit, dass ich die vorliegende Diplomarbeit selbständig verfasst und noch nicht anderweitig zu Prüfungszwecken vorgelegt habe. Sämtliche benutzte Quellen und Hilfsmittel sind angegeben, wörtliche und sinngemäße Zitate sind als solche gekennzeichnet. München, 15.03.05 Ort, Datum Unterschrift 2) Ich erkläre mein Einverständnis, dass die von mir erstellte Diplomarbeit in die Bibliothek der Fachhochschule München eingestellt wird. Ich wurde darauf hingewiesen, dass die Fachhochschule in keiner Weise für die missbräuchliche Verwendung von Inhalten durch Dritte infolge der Lektüre der Arbeit haftet. Insbesondere ist mir bewusst, dass ich für die Anmeldung von Patenten, Warenzeichen oder Geschmacksmuster selbst verantwortlich bin und daraus resultierende Ansprüche selbst verfolgen muss. München, 15.03.05 Ort, Datum Unterschrift
  3. 3. 4
  4. 4. 5 Bibliographische Beschreibung Entwicklung einer durch Piezoaktoren angetriebenen Mechanik für die Micoroscan-Vorrichtung eines Telecine Filmscanner Michele, Nicoletti –178 S., 88 Bilder, 23 Tabellen, 38 Lit. Fachhochschule München Fachbereich 06 Feinwerk & Mikrosystemtechnik Diplomarbeit 2005 Stichworte - Bildsensoren - Compliant Mechanisms - Federgelenke - FEM Analyse - Flexure joints - Mechanischer Anti Alias - Microscan - Mikromechanik - Modelbildung - Optimierung - Piezoaktoren - Simulation - Schwingungsmoden Abstrakt Die vorliegende Arbeit beinhaltet die Entwicklung eines durch Piezowandler angetriebenen Mechanismus zur Positionierung eines Bildsensors. Die Positionierung soll im Mikrometerbereich erfolgen und zur Erzeugung zusätzlicher virtuellen Pixel dienen. Dieser Vorgang nennt man in der Fachsprache „Microscannen“ und findet seine Anwendung in einem telecine Filmscanner der Firma „ARRI“. Der Mechanismus besitzt neben der Eigenschaft, den Sensor zu führen, auch die Möglichkeit, den vom Piezowandler erzeugten Hub durch eine Übersetzung zu vergrößern. Das Design der Mechanik orientiert sich an zweidimensionalen X-Y-Positioniereinheiten, bestehend aus Federgelenken (Flexure joints) und Federführungen. Bei der Übersetzung wird das Prinzip des Hebelarms angewandt, wobei die Gesamtübersetzung auf zwei Stufen verteilt wird. Diese Arbeit setzt den Schwerpunkt im Wesentlichen auf das Design der mechanischen Komponenten. Dabei kommen analytische Methoden, Ersatzmodellen und die Finite-Elemente-Methode zum Einsatz. Im ersten Teil der Arbeit wird auf das Entwerfen, Modellieren, Auslegen und Simulieren so genannter „Compliance“ Mechanismen (elastische Mechaniken) eingegangen. Es wird ein methodisches Vorgehen beim Entwickeln elastischer Mechanismen vorgestellt und am Beispiel der Positioniermechanik durchgeführt. Ein wesentlicher Bestandteil der Arbeit ist die Anwendung methodischer Designstrategien in der Praxis beim Entwerfen elastischer und teilelastischer Mechanismen. Darüber hinaus wird gezeigt, wie durch mikromechanischen Maßnahmen Einfluss auf signaltechnische Größen der Bildverarbeitung genommen werden kann.
  5. 5. 6 Development of a piezo-actuator driven micro scan mechanism of a telecine film scanner. Abstract: The study displays the development of a piezo-actuator powered mechanism for the alignment of a picture sensor. The adjustment should take place in the micrometer range and aid with the generation of additional virtual pixels improving resolution of the digitised image. The process in the jargon is called micro scanning and has its use in telecines film scanners developed by the company ARRI GmbH, Munich. The mechanism, besides having the ability to position the sensor, also has the possibility to enlarge the range produced by the piezo-actuator through a transmission process. The design of the mechanism is based on a two dimensional x-y positioning axis, consisting of flexure joints and flexure controls. In the conversion process the principle of the lever is used to position the overall range which is split into two-grade. This study is centred on the design of the mechanical component, hereby analytical methods, analogous models and the finite-element-method are used. The first part of the study focuses on the designing, modelling, outlay and simulation of so called compliance mechanisms. A methodical approach is used to develop elastic mechanisms that can be visualised through the positioning mechanism. A main part of the study is the application of a methodical design strategy in practice, that can aid in the development of elastic and partly-elastic joints and mechanisms. Furthermore the study shows how one can influence the signal size of the picture processing mechanism through micro mechanical processes.
  6. 6. Inhaltsverzeichnis 7 Inhaltsverzeichnis ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS........................................................................................... 9 VORWORT ............................................................................................................................. 10 1. EINLEITUNG.................................................................................................................... 11 1.1 MOTIVATION................................................................................................................... 11 1.2 ZIELSETZUNG UND GLIEDERUNG DER ARBEIT................................................................. 12 1.3 KONTEXT DER ARBEIT .................................................................................................... 13 1.4 DIGITALE BILDVERARBEITUNG ....................................................................................... 15 1.4.1 Bildsensoren ........................................................................................................... 15 1.4.2 Microscannen ......................................................................................................... 17 1.5 STARRE UND ELASTISCHE MECHANISMEN....................................................................... 19 1.5.1 Klassifizierung........................................................................................................ 19 1.5.2 Elastizitätstheorie.................................................................................................... 20 1.5.3 Die Biegung............................................................................................................ 23 1.5.4 Die Feder ................................................................................................................ 25 1.6 AKTORIK ......................................................................................................................... 28 1.6.1 Piezoaktoren ........................................................................................................... 29 2. DESIGNSTRATEGIE ...................................................................................................... 35 2.1 ENTWURFSPROZESS......................................................................................................... 35 2.2 DESIGNSTRATEGIE NACH SALOMON................................................................................ 36 3. DESIGN-SPEZIFIKATION............................................................................................. 39 3.1 ERMITTLUNG DER ALLGEMEINEN GRUNDANFORDERUNGEN ........................................... 39 3.1.1 Ermittlung der Bildsensorversetzung ..................................................................... 39 3.1.2 Registrierung und Kalibrierung.............................................................................. 41 3.2 ERMITTLUNG DES DYNAMIKBEREICHES .......................................................................... 42 3.3 ERMITTLUNG DER TECHNOLOGISCHEN GRUNDVORAUSSETZUNGEN................................ 43 3.3.1 Piezo- Wandler ....................................................................................................... 43 3.3.2 Federwerkstoff........................................................................................................ 48 3.4 SPEZIFIKATIONSPARAMETER ........................................................................................... 51 4. GETRIEBETOPOLOGIE................................................................................................ 53 4.1 ANORDNUNG DER AKTOREN ........................................................................................... 53 4.2 FÜHRUNGSPRINZIPIEN ..................................................................................................... 55 4.3 ÜBERTRAGUNGSPRINZIPIEN ............................................................................................ 57 4.4 TOPOLOGIESYNTHESE ..................................................................................................... 58 4.5 ANALYSE DER KINEMATIK .............................................................................................. 60 5. PSEUDO-RIGID-BODY-MECHANISMS ..................................................................... 71 5.1 ELASTISCHE GELENKE .................................................................................................... 71 5.2 KINETOSTATISCHE ANALYSE .......................................................................................... 74
  7. 7. Inhaltsverzeichnis 8 5.3 FOLGEN FÜR DAS MECHANIKDESIGN ...............................................................................79 6. FERTIGUNG .....................................................................................................................89 6.1 FUNKENEROSIONSVERFAHREN EDM...............................................................................89 6.2 AUSWIRKUNG DES ERODIEREN AUF DIE MECHANISCHEN EIGENSCHAFTEN......................91 6.3 KONSTRUKTIVE MAßNAHMEN .........................................................................................93 7. KONSTRUKTIVE UMSETZUNG ..................................................................................95 7.1 AUSWAHL UND ZUWEISUNG DER GELENKE .....................................................................96 7.2 DIE RÜCKSTELLFEDER.....................................................................................................97 7.3 DIE FERTIGUNGSUNTERLAGEN ........................................................................................98 8. FEM-ANALYSE ................................................................................................................99 8.1 VERFORMUNGS- UND SPANNUNGSANALYSE..................................................................100 8.2 STRUKTURDYNAMISCHE ANALYSE................................................................................102 8.3 ERMITTLUNG DER MECHANIKKENNLINIE ......................................................................106 9. MESSUNG DER EIGENMODEN .................................................................................109 9.1 DIE LASERVIBROMETRIE ...............................................................................................109 9.2 MESSUNG ZUR ANPASSUNG DER FEM-MODELLE..........................................................111 9.3 DIE KONTROLLMESSUNG...............................................................................................114 10. ZUSAMMENFASSUNG, DISKUSSION UND AUSBLICKE ..................................117 10.1 ZUSAMMENFASSUNG ...................................................................................................117 10.2 DISKUSSION.................................................................................................................118 10.3 AUSBLICKE..................................................................................................................121 ABBILDUNGSVERZEICHNIS .........................................................................................117 TABELLENVERZEICHNIS..............................................................................................126 LITERATURVERZEICHNIS............................................................................................127 ANHANG A: DEFINITIONEN..........................................................................................131 ANHANG B: ERGÄNZUNGEN ........................................................................................134 ANHANG C: PIEZO DATENBLATT...............................................................................137 ANHANG D: DATENBLÄTTER MARAGING STAHL................................................145 ANHANG E: MAPLE-BERECHNUNGEN......................................................................151 ANHANG F: TECHNISCHE ZEICHNUNGEN & MONTAGEANLEITUNG............169
  8. 8. Abkürzungsverzeichnis 9 Abkürzungsverzeichnis Zeichen Bedeutung SI Einheit A Fläche m² d() Gewöhnliches Differenziationssymbol - ()∂ Partielles Differenziationssymbol - det() Determinante einer Matrix od. Vektors - di,j Piezomodul m/V E Elastizitäts-Modul Gpa F Kraft N FEM Finite Elemente Methode - Fps Frame pro second s 1/s FFT Fast Fourie Transformiert - g Anzahl der Gelenke - Hr Relative Feuchte % I Flächenträgheit m3 k Federkonstante (Federrate) N/m (N/rad) Lp Linienpaare - M Moment Nm MKA Mehrkörpersystem MTF Modular-Transfer-Funktion Lp/mm MTTFr Lebensdauer Stunden PRB Pseudo Rigid Body - r Radius m r Ortsvektor - Sλ Elektromechanische Dehnung eines Piezos m S Sicherheitsfaktor bei dyn. Beanspruchung - Re Streckgrenze Mpa Rm Zugfestigkeit (Bruchgrenze) Mpa RGB Rot, Grün, Blau - Tr Umgebungstemperatur °C U Elektrische Spannung V w Biegung m W Arbeit W γ Übersetzung - εi,j Permitivitätszahl - ε Dehnung % κ Wärmeausdehnungskoeffizient m/K υ Poisson´sche Zahl - ρ Dichte Kg/m³ σ Mechanische Spannung Mpa σ bw Wechselbiegefestigkeit Mpa τ Schubspannung Mpa τj Gelenkverdrehung ° ϑ Temperatur °C φ Lagewinkel °
  9. 9. Vorwort 10 Vorwort Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit bei der Firma Arnold & Richter Cine Technik, in der Abteilung Forschung und Entwicklung. In meiner nun schon dreijährigen Tätigkeit in der Abteilung für Digitaltechnik konnte ich mein Wissen über digitale Bildverarbeitung und feinwerktechnische Konstruktion erweitern und vertiefen. Meinen besonderen Dank gilt da meinem Betreuer Michael Cislinski, der mich in der Vergangenheit immer mit neuen anspruchvollen Aufgaben betreut hat und mir immer neue Denkanstösse gab, um mich weiter zu entwickeln. Aus dieser Tätigkeit heraus ist das Thema dieser Diplomarbeit entstanden. Weiter danke ich Prof. Dr.-Ing. O. Wallrapp für die wertvollen Hinweise und die engagierte Betreuung meiner Arbeit. Des Weiteren möchte ich Prof. Dr. N. Stokhausen danken für die Bereitstellung der messtechnischen Einrichtungen. Letztendlich möchte ich meiner Frau Alexandra Nicoletti (geb. Matsel) danken für ihre Geduld und Unterstützung.
  10. 10. Einleitung 11 1. Einleitung 1.1 Motivation Der Wunsch nach mehr Mobilität und Komfort, gepaart mit dem Drang nach immer leistungsfähigeren Systemen, hat in den letzten Jahren zu einem Umdenken, ja schon fast zu einem Paradigmenwechsel in den technischen Disziplinen geführt. Die klassischen Disziplinen wie Mechanik, Elektronik und Optik werden immer mehr von interdisziplinär geprägten Fachgebieten wie der Mechatronik verdrängt. Wie in Abbildung 1- 1 dargestellt, entstehen diese Fachgebiete durch Überlappung von verschiedener klassischen Disziplinen. Diese erfordern aber neue Ansätze in der Betrachtung und Gestaltung daraus entstehender hybriden Systeme. In den letzten Jahren entstanden mehrere Ansätze für solche Modellbetrachtungen, wie z.B. in der elektromechanischen Netzwerktheorie [Ise 14]. Abbildung 1-1 Interdisziplinarietät von mechatronischen Systemen Auf der anderen Seite steht die fortschreitende Miniaturisierung der Systemkomponenten, die den Motor der Entwicklung vorantreibt. Auch bei kraft- und bewegungsübertragenden Mechanismen und Getrieben macht der Trend zur Miniaturisierung keinen Halt und somit die Verschmelzung mit anderen Disziplinen. So werden die Kinetik und die Dynamik des Mikrokosmos immer stärker in den Vordergrund treten und uns vor neuen Herausforderungen stellen. Neue Fachgebiete wie Mikro- und Nanomechanik bringen neue Fertigungs- und Montageanforderungen mit sich, die ganz neue Ansätze erfordern. Eine große Herauforderung bildet da der Entwurf solcher Mechanismen, die nicht selten durch ihre Komplexität ins Auge fallen. Hier eine Systematik und effiziente Vorgehensweise zu erarbeiten, die auf die Anforderungen eines mikroskopischen Maßstabes anlehnt, ist eins der wichtigsten Anliegen, um ein wirtschaftliches Entwickeln zu gewährleisten. Die Simulation sowohl elektronischer als auch mechanischer Systeme nimmt hier eine zentrale Rolle ein. Sie ermöglicht eine hoch optimierte Voruntersuchung, ohne dass man aufwendige Fertigungsverfahren unnötig in Anspruch nimmt. Höchste Präzision und minimaler Aufwand werden die Ziele der Mechanik in der Zukunft sein. Mikroroboter, Mikropositionierung, Mikromotorik sind nur einige Schlagworte, die uns in nächster Zukunft begegnen werden.
  11. 11. Einleitung 12 1.2 Zielsetzung und Gliederung der Arbeit Ziel dieser Arbeit ist eine mechanische, durch Piezoaktoren angetriebene, Vorrichtung zu entwickeln, mit der beim Microscanen ein Bildsensor hochgenau positioniert wird. Das System soll hinsichtlich minimaler Baugröße, Robustheit und maximaler Zyklusfrequenz optimiert werden. Es soll ein Konzept, die Zeichnungen zur Fertigung und das System charakterisiert werden. Hierbei sind folgende Forderungen zu beachten: • es soll ein geeignetes Übersetzungsgetriebe entworfen werden, das sich aus den signaltechnischen Anforderungen ableitet • es sollen geeignete Federgelenke entworfen werden • es sind fertigungstechnische Aspekte zu berücksichtigen die vorzugsweise firmeninterne Ressourcen nutzen • ein geeignetes Material soll gefunden werden. Die Arbeit gliedert sich wie folgt: Abschnitt 1 gibt einen Überblick über die Umgebung, in der die Arbeit entsteht. Hier werden auch die theoretischen Vorrausetzungen, die für das Verständnis nötig sind, gelegt und die Problematik aufgezeigt. Abschnitt 2 erläutert die Vorgehensweise beim Design elastischer bzw. teilelastischer Mechanismen. Abschnitt 3 behandelt die Randbedingungen des Mechanismus und seiner Bestandteile. Abschnitt 4 widmet sich der Synthese eines starrgliedrigen Mechanismen und dessen Analyse. Abschnitt 5 behandelt die Erweiterung des im Abschnitt 4 synthetisierten Mechanismus um den elastischen Teil und analysiert ihn. Abschnitt 6 beinhaltet die fertigungstechnischen Parameter, die bei der Konstruktion des Mechanismus zu berücksichtigen sind. Abschnitt 7 widmet sich der konstruktiven Umsetzung der Ergebnisse aus dem Abschnitt 5. Abschnitt 8 behandelt die Frage, ob der Mechanismus im Rahmen seiner Anforderungen ist, unter Anwendung einer FEM- Analyse. Abschnitt 9 beinhaltet die Ergebnisse aus den Messungen der Eigenmoden mit einem Laservibrometer. Abschnitt 10 beinhaltet die Bewertung der erlangten Ergebnisse und die Zusammenfassung mit Ausblick.
  12. 12. Einleitung 13 1.3 Kontext der Arbeit Die entwickelte Mechanik soll Bestandteil eines Telecine Film Scanner der Firma Arnold und Richter (ARRI) werden. Der Arriscan findet seine Anwendung in der Filmindustrie als Antwort auf hochqualitative und effiziente Scannaufgaben (Anwendung für Kameranegativ, Cut Negativ, Archivierung & Restauration, Digital Dailies). Die wesentlichen Merkmale sind eine filmmaterial schonende LED- Beleuchtung, ein planer Filmtransport und ein CMOS Bildsensor mit 3300 X 2600 Pixel. Kopierwerk Film Projection ARRISCAN ARRILASER Analoge Filmkette Digitale Filmkette Aufnahme Distribution Projektion Produktion IP Intermediate Print Digital Intermediate Negativ 0101 1001 Digitale Effekte Restaurierung ARRI CMS Abbildung 1-2 Digitale Prozesskette Der Arriscan ist nach dem Arrilaser ein weiterer Beitrag zur Homogenisierung der digitalen Prozesskette. Diese nimmt, wie in Abbildung 1-2 dargestellt, ihren Anfang bei der Aufnahme der Filmszenen und erstreckt sich bis weit über die Distribution des Filmmaterials hinweg. Ziel von ARRI ist es, eine durchgängige Lösung anzubieten, die die Schnittstellenproblematik zwischen den einzelnen Prozessschritten minimiert. Beim Arriscan handelt es sich um einen so genannten Filmabtaster zur Umsetzung von Filmbildern in elektrische bzw. digitale Daten. Dazu wird der Film durchleuchtet und das Licht über eine Optik auf einen Bildwandler geleitet. Im Wesentlichen besteht ein Filmabtaster aus vier Hauptbestandteilen: einem Filmtransport zur Auf- und Abwinklung der Filmrollen, einer leistungsfähigen Beleuchtung, die das gesamte Farbspektrum ausreichend abdeckt, einer hochgenauen Optik und einem Bildwandler. Bei den Bildwandlern wird allgemein unterschieden zwischen Bildpunkt-, zeilenweiser und bildweiser Abtastung. Beim Arriscan handelt es sich um eine bildweise Abtastung, die über einen CMOS Halbleitersensor mit flächiger Ausdehnung erbracht wird. Der Bildwandler (Sensor) befindet sich, wie in Abbildung 1-4 b) angedeutet, auf der Positioniereinheit, die ihrerseits ein Teil des in Abbildung 1-3 b) dargestellten Kamerakopfes ist.
  13. 13. Einleitung 14 Abbildung 1-3 Der ARRISCAN: a) Prototyp 1 für die NAB 1 b) Schnitt durch den ARRI Scanner 1 National Association of Broadcasters. Weltweit größte Messe der Filmindustrie Abbildung 1-4 a) Positioniermechanik mit Piezoaktoren (Grün) b) Sensormodul a) b) a) b)
  14. 14. Einleitung 15 1.4 Digitale Bildverarbeitung Am Anfang der digitalen Bildverarbeitung steht das Abtasten eines Objektes. Im zweidimensionalen Fall bezeichnet man den Abtastvorgang als Scannen. Somit ist der Scanner die direkte Schnittstelle zwischen realer und elektronischer bzw. digitaler Welt. Beim Scannen wird ein Objekt mittels Helligkeitsmessung einzelner Bildabschnitte zweidimensional abgetastet. Die sich aus der Helligkeitsmessung ergebenden Werte werden als diskrete Zahlenwerte abgespeichert und als so genannte Pixel dargestellt. Die so erzeugten Pixel können auf einem Rechner als Pixelgrafik oder als ASCII- Datensatz weiterverarbeitet werden. Bei der Weiterverarbeitung wird die Pixeldarstellung von einem Segmentierungsprogramm in Pixelbereiche zerlegt und anschließend von einem ORC2 klassifiziert und dargestellt. Dieser Abschnitt soll einen kleinen Überblick über die Schnittstelle Scanner geben und den Aufbau seiner Komponenten ein wenig näher bringen. 1.4.1 Bildsensoren Kernstück eines jeden Scanners ist der Bildsensor. Wie er funktioniert und was er tut, soll im Folgenden erläutert werden. Ein moderner Bildsensor besteht im Wesentlichen aus einer Aneinaderreihung von Fotodioden, die auf einer Fläche (Array) oder in einer Zeile angeordnet werden. Man unterscheidet bei Bildaufnahmegeräten zwischen zwei Typen von Sensortechnologien, der • CCD (Charge Coupled Device) und der • CMOS (Complementary Metal Oxyde Semiconductors) Technologie. Das physikalische Prinzip, auf dem die Fotodiode aufbaut, ist bei beiden Technologien der Fotoeffekt in Halbleitern. Bei diesem werden wie in Abbildung 1-5 a) die Elektronen durch Lichtquanten (hf) angeregt, aus dem Valenzband in das Leitungsband gehoben, wobei sich Elektronen-Loch-Paare bilden. Durch Kurzschließen der Diode, wie in Abbildung 1-5 c) angedeutet, werden die Elektronenlochpaare rekombiniert. Die Sperrichtung der Diode führt dazu, dass dieser Vorgang nur in Durchlassrichtung geschieht und einen messbaren Strom zur Folge hat, der seinerseits äquivalent zur auftreffenden Lichtmenge ist. A hλ Iphoto p n Raumladungszone hλ hλ Abbildung 1-5 Photoeffekt in einer Photodiode: a) Ladungserzeugung in einer p-n Diode dargestellt im Energieniveauschema b) Aufbau einer p-n Diode c) kurzgeschaltete Diode in Durchlassrichtung zur Messung des Photostroms 2 ORC : Optical character recompilation (z.B. Photoshop) a) b) c)
  15. 15. Einleitung 16 Abbildung 1-6 Pixel als integriertes Bauteil: a) Schaltungsarchitektur eines Dreitransistor- CMOS- Pixels b) Layout des Dreitransistor- CMOS- Pixels Ein Pixel setzt sich aus Sicht eines Sensors, wie in Abbildung 1-7 dargestellt, aus aktiven und inaktiven Flächen zusammen. Die aktive Pixelfläche ist die eigentliche Fotodiode, die einfallende Lichtintensität in eine Ladung wandelt. Die inaktive Pixelfläche beherbergt bei CMOS- Sensoren integrierte Bauteile, die zur Verarbeitung und Weitergabe des Ladungssignals dienen (siehe Abbildung 1-6). Das Verhältnis zwischen aktiver und inaktiver Pixelfläche bezeichnet man als Fill-Faktor. Durch anschließende Analog- Digitalwandlung wird jedem Pixel ein diskreter Zahlenwert zugeordnet, der Zahlenwert entspricht der Helligkeit des auf dem Pixel einfallenden Lichtes. Abbildung 1-7 Bildsensorarchitektur : a) Pixelaufbau b) Microscann eines Frames a) b) a) b) Fotodiode (Quelle: Fa. FillFactory N.V)
  16. 16. Einleitung 17 1.4.2 Microscannen Wozu wird eigentlich microgescannt und wie funktioniert das? Um die Auflösung eines digitalen Bildes zu erhöhen, wendet man beim Scannen das Microscannverfahren an. Das Microscannverfahren geht auf Dr. Reimar Lenz zurück und wird bei Aufnahmen statischer Bilder angewandt. Es findet Anwendung sowohl in den Rückteilen von professionellen Fotokameras, wie z.B. der Sinar (Sinarbak), als auch in Kameras von Jenoptik im high-end Bereich. Das Mikroscannen von Bildern verfolgt im Wesentlichen zwei Ziele: zum ersten die Erhöhung der Auflösung, zum zweiten das Unterdrücken von Morie (Alias) Artefakte durch mechanisches Tiefpassfiltern. Erhöhung der Auflösung Um die Auflösung eines Bildes zu erhöhen, muss das Bild in feine Abschnitte unterteilt werden. Diese Unterteilung kann entweder durch Erhöhung der Pixel pro Flächeneinheit, oder durch mathematische Interpolation erreicht werden. Bei der mathematischen Interpolation werden die vorhandenen benachbarten Pixel herangenommen, um zusätzliche Pixel über mathematische Operationen, wie der Mittelwertbildung zu erzeugen. Der Nachteil dieser Vorgehensweise ist, dass Informationen die im Originalbild schon verloren gegangen sind, nicht mehr zurückgeholt werden können. Die bessere Alternative wäre die, den Abstand zwischen den Pixel zu verkleinern und somit mehr aktive Pixelflächen pro Flächeneinheit unterzubringen. Diese Variante hat den Vorteil, dass die Information des aufgenommenen Objektes erheblich detailreicher ist, als das „Originalbild“ des mathematisch interpolierten Bildes. Die Grenzen dieser Alternativen liegen im technologisch möglichen sowie im nicht unerheblichen Preis eines höher auflösenderen Sensors. Das Microscanverfahren könnte man als Hybrid beider Vorgehensweisen auffassen. Hierbei wird der Sensor, wie in Abbildung 1-6 b) angedeutet, im Subpixelbereich (ca. ~ 4 µm) so verschoben, das sich die aktiven Pixelflächen anschließend genau dort wieder finden, wo sich einst die inaktiven Pixelflächen befanden. Durch mehrmaliges zweidimensionales Versetzen und Belichten des Sensors in diesen verschobenen Positionen werden mehrere Bilder erzeugt. Diese Bilder werden im Anschluss mathematisch übereinander gelegt und optimiert. Das Ergebnis sind durch die Versetzung erzeugte virtuelle Pixel, die wie in Abbildung 1-8 dargestellt, im Gegensatz zum nicht microgescanten Bild eine Erhöhung der Auflösung zur Folge haben. Microscan Abbildung 1-8 Schematische Darstellung der Pixelvervielfältigung durch Erzeugung virtueller Pixel
  17. 17. Einleitung 18 Tiefpassfilterung Zerlegt man ein Bild nach einem regelmäßigen Schema, so kann das unter Umständen mit der Entstehung von Alias-Strukturen verbunden sein. Die bei einem Bildsensor regelmäßig angeordneten Pixelstrukturen, wie sie schon in Abbildung 1-7 a) dargestellt wurden, erfordern unter Beachtung des Abtasttheorems eine Tiefpassfilterung, um ein Alias auszuschießen. Nach dem Abtasttheorem müssen die Abtaststrukturen doppelt so fein sein wie die feinsten aufzulösenden Bildelemente. Der Tiefpassfilter hat nun die Aufgabe, die feinsten Strukturen im Bild soweit zu verwischen, das sie mindestens doppelt so grob aufgelöst werden wie die der Abtaststruktur des Sensors. In Gegensatz zur den gängigen Verfahren, bei denen die Tiefassfilterung entweder optisch oder über mathematische Operationen an der Bildmatrix geschieht, wird bei den mechanischen Tiefpassfilterungen das Prinzip der Bewegungsunschärfe ausgenutzt. In Abbildung 1-9 wird der Vergleich zwischen optischem und mechanischem Tiefpassfilter mit einer Versetzung von 8 µm gezeigt. Hierbei wird die Modulations-Transfer-Funktion (MTF)3 über die Ortsfrequenz4 aufgetragen. Wie man sehen kann, ist der Unterschied zum optischen Tiefpass gering. V e rg le ic h P ie zo -o p tis c h e r T ie fp a s s fü r d ie B ild h ö h e 1 2 m m 0 0 ,1 0 ,2 0 ,3 0 ,4 0 ,5 0 ,6 0 ,7 0 ,8 0 ,9 1 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 O rts fre q u e n z(L p /m m ) MTF O p tisc he r T iefp a ss P ie zo Abbildung 1-9 Vergleich zwischen optischem und Piezo- Tiefpass [Kha 17] 3 Siehe Anhang A 4 Siehe Anhang A (Quelle: Fa. ARRI)
  18. 18. Einleitung 19 1.5 Starre und elastische Mechanismen Was versteht man eigentlich unter einem elastischen Mechanismus und wie beschreibt man solche Mechanismen? Diese Frage soll hier kurz beantwortet werden, um die Vorgehensweise bei der Synthese5 des Positioniermechanismus zu verstehen. 1.5.1 Klassifizierung In der klassischen Auffassung eines mechanischen Getriebes bzw. Mechanismus wird eine bewegliche Verbindung von Gliedern verstanden, die Kräfte, Bewegungen bzw. Leistungen überträgt. Als Schnittstelle zwischen den Gliedern stehen Gelenke, sie gewährleisten die eigentliche Übertragung der Leistung von einem Glied zum anderen. Aus der Konstruktion sind drei Arten von Verbindungen bekannt, in die auch die Gelenke eingeteilt werden können: • kraftschlüssige Verbindungen • formschlüssige Verbindungen • und stoffschlüssige Verbindungen. Die meist verbreitetste Art der Gelenkverbindung ist die formschlüssige Verbindung. Beispiele hierfür sind Dreh- und Schubgelenke. Daher ist auch ein Grossteil der Methoden zur Analyse und Synthese auf diese Gelenke ausgerichtet. Kraftschlüssige Gelenke erhalten ihre Zwangsbedingung aus dem Prinzip „der Aktio gleich Reaktio“ einer gerichteten Kraft. Beispiele für kraftschlüssige Gelenkeverbindung sind Passivgelenke6 . Ein Sonderfall dieser Gelenkklasse sind reibschlüssige Gelenke wie in Riemenantrieben. Das stoffschlüssige Gelenk wird in der klassischen Getriebelehre zwar in Form von Federgelenken erwähnt, führen da aber ein Schattendasein. Dies ist der Grund dafür, dass mit den konventionellen Analyse- und Synthesemethoden Mechanismen mit solchen Gelenke nur unbefriedigend bearbeitet werden können. Dieser Nachteil bei Federgelenkmechanismen währt daher, dass man in der Betrachtung der Kinetik und Statik immer von der Annahme ausgeht, dass die Glieder des Mechanismus ideal steif sind. Diese Voraussetzung der klassischen Getriebelehre ist aber bei elastischen und teilelastischen Mechanismen nicht gegeben. So definierte z.B. Salomon 1989 in seiner Dissertation zum Thema Compliance Mechanism und Howell in seinem erstmals 1994 erschienenen Aufsatz zur Klassifizierung von elastischen Mechanismen ein elastisch nachgebenden Mechanismus als: „ A compliant mechanism is one which gains all or part of its mobility from the relative flexibility of its members unlike as in rigid body mechanisms” 7 Diese sehr umfassende Definition wehrt daher, dass bei vielen Mechanismen eine diskrete Einteilung zwischen Gelenken und Gliedern nicht immer möglich ist. Die in der Tabelle 1-1 dargestellte Klassifizierung geht sogar einen Schritt weiter und erweitert sie um die Annahme, dass der Aktor als Teil des Mechanismus auch deformierbar ist, zu einem adaptiven System. 5 Unter der Synthese eines Mechanismus versteht man das theoretische Erzeugen eines Getriebes. 6 Siehe Abschnitt 6.2 Abbildung 6-3. 7 „Ein Mechanismus, bei dem die ganze oder ein Teil der Mobilität von der relativen Flexibilität seiner Glieder bestimmt wird“.
  19. 19. Einleitung 20 Tabelle 1-1 Erweiterung klassischer mechanischer Modelle Klassischer Mechanismus Compliance Mechanismus Adaptiver Mechanismus Starre Glieder Flexible Glieder Flexible Glieder Starre (flexible) Gelenke Flexible Gelenke Flexible Gelenke Starre Aktoren Starre Aktoren Flexible Aktoren 1.5.2 Elastizitätstheorie Um Funktionsweise und Eigenarten von elastischen Mechanismen zu verstehen, muss man die Natur elastischer Körper begreifen. Im folgenden Abschnitt soll eine kleine Zusammenfassung der wesentlichen Züge der Elastizitätstheorie gegeben werden. Die Elastizitätstheorie beschreibt den Zustand von verformbaren Körpern unter Einwirkung von Kräften. Eines der Hauptbetätigungsfelder ist die Vorhersage von Spannungen und Verzerrungen als Folge von Deformationen. Ziel ist es, Bauteile so auszulegen, dass sie die geforderten Funktionen im Rahmen des Zulässigen erfüllen. Abbildung 1-10 zeigt schematisch die Vorgehensweise bei solchen Problemen. Abbildung 1-10 Vorgehensschema bei der Festigkeitsuntersuchung Wird ein Bauteil von außen mit einer Kraft oder einem Moment belastet, so treten im Inneren des Bauteils infolgedessen Beanspruchungen auf, die als Spannungen bezeichnet werden. Darüber hinaus ist die Größe und Richtung der Spannungen noch von der Geometrie und Größe des Bauteils abhängig, sie wird in Abbildung 1-10 als Abmessung A bezeichnet. Für die zulässige Spannung, die ein Bauteil aufnehmen kann, werden materialabhängige Größen herangezogen. Welche man nimmt, ist abhängig von der Problemstellung. Wie aus Abbildung 1-11a zu entnehmen ist, können das z.B. die Elastizitätsgrenze Reh, die Plastizitätsgrenze Rel oder die maximale Belastungsgrenze Rm sein. Diese Werkstoffwerte werden in der Regel nie vollständig ausgenutzt, aus lebensdauertechnischen Gründen, in die im Abschnitt 3.3 näher eingegangen wird, werden diese meist noch mit einem Sicherheitsfaktor S beaufschlagt. Die Festigkeitsbedingung ist dann erfühlt, wenn die Ungleichung von SOLL (σ) und IST(σzul) erfüllt ist. Man unterscheidet bei der Festigkeitsberechnung fünf Grundbelastungsfälle, die alle auf eine Abmessungen [ A ] Äußere Belastung [ F od. M ] Sicherheitsbeiwert [ S ] Festigkeitsbedingung Werkstoffkennwerte (Abhängig von der Problemstellung i) [ Ri ] zulσ σ≤ Wirkende Spannung F A σ = Zulässige Spannung i zul R S σ =
  20. 20. Einleitung 21 Kraft F bzw. auf ein Moment M zurückzuführen sind: • die Zugbelastung • die Druckbelastung • die Biegebelastung • die Schubbelastung • die Torsionsbelastung. Die Grundlage der Elastizitätstheorie bildet das Hooke’sche8 Gesetz. F k l= ∆ [1.1] Es beschreibt den linearen Zusammenhang zwischen einer Kraft F und der Elongation ∆l an einer elastischen Feder. Die lineare Proportionalitätskonstante k wird in der Technik als Federkonstante bezeichnet und ist sowohl vom Material, als auch von der Geometrie der Feder abhängig. Durch Normierung der Elongation, indem man sie durch die unbelastete Länge l0 dividiert, erhalten wir die Dehnung ε als Maß für die Deformation. Für die Kraft F wird nun die Spannung σ, als Verhältnis von Kraft pro Flächeneinheit, eingeführt. Dies bringt uns somit zur allgemeinen Form des Hookshen Gesetzes. Eσ ε= [1.2] Die lineare Proportionalitätskonstante E wird als E- Modul bezeichnet und ist eine rein materialspezifische Größe. Die allgemeine Form beschreibt somit den linearen Zusammenhang zwischen der Spannung σ, die aufgrund einer Belastung auftritt, und der Formänderung ε eines Körpers. In Abbildung 1-11 a) wird der Spannungsverlauf eines Körpers dargestellt, wobei der gerade Verlauf zwischen Nullpunkt und der Elastizitätsgrenze Reh als elastisch reversibel im Hooke`schen Sinne angesehen werden kann. Bei der Spannung muss, wie in Abbildung 1-11 b), vorzeichnen bedingt, zwischen positiver Zugspannung und negativer Druckspannung unterschieden werden. Da die Spannung eine vektorielle Größe darstellt, wird zusätzlich noch eine weitere Unterscheidung nach der Richtung vorgenommen, die sie bezüglich dem Körper hat. Wie in Abbildung 1-11 c) dargestellt, werden die Spannungen an einem Körper in die Normalspannungen σij, die normal zur Fläche wirken, und in die Schubspannungen τij die parallel zur Fläche wirken, eingeteilt. Abbildung 1-11 Spannungen a) Spannungs- Dehnungs- Diagramm b) Spannungen an einem Kragträger c) Spannungszustände an einem Volumenelement Befindet sich nun der Körper in einem Euklidischen Raum R(3) , so können die Spannungen, 8 Hooke, Robert (1635 bis 1703) b) c)a) F (Quelle: [Dem 6])
  21. 21. Einleitung 22 die in einen Volumenelement dV wirken, als Spannungstensor S dargestellt werden. x xy xz yx y yz zx zy z S σ τ τ τ σ τ τ τ σ     =       [1.3] Bei der mechanischen Auslegung eines Bauteils muss auf materialabhängige Besonderheiten des Werkstoffes eingegangen werden. So können Materialien sehr unterschiedlich auf Spannungsrichtungen reagieren. So sind einige Werkstoffe empfindlicher gegen Schubspannungen, andere mehr gegen Normalspannungen oder Druckspannungen, andere wiederum mehr gegen Zugspannungen. Dieses unterschiedliche Verhalten gegenüber Spannungen läst sich mit dem unterschiedlichen Aufbau von Festkörpern erklären, wobei die Orientierung der Kristallstruktur von Festkörpern wohl die häufigste Ursache hierfür sein mag. Dieses Verhalten führt dazu, dass bei der Auslegung eines Bauteils spezielle Spannungshypothesen aufgestellt werden müssen. Sie entstehen durch Überlagerung der einzelnen Spannungskomponenten, wobei je nach Hypothese die einzelnen Spannungskomponenten verschieden gewichtet werden. Aus diesen Spannungshypothesen geht eine Vergleichsspannung σv hervor. Mit dieser Vergleichsspannung lassen sich nun auch durch mehrachsige Belastungen verursachte Spannungen beschreiben. Somit können mehrachsige Spannungszustände in einen virtuellen einachsigen Zustand überführt werden. Die bekanntesten (zweiachsigen) Hypothesen im x-z Koordinatensystem sind hier: • Die Normalspannungshypothese 2 2 max 2 2 x z x z v xz σ σ σ σ σ τ σ + +  = + + =    [1.4] • Die Schubspannungshypothese ( ) 2 2 max max min2 4v x z xzσ τ σ σ σ σ τ= = − = − + [1.5] • Dehnungshypothese 2 2 2 2 2 2 2 2 x yx z x z x z v xz xz σ σσ σ σ σ σ σ σ τ µ τ + + − −    = + + − − +           [1.6] • Die Gestaltänderungshypothese (auch Huber- Mises- Henky` sches Fliesskriterium)9 2 2 2 3v x z x z zxσ σ σ σ σ τ= + − + [1.7] Hierbei sind σx und σz die beiden Normalspannungen, τxz und τxz die Schubspannungen und µ die Querkontraktionszahl. Es muss daher darauf geachtet werden, dass für das verwendete Material die dazupassende Hypothese gewählt wird, so dass die kritischen Spannungskomponenten auch angemessen gewertet werden. So ist die Normalspannungshypothese geeignet für spröde Materialien wie Grauguss oder Beton. Die Schubspannungshypothese eignet sich mehr für kristallin aufgebaute Werkstoffe. Die Dehnungshypothese eignet sich mehr für spröde Materialien oder verschlissene Bauteile. Die Gestaltänderungshypothese ist für zähe Werkstoffe wie Stahl geeigneter. 9 unter ANSYS als von Mises Spannung definiert (Richard von Mises (1883-1953))
  22. 22. Einleitung 23 1.5.3 Die Biegung Eine der zentralsten Fragen dieser Arbeit ist: „Unter welchen Bedingungen verbiegt sich ein Festkörper?“ Die ersten Überlegungen zur Biegung von Körpern stammen von Leonardo da Vinci10 , er stellte bei Untersuchungen an Balken fest, dass die Durchbiegung des Balkens sowohl von seiner Länge, als auch von der Querschnittsfläche und deren Geometrie abhängt. Diese Erkenntnis führte später zum Begriff der Flächenträgheitsmomente Iij, in dem die Auswirkungen der Querschnittsfläche und deren Geometrie zusammengefasst sind. Sie wird definiert, wenn x- Achse gleich Balkenachse als: 2 2 yy zz A A I z dA I y dA= =∫ ∫ [1.8] Wobei die Indizes an I die Biegeachse angibt, auf die sich das Flächenträgheitsmoment bezieht. Hinzu kommen materialabhängige Faktoren, die durch den E- Modul beschrieben werden. Aus diesen Erkenntnissen läst sich sagen, dass die Auslenkung w in z- Richtung unter einer Belastung F (sei hier eine Kraft) einer Funktion des E- Moduls E, der Länge l, des Flächenträgheitsmomentes Iyy, und der Kraft F ist. Nimmt man nun die Durchbiegung w als Funktion an, so kann man ihre Änderung als Verschiebung ansehen, wie in Abbildung 1-12 a) dargestellt. Bei der Ableitung der Funktion w nach dem Ort x, kann man wie in Abbildung 1-12 b) gezeigt von einer Neigung gegenüber x sprechen. Die zweite Ableitung nach dem Ort liefert (Abbildung 1-11 c)) eine Näherung für die Krümmung. 1 ''( ) r w x ≈ '( )w x( )w x ( )bM x ( )bM x l+ 1 z y x Abbildung 1-12 Ableitung der elastischen Linie aus den Ableitungen der Versetzung w(x) Die Berechnung von Biegungen mit beliebigen Querschnitten kann sehr kompliziert werden und sehr oft nur noch numerisch erfolgen. Dies führt dazu, dass eine Vereinfachung der Randbedingungen zur Berechnung von Biegungen unablässig ist. Den einfachsten Fall einer Vereinfachung in der Mechanik bietet die Euler- Bernoulli11 - Hypothese. Sie gibt eine gute Nähehrung für kleine Versetzungen w bezüglich der Länge l eines Balken12 . Die Euler- Bernoulli-Hypothese besagt nun, das die Querschnitte zur neutralen Faser auch unter Belastung senkrecht zur neutralen Faser bleiben. Mathematisch werden Teilstücke des gebogenen Balkens, wie in Abbildung 1-13 dargestellt, durch Kreisbögen beschrieben (die Kreisbögen sind nur eine Näherung). Für die Länge l ergibt sich somit für die Biegung ein Krümmungsradius r. 10 (1452-1519) 11 Leonhard Euler (1707-1783) Johan Bernoulli (1667-1748) 12 Mechanisch wird ein Balken definiert: als ein prismatischer Körper, bei dem die Längsausdehnung wesentlich größer als seine Querschnittabmessung ist. a) b) c) ∼
  23. 23. Einleitung 24 ϕ r l r ϕ= y z x l σ+ σ− 0z = dz l∆ neutraleFase 20 h Abbildung 1-13 Definition der Biegung Wie man aus Abbildung 1-13 ersehen kann, erfolgt an der Oberkante des Balkens (bei Z =h/2) eine Dehnung, analog an der Unterkante (bei z =-h/2) eine Stauchung, wobei die neutrale Fase (bei Z=0) ihre Länge l beibehält. Der Betrag, der durch die Stauchung bzw. Dehnung erzeugten Längenänderung ∆l ergibt sich aus: ( ) l l z z z r ϕ∆ = = [1.9] Damit ein Festkörper so eine Längenänderung mitmacht, müssen für alle infinitesimal dünnen Schichten entsprechend Gleichung 1-2 die zugehörigen Spannungen aufgebracht werden. Aus Gleichung 1-2 folgt für den Betrag der Normalspannungen: l z E E E l r σ ε σ ∆ = = = = [1.10] Auf eine infinitesimal dünne Schicht dz wirkt somit eine Kraft: b dF b dz E z dz r σ= = [1.11] Hierbei ist b die Querschnittsbreite des Balkens. Das durch die Kraft erzeugte Moment in y- Richtung ergibt sich somit aus: 2 y b dM E z dz r = [1.12] Summiert man nun die Momente der einzelnen schichten über die Höhe h des Balkens auf ergibt sich: 2 2 2 1 h y h M E z dz b r − = ∫ [1.13] Dieses von der Biegung erzeugte Moment, wirkt also dem Moment entgegen das die Biegung verursacht. Daraus folgt das wen die Biegung durch ein Biegemoment Mb erzeugt wird, die Biegung dem Moment Mb ein Moment -My entgegnet, so dass eine Gleichgewichtssituation entsteht. Wird eine Biegung durch ein Biegemoment Mb erzeugt, so kann man für den Krümmungsradius r in Gleichgewicht aus Gleichung (Mb = -My) 1-13und 1-8 folgende Beziehung aufstellen. / 2 2 / 2 1 b b h yy h M M r E I E z dz b − = − = − ∫ [1.14]
  24. 24. Einleitung 25 Somit ist der Krümmungsradius r eines unter der Last Mb gebogenen Balkens, abhängig von seinem E- Modul und einem Flächenträgheitsmomentes Iyy. In der Mathematik [Sas 32] wird die Krümmung einer Kurve beschrieben durch: 2 3 1 ( ) (1 ( ) ) w x r w x ′′ = ′+ [1.15] Unter Anwendung der Taylor-Entwicklung kann nun, für kleine Auslenkungen w(x) in Bezug zur Länge l, für den Krümmungsradius die folgende Nähehrung gemacht werden (siehe Abbildung 1-12). 1 ( )w x r ′′≈ [1.16] Beim Gleichsetzen der Gleichungen 1-14 und 1-16 ergibt sich für kleine Biegungen folgende Beziehung: ( ) b yy M w x E I ′′ = − [1.17] Diese Beziehung ist in der Mechanik als Gleichung für die elastische Biegelinie für gerade Balken bekannt. Sie gibt in guter Näherung die Biegung eines Balkens bei kleinen Auslenkungen wieder. 1.5.4 Die Feder Die Grundlage für die Betrachtung jeglicher Federn bildet das oben in Gleichung 1-1 schon eingeführte Hookesche Gesetz. In Abbildung 1-14 werden einige Federkennlinien dargestellt, die das Verhalten einer Feder charakterisieren. Hierbei ist F die Kraft in Newton13 , die zur Formänderung der Feder benötigt wird und s die Stauchung bzw. Streckung in Metern. Da man bei den Kennlinien nicht zwischen Stauchung und Streckung unterscheidet, ist das Hock´sche Gesetz unabhängig von der Art bzw. Richtung der Belastung (Druck oder Zug). Die Steigung der Kennlinie entspricht der Konstanten k aus Gleichung 1-1 und wird nach DIN 2089 als Federrate oder Federkonstante bezeichnet. Je nach Kennlinienverlauf unterscheidet man zwischen linearen und nichtlinearen Kennlinienverläufen. Bei den nicht linearen wird zwischen progressiven, degressiven und Hystereseverläufen unterschieden (Abbildung 1-14 b) u. c)). Die Steifheit einer Feder erkennt man an der Steilheit der Kennlinie, wobei eine flachere Kennlinie eine weiche Feder charakterisiert und eine steilere eine härtere Feder beschreibt. Bei der Beschreibung von Feder die rotatorische Formänderungen vollziehen, wird analog zur Gleichung 1-1 die Beziehung für Drehfedern wie folgt formuliert: DM k ϕ= ∆ [1.18] Hierbei ist ∆φ der Verdrehwinkel und kD die Drehfederkonstante. 13 Isaak Newton 1642- 1727 (Hauptwerk: Philosophiae naturalis principia mathematica)
  25. 25. Einleitung 26 [ ]F N [ ]F N [ ]F N [ ]s m[ ]s m[ ]s m harteFeder Federarbeit weicheFeder progressiv linear degressiv Verlustarbeit Hysterese Abbildung 1-14 Federkennlinien: a) Kennlinien zur Steifigkeit einer idealen Feder und die dazugehörige Arbeit b) lineare und nicht lineare Federn c) Verlauf einer realen Feder und ihre Verlustarbeit Die an einer Feder verrichtete Arbeit berechnet sich aus der in Abbildung 1-14 a) schraffierten Fläche unter der Kennlinie und ist wie folgt definiert: federW F ds= ∫ [1.19] Für lineare Federn wie in Abbildung 1-14 a) gilt folglich: 2 2 . 1 1 2 2 lin feder F W k l k = ∆ = [1.20] Für ideale Federn wie in Abbildung 1-14 a) und b) gilt: die Kennlinien für Be- und Entlastung sind gleich. Daraus folgt, dass die zur Verformung der Feder benötigte Arbeit vollständig gespeichert (konserviert14 ) und bei Entlastung vollständig wieder abgegeben wird. Bei realen Federn ist dies nicht der Fall, da bei genauerer Betrachtung der Kennlinie immer ein Hystereseverlauf zu erkennen ist (siehe Abbildung 1-14 c). Die Fläche, die von der Hystereseschleife umschlossen wird, bezeichnet die Arbeit bzw. Energie, die bei der Be- und Entlastung einer Feder verloren geht (z.B. thermisch). Die in Gerätebau am häufigsten vorkommenden Federausfürungen sind: • die zylindrische Schraubenfeder • die Tellerfeder • die Biegefeder und • die Drehstabsfeder. In dieser Arbeit werden wir uns auf die Betrachtung von Biegefedern beschränken. Die Biegefeder leitet sich aus der oben betrachteten Balkenbiegung ab. In ihrer einfachsten Ausführung stellt sie einen Kragbalken dar (siehe Abbildung 1-11 b). Nach VDI 2252 Blatt 9 [VDI 37] ergibt sich die Federkonstante einer einfachen Biegefeder aus: 14 Ein System bestehend aus Federn wird daher auch als konservatives System bezeichnet a) b) c)
  26. 26. Einleitung 27 3 12 E h b k l = [1.21] Das an einer Biegefeder maximal zulässige Biegemoment ermittelt sich aus: 2 . 6 z zul h b M σ= [1.22] In diesem Zusammenhang werden im Abschnitt 5.1 die Steifigkeiten von Biegefedern in der Ausführung als elastische Gelenke näher betrachtet. Die Federwerkstoffe werden in Abschnitt 3.3.2 näher erläutert. Beim Zusammenschluss von Federn zu einem Federsystem unterscheidet man in der Technik zwei Schaltungsformen: • die Parallelschaltung • die Reihenschaltung. Die Parallelschaltung, wie in Abbildung 1_15 b) dargestellt, ist dadurch gekennzeichnet, dass alle Federn den gleichen Weg zurücklegen. Die Gesamtsteifigkeit eines solchen Systems berechnet sich wie folgt: 1 2 1 ... n ges n i i k k k k k = = + + + = ∑ [1-23] Die Reihenschaltung, wie in Abbildung 11-15 a) dargestellt, ist ihrerseits dadurch gekennzeichnet, dass auf alle Federn die gleiche Kraft einwirkt. Die Gesamtsteifigkeit eines in Reihe geschalteten Systems berechnet sich wie folgt: 11 2 1 1 1 1 ... n ges in i k k k k k= = + + + = ∑ [1-24] 1k 2k nk xF F 1k 2k nk x Abbildung 1-15 Schaltungsformen von Federn: a) Reihenschaltung b) Parallelschaltung a) b)
  27. 27. Einleitung 28 1.6 Aktorik Was sind Aktoren und wie funktionieren sie? Diese zentrale Frage soll hier beantwortet werden, wobei der Schwerpunkt auf den in der Positioniereinheit verbauten Piezoaktoren liegt. Eine der gängigsten Definitionen des Begriffs „Aktor“ stammt aus der Steuerungstechnik und besagt, dass Aktoren die Bindeglieder zwischen der Steuerung und dem Prozess an sich sind [Hüt 13]. Wie in Abbildung 1-16 gezeigt, werden die Prozesse von Aktoren nach vorgegebenen Programmen gesteuert. Der größte Teil der gängigen Aktore wird elektrisch angesteuert und wandelt die zugeführte elektrische Energie in mechanische Arbeit um. Der Aktor lässt sich grob in drei Funktionsglieder unterteilen, die in Reihe geschaltet einen Aktor bilden. Prozeß - Mechanisch - Hydraulisch - Adaptive Strukturen - Hybride Systeme Aktor Energiesteller Energiewandler GetriebeProgramm - Festkörperwandler - Motoren - Shape Memory Alloy - Bimetalle - Elektrische Energie - Chemische Energie - Thermische Energie - Strömungsenergie - VHDL - C - LabView - Hardware - Positionieren - Greifen - Schließen - Drehen Z.B Hilfsenergie Sensor Abbildung 1-16 Der Aktor: Aufbau und seine Bedeutung im steuerungstechnischen Zusammenhang Die Funktionsglieder sind Energiesteller, Energiewandler und Getriebe. Unter dem Begriff des Energiestellers verbirgt sich eigentlich nichts anderes, als ein Leistungsverstärker, mit dem die vom Programm stammenden Steuersignale in leistungsstarke signalmodulierte Einspeisgrößen für den Energiewandler erstellt werden. Als Energiewandler werden verschiedene Wechselwirkungen zwischen physikalischen Größen ausgenutzt, um Energie bzw. Leistung von einer Form (z.B. elektrisch) in die andere (z.B. mechanisch) zu transformieren. Das Getriebe wandelt, formt um und überträgt Bewegungen und Kräfte, und somit auch Energie. Dies kann z.B. über mechanische, hydrostatische oder hybride Systeme geschehen. Grob gesagt, besteht ein Aktor aus einem Vorverstärker, einem Wandler und einem Nachverstärker. Im Allgemeinen beschränkt sich die Anwendung des Wortes „Aktor“ häufig nur auf den Wandler. So bezeichnet man z.B. einen Piezowandler sehr oft als Aktuator oder Aktor. Nach der obigen Definition wäre dementsprechend die gesamte Positioniereinheit mit Vorverstärkern und Stellmechanik als Aktor anzusehen. Zur Beschreibung der Piezoaktoren in diesem Kapitel wird daher noch zwischen dem Aktor als System und dem Wandler als Teil dieses Systems unterschieden. In den folgenden Kapiteln wird dann dazu übergegangen, als Aktor nur den Wandler zu bezeichnen, was in englischsprachiger Literatur durchaus eine gängige Praxis ist.
  28. 28. Einleitung 29 1.6.1 Piezoaktoren Die Piezoaktoren15 basieren auf dem inversen piezoelektrischen Effekt16 . Legt man nun eine Spannung an ein Piezokristall an, kommt es zu einer Formänderung, was den Aufbau von Aktoren erlaubt. Piezoaktoren zeichnen sich in erster Linie durch ihre präzisen Bewegungen mit Auflösungen im Nanometerbereich aus. Die kurze Ansprechzeit und die damit gepaarte hohe Stellgeschwindigkeit erlauben darüber hinaus einen dynamischen Betrieb von mehreren MHz. Die Translations- und Krafterzeugung geschieht bei Piezoaktoren völlig reibungsfrei, was zu einem verschleißfreien Betrieb im Vergleich zu anderen Aktoren führt. Mit einem Wirkungsgrad von ca. 60% erzeugen sie schon im Niedervoltbetrieb bei 100 V Kräfte bis zu 1000 N. Diese Eigenschaften machen den Piezoaktor zu einem idealen Energiewandler für hoch dynamische Positionieraufgaben. Piezoaktoren gehören zur Klasse der Festkörperaktoren und ihre Eigenschaften leiten sich somit aus der Festkörperphysik ab. Die größten Nachteile der Piezoaktoren sind die in Abbildung 1-17 dargestellten Effekte. So sind Piezoaktoren stark hysteresebehaftet, was dazu führt, dass sie für genaue Versetzungsaufgaben nur geregelt angewandt werden können. Des Weiteren neigen sie dazu, bei gleich bleibender Spannung mit zunehmender Zeit ihre Größe zu verändern, was man als „Kriechen des Aktors“ bezeichnet. Abbildung 1-17 Parasitäre Eigenschaften eines Piezoaktors a) Hysterese b) Kriechverhalten 1.6.1.1 Physikalischer Hintergrund Der inverse piezoelektrische Effekt tritt in Kristallen auf, die eine Perowskit-Struktur, wie in Abbildung 1-18 dargestellt, aufweisen. Hierzu zählen unter anderen Stoffe wie Quarz, PZT und Zinkblende. Perowskit-Strukturen sind kristalline Strukturen, die kein Symmetriezentrum besitzen und somit anisotrop sind. Dies erlaubt eine Wechselwirkung zwischen angelegter Feldstärke und der Form des Kristalls. 15 gr. Piezo: ich drücke 16 1880 von Gebrüder Curie entdeckt (Quelle: Fa. Tokin/NEC) a) b)
  29. 29. Einleitung 30 Abbildung 1-18 Perowskit- Struktur eines Kristalls Die Wechselwirkung zwischen elektrischen und mechanischen Zuständen in einem Kristall bezeichnet man als Piezoelektrizität, sie ist beschränkt auf polarisierte Dielektrika17 . In einem polarisierten Kristall wird durch Anlegen eines elektrischen Feldes ein elektrisches Dipolmoment induziert, das zu einem Verschieben der positiven und negativen Ionen gegeneinander führt und so ein Verformen des Kristalls zur Folge hat. Der piezoelektrische Effekt kann neben seiner Anwendung als Aktor auch als Sensor (direkter piezoelektrischer Effekt) genutzt werden. Ansätze, in denen Piezoelemente gleichzeitig als Sensoren und Aktoren genutzt werden, finden sich unter Smarte Aktoren [Jen 15]. Der Piezoaktor verbraucht nur beim Heben Energie. Da das Aufrechthalten eines elektrischen Feldes außer einem geringen Leckstrom kaum Strom in Anspruch nimmt, ergibt sich der niedrige Energieverbrauch und der hohe Wirkungsgrad. Die Curietemperatur ist der Punkt, ab dem in ferroelektrischen Materialien keine spontane Polarisation mehr möglich ist. Bei keramischen polykristallinen Materialien, wie z.B. PZT18 , muss das Material erst polarisiert werden. Dies geschieht knapp unter der Curietemperatur unter Einfluss eines starken elektrischen Feldes. Hierbei werden die ungeordneten Dipolmomente entlang der elektrischen Feldlinien orientiert. Der Piezoeffekt ist aufgrund seiner Abhängigkeit von der Kristallgeometrie stark richtungsabhängig, diese Abhängigkeit wird mit den Indizes i und j beschrieben. Die so genannten Bravais- Miller- Indizes stammen aus der Kristallographie und orientieren sich an ein kartesisches Koordinatensystem, in dem wie in Abbildung 1-19 a) gezeigt definitionsgemäß die Z-Achse mit 3 die Y-Achse mit 2 und die X-Achse mit 1 bezeichnet wird. Zusätzlich werden die Rotationen um die Z-Achse mit 6, um die Y-Achse mit 5 und um die X-Achse mit 4 bezeichnet. Wie in Abbildung 1-19 b) dargestellt, werden je nach Polarisations- und Translationsrichtung verschiedene Teileffekte unterschieden und durch die Indizes markiert. Dabei orientiert sich der Polarisationsvektor definitionsgemäß in Richtung der positiven Z-Achse. Wenn i die Richtung des elektrischen Feldes angibt und j die der Auslenkung, ergeben sich folgende Indizes für die verschiedenen Teileffekte: 33 für den Längseffekt 31 für den Quereffekt 15 für den Schereffekt So ist z.B. das Piezomodul dij für den Längsdehnungseffekt mit d33 indiziert. 17 Elektrisch isolierendes Material 18 PZT: Blei-Zirkon-Titan (Quelle: [Her 11])
  30. 30. Einleitung 31 Abbildung 1-19 Darstellung der Bravais-Miller-Indizierung und den dazugehörigen Auslenkungseffekten: a) Bravais-Miller-Indizierung b) Auslenkungseffekte Abhängig von der Polarisationsrichtung P In Tabelle 1-2 werden die wichtigsten piezoelektrischen Werkstoffe aufgezählt. Verglichen werden die Längseffekte 33 bei folgenden Kennwerten: Kopplungsfaktor kij: Maß für die Umwandlung elektrischer in mechanische Energie (geeignet zum Vergleichen von Piezomaterialien). Permitivitätszahl εij: Fähigkeit, elektrische Ladung zu speichern. Piezomodul dij: Zusammenhang zwischen aufgebrachter Ladung und resultierender Dehnung . Tabelle 1-2 Wichtigste piezoelektrische Werkstoffe (Quelle: [Jen 15]) Werkstoff Kristallstruktur Kopplungsfaktor k33 [-] Piezomodul d33 [10-12m/V] Permitivitätszahl ε33 [-] Curietemperatur ϑc [°C] Quarz Einkristall 0,09 2- 7 5 570 PZT Polykristallin 0,15- 0,72 50- 765 300- 4000 180- 400 PVDF Teilkristallin 0,12 20 12 100 1.6.1.2 PZT- Keramiken Bei den in dieser Arbeit verwendeten Piezoaktoren handelt es sich um Multilayer-PZT- Keramik-Aktoren. Die Vorteile der keramischen PZT-Piezoaktoren gegenüber Einkristallinen und Plymerren (PVDF) liegt in vergleichsweise niedrigem Preis (ca. 50 €), der hohen Stetigkeit, der hohen Dielektrizitätszahl, dem hohen Koppelfaktor (vgl. Tabelle 1-2) und nicht zuletzt der guten Verfügbarkeit bei den Zulieferern. Zu den oben erwähnten Nachteilen wie die Hysterse und das Kriechen kommen noch eine starke Materialalterung und ein Temperaturdriften hinzu. Die handelsüblichen Formen sind: • Multilayer od. Stapelwandler • Streifenwandler • Tubuswandler • Biegewandler d33 d31 d35 b)a) (Quelle: [Her 11])
  31. 31. Einleitung 32 Für die Leerlaufauslenkung eines Multilayerstapelaktors mit Längsausdehnung gilt: 0 33x n d U= ⋅ ⋅ , [1.25] wobei x0 der vom Stapel erzeugte Hub ist, n die Anzahl der Layers19 angibt, U die am Stapel angelegte Spannung ist und d33der Piezo-Modul des verwendeten Werkstoffes ist. Mechanische Eigenschaften von PZT-Stapelaktoren Da PZT-Aktoren für sich auch als elastische Bauteile gesehen werden können, ist eine Betrachtung ihres elastischen Verhaltens sehr wichtig. Aufgrund ihres keramischen Aufbaus kann man von ihrem E- Modul auf ihre Steifigkeit kAktor schließen. Bei der Anwendung von PZT-Stapelaktoren unterscheidet man folgende Betriebsfälle: • die Ausdehnung gegen eine konstante Last • die Ausdehnung gegen eine wegabhängige Last • die Ausdehnung gegen eine unendlich steife Wand Bei der Ausdehnung gegen eine konstante Last Fkonst. kommt es aufgrund der Stauchung s des Aktors zu einer Nullpunktsverschiebung. Aus der Gleichung 1-1 ergibt sich der Betrag ∆l für die Nullpunktsverschiebung wie folgt: .konst Aktor F l k ∆ = [1.26] Bei Überschreitung einer kritischen Last ist darüber hinaus zusätzlich mit einem Rückgang des erzeugten Hubes zu rechnen. In Abbildung 1-20 ist dieser Vorgang für Stapelaktoren verschiedener Hersteller aufgezeigt. Bei den hier gezeigten Verläufen spielt nur die Last eine Rolle, das zeitliche Verhalten entspricht dem in Abbildung 1-17 b) gezeigten Kriechverhalten. Abbildung 1-20 Stapelaktoren unterschiedlicher Anbieter unter konstanter Last: a) Hub des Aktors in µm bei 0 Kg, 4,5 Kg und 9 Kg bei 0,2 Hz b) Hub des Aktors in µm bei 0 Kg, 4,5 Kg und 9 Kg bei 11 Hz 19 eng. Layer : Schicht. In diesem Fall die Keramikschichten (PZT) a) b)
  32. 32. Einleitung 33 Bei der Ausdehnung gegen eine wegabhängige Last, wie es z.B. bei einer Feder mit der Federrate kFeder der Fall ist, reduziert sich der vom Aktor erzeugte Hub ∆h wie folgt: 0 ( ) Aktor F Aktor Feder k h h k k =∆ = ∆ + [1.27] Hierbei ist l ∆h F=0 der Hub des Aktors im unbelasteten Zustand. Bei der Ausdehnung gegen eine unendlich steife Wand wird der vom Aktor generierte Hub gleich Null, und die vom Aktor erzeugte Arbeit wandelt sich komplett in Kraft um. Diese maximal vom Aktor erreichbare Kraft bezeichnet man auch als Blockierkraft. In Abbildung 1- 21 wird der Zusammenhang zwischen Blockierkraft und Hub dargestellt. Abbildung 1-21 Zusammenhang zwischen Hub und Blockierkraft Handhabung mit PZT-Stapelaktoren Bei der Handhabung mit Piezoakoren müssen einige Punkte berücksichtigt werden, um einen einwandfreien Betrieb der Aktoren zu garantieren. • Curietemperatur Die PZT-Keramik darf die angegebene Curietemperatur nicht übersteigen, da sie sonst depolarisiert und somit an Leistung verliert. Für den Dauerbetrieb wird eine Betriebstemperatur von 0,5- bis 0,75- fache der Curietemperatur empfohlen [Jen 15] . • Depolarisationsdruck PZT- Keramiken können aufgrund des direkten piezoelektrischen Effektes unter Anwendung mechanischen Druckes depolarisieren. Der dazu benötigte Druck liegt je nach Sorte zwischen 100 und 150 Mpa weit unter der Bruchgrenze von etwa 700 bis 800 Mpa. Daher muss durch gezielte konstruktive Maßnahmen dies verhindert werden. • Zugbelastungen Wie alle keramischen Werkstoffe, sind auch PZT-Keramiken sehr empfindlich gegen Zug-, Scher- und Torsionskräfte, sie dürfen somit nur axial belastet werden. So dürfen PZT- Keramiken unter Zug eine Dehnung von 1‰ nicht überschreiten, andere Anbieter geben als Wert 20 bis 50% der maximal erzeugten Kraft an. Da Keramiken gegen Druck unempfindlicher sind, sollten konstruktive Maßnahmen wie eine Vorspannung vorgesehen werden. (Quelle: Fa.Tokin/NEC)
  33. 33. Einleitung 34 • Lebensdauer Die Lebensdauer von PZT-Keramiken ist abhängig von der Betriebsspannung, der Temperatur und vor allem der Luftfeuchtigkeit. Hierbei sollte man beachten, den Aktor nicht mit der maximal angegebenen Versorgungsspannung zu betreiben, sondern bei Dauerbetrieb mit ca. 50% der empfohlenen Spannung. Bei der Temperatur sollte man darauf achten, dass der Aktor im Betrieb nicht wärmer, als 40°C wird, da sonst die Lebensdauer nachlässt. Das größte Problem für die Aktoren bildet die Feuchtigkeit. Sie diffundiert zwischen den Elektroden und bringt sie zum Korrodieren. Zwar gibt es mittlerweile speziell gekapselte Stapelaktoren, aber dieses Problem ist noch nicht vollständig gelöst. Zu empfehlen ist es daher, die Aktoren so trocken wie möglich zu halten.
  34. 34. Designstrategie 35 2. Designstrategie Der folgende Abschnitt befasst sich mit der systematischen Herangehensweise an die Fragestellungen aus Mechatronik und elastischen Mechanik. 2.1 Entwurfsprozess Abbildung 2-1 Einflussfaktoren auf den Entwurf: Unterteilung in primäre und sekundäre Faktoren Beim Entwerfen eines Mechanismus, der ein Teil eines mechatronischen Systems ist, wurde wie in Abbildung 2.1 dargestellt, zwischen primären und sekundären Einflussfaktoren unterschieden. Die primären Einflussfaktoren setzen sich zusammen aus dem Design, der Kinematik, der Dynamik und den fertigungstechnologischen Aspekten. Hierbei umfasst das Design die räumlichen Gesichtspunkte, mit denen die Abmessungen des Bauteils eingegrenzt werden. Die kinetischen Aspekte umfassen die Bewegung des Bauteiles. Die Dynamik umfasst hier das Schwingverhalten und dessen Auswirkung. Letztendlich muss natürlich auch die Fertigbarkeit des Bauteils gewährleistet werden. Neben den primären Einflussfaktoren beeinflussen auch nicht direkt beteiligte Größen den Entwurf der Mechanik. Dies können sein: Thermik, Elektronik, Messverfahren und Regelungs- bzw. steuerungstechnische Aspekte. Die Thermik bezieht sich hierbei darauf, dass die vom Sensor abgegebene Wärme abgeleitet werden kann, darüber hinaus ist bei verschiedenen Werkstoffpaarungen auf die Kombination der Wärmeausdehnungs- koeffizienten zu achten. Die Wechselwirkungen mit der peripheren Elektronik ist gerade bei mechatronischen Systemen sehr groß. Die Art der Wegmessung hat einen Einfluss auf das Aussehen der Mechanik. Schließlich ist die Frage, ob die Mechanik nur gesteuert oder zusätzlich geregelt wird, ein entscheidender Faktor für die Güte der Bewegung und somit für die Auslegung der Getriebestruktur und der Gelenkauswahl. Wie Abbildung 2-1 zeigt, spielen sich die sekundären Einflussfaktoren nur peripher ab, müssen aber mit größter Sorgfalt beachtet werden.
  35. 35. Designstrategie 36 2.2 Designstrategie nach Salomon Wie im Abschnitt 1.5 schon gezeigt, ist im Gegensatz zu klassischen starren Mechanismen ein Compliant-Mechanismus bei größeren Versetzungen von nichtlinearen konservativen Eigenschaften geprägt, die sich auf den Wirkungsgrad des Mechanismus auswirken. Die von Salamon (1989) [Sal 31] vorgeschlagene Designstrategie, wie in Abbildung 2-2 dargestellt, führt eine methodische Vorgehensweise zum iterativen Entwickeln auch komplexerer Mechanismen vor. Ausgehend vom Pflichtenheft, werden die für das Design maßgebenden Randbedingungen definiert und in der Spezifikation dokumentiert. Darauf aufbauend wird ein erster Mechanismus entworfen, bestehend aus konventionellen Gliedern und Gelenken, und anschließend analysiert. Als nächster Schritt werden die elastischen Komponenten definiert und in Form von Ersatzfedern an den Gelenken angebracht. Das daraus entstandene Modell entspricht einem Meta-Modell zwischen elastischem und starrem Modell, auch bekant als Pseudo-Rigid-Body- Mechanismus. Die konservativen Eigenschaften, die aufgrund der Federgelenke auftreten, können nun mit guter Nährung in die topologische Auslegung des Mechanismus einbezogen werden. Die anschließende Analyse gibt Aufschluss, ob der Mechanismus konform mit den geforderten Spezifikationen ist. Bei Abweichungen greift die erste iterative Schleife, wobei eine Änderung der elastischen Gelenke oder die Veränderung der mechanischen Topologie zur Option steht. Am Ende der Iterationsschleife stehen Designparameter zur Verfügung, die zur Konstruktion eines elastischen Modells herangezogen werden, was seinerseits einer erneuten Analyse unterzogen werden muss. Die vollelastische Analyse geschieht numerisch unter Verwendung eines FEM-Programms (Ansys 7.1). Wobei neben der kinematischen und dynamischen Untersuchung ein besonderes Augenmerk auf die Spannungsverteilungen innerhalb des Bauteils in Hinblick auf die Lebensdauer gelegt wird. Im letzten Design-Review wird erneut die Konformität mit der Spezifikation geprüft und eventuell erneut iterativ nach der Trial- and-Error Methode20 vorgegangen. Dieses methodische Vorgehen unter Inanspruchnahme der Pseudo-Rigid-Body-Modelle macht ein ökonomischeres Entwerfen von elastischen Mechanismen möglich. Vor allem Pseudo-Rigid-Body-Modelle ermöglichen es, im Voraus eine Topologie zu designern, in der elastische Verformungseigenschaften berücksichtigt werden und mathematisch erfasst werden. Die langwierige Trial-and-Error Vorgehensweise, die heute noch beim Design von Compliant-Mechanismen angewandt wird, verkürzt sich um ein Wesentliches und erlaubt somit ein schnelleres Entwickeln. 20 engl.: Versuch- und Fehlermethode (Besser bekannt unter der Ausprobiermethode)
  36. 36. Designstrategie 37 Design Spezifikation Synthese des Starrkörper- Mechanismus Definition der elastischen Strukturen Pseudo-Starrkörper- Mechanismus Analyse des Mechanismus Design Review vgl. mit Spec. und Zwangsbedingungen Verbesserung durch Änderung des Pseudo-Starrkörper Modell ? Nein Vollelastischer Mechanismus Analyse des Mechanismus (FEM Ansys) Design Review vgl. mit Spec. und Zwangsbedingungen Verbesserung durch Änderung des vollelastischen Modells ? Endgültiges Design Nein Ja OK Nein OK Nein Ja Abbildung 2-2 Vorgehensweise beim Design eines elastischen Mechanismus nach Salamon (1989) [How 12][Sal 31]
  37. 37. Designstrategie 38
  38. 38. Design-Spezifikation 39 3. Design-Spezifikation In der Spezifikation werden die Randbedingungen erfasst, die zum Erstellen der Mechanik notwendig sind. Hierbei unterscheidet man zwischen allgemeinen und technologischen Randbedingungen. Die allgemeinen Randbedingungen erfassen alle durch den Auftraggeber vorgegebenen Größen wie Versetzungsweite und Abtastfrequenz. In den technologischen Randbedingungen werden die Größen berücksichtigt, die aus den Aktorkomponenten selbst entstehen, z.B. die den Piezowandler betreffen. Falls die Vorgaben nicht ausreichend sind, müssen zusätzliche Parameter aus den vorhandenen Daten extrapoliert werden und in eine für das Design verwertbare Form gebracht werden. 3.1 Ermittlung der allgemeinen Grundanforderungen In den allgemeinen Anforderungen werden die Randbedingungen erfasst und charakterisiert, die vom Auftraggeber gefordert bzw. gewünscht werden. Die Forderungen, meist nur allgemein formuliert, müssen in quantitative Parameter umformuliert werden, um eine Bewertung der Zielerreichung zu gewährleisten. Andrerseits, bilden sie den Ausgangspunkt für die Auslegung des Designs der Mechanik und grenzen den Entwicklungsraum ab. Die Eingrenzung des Entwicklungsspielraums ist dahingehend von Bedeutung, da eine Über- bzw. Unterauslegung die Entwicklung und das Endprodukt unnötig verteuern bzw. die Qualität nicht der gewünschten entspricht. Eine genaue Erfassung der Forderungen bzw. Wünsche geschieht im Allgemeinen durch das Lastenheft. Die Umformulierung in die technischen Parameter erfolgt im Pflichtenheft. Beide sind firmenintern und dürfen im Rahmen dieser Arbeit nicht vollständig veröffentlicht werden. In der Spezifikation werden die Parameter zusammengefasst, die zur Berechnung und Auslegung der Mechanik notwendig sind. 3.1.1 Ermittlung der Bildsensorversetzung Der Ausgangspunkt für die Ermittlung der Maximalversetzung ist zum einen der Aufbau des Bildsensors und zum zweiten der Aufnahmemodus21 . Der verwendete Bildsensor der FillFactory N.V hat einen Pixelabstand von 8 µm (siehe Abbildung 1-7), woraus sich für das Microscannen eine Versetzung von 4 µm ergibt. Da der Bildsensor aber fehlerhafte Pixel aufweist, wird eine Versetzung von 12 µm (1,5 Pixel) benötigt. Diese zusätzliche Versetzung dient der frequenzunabhängigen Korrektur von fehlerhaften Pixeln durch Interpolation aus der Umgebung. Zum Tiefpassfiltern wird eine Kreisbahn (siehe Abbildung. 3.1) mit einem Durchmesser 7 µm durchlaufen. Zusätzlich zu den o. g. Versetzungen werden noch 8 µm (1 Pixel) zur Registrierung benötigt. Die Registrierung orientiert sich an den Perforationen am Filmrand und soll gewährleisten, dass 21 Aufnahmemodus: Telecine bzw. HDTV siehe Anhang A
  39. 39. Design-Spezifikation 40 eine Bildregion beim erneuten Scannen mit demselben Pixel wie beim ersten Scannen aufgenommen wird. Aus den erwähnten Bedingungen ergibt sich für das Microscannen eine Maximalversetzung des Sensors von: Microscann 12 µm + Registrierung 8 µm ------------------------------------ max. Versetzung 20 µm Für das Microscannen einschließlich Tiefpassfilterung (Abbildung 3-1) folgt: Microscann 12 µm + Tiefpass- Radius 7 µm + Registrierung 8 µm ---------------------------------- max. Versetzung 27 µm Ø 7 µm 19 µm 12µm 1 2 3 4 Abbildung 3-1 Bahn für Microscann mit Tiefpassfilterung
  40. 40. Design-Spezifikation 41 3.1.2 Registrierung und Kalibrierung Wie im oberen Abschnitt erwähnt, wird für die Registrierung und Kalibrierung des Filmmaterials eine zusätzliche Verschiebung benötigt. Diese hat neben dem quantitativen Aspekt noch einen qualitativen, der einen zusätzlichen Freiheitsgrad mit sich bringt. Neben der Translation in Y- und Z-Richtung soll wie in Abbildung 3-2 dargestellt zur Korrektur des Bildstandes noch eine minimale Rotation um die X-Achse ermöglicht werden, um eventuelle Fehlstellungen des Filmmaterials zu kompensieren. Die Filmstandskorrektur wurde bisher, wie in Abbildung 3-2 a) dargestellt über eine Glasplatte realisiert. Der an der Glasplatte gebrochene Lichtstrahl wurde durch Verkippen der Glassplatte so abgelenkt, dass die Fehlstellung korrigiert wurde. Bei der vorgesehenen neuen Bildstandskorrektur wird die Fehlstellung, wie in Abbildung 3-2 b) angedeutet, durch Verdrehen des Sensors um die X-Achse und durch Versetzen entlang der Y- und Z-Achse realisiert. Abbildung 3-2 Filmregistrierung und –kalibrierung: a) bisherige Filmstandkorrektur b) Filmstandkorrektur durch Positioniermechanik z y Mx x∆ Glasplatte Lichtstrahl Filmtransport yϕ∆ a) b)
  41. 41. Design-Spezifikation 42 3.2 Ermittlung des Dynamikbereiches Der Dynamikbereich wird von der Belichtungszeit und vom Aufnahmemodus begrenzt. Aus den Belichtungsmoden ergeben sich die in Tabelle 3-1 tabellierten Belichtungszeiten: Tabelle 3-1 Belichtungsmoden Belichtungsmodus Belichtungszeit [ms] kurze Belichtung 2,4 lange Belichtung 24 Aus den Aufnahmemoden ergeben sich die in Tabelle 3-2 tabellierten Frequenzen: Tabelle 3-2 Aufnahmemoden Aufnahmemodus Frequenz [Hz] Telecine bei 24 Fps 24 Telecine bei 24 Fps RGB 72 Telecine bei 24 Fps IR RGB 96 Bei der RGB-Aufnahme läuft pro Farbe (rot, grün, blau) ein Zyklus durch. Bei der IR-RGB- Aufnahme kommt zusätzlich noch ein Zyklus für die Infrarotbelichtung hinzu. Dieser Modus wird für die Archivierung von den Filmaufnahmen benötigt, wo eine Dynamik von 24 Fps22 nicht zwingend notwendig ist. Bei den ersten Maschinen wird eine Dynamik von 1 Fps RGB verwendet, was einer Frequenz von 3 Hz entspricht. Die Auslegung der Mechanik soll aber schon jetzt die Anforderungen der nächsten Generation erfüllen und somit eine telecine Aufnahme in RGB und Real-Timen mit 72Hz ermöglichen. 22 FPS: (engl.) Frame pro second; (deu.) Bild pro Sekunde
  42. 42. Design-Spezifikation 43 3.3 Ermittlung der technologischen Grundvoraussetzungen In den technologischen Anforderungen werden die Randbedingungen erfasst und charakterisiert, die von den Aktor-Subsystemen (Bestandteilen) ausgehen. Diese sind aus den Angaben der Hersteller zu entnehmen. Dabei sind neben quantitativen Parametern auch qualitative Vorgaben, die maßgeblichen Einfluss auf die Gestaltung haben, zu berücksichtigen. Vor allem bei dem elektromechanischen Wandler sind konstruktive Maßnahmen für einen zuverlässigen Dauerbetrieb zu beachten. Diese Maßnahmen müssen hier ermittelt und ebenfalls in technischen Parametern umgesetzt werden. 3.3.1 Piezo- Wandler Als Teil des Aktors sind die Anforderungen des Wandlers beim Design der Mechanik zu berücksichtigen. Bei verwendetem Piezo-Wandler handelt es sich um eine Multilayer-PBZ- Keramik der Nec/Tokin Corporation, Modell AE0203D16 (siehe Anhang C). Die benötigten Parameter für das Mechanikdesign wurden dem beigefügten Datenblatt entnommen (siehe Anhang C, Seite 138) Tabelle 3-3 Mechanische Daten des Piezowandlers Parameter Werte E- Modul 44 [Gpa] Zugfestigkeit (1/10 der max. Kraft) 20 [N] Resonanzfrequenz 69 [KHz] Maximalhub ( bei 150 [V]) 17,4 ± 2 [µm] Empfohlener Hub ( bei 100 [V] ) 11,6 ± 2 [µm] Maximale Kraft ( bei 0 [µm] Hub) 200 [N] Arbeitstemperatur -25°C bis 85° C Aufgrund der geringen Zugfestigkeit wird vom Hersteller eine Vorspannung auf Druck von 20 bis 50 % der maximalen Kraft vorgeschlagen. Für das Modell AE0203D16 folgt daraus eine Vorspannung Fv von 40 [N]. 3.3.1.1 Ermittlung des Maximalhubes des Piezowandlers unter Vorspannung Zur Ermittlung des Maximalhubes des Piezowandlers unter Vorspannung wird ein lineares Modell für den Wandler entwickelt. Ausgehend von der linearen piezoelektrischen Zustandsgleichung [Jen 15] für die mechanische Dehnung23 S eines Piezoaktors ergibt sich folgender Zusammenhang: , , , E E j jS d E s Tϑ ϑ λ λ λ λ µ µα ϑ= ⋅∆ + ⋅ + ⋅ [3.1] mit ϑ∆ : Temperatur [K] E : elektrisches Feld [N/C] T : mechanische Spannung [pa] , ,d sα : Zugehörige Materialkoeffizienten. 23 Anders als in der Mechanik wird die mechanische Dehnung nicht mit ε bezeichnet, sondern mit S. Grund dafür ist, dass ε bei der Beschreibung von Piezoaktoren für die Permitivitätszahl verwendet wird.
  43. 43. Design-Spezifikation 44 Bei den Indizes λ und µ handelt es sich um eine Tensorindizierung. Aufgrund der Symmetrie der indizierten Tensoren wird auf die übliche Doppelindizierung Ti,j verzichtet und stattdessen die einfachere Matrix-Einzelindizierung angewandt. Bei der Einzelindizierung sind λ = 1...3, z.B. beim Spannungstensor, die Normalspannungen und λ = 4...6 die Scherspannungen. Die Indizes im Exponenten geben zusätzlich Auskunft, von welchen physikalischen Größen die Materialkoeffizienten noch abhängig sind. Insgesamt werden zur Beschreibung eines Piezoaktors 55 Materialkoeffizienten24 definiert. Zusammen mit dem vom Hersteller angegebenen Graphen (siehe Anhang B) unter Vernachlässigung der Hysterese und unter der Annahme des Isothermen Fall ( ϑ∆ = 0), wird wie in Abbildung 3-3 dargestellt ein stark vereinfachtes lineares Ersatzmodell für den Piezowandler aufgestellt. In Abbildung 3-3 a) wird schematisch der Betriebszustand des Aktors aufgezeigt. Hierbei hängt der erzeugte Piezohub h nur von der angelegten elektrischen Spannung U und der Vorlast Fv ab. Systemtechnisch kann man, wie in Abbildung 3-3 b) dargestellt, den Wandler als Übertragungsglied ansehen, an dessem Eingang eine elektrische Spannung U und die Vorspannung Fv sich befinden und als Ausgang der Piezohub h erzeugt. Das Verhalten des Übertragungsgliedes wird mit dem in Abbildung 3-3 c) dargestellten mechanischen Ersatzmodell beschrieben. Dabei sind EEp die expansive Einheit und kAktor die Steifigkeit des Wandlers. Fv ~ U Piezowandler U hG(Fv;U) Fv i=const. h EEp Cp Abbildung 3-3 Ersatzmodell für den Piezoaktor: a) schematische Darstellung des Piezowandlers unter Vorspannung Fv [N] b) Systemtechnische Darstellung der relevanten Größen c) Mechanisches Ersatzmodell für den Piezowandler Die expansive Einheit wandelt die Spannung in einen Hub um, wobei dies hier als linear angenommen wird, der Proportionalitätsfaktor ist dabei das Piezomodul d33. Da dieser vom Hersteller nicht angegeben wird, wird als Proportionalitätsfaktor Ku,h berechnet. Bei einem geschlossen polarisierten Element, wird für die als linear angenommene Abhängigkeit zwischen erzeugtem Hub und angelegter Spannung folgender Proportionalitätsfakto Ku,h angenommen: 6 7 , 17,6 10 1.16 10 0,116 150 u h h m m µm K U V V V − −∆ ⋅ = = = ⋅ = ∆ [3.2] 24 Die Materialkoeffizienten ergeben sich aus der 10x10 Zustandsmatrix des Piezoaktors. Aufgrund der Achsensymmetrie der Zustandsmatrix reichen 55 Koeffizienten für die Beschreibung völlig aus. (Siehe [Jen 15]) b)a) c) kAktor
  44. 44. Design-Spezifikation 45 Für die Abhängigkeit zwischen Hub und angelegter Blockierspannung ergibt sich aus Gleichung 1-26 für die Proportionalitätsfaktor KPZT folgender Wert: 7 6 200 1.1 10 17,6 10 Blockier PZT F N N K h m m− ∆ = = = ⋅ ∆ ⋅ [3.3] Für die Abhängigkeit zwischen erzeugter Blockierkraft Fp und angelegter Spannung gilt folgender Proportionalitätsfaktor KF,U: , 200 1,3 150 Blockier F U F N N K U V V ∆ = = = ∆ [3.4] Die Kräftebilanz zwischen angelegter Vorspannkraft Fv und vom Wandler erzeugten Kraft Fp ergibt die resultierende Kraft FT, die in eine Translationsbewegung übergeführt wird: T p vF F F= − [3.5] Die resultierende Kraft FT in Abhängigkeit von der angelegten Spannung U ergibt sich aus folgender Beziehung: ( ) 1,3 [ ]T vF U U V F= − [3.6] Für den Piezohub in Abhängigkeit von der angelegten Spannung U und der Vorspannung Fv lassen sich nun die folgenden näherungsweisen Abhängigkeiten ermitteln: 1 1 8 ,( ; ) ( ) ( ) (1,3 ) 9,1 10 [ ]T v T PZT F U v PZT vh U F F U K K U F K U F m− − − = = − = − ⋅ [3.7] In der Literatur findet sich eine Reihe von Ersatzmodelle für Piezowandler [Len 21][Ise 14], die aber den Rahmen des Geforderten sprengen würde. Für das konstruktive Auslegen der Mechanik ist das lineare Modell aus Gleichung 3-7 vollkommen ausreichend. 3.3.1.2 Konstruktive Maßnahmen Konstruktiv ist die Art, wie die Vorspannung aufgebracht wird, zu erörtern. In Abbildung 3-4 werden einige Möglichkeiten dargestellt, um eine Vorspannung anzubringen. Abbildung 3-4 Vorspannungsprinzipien: a) Geometrische Vorspannung b) Federvorspannung c) Einstellbare Federvorspannung a) b) c)
  45. 45. Design-Spezifikation 46 Die Vorspannung sollte laut Hersteller nicht unter 40 N liegen. Für die Prototypen sollte eine variable Spannvorrichtung, wie in Abbildung 3-4 c) gezeigt, eingesetzt werden, um im Versuch die ideale Vorspannung ermitteln zu können. Für die Serienfertigung ist eine geometrische Vorspannung zu bevorzugen, da sie keiner Einstellung bedarf. Wenn jedoch die Piezoaktoren in ihren Toleranzen stark abweichen oder nicht immer vom selben Hersteller bezogen werden können, sollte die einstellbare Variante c) auch für die Serie beibehalten werden. Wie aus Abschnitt 1.5 hervorgeht, sind keramische PTZ- Aktoren sehr empfindlich gegen Quer- und Scherkräfte. Zur Vermeidung von Schäden wird der Piezoaktor von diesen Kräften entkoppelt. Hierzu werden wie in Abbildung 3-5 b) dargestellt an den beiden Enden des Aktors zusätzliche Gelenke angebracht, die es erlauben, dass der Aktor in Querrichtung nachgibt. Piezowandler F F xσ yσ xyτ x Fσ Abbildung 3-5 Scherkraftkompensation: a) nicht erlaubte Spannungsrichtungen b) Gelenkkompensation c) Kurvenschleifenersatzmodell 3.3.1.3 Lebensdauerbetrachtung des Piezoaktors Wie lange ist die Lebenserwartung eines Piezoaktors und wovon hängt sie ab? Auf einige Aspekte der Lebensdauer wurde schon in Abschnitt 1.6.1.2 eingegangen. Hier soll anhand einer vom Aktorhersteller angegebenen empirisch ermittelten Formel die Lebensdauer berechnet werden. r s v h tMTTF MTTF A A A= [3.8] Wobei: MTTFr: die Lebenserwartung in Stunden, MTTFs: eine Referenzgröße von 500 Stunden, Av : der Faktor für die spannungsabhängige Alterungsbeschleunigung, Ah : der Faktor für die feuchtigkeitsabhängige Alterungsbeschleunigung, At : der Faktor für die temperaturabhängige Alterungsbeschleunigung ist. Die Korrekturfaktoren ihrerseits errechnen sich folgendermaßen: 3,2 150 v r A V   =     [3.9] a) b) c)
  46. 46. Design-Spezifikation 47 4,9 90 h r A H   =     [3.10] 40 10 1,5 rT tA − = [3.11] Hierbei sind: Vr: die am Piezoaktor angelegte Spannung in [V], Hr: die relative Feuchtigkeit in der Umgebung des Piezoaktor in [%], Tr: die am Piezoaktor herrschende Umgebungstemperatur in [°C]. Ausgehend von der Annahme, dass der Scanner 10 Jahre im Betrieb gehalten wird bei einem 16 Stunden-Tag entspricht dies einer zu erfüllenden Lebensdauer von 58400 Stunden. Tabelle 3-4 Lebensdauer der Piezoaktoren in Stunden bei konstanter Temperatur Tr=40°C mit variabler Spannung U und relative Feuchte Hr Hr in [%] 70 50 30 10 U in[ V] 150 1784 9277 113364 24681266 100 6529 33955 414921 90335709 75 16394 85253 1041764 226810634 50 60003 312034 3812952 830147839 Aus der Tabelle 3-4 und der Gleichung 3-10 läst sich schliessen, dass die relative Feuchte den größten Einfluss auf die Lebensdauer des Piezoaktors hat. Daher wird der Sensor feuchtigkeitsdicht mit Trocknungsmittel gekapselt. Somit wird erreicht, dass die Aktoren keine höhere Feuchte als 30% erfahren. Darüber hinaus wird die Ansteuerspannung auf 90 [V] maximal begrenzt, was zu einer Reduzierung des möglichen Piezohubes führt.
  47. 47. Design-Spezifikation 48 3.3.2 Federwerkstoff Der Wahl des richtigen Werkstoffes kommt gerade bei Mechanismen mit hoher Lebensdauer und hoher dynamischen Beanspruchung eine zentrale Rolle zu. Bei einer Lebensdauer von mindestens 10 Jahren (was der Qualitätsphilosophie von ARRI entspricht) und einer angenommenen 16 Stunden betrieb pro Tag bei einem telecine-RGB- Belichtungsmodus (72 Hz) ergibt sich eine Lastwechselzahl von ca. ~ 9 72 (10 365 16 3600) 19 10 Lastwechsel⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≈ ⋅ Weitere Anforderungen an das Material sind: • Passender Wärmeausdehnungskoeffizient (α) Da verschiedene Materialien miteinander verklebt werden, ist ein Temperatur- Ausdehnungskoeffizient α von 9 bis 10 µm/K wünschenswert. • Korrosionsbeständigkeit • Gute Verarbeitbarkeit Dies bezieht sich auf die fräsende Bearbeitung, aber vor allem auf die EMD- Bearbeitung. • Hohe Dehnbarkeit Ein guter Anhaltspunkt hierfür ist das Verhältnis aus Dehngrenze und dem Elastizitätsmodul σ/E, wobei ein großer Wert einen großen elastischen Bereich bei geringer Krafteinwirkung darstellt • Eine hohe Dauerbiegewechselfestigkeit Aus den genannten Eigenschaften fiel die Wahl auf 1.6358 (vgl. Tabelle 3-5). Ausschlaggebend hierfür war die hohe Dauerbiegewechselfestigkeit von 730 Mpa bei 10 hoch 7 Lastwechseln, die gute Verarbeitbarkeit des Werkstoffes und das gute σ/E-Verhältnis von 9,2. Werkstoffe aus Titanlegierungen fielen trotz ihrer guten σ/E Verhältnisse aufgrund ihrer schlechten funkenerosiven Verarbeitbarkeit heraus. Werkstoffe wie CuBe 2 hingegen waren schlicht zu teuer. Tabelle 3-5 Kenngrößen von metallischen Werkstoffen Werkstoff Dichte ρ [kg/m³] E-Modul [Gpa] σ 0.2 [Gpa] α 10-6 m/k σ bW [Mpa] σ/E [10-3 ] CuBe 2 8,9 127 1,12 - - 10 Ti Legierung 4,4 115 1,4 7,5 420 12,2 1.6358 (Marange Stahl) 8,2 193 1,815 10,2 730 9,4 XC75 (Federstahl) - 210 1,1 - - 5,2 1.4104 (Vergüteter Stahl) 7,7 210 0,45 10 - 2,1 1.8159 (Werkzeugstahl) - 206 1,18 - - -
  48. 48. Design-Spezifikation 49 3.3.2.1 Lebensdauerabschätzung Für das Werkstück sind folgende möglichen Schädigungen zu berücksichtigen: • bleibende plastischen Verformungen • Brüche • Verschleiß bzw. Materialermüdung • Korrosion • fertigungstechnisch bedingte Minderung der Werkstofffestigkeit. Bei der Charakterisierung von Brüchen wird in der Technik zwischen folgenden Arten unterschieden: • Gewaltbrüchen • Schwingungsbrüchen. Die Gewaltbrüche sind die Folge einer Überbelastung, die oberhalb der Bruchfestigkeit Rm liegt. Um diesem Typus vom Materialversagens entgegen zu wirken, muss darauf geachtet werden, dass der Mechanismus nie einer Belastung >Rm ausgesetzt wird. Der schwingungsbedingte Bruch tritt dagegen schon bei Beanspruchungen unterhalb der Bruchfestigkeitsgrenze Rm auf. Die Ursachen hierfür sind sich ständig wiederholende Belastungen, die eine plastische Verformung im mikroskopischen Bereich an der Oberfläche des Werkstoffes zur Folge haben. Dabei können Versetzungen an der Oberfläche lokal austreten und somit zur Mikrorissbildung und folglich zur Ermüdung des Mechanismus führen. Wie man sehen konnte, haben die durch Wechselbelastungen bedingten Risse ihren Ursprung an der Oberfläche des Werkstückes. Diese Rissausbildung an der Oberfläche kann daher stark durch fertigungstechnisch bedingte Oberflächenstruktur, wie sie beim Fräsen oder Erodieren entstehen, gefördert werden. So geben raue oder grob bearbeitete Oberflächen Keime zur Entstehung von Mikrorissen. Diese Keime findet man gehäuft da, wo lokale Gebiete auf der Oberfläche einen relativ hohen Spannungsgradient aufweisen. Wie man in Abschnitt 6.2 sehen kann, ist die Oberfläche von EMD bearbeiteten Werkstücken durch eine kerbige Struktur gekennzeichnet. Solche Oberflächen bieten ideale Ausgangspunkte für die Ausbreitung von Ermüdungsbrüchen und muss folglich etwas genauer unter die Lupe genommen werden. Gerade beim Design von Federgelenken ist darauf zu achten, dass die Übergänge zwischen Gelenke und Gliedern nicht zu scharf sind, da wie in Abbildung 3-6 gezeigt an diesen Stellen Spannungsspitzen auftreten. Abbildung 3-6 Spannungsspitzen an scharfen Übergängen
  49. 49. Design-Spezifikation 50 Hierbei haben statisch auftretende Belastungen bei zu scharfen Übergängen, wie z.B. bei scharfen Kerben, nur einen sehr geringen Einfluss auf die Festigkeit, wobei hingegen dynamische Beanspruchungen umso fatalere Auswirkungen an solchen Lokalitäten haben. Einer Abschätzung der Lebensdauer unter Berücksichtigung dieser Faktoren kommt bei dynamisch hoch Beanspruchten Systemen eine zentrale Bedeutung zu. Nur so kann gewährleistet werden, dass der Mechanismus den gewünschten Lebenszyklus mit hoher Wahrscheinlichkeit unbeschadet übersteht. Um einen Mechanismus bezüglich seiner Lebensdauer auszulegen, werden zwei Arten von dynamischer Belastung unterschieden: • stochastisch auftretende Belastungen • periodisch auftretende Belastungen. Für unseren Anwendungsfall beschränken wir uns auf die Untersuchung von periodisch wiederkehrenden Belastungen, da sie beim Microscannen überwiegen. Sehr anschaulich ist das Verhalten von Werkstoffen unter periodischen Belastungen an den so genannten Wöhler- Kurven zu beobachten. Die Wöhler- Kurven geben den Zusammenhang zwischen den ertragbaren Lastwechselzahlen (LW) und den zugehörigen Oberspannungen σo wieder (siehe Abbildung 3-7). Abbildung 3-7 Wöhler- Kurve eines Metalls Die in Abbildung 3-7 dargestellte Wöhler- Kurve lässt sich in drei Sektoren einteilen: I. der Kurzfestigkeitsbereich (bis ca. ~ 104 Lastwechsel) II. der Zeitfestigkeitsbereich (bis ca. ~ 107 Lastwechsel) III. der Dauerfestigkeitsbereich (ab ca. ~ 107 Lastwechsel). Für eine hoch dynamische beanspruchte Mechanik muss daher gewährleistet werden, dass die maximal zulässigen mechanischen Spannungen an den Federgelenken unter denen im Dauerfestigkeitsbereich bleiben. Weitere Einflussfaktoren, die sich auf die Festigkeitsbereiche auswirken, sind zum Beispiel: • Die Bauteilgröße. So haben größere Bauteile bei gleicher Belastung eine geringere Lastwechselzahl, als kleinere (aufgrund der größeren Oberfläche) • Einfluss von Kerben. So ist bei weicheren (nicht spröden) Werkstoffen der oben erwähnte negative Einfluss von Kerben geringer. Dies ist dahingehend wichtig, da eine Erhöhung der Werkstoffsteifigkeit keine Erhöhung der Schwingfähigkeit mit sich bringt. (Quelle: [Sip 35])
  50. 50. Design-Spezifikation 51 Dies führt dahin, dass zur Gewährleistung der Lebensdauer bei der Festlegung der zulässigen Spannungen in Dauerbetrieb ein Sicherheitsfaktor zugeschlagen werden muss. Der Sicherheitsfaktor richtet sich hierbei entweder an die maximal zugelassene Spannung (Dauerfestigkeit) oder an die maximal zugelassenen Lastwechsel (Zeitfestigkeit). Bei der Dauerfestigkeit wird bei bekannter Beanspruchung ein Sicherheitsfaktor [Sip 35] von . 1,2...1,5zul Betrib S σ σ = ≈ [3.12] empfohlen. Bei Rücksprache mit dem Werkstoffhersteller25 und unter Berücksichtigung der funkenerosiven (EMD) Fertigung wurde ein Sicherheitsfaktor von 3S = gewählt. Für die maximal zulässige Spannung im Betrieb folgen . 730 243 3 zul Betrieb Mpa Mpa S σ σ = = = [3.13] 3.4 Spezifikationsparameter Aus dem vorhergegangenen Betrachten lassen sich folgende Parameter bestimmen: Da der vom Piezo-Wandler erzeugte Hub hPiezo kleiner ist, als der für die Sensorversetzung hSensor benötigte, ist eine mechanische Verstärkung mit einem Verstärkungsfaktor Ü (Übersetzung) wie folgt notwendig: Sensor Piezo hAusgang 27 m Ü 3 Eingang h 8,5 m µ = = = ≈ µ [3.14] Dieser Wert ist für die Kombination aus Tiefpassfilter und Microscann gedacht. Die Freiheitsgrade des Mechanismus setzten sich zusammen aus zwei translatorischen und einem rotatorischen, woraus sich F = 3 Freiheitsgrade für die Mechanik ergeben. Der Dynamikbereich befindet sich zwischen 4 Hz und 72 Hz. Beim Piezowandler ist darauf zu achten, dass er permanent unter Druck gehalten wird, hierfür ist eine Vorspannvorrichtung zu konstruieren. Für den Werkstoff 1.6358 ist eine maximal zulässige Spannung von σzul = 243 Mpa vorgesehen. In der Tabelle 3-6 werden die wichtigsten Anforderungen an die Mechanik noch einmal übersichtlich zusammengefasst. 25 Fa. Vakuum Schmelze (später die Fa. Böhler)
  51. 51. Design-Spezifikation 52 Tabelle 3-6 Zusammenfassung der wichtigsten Anforderungen an den Positioniermechanismus Anwendung Anforderung Beschreibung Mindestens 3 FHG Mind. zwei translatorische in X- und Y-Richtung und eine rotatorische um die Z- Achse Kinematik Stabil gegen Längskräfte Darf sich nicht unter seinem Gewicht verbiegen Hohe Steifigkeit Durch parallel angeordnete Federgelenke Dynamik Geringe Masse Erhöhung der Eigenfrequenz durch Minimierung der Trägheit Geometrie Kompakte Bauweise Falten der Strukturen Fertigung EMD- kompatibel Da firmeninterne Ressourcen ausgenutzt werden sollen Werkstoff Werkstoff mit hoher Dauerbiegewechselfähigkeit Mechanik muss mehrere Milliarden Lastwechsel aushalten
  52. 52. Getriebetopologie 53 4. Getriebetopologie Die kinematische Kette ist eine geeignete Abstraktionsform zur systematischen Erzeugung von Getriebemechanismen. Sie beschränkt sich nur auf dem strukturellen Zusammenhang der Glieder, gibt aber keine Auskunft über die Funktion der Glieder. Die kinematische Struktur dient beim Positionieren vor allem der Bewegungsübertragung. Zusammen mit dem Aktor hat die kinematische Struktur einen wesentlichen Einfluss auf die Eigenschaften des Gesamtsystems. Die zu klärende Punkte in diesem Zusammenhang sind: • der Verlauf der Koppelkurve in der Ebene, • die Art des Getriebes. Hierzu wird das Getriebe in seine Submechanismen unterteilt: • der Anordnung der Aktoren, • dem Führungsmechanismus und • dem Übertragungsmechanismus. Der Übertragungsmechanismus sorgt für die Übertragung von Bewegungen und Energie, wobei er bei Bedarf sie verstärkt bzw. wandelt. Der Führungsmechanismus hingegen dient der Führung des Sensors entlang der vorgesehenen Bahn. Die Anordnung der Aktoren ist für die Stabilität und mögliche Einflussnahme bzw. Korrektur der Bahn von Bedeutung. Die Entwicklung eines Starkörpermechanismus verläuft im Wesentlichen in zwei Schritten ab: • der Synthese der topologischen Struktur und • der Maßsynthese. Bei der Synthese der topologischen Struktur werden die Getriebetypen ausgewählt, deren Topologie die gewünschten Freiheits- und Laufgrade erfüllen. Bei der anschließenden Maßsynthese werden die Abmessungen des Getriebes festgelegt, so dass es den Anforderungen der Spezifikation entspricht. In der ersten Hälfte dieses Abschnittes werden die Teilaspekte der Aktoranordnung der Führung und der Übertragung betrachtet, wobei mit Hilfe von Konstruktionskatalogen die in Frage kommenden feinwerktechnischen Konstruktionsprinzipien und Getriebetypen ausgewählt werden. Anschließend werden die einzelnen Prinzipien kombiniert und zu einer geschlossenen kinematischen Kette zusammengefügt. Im zweiten Teil wird die erzeugte Kette analysiert und iterativ auf die geforderten Anforderungen angepasst. 4.1 Anordnung der Aktoren Die Freiheitsgrade bzw. der Laufgrad eines Mechanismus entspricht im Wesentlichen der Anzahl der benötigten Aktoren, um einen Zwangslauf in den gewünschten Richtungen zu gewährleisten. In Designspezifikation werden 3 Freiheitsgrade gefordert, die sich aus 2 Translatorischen in X-Y-Richtung und einen Rotatorischen um die Z-Achse zusammensetzen.
  53. 53. Getriebetopologie 54 Aus der reinen Laufgradbetrachtung heraus ist der Zwangslauf und somit die Anforderung aus der Spezifikation mit drei Aktoren erfüllt. Mögliche Anordnungen der Aktoren sind in Abbildung 4-1 dargestellt. Hierbei sind als Pfeile die Aktoren und ihre Versetzungsrichtung darstellen. Die strichgepunkteten Pfeile stellen die Rotation dar, wobei die verursachenden Piezoaktoren farblich hervorgehoben sind. X Y Z (a) (c) (d)(b) (e) Abbildung 4-1 Aktoranordnungen: a) Zweiaktorbetrieb b) c) d) Dreiaktorbetrieb e) Vieraktorbetrieb Für die Translation entlang der X- und Y-Achse wird jeweils ein Aktor benötigt. Die zusätzliche Rotation um die Z-Achse kann, wie in Abbildung 4-1 b) und c) dargestellt, durch einen zusätzlichen Aktor entlang einer der beiden translatorischen Achsen oder wie in Abbildung 4-1 c) durch einen Aktor quer dazu realisiert werden. Bei der in Abbildung 4-1 b) und c) dargestellten Variante wird eine Verdrehung um die Z-Achse durch entgegengesetztes Ansteuern der parallel gegenüberliegenden Aktoren hervorgerufen. Bei der Anordnung in Abbildung 4-1 d) wird die Verdrehung um die Z-Achse durch einem schräg angeordneten Aktor hervorgerufen. Aus früheren Untersuchungen, die an Mechaniken durchgeführt worden sind, die nur für das Microscannen ohne dynamischen Tiefpass ausgelegt waren, konnten folgende Erkenntnisse gewonnen werden: Bei der in Abbildung 4-2 a) dargestellten Mechanik mit nur zwei Freiheitsgraden wurden die Zwangsläufe durch zwei Aktoren (hellgrün) mit der Anordnung aus Abbildung 4-1 a) realisiert. Abbildung 4-2 Referenzmechaniken: a) im Zweiaktorbetrieb (BMA02a) b) im Vieraktorbetrieb (BMA02b) Bei Messungen stellte sich aber heraus, dass eine ungewollte Verkippung des Sensors um die Z- Achse zu beobachten war. Die Ursache hierfür ist wahrscheinlich eine ungleichmäßige a) b)
  54. 54. Getriebetopologie 55 Verteilung der Formänderungsenergie auf die verschiedenen Gelenke des Mechanismus. Die daraus folgenden unterschiedlichen Auslenkungen der Glieder waren die Ursache für das Verkippen. Als Konsequenz wurde die Aktoranordnung symmetrisch, wie in Abbildung 4-1 e) konzipiert. Die daraus hervorgegangene Vieraktormechanik aus Abbildung 4-2 b) konnte das Verkippen des Bildsensors nicht nur kompensieren, sie war darüber hinaus auch in der Lage eine Verdrehung gezielt zu erzeugen. Zur Verdrehung wurden die Aktoren wie in Abbildung 4-1 b) und c) schon gezeigt gegeneinander angesteuert. Aus dieser Erfahrung heraus wird für den Entwurf des Mechanismus eine symmetrische Anordnung der Aktoren gewählt, was auf einen Vieraktorbetrieb (Abbildung 4-1 e)) führt. 4.2 Führungsprinzipien Da die Aktoren, in unserem Fall Piezowandler, nur translatorishe Verschiebungen erzeugen, muss die Translation zum einen auf das gewünschte Objekt übertragen, zum anderen in die gewünschte Bahn gelenkt werden. Diese Aufgabe übernehmen die Führungsgelenke. Schon bei der Wahl des Führungsprinzips sollte neben den klassischen (starren) kinematischen Ketten auch elastische in Betracht genommen werden. Eine gute Hilfe sind hierfür Lösungskataloge [Bre 4][VDI 37], wo schon bewährte Konstruktionselemente aus der Feinwerktechnik entnommen werden können. In Abbildung 4-3 werden einige technologisch realisierbare Federführungen für die benötigte Translation dargestellt, wobei die gewünschte Translation um ∆y durch eine Kraft F erzeugt wird. Bei der Federabstützung handelt es sich um eine Versteifung der Feder in einem vorgegebenen Bereich. Hierdurch können der Feder diskrete Drehpunkte bzw. Drehpole zugewiesen werden. a) Biegefeder b) Parallelführung c) Membranfürung (Vierblattführung) z y x d) Parallelführung mit Federabstützung e) Parallel Geschaltete Parallelführung mit Federabstützung (Vierblattführung mit Federabstützung) zϕ zϕ zϕ yFy ∆; yFy ∆; yFy ∆; yFy ∆; yFy ∆; x∆x∆ x∆ Abbildung 4-3 Federführungsprinzipien Die Güte des Verlaufs ist daran zu messen, ob neben der Versetzung um ∆y auch eine unerwünschte Versetzung um ∆x bzw. eine Rotation (Verkippen) um ϕz vorhanden ist. Bei der Wahl des geeignetsten Führungsprinzips ist neben der Verlaufgüte auch die dynamische Güte zu berücksichtigen. So haben sowohl die Parallelführung aus Abbildung 4-3 b) als auch Federabstützung

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