Curva Normal, Punjaes Z, Areas bajo la curva normal

1. Distribución Normal
Psicoestadística Descriptiva
Estadística Aplicada a la Psicología
Facultad de Psicología (UNT)
Prof. Mag. Mariela Ventura

2. ¿Por qué la usamos en Psicología?
 Porque muchas de las variables toman el modelo de la distribución
normal de probabilidades, puesto se asemejan a su forma.
 Por ello, en estadística muchos de los problemas pueden ser resueltos
bajo el supuesto que se asemejan a esta forma campanular.
 El supuesto es que muchos de los fenómenos ocurridos
aleatoriamente o al azar o en grandes números suelen distribuirse
normalmente. Por ejemplo, la inteligencia, el rendimiento académico, la
talla, el peso, tienen la forma de campana: se agrupan en el centro y
decae suavemente hacia los extremos.
Por ello, la curva normal se usa como modelo para analizar
estas distribuciones.

3. Curva Normal
Al aumentar indefinidamente el número de intervalos de una distribución,
disminuye su amplitud y los rectángulos del histograma se adelgazan más y
más. En el límite, la línea quebrada se identificará con la curva normal, o
campana de Gauss.

4. Características de la curva normal
• Es una curva lisa, de bordes suavizados.
• Es simétrica respecto al eje vertical que pasa por la media.
• Tienen un único máximo que coincide con el valor z=0
• Tienen dos puntos de inflexión para μ-σ y para = μ+σ; es decir μ-σ, el punto donde
la curva pasa de ser cóncava hacia arriba a ser cóncava hacia abajo y en el punto =
μ+σ; la curva pasa de ser cóncava hacia abajo a ser cóncava hacia arriba. Donde la
curva inflexiona, se encuentra 1 desviación estándar para cada lado.
• Se acercan asintóticamente al eje de las abscisas. En otras palabras se acercan más
y más a ese eje, tanto por la derecha como por la izquierda sin llegar a tocarla en
ningún punto finito.
• Sólo es posible aproximarse a ella mediante distribuciones de frecuencia que
comportan datos efectivos. Por eso, para cada pareja de media y s hay una
distribución normal que puede ser estandarizada a partir de la transformación de la
variable X en un puntaje típico z.
• En su forma estándar la media es 0 y todas las medidas se expresan como desvíos
con respecto a la media (X-). Se determina así la cantidad de desviaciones
estándar que se desvía un valor con respecto a la media.

5. Las distribuciones de frecuencia de muchas variables psicológicas, sociales,
educacionales, económicas, biológicas, antropológicas, se aproximan en gran
medida a un tipo de curva en forma de campana que se conoce como curva
normal.
Por todo ello, la curva normal se ha empleado como “modelo matemático” para
explicar los fenómenos que empíricamente presentan distribuciones en forma de
campana.
En donde:
X 
X
s
z

Z es una puntuación típica y se expresa como unidades de desviación estándar con
respecto a la media.

6. Puntuaciones directas-diferenciales y
típicas
 La puntuación sola tiene muy poco significado en
psicología.
 Admiten un cierto significado en relación con la medida
de tendencia central, esto es, con la media.
 Éste es aún más completo consideradas en relación con
la tendencia central (media) y con la variabilidad
(desviación típica).
 Es decir, las puntuaciones típicas significan más que las
diferenciales y éstas más que las directas.

7. X X
s
z


Supongamos, los siguientes valores en una prueba donde la =5 y la s=2:
Puntuaciones directas X, Y, etc.: 6 4 2 5 8
Puntuaciones diferenciales x, y, etc.:
Puntuaciones típicas:
X
i X
x X X i i   1 -─1 ─3 0 3
X X
z 0,5 -0,5 -1,5 0 1,5
z    
x
x
i s
X
i
s
Propiedades de las puntuaciones típicas
1. La media de las puntuaciones típicas vale 0 (cero).
 X 
X
  0
 
Podemos comprobar esta propiedad con los datos pero a los fines de este curso
considero no necesario.
2 . La varianza y la desviación típica de las puntuaciones típicas vale uno. También es
fácilmente demostrable.
x
i
i s
z

8. Significado de las puntuaciones directas, diferenciales y típicas
Supongamos que Matías obtiene una puntuación directa =22 en una prueba de
retención de dígitos.
Supongamos que definido este grupo la media es de 19.
Si calculamos la puntuación diferencial de Matías será de 22-19=3
Superar la media, ¿es mucho o es poco? Depende de los casos, si nadie o casi
nadie se aparta de la media del grupo en 3 unidades o más es mucho, pero si
bastantes la superan en más de tres unidades es mucho menos.
•Por lo tanto, la interpretación de una misma puntuación diferencial será distinta
según sea una u otra la variabilidad del grupo y, en concreto, la desviación típica.
•Supóngase los grupos A y B tales que la sa=2 y sb=4. La misma puntuación
diferencial 3 significa más referida a “A que a B”.
•Esta diferencia viene dada por sus correspondientes puntuaciones típicas.
Esta diferencia viene dada por sus correspondientes puntuaciones típicas.

9. Puntuaciones típicas Z como medidas
de posición
 Nos permiten averiguar la posición de un sujeto en un grupo o del
mismo sujeto en grupos diferentes.
 En psicología veremos que las puntuaciones típicas son traducidas en
porcentajes.
 Dada una puntuación típica podemos saber qué porcentaje de casos,
cuántas personas del grupo de referencia se encuentran por debajo de
ella.
Así, mediante las puntuaciones típicas podemos obtener una
interpretación muy razonable

10. Comparabilidad de las puntuaciones típicas
 En principio dos puntuaciones directas (o diferenciales) no son comparables entre
sí.
 Las puntuaciones típicas son siempre comparables al ser números abstractos, es
decir, al no venir expresada en ninguna unidad concreta de medida.
 En el caso de una sola característica, serían comparables dos puntuaciones
directas y diferenciales porque ambas vendrían expresadas en una misma unidad
de medida. Sin embargo, aún en este caso, sería preferible las puntuaciones
típicas que las directas o diferenciales.
 En general, en psicología los grupos son comparables porque suelen ser normales
o aproximadamente normales. En otras, palabras, dos grupos distintos sometidos a
la misma o distinta prueba suelen distribuirse de la misma manera, de acuerdo a la
distribución normal, de la que hablaremos enseguida.

11. De lo que estamos hablando, es de los criterios que consideramos acerca de
la posición relativa de una persona respecto a un grupo de referencia.
a) Posición relativa como distancia de esa persona a la media (diferencial)
del grupo (medida en unidades típicas)
b) Posición relativa (puntaje típico) como personas del grupo que deja por
debajo de sí esa persona.

12. Desviación típica y puntuaciones típicas
Desviación típica y puntuaciones típicas son dos conceptos distintos.
La desviación típica es propia del grupo.
La puntuación típica es propia de cada persona.
En un grupo de n personas, tenemos n puntuaciones típicas (algunas de las
cuales pueden ser iguales entre sí) y una sola desviación típica.
Es equivalente decir que una persona obtiene un z=2 o que supera la media
en dos desviaciones típicas.
Una persona con un puntaje X  66
; una media = 60 y una s= 3 tiene una
puntuación típica z= 2. Esto quiere decir que en la distancia que hay de 6
puntos entre la media y la puntuación se encuentra contenida dos veces la
desviación típica.

13. UN POCO DE HISTORIA…
Desde el siglo XVI, el físico y astrónomo italiano Galilée notaba que
los resultados de observaciones astronómicas estaban distribuidos
de manera simétrica y tenía una tendencia de agruparse alrededor
de un valor, que nombraba el valor verdadero. Sin embargo, la ley
normal es llamada casi siempre con el nombre del matemático, físico
y astrónomo alemán Carl Friedrich Gauss quien la utiliza algunos
años más tarde para desarrollar métodos estándares de medidas en
astronomía.
La ley normal es designada bajo varias denominaciones adoptadas
en el transcurso del tiempo y según los usuarios, tales como:
La curva de las posibilidades o ley de posibilidades
Ley de Laplace – Gauss (siglo XVIII)
Ley de frecuencia de errores (siglo XIX)
Ley de desviación según un promedio (siglo XX).

14. Formas de la distribución
LEPTOCÚRTICA
MESOCÚRTICA
PLATICÚRTICA

15. Curva normal
La curva surge de una función matemática

16. Áreas bajo la curva normal
• Con frecuencia es necesario determinar la proporción de casos que
quedan al interior de un intervalo dado. Gracias al uso de la curva
normal como modelo teórico esa tarea se hace sencilla. Es útil
operar con su forma estándar donde =0 y s=1; z= (x-) /s.
• Independientemente de la media y de la desviación estándar que
tenga una distribución empírica, hay una proporción constante
entre la media y la ordenada en la curva normal, que es una
distancia determinada en términos de unidades de desviación
estándar.
• A una desviación estándar a la derecha y a la izquierda, siempre
habrá 0,3413. Por consiguiente dos veces dicha área es 0, 6826, o
sea ente +1z y –1z. Del mismo modo entre la media y dos
desviaciones (ambos lados) está el 95.44 y prácticamente todos los
casos estarán comprendidos en el interior de tres desviaciones
estándar.

18. Ejemplo estandarización: x
• Dado un ejemplo cualquiera, lo que se hace es transformar el valor X en
puntaje z a partir de la fórmula .
• z representa la desviación con respecto a la media en término de
unidades de desviación estándar.
• Se produce una transformación efectiva de X en z. En tanto la distribución
de la variable X es normal con una media de X y una desviación estándar
de s, la nueva variable en cambio es normal, con una media de 0 y una s
de 1.
• Esta distribución se denomina “forma estándar” y la z “transformada
estándar, puntaje estándar, puntaje típico”.
• Así para cada X resulta una nueva variable llamada puntaje estándar, que
surge de la fórmula anteriormente vista.
Z

19. Aplicación de la Curva Normal
• Dado el ejemplo anterior, podemos averiguar áreas
bajo la curva normal a partir de tablas construidas al
efecto. Para utilizar cualquier tabla de áreas bajo la
curva normal, debemos tener en cuenta lo siguiente:
• Área entre la media y cualquier z (A)
• Área mayor: más de la mitad de la curva (B)
• Área menor: menor que la mitad de la curva (C)

20. Áreas: A,B y C
Área B
Área C
Área A

21. Tipos de problemas
A-Determinar áreas a partir de valores de X
• a)Determinar áreas por encima o por debajo
de un determinado puntaje.
• b) Área entre la media y puntaje
• c)Determinar el área comprendida entre dos
valores que demarcan un área central.
• d)Determinar el área comprendida entre dos
áreas no centrales.

22. B-Determinar valores de X a partir de áreas
• a)Entre un determinado % de casos quiero
saber los valores X que lo encierran.
• b) Determinar el valor de X por encima del cual
se encuentra un determinado porcentaje de
área.
• c) Determinar el valor z por debajo del cual se
encuentra un determinado porcentaje de área.
• d)Determinar un percentil.

23. Grupo a analizar
• Grupo de 50 sujetos entre 6 y 7 años de una escuela rural de Tucumán en
el Sub-test Vocabulario del WISC. Este Sub test se trata de una serie de
palabras presentadas al sujeto oralmente, que el examinado también
define oralmente. Suponiendo que la distribución es normal, queremos
averiguar varias cosas:
• L os puntajes en el sub-test vocabulario como en los otros pueden ir de 1 a
19.
• Grupo (rural)
• Media =8
• S= 4,3
• N=50

24. a) DETERMINAR EL ÁREA POR ENCIMA DE UN PUNTAJE, por
ejemplo, el puntaje 8
1. Transformo 8 en z.
0
8 
8
4,3

z 
Corresponde a la media de 0.
2. Lo ubico en tabla de puntajes z, en este caso en B o en C.
3. Observo la probabilidad de ocurrencia y respondo:
Para este grupo, digo: Por encima o por debajo del puntaje de 8 se encuentra una
proporción de 0.50 o un porcentaje de 50 por ciento de los casos.
. Puedo querer saber cuántos sujetos obtuvieron puntajes por encima y por
debajo de la media. Entonces sabiendo que el área total representa un 100 por
ciento, y corresponde a 50 sujetos, el 50 por ciento sería: Área en % x N / 100 =25
sujetos obtuvieron puntajes menos y más de 10 en Vocabulario. (por regla de tres
simple)

25. Por ejemplo,
Determinar el área entre la media y el puntaje
1, 5 z
1.Se busca en Tabla en Área A y se observa
la proporción de área que
corresponde a este valor z.
2. Se establece el área en términos de
proporción o porcentaje.
En este caso es de 43, 32 %

26. Es un problema de área A:

27. Ej: Por ejemplo determinar cuál es el área comprendida entre +1 z y -1 z
Busco en Tabla 1 z, en Área A, y veo que le corresponde una proporción de 0,3414.
Del otro lado es simétrica (para -1z) sumo amabas, y me da 0,6828, aprox. 68%

28. Determinar el área comprendida entre dos valores que
demarcan un área central

29. Ajora, puedo querer saber qué puntajes originales corresponden a esos
valores z
1. Despejo X de la fórmula de z y digo
X  z.s  X
Aquí tenemos el caso de que z es igual a 1 y a -1
Reemplazamos:
Para este grupo el área central está comprendida entre:
  
1.4,3 8 12,3
1
   
1.4,3 8 3,7
2
X
X
Entonces entre 3,7 y 12, 3 puntos en Vocabulario se encuentra el 68% de
normalidad de la distribución. Por encima o por debajo de esa área tenemos
los valores superiores a la derecha e inferiores a la izquierda de lo normal (lo
supra normal o lo infra normal). Ambos atípicos.

30. Determinar el área comprendida entre dos áreas no centrales .
Determinar el área comprendida entre los valores de 13 y 17
1. Se transforma cada valor 13 y 17 a un valor z ; se obtiene: Z13=1,16 y
Z17=2,09.
2. Se busca para cada valor su área A en Tabla de valores z , y se obtiene:
Para z=1,16 el área a correspondiente es de 0,3749
Para z= 2, 09 , la proporción de área correspondiente es 0,4821
Como es un área no central, se hará la operación a partir de una resta de
áreas A: 0,4821-0,3749=0,1072
RESPUESTA: Hay una proporción de 0,1072 casos entre los puntajes 13 y 17
o de 10,72 % de casos entre esos valores.

31. Determinar valores de X a partir
de áreas

32. B- Determinar valores de x a partir de áreas
a)Entre un determinado % de casos quiero saber los valores X que lo
encierran
Por ejemplo, los valores X que comprenden el 50 % central de los casos
1. Me fijo en Tabla de valores z la proporción de área de 0,25 para cada lado. Son
dos A. Obtengo un z de 0,70 y de -0,70 (no olvidemos que las superficies no tiene
signo positivo ni negativo pero sí los valores z que en tabla figuran todos en
positivo, y hay que colocarle el negativo cuando corresponde)
2. Luego despejando X desde la fórmula de Z
X X
s
z


  
0,70.4,3 8 11,01
1
   
0,70.4,3 8 4,99
2
X
X
En este grupo el 50 % de los casos se encuentra entre 4, 99 y 11,01

33. Determinar el valor de X por encima del cual se
encuentra un determinado porcentaje de área
X
Por ejemplo determinar el valor de X por encima del cual se encuentra el 25 por
ciento de los casos.
1. Busco en Área C , el área especificada y eso me lleva al valor z: 0,65
2. Del valor z , lo transformo en X; X es igual a : X=z.s+
X=0.65. 4,3+8= 10, 79 aprox. 10,8
X
Por encima del puntaje 10, 8 se encuentra el 25 por ciento de los casos.
Coincide con Q3 y P75.

34. Determinar el valor z por debajo del cual se encuentra
un determinado porcentaje de área.
Ej: Determinar el valor de X por debajo del cual se encuentra el 25
por ciento de los casos. Al graficar veo que se trata de un área C
Busco en C el área especificada y eso me lleva al valor z, que es igual a –0.65.
Entonces el valor z que deja por debajo el 25 por ciento de los casos es
–0.65.
Podemos averiguar cuál es el l puntaje directo. Despejamos la fórmula de z y
obtenemos: X=-0,65.4,3+8=5,20
Fíjense que este puntaje de 5, 20 deja por debajo el 25% de los casos . Coincide
con el Q1 y el P25.

35. X
• Determinar el puntaje que deja por debajo el 70 % de los casos:
• Busco en Área B, la proporción correspondiente(0,7000 o parecido).
• Con el valor z, despejo el puntaje X: z.s+
X
X=0,55.4,3+8=10,36
Es el valor que deja por debajo el 70 % de los
casos.

36. Determinar un percentil
Por ejemplo: Determinar el puntaje que corresponde al percentil 84.
1. Recurramos al concepto de percentil; el percentil es un punto que deja por
debajo un determinado porcentaje de casos, en este caso, el 84 por ciento de
los casos, entonces, busco en área B.
2. Corresponde al puntaje z de 1.
3. Y al puntaje X de 12.
Es lícito esto de la transformación de percentil a z porque la distribución de
percentiles es rectangular, toma en cuenta la distribución de áreas, no de
puntajes; z en cambio, toma en cuenta la distribución de los puntajes; por eso, si
la distribución real es normal, podemos transformar los percentiles a puntajes z y
ver cuál es su posición real. Hacer la relación con los percentiles como medidas
de posición y los z, como dijimos posiciona a los sujetos en un área demarcada
como normal, supranormal e infranormal.

37. Muestra de variables que se distribuyen normalmente
•La fuerza de lateralidad para los individuos diestros, medido con el cuestionario
de lateralidad Waterloo (1993).
•Las puntuaciones en el Cuestionario de Salud de Mujeres, que mide variedad
de problemas de salud en mujeres alo largo de una amplia gama de edades
(1992).
•La respuesta de estudiantes universitarios y adultos en motivación hacia el
trabajo intrínseca y extrínseca (1994).
•Las puntuaciones en una escala de inteligencia de niñas y mujeres con
trastornos alimentarios medidas por la escala Weschler (1992).
•La declinación de capacidades cognoscitivas durante un período de un año en
personas con enfermedad de Alzheimer.
¿Por qué es importante conocer que una distribución es normal?
Porque simplifica la interpretación de las puntuaciones individuales en la prueba.
Las características de la curva normal proporcionan un modelo listo para la
interpretación de las puntuaciones que puede aplicarse a una amplia gama de
resultados. También hemos visto cómo, el conocimiento de las áreas bajo la
curva normal puede ser bastante útil para el intérprete de los datos de la prueba.

38. Bibliografía
• Amón, J. (1978). Estadística para psicólogos 1. Estadística Descriptiva,
Madrid, Pirámide.
• -Blalock, H. (1998). Estadística social, México, Fondo de Cultura
Económica.
• -Cortada de Kohan, N. (1994). Diseño estadístico (para investigadores de
las ciencias sociales y de la conducta), Buenos Aires, Eudeba.
• ______________y otros (2008). Técnicas de investigación científica.
Buenos Aires: Lugar editorial
• -Pardo, A. y R. San Martín (1994). Análisis de datos en Psicología, Madrid,
Pirámide.
• -Peña, D. y J. Romo (1997).Estadística para las ciencias sociales, Madrid,
Mac. Graw Hill.
• -San Martín Castellanos, R. y otros (1987). Psicoestadística Descriptiva,
Madrid, Pirámide.