1. O documento compara os filtros da média e da mediana para remover ruído em imagens digitais. 2. Os filtros passa-baixas como a média e a mediana são usados para eliminar ruídos de alta frequência em imagens, suavizando a imagem. 3. O filtro da mediana é mais efetivo para remover ruído do tipo "sal e pimenta" porque preserva melhor os contornos e detalhes da imagem ao remover os pixels corrompidos.

1. Compara¸c˜ao Entre o Filtro da M´edia e o da Mediana.
Michel A. dos Santos ∗
Setembro de 2010
∗Bacharelando em Ciˆencia da Computa¸c˜ao, Universidade Federal do Estado de Alagoas(UFAL), Bolsista do
Laborat´orio de Modelagem Geom´etrica e Vis˜ao Computacional do Centro de Pesquisa em Matem´atica Computacio-
nal(CPMAT), Brasil - Macei´o/AL, Tel: 8805-0582 E-mail: michel.mas@gmail.com, michelalvessantos@hotmail.com
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2. Sum´ario
Lista de Figuras 2
1 Introdu¸c˜ao 2
2 Os Filtros Passa-Baixas 3
3 Filtragem Digital 4
4 Filtragem Linear no Dom´ınio do Espa¸co 4
5 O Processo de Filtragem Espacial 4
6 Filtragem N˜ao-Linear no Dom´ınio Espacial 4
7 Ru´ıdo ‘Sal e Pimenta’ 5
8 Resultados 5
Referˆencias Bibliogr´aficas 6
Lista de Figuras
1 Linha Selecionada de uma Imagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Gr´afico dos N´ıveis de Cinza de uma Linha da Figura 1. . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Imagem Original e Imagem Ruidosa com Salt-and-Pepper a 10%. . . . . . . . . . . 5
4 Imagem Original Usada nos Testes de Filtragem - Filtro da M´edia e da Mediana. . 6
5 Imagem Filtrada com M´ascara 3x3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6 Imagem Filtrada com M´ascara 5x5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
7 Imagem Filtrada com M´ascara 7x7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
8 Imagem Filtrada com M´ascara 11x11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1 Introdu¸c˜ao
As t´ecnicas de filtragem s˜ao transforma¸c˜oes da imagem ‘pixel’ a ‘pixel’, que dependem do n´ıvel
de cinza de um determinado ‘pixel’ e do valor dos n´ıveis de cinza dos ‘pixels’ vizinhos, na imagem
original, ou seja, o pixel ‘filtrado’ tem um valor dependente do contexto em que ele se encontra
na imagem original. A opera¸c˜ao de filtragem necessita da defini¸c˜ao de freq¨uˆencia espacial. Assim,
seja g uma imagem, os n´ıveis de cinza NC de g variam com a distˆancia, observando-se uma ´unica
linha ou coluna de pixels da imagem.
Considerando a linha selecionada ter´ıamos a seguinte distribui¸c˜ao dos n´ıveis de cinza em rela¸c˜ao
ao primeiro pixel na linha (lado esquerdo da linha, veja a seta na Figura 1). Observa-se (atrav´es
do gr´afico sugerido na Figura 2) que a linha da imagem apresenta uma grande varia¸c˜ao nos n´ıveis
de cinza a medida que nos afastamos do primeiro pixel. Estas descontinuidades tˆem as seguintes
caracter´ısticas:
• representam bordas (fei¸c˜oes de alta freq¨uˆencia sens´ıveis `a vis˜ao)
• quando muito pr´oximas caracterizam fei¸c˜oes de alta freq¨uˆencia
• quando em n´umero baixo caracterizam fei¸c˜oes de baixa freq¨uˆencia (superf´ıcies suaves na
imagem)
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3. Figura 1: Linha Selecionada de uma Imagem.
Figura 2: Gr´afico dos N´ıveis de Cinza de uma Linha da Figura 1.
O conceito de freq¨uˆencia espacial alta ou baixa na imagem depende da escala em que a imagem
se encontra. Ent˜ao, uma mesma ´area da imagem pode ser de alta freq¨uˆencia ou de baixa freq¨uˆencia
dependendo do fator de escala da imagem. Nas imagens podemos encontrar freq¨uˆencias: Alta,
M´edia e Baixa. Assim, ´e poss´ıvel reduzir os efeitos de determinadas freq¨uˆencias na imagem,
buscando obter um efeito visual de melhor qualidade na imagem. As freq¨uˆencias que devem ser
tratadas, dependem do objetivo a ser atingido com o tratamento. A redu¸c˜ao de componentes de
freq¨uˆencia ´e conseguida atrav´es de t´ecnicas de filtragem, usando realce seletivo e eliminando a
mistura de freq¨uˆencias.
2 Os Filtros Passa-Baixas
Os filtros Passa-Baixas eliminam altas freq¨uˆencias, sendo usado para eliminar ru´ıdos em imagens.
O ru´ıdo ´e uma fonte de alta freq¨uˆencia. O efeito produzido ´e uma desfocaliza¸c˜ao caracterizada
por uma imagem borrada. Esta desfocaliza¸c˜ao depende das dimens˜oes do filtro, quanto maior a
dimens˜ao do filtro, maior ser´a a desfocaliza¸c˜ao. Exemplos de filtros passa-baixas s˜ao: o filtro da
m´edia(Pixel central ´e a m´edia aritm´etica dos pixels dentro da ´area da janela - ´E um Filtro Linear
que opera no Dom´ınio Espacial), o filtro da m´edia ponderada(Peso depende de sua distˆancia ao
peso central - Neste caso a suaviza¸c˜ao ´e menos intensa pois h´a mais influˆencia do pixel central -
Outro exemplo de Filtro Linear que opera no Dom´ınio Espacial), o filtro da moda(O n´ıvel de cinza
do pixel central ´e o n´ıvel de cinza mais populoso dentro da janela de dimens˜ao do filtro - Este
filtro ´e usado para homogeneizar imagens tem´aticas, ou para reduzir ru´ıdos mantendo o m´aximo
de informa¸c˜ao na imagem) e o filtro da mediana(O n´ıvel de cinza do pixel central ´e o n´ıvel de
cinza intermedi´ario do conjunto ordenado de n´ıveis de cinza dentro da janela da m´ascara - Este ´e
um filtro complexo por envolver ordena¸c˜ao. Mas sua aplica¸c˜ao suaviza a imagem preservando a
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4. informa¸c˜ao de bordas na mesma).
3 Filtragem Digital
Consiste na aplica¸c˜ao de t´ecnicas de transforma¸c˜ao (operadores - m´ascaras) com o objetivo de
corrigir, suavizar ou real¸car determinadas caracter´ısticas de uma imagem dentro de uma aplica¸c˜ao
espec´ıfica, entendendo como corre¸c˜ao a remo¸c˜ao de caracter´ısticas indesej´aveis, e como realce ´e a
acentua¸c˜ao de caracter´ısticas. A filtragem ´e realizada pixel a pixel, onde o novo n´ıvel de cinza de
um ponto P qualquer depende do seu n´ıvel de cinza original e do de outros pontos considerados
como vizinhan¸ca de P. Em geral, os pontos mais pr´oximos de P contribuem mais para o novo
valor do n´ıvel de cinza do que os pontos mais afastados. Dentro do dom´ınio da filtragem podemos
citar: o Dom´ınio Espacial(Procedimentos que operam diretamente sobre os pixels da imagem na
sua forma original) e o Dom´ınio da Frequˆencia(Procedimentos que operam sobre a Transformada
de Fourier da imagem original). J´a os filtros podem ser classificados como: Lineares(Suavizam,
real¸cam detalhes da imagem e minimizam efeitos de ru´ıdo, sem alterar o n´ıvel m´edio de cinza da
imagem) e N˜ao-Lineares(Aplicam transforma¸c˜oes sem o compromisso de manterem o n´ıvel m´edio
de cinza da imagem original).
4 Filtragem Linear no Dom´ınio do Espa¸co
Os m´etodos de filtragem espacial operam diretamente sobre a matriz de pixels (imagem digita-
lizada). Normalmente utilizam opera¸c˜oes de convolu¸c˜ao entre a imagem original e uma m´ascara
especialmente constru´ıda(As m´ascaras s˜ao chamadas de filtros espaciais).
5 O Processo de Filtragem Espacial
Consiste na aplica¸c˜ao sucessiva de m´ascara que desliza sobre toda a imagem original. Ao ser
aplicada com centro numa posi¸c˜ao (i,j), sendo i o n´umero de uma dada linha e j o n´umero de uma
dada coluna da imagem, consiste na substitui¸c˜ao do valor do pixel na posi¸c˜ao (i,j) por um novo
valor o qual depende dos valores dos pixels vizinhos e dos pesos da m´ascara. `A cada posi¸c˜ao da
m´ascara est´a associado um valor num´erico, chamado de peso ou coeficiente. Em cada posi¸c˜ao (i,j),
os pesos do filtro s˜ao multiplicados pelos NCs dos pixels correspondentes e somados, resultando em
um novo valor de NC, que substitui o antigo NC do pixel central. Na opera¸c˜ao de filtragem deve-se
calcular os pontos pertencentes `a borda da imagem de modo diferente dos demais, j´a que estes
n˜ao disp˜oem de todos os vizinhos. Por quest˜oes de simetria usam-se, na defini¸c˜ao das m´ascaras
dos filtros, janelas N x N, onde N ´e um n´umero ´ımpar. Por quest˜oes de eficiˆencia computacional,
s˜ao prefer´ıveis valores pequenos para N (no m´aximo 7).
6 Filtragem N˜ao-Linear no Dom´ınio Espacial
Um exemplo t´ıpico de filtro passa-baixas n˜ao-linear ´e o filtro da mediana, que suaviza a imagem
sem contudo diminuir sua resolu¸c˜ao. No filtro da mediana, os pontos da vizinhan¸ca de (x,y), dentro
de uma janela na imagem, s˜ao ordenados e tomado como novo valor para (x,y) o valor mediano
desta ordena¸c˜ao. ´E poss´ıvel, tamb´em, em vez de tomar a mediana da vizinhan¸ca, escolher o
valor m´aximo ou o valor de ordem qualquer. Esta categoria de filtros ´e conhecida por filtros
de ordem. Uma alternativa que produz resultados interessantes ´e tomar o valor mais freq¨uente
de uma vizinhan¸ca - a ‘moda’, que elimina ru´ıdos pontuais sem alterar muito as informa¸c˜oes da
imagem. Abaixo s˜ao especificados os filtros da mediana, ordem e moda.
Filtro da Mediana Os pontos da vizinhan¸ca de (x,y), dentro de uma janela da imagem, s˜ao
ordenados e tomado como novo valor para (x,y) o valor mediano desta ordena¸c˜ao.
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5. Filtro de Ordem Os pontos da vizinhan¸ca de (x,y), dentro de uma janela da imagem, s˜ao or-
denados e tomado como novo valor para (x,y) o valor m´aximo ou o valor de uma ordem
qualquer desta ordena¸c˜ao.
Filtro da Moda Os pontos da vizinhan¸ca de (x,y), dentro de uma janela da imagem, s˜ao orde-
nados e tomado como novo valor para (x,y) o valor mais freq¨uente da vizinhan¸ca
7 Ru´ıdo ‘Sal e Pimenta’
Esse ru´ıdo ´e causado por erros na transmiss˜ao de dados. Os pixels corrompidos ou s˜ao alterados
para o valor m´aximo, ou tem alguns bits alterados, causando uma diferen¸ca brusca de tons entre
este pixel e seus vizinhos. Quando os pixels s˜ao alternadamente modificados para 0 ou o m´aximo,
este ru´ıdo ´e chamado de Salt and Pepper, devido a sua aparˆencia. Para este tipo de ru´ıdo, as me-
lhores t´ecnicas s˜ao de filtragem em passa-baixa. Filtros de suaviza¸c˜ao como o de m´edia e guassiano
s˜ao relativamente mal sucedidos porque o pixel que foi alterado pode variar significativamente do
valor original, e assim a m´edia pode dar um valor diferente do valor original. Um filtro mais
eficiente nesse caso seria o filtro de mediana, que remove este tipo de ru´ıdo mais eficientemente e
preserva o contorno e pequenos detalhes da imagem.
Figura 3: Imagem Original e Imagem Ruidosa com Salt-and-Pepper a 10%.
8 Resultados
A seguir ser˜ao apresentados alguns resultados adquiridos atrav´es da plataforma R.
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6. Figura 4: Imagem Original Usada nos Testes de Filtragem - Filtro da M´edia e da Mediana.
Referˆencias
Camara G., Souza R., F. U. G. J. (1996), ‘Spring: Integrating remote sensing and gis by object-
oriented data modelling’, Computers & Graphics 20(3), 395–403.
Gonzalez, R. & Woods, R. (1992), Digital Image Processing, Addison-Wesley Publishing Company.
Jain, A. (1986), Fundamentals of Digital Image Processing, Prentice-Hall.
Marion, A. (1991), An Introduction to Image Processing, Chapman and Hall.
Ogˆe Marques Filho, H. V. N. (1999), Processamento Digital de Imagens, number 85-7452-009-8,
Brasport.
R Development Core Team (2009), R: A Language and Environment for Statistical Computing,
R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. URL http://www.R-project.org,
ISBN 3-900051-07-0.
SILVA, A. M. e. (2001), Curso Processamento digital de imagens de sat´elite, Centro de Eventos da
PUCRS - de 07 a 12 de outubro de 2001, Porto Alegre - RS. URL www.cartografia.org.br.
Woods, R. C. G. . R. E. (1992), Digital Image Processing, number 0-201-50803-6, Addison Wesley.
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7. Imagem Original Imagem Ruidosa
Filtro da Mediana − mask 3 x 3 Filtro da Média − mask 3 x 3
Figura 5: Imagem Filtrada com M´ascara 3x3.
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8. Imagem Original Imagem Ruidosa
Filtro da Mediana − mask 5 x 5 Filtro da Média − mask 5 x 5
Figura 6: Imagem Filtrada com M´ascara 5x5.
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9. Imagem Original Imagem Ruidosa
Filtro da Mediana − mask 7 x 7 Filtro da Média − mask 7 x 7
Figura 7: Imagem Filtrada com M´ascara 7x7.
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10. Imagem Original Imagem Ruidosa
Filtro da Mediana − mask 11 x 11 Filtro da Média − mask 11 x 11
Figura 8: Imagem Filtrada com M´ascara 11x11.
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