1) Las ecuaciones son igualdades que relacionan expresiones mediante el signo igual. 2) Existen ecuaciones falsas, ciertas e identidades. 3) Las ecuaciones se clasifican según su grado y pueden ser lineales, cuadráticas, cúbicas o de mayor grado.

1. Ecuaciones
I gual dad
Una IGUALDAD se com pone de dos expr esi on es unida s por el signo ig ua l.
2x + 3 = 5x − 2
Una i gua l dad puede ser :
Fal sa:
2x + 1 = 2 · ( x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1≠2.
Ci er t a
2x + 2 = 2 · ( x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2
I dent i dad
Una i den t i dad es una i gua l dad que es ci ert a para c ual qui er val or de
l as l et r as.
2x + 2 = 2 · ( x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2
Ecuaci ó n
Una e cu aci ón es una i gu al dad qu e se cu mpl e para al guno s val or e s
de l as l et r as.
x + 1 = 2 x = 1
Los MIEMBROS de una ecua ción son cada un a de l as expresi ones qu e
apar ece n a ambos l ados del si gno i gual .
Los TÉRMINOS son l os sumandos q ue f orman l os miembros.
1

2. Las INCÓGNITAS s on l as l et ras que aparece n en l a ecuaci ón.
Las SOLUCIONES s on los v al ores que debe n t omar l as l et ras par a que
l a i gual dad sea ci ert a.
2x − 3 = 3x + 2 x = −5
2 · (− 5) − 3 = 3 · (−5) + 2
− 10 − 3 = −15 + 2 −13 = −13
El gr a do de una e cuación es el ma yor de l o s grados de l os monom i os
que f or m an sus mi embros.
Ti pos de ecuaci ones seg ún su grado
5x + 3 = 2x +1 Ecuaci ón de pri mer grado.
5x + 3 = 2x 2 + x Ecuaci ón de segu ndo grado.
5x 3 + 3 = 2x +x 2 Ecuaci ón de t ercer grado .
5x 3 + 3 = 2x 4 +1 Ecuaci ón de cuart o grado.
Cl asi f i caci ón de ecuaci o nes
1. Ecuac i ones pol i nómi cas ent eras
Las ecua ciones p olin óm ic as son d e la f or m a P( x) = 0 , donde P( x) es un
poli nom i o.
2

3. G r ado de una ecuaci ón
El gr a do de u na e cuación es el ma yor de l o s grados de l os monom i os
que f or m an sus mi embros.
Ti pos de ec uaci ones pol i nómi cas
1. 1 Ecua ci ones de pri mer grado o l i neal es
Son de l t ipo a x + b = 0 , c on a ≠ 0, ó cual qu ier ot r a ecuación en la que
al oper ar , tr asponer t érm inos y simplif icar a dopt an esa expr e sión.
( x + 1) 2 = x 2 - 2
x 2 + 2x + 1 = x 2 - 2
2x + 1 = - 2
2x + 3 = 0
1. 2 Ecua ci ones de segun do grado o cuadrát i cas
Son ecua ciones d el t ipo ax 2 + bx + c = 0 , con a ≠ 0.
Ecuaci o nes de segundo grado i ncompl et as
ax 2 = 0
ax 2 + b = 0
ax 2 + bx = 0
1. 3 Ecua ci ones de t ercer grado
Son ecua ciones d el t ipo ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 , con a ≠ 0.
3

4. 1. 4 Ecua ci ones de cuart o grado
Son ecua ciones d el t ipo ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 , con a ≠ 0.
Ecuaci o nes bi cuadradas
Son ecua ciones d e cuar t o gr ado qu e no t iene t ér m inos de gr ado im par .
ax 4 + bx 2 + c = 0 , con a ≠ 0.
1. 5 Ecua ci ones de gra do n
En gener al, las ecuacion es de gr ado n son de la f or ma:
a 1 x n + a 2 x n - 1 + a 3 x n - 2 + . . .+ a 0 = 0
2. Ecuac i ones pol i nómi cas raci onal es
Las ecua ciones p olin óm ic as son de la f or ma , donde P( x) y
Q ( x) son poli nom i os.
Ecuaci o nes equi val ent es
Dos ecu aci ones son equi val ent es si ti enen l a mi sma sol uci ón.
2x − 3 = 3x + 2 x = −5
x + 3 = −2 x = −5
Cri t eri os de equi val enci a de ecuaci ones
1. Si a l os dos mi embros de una e cuaci ón se l es s uma o s e l es r es t a
una m i sm a cant idad, l a ecuaci ón es equi val ent e a l a dada.
4

5. x + 3 = −2
x + 3 − 3 = −2 − 3
x = −5
2. Si a l os dos mi embros de una ecuaci ó n se l es mul t i pl i ca o se l e s
di vi de una mi sma cant i dad, l a ecuaci ón es equi val ent e a la dada.
5x + 10 = 15
( 5x + 10) : 5 = 15 : 5
x + 2 = 3
x + 2 −2= 3 −2
x = 1
Reso l uci ón de ecuaci one s de primer grado
En gene r al par a resol ver una ecuaci ón de pri mer grado debe m o s
seguir lo s siguien t es pasos:
1º Q ui t ar parént esi s.
2º Q ui t ar denomi nadores.
3º Agru par l os t érmi nos en x en u n mi embro y l os t érm i nos
i ndepen di ent es en el ot ro.
4º Reduc i r l os t érmi nos semej ant es.
5º Despe j ar l a i ncógni t a.
5

6. Despej a m os la incógnit a:
Agr upam os los t érm inos sem ej ant es y los independ ien t es, y sum am os:
Q uit am os par ént esis:
Agr upam os t ér m inos y sumam os:
Despej a m os la incógnit a:
Q uit am os denom in ador es, par a ell o en pr im er lugar hall am os el m í nim o
com ún múlt ipl o.
Q uit am os par ént esis, agr upam os y sum am os los t ér m inos sem ej ant es:
6

7. Despej a m os la incógnit a:
Q uit am os par ént esis y sim plif icam os:
Q uit am os denom inador es, agr upa m os y sum am os los t ér m inos
sem ej antes:
Q uit am os cor chet e:
Q uit am os par ént esis:
Q uit am os denom in ador es:
Q uit am os par ént esis:
7

8. Agr upam os t ér m inos:
Sum am os:
Divi dim o s los dos m iem br os por : −9
Probl emas de ecuaci one s de primer grado
Expr esi ones al gebrai cas comunes
El dobl e o dupl o de un núm er o: 2x
El t r i pl e de un núm er o: 3x
El cuádr upl o de un núm er o: 4x
La m i t ad de un núm er o: x/2.
Un t er ci o de un núm e r o: x/ 3.
Un cuart o de un núm er o: x/ 4.
Un núm er o es proporci onal a 2, 3, 4, .. . : 2x, 3x, 4x, ..
Un núm er o al cuadrado : x 2
Un núm er o al cubo: x 3
Dos núm er os consecuti vos: x y x + 1.
Dos núm er os consecuti vos pares : 2x y 2x + 2.
Dos núm er os consecuti vos im pares : 2x + 1 y 2x + 3 .
8

9. Descom poner 24 en dos part es : x y 24 − x.
La suma de dos núm er os es 24: x y 24 − x.
La di f erenci a de dos núm er os es 24: x y 24 + x.
El pr odu ct o de dos núm er os es 24: x y 24/ x.
El coci e nt e de dos núm er os es 24; x y 24 · x.
Pr obl emas geomét ri cos con ecua ci ones de pri mer grado
Hal la e l valor de los t r es ángul os de un t r i ángul o s abien do que B m i de
40° m ás que C y que A m ide 40° m ás que B.
C x
B x + 40
A x + 40 + 40 = x+ 80
x + x + 40 + x+ 80 = 180; x + x + x = 180 − 40 − 80;
3X = 60; X= 20
C = 20º B = 20º + 40 º = 60º A = 60º + 40º = 100º
Probl emas de mezcl as
C1 1ª cant idad. C 1 = x
C2 2ª cant idad. C 2 = C m - x
Cm Cant idad de la m ezcla C m = C 1 + C 2
P1 Pr ecio de la 1ª cant idad
P2 Pr ecio de la 2ª cant idad
9

10. Pm Pr ecio de la m ezcla
C1 · P1 + C2 · P2 = Cm · Pm
Tam bién podem os poner los dat os en una t abla
Cant i dad Preci o Cost e
1ª sust anci a C1 P1 C1 · P1
2ª sust anci a C2 P2 C2 · P2
M ezcl a C1 + C2 P C1 · P1+ C2 · P2
C1 · P1 + C2 · P2 = (C1 + C2) · Pm
Un com er ciant e t iene dos clases d e caf é, la pr im er a a 40 € el kg y la
segunda a 60 € el kg.
¿Cuant o s kilogr a m os hay que pon e r de cad a clase d e caf é pa r a obt ener
60 kilos de m ezcla a 50 € el kg?
1ª cl ase 2ª cl ase Tot al
Nº de kg x 60 − x 60
Val or 40 · x 60 · ( 60 − x) 60 · 50
40x + 60 · ( 60 − x) = 60 · 50
40x + 36 00 − 60x = 3000; − 60x + 40x = 3000 − 3600; 20x = 600
x = 30; 60 − 30 = 30
10

11. Tenem os que mezcl ar 30 kg de l a 1ª cl ase y ot ros 30 de l a 2ª cl ase .
Probl emas de al eaci ones
La l e y d e l a al ea ci ón es l a rel aci ón ent re el peso del m et al f i no , e s
decir , m ás valioso , y el pe so t ot al .
Se r esue lven del m ism o modo que los pr obl em as de m ezclas, t eniendo
en cuent a que la l e y de l a al eaci ón equi val e al preci o de l a mezcl a .
C1 · L1 + C2 · L2 = (C1 + C2) · La
Se t iene n dos lin got es de plat a, uno de le y 0. 750 y ot r o de ley 0. 950.
¿Q ué pe so hay q ue t om ar de cada ling ot e par a obt ener 180 0 g de pl at a d e
ley 0. 900 ?
1ª l e y 2ª l e y Tot al
Nº de g x 1800 − x 1800
Pl at a 0. 750 · x 0. 950 · (1800−x) 0. 900 · 1800
0. 750 · x + 0. 950 · ( 1 800−x) = 0. 9 · 1800
0. 750 x + 1 710 − 0. 950x = 1 620
0. 750x − 0. 950x = 1 620 − 1 710
− 0. 2x = − 90 x = 450
1ª ley 450 g
2ª ley 1350 g
11

12. Probl emas de gri f os
En una h or a el pr im er gr if o llena 1/ t 1 del dep ósit o.
En una h or a el segundo gr i f o llena 1 / t 2 del depósit o.
Si e xist e un desag üe
En una h or a el desagüe va cí a 1/ t 3 del depós i t o.
En una h or a los dos gr if os j unt os habr án llen ado:
Sin desa güe
Con desa güe
Un gr if o t ar da e n ll enar un dep ó sit o t r es hor as y ot r o gr if o t ar da en
llen ar lo cuat r o hor as. ¿Cuánt o t ie m po t ar dar án en llenar l os dos gr if os
j unt os el depósit o ?
En una h or a el pr im er gr if o llena 1/ 3 del depó sit o.
En una h or a el segundo gr i f o llena 1 / 4 del depó sit o.
En una h or a los dos gr if os j unt os habr án llen ado:
7x = 12 x = 12/ 7 horas
12

13. Probl emas de móvi l es
Par a pla nt ear pr oblem as sobr e m óviles que lleva n velocid ad const ant e
se ut iliza n las f órm ulas del m ovim ient o r ect ilí neo unif or m e:
espaci o = vel ocidad × t i empo
1 e r caso
Los m óvi l es van en sent i do cont rari o.
e AB + e BC = e AB
Dos ciud ades A y B dist an 300 km ent r e sí . A las 9 d e la m añ ana par t e
de la c iu dad A un coche h acia l a ci udad B c on una v eloci dad de 90 km / h, y
de la ciu dad B pa r t e otr o hacia la ci udad A con una veloci dad de 60 km / h. Se
pide:
1 El t iem po que t ar dar án en e ncont r ar se.
90t + 60t = 300 150t = 300 t = 2 horas
2 La hor a del enc uent r o.
Se encon t r ar an a las 11 de l a mañana .
3 La dist ancia r ecor r ida por cada uno.
e AB = 90 · 2 = 180 km
e BC = 60 · 2 = 120 km
13

14. 2 o cas o
Los m óvi l es van en el mismo sent i do.
e AC − e BC = e AB
Dos ciud ades A y B dist an 180 km ent r e sí . A las 9 de la m añana s a l e
de un coche de cada ciud ad y los dos coches van en el m ism o sent ido. El
que sale de A cir cula a 90 km / h, y el que sal e de B va a 60 km / h. Se pide:
1 El t iem po que t ar dar án en encont r ar se.
90t − 60t = 180 30t = 180 t = 6 horas
2 La hor a del enc uent r o.
Se encon t r ar an a las 7 de la t arde .
3 La dist ancia r ecor r ida por cada uno.
e AB = 90 · 6 = 540 km
e BC = 60 · 6 = 360 km
3 e r caso
Los m óvi l es parten de l mi smo punt o y co n el mi smo sent ido.
e 1 = e 2
Un coche sale de l a ciudad A a la ve locid ad d e 90 km /h. Tr es hor as m ás
t ar de sale de la m ism a ciudad ot r o coche en per secución d el pr im er o co n
una velo cidad de 120 km / h. Se pide:
14

15. 1 El t iem po que t ar dar á en a lcanzar l o.
90t = 120 · ( t − 3)
90t = 120t − 360 −30t = −360 t = 12 horas
2 La dist ancia a l a que se pr oduce el encue nt r o.
e 1 = 90 · 12 = 1080 km
Probl emas de rel oj es
El ángul o o arco descri t o que recorre el mi nut ero es si empr e 12
veces m a yor que el arco que des cri be l a aguj a horari a.
Un r eloj m ar ca las 3 en punt o. ¿A qué hor a ent r e las 3 y las 4 se
super pon dr án las aguj as?
x es el arco que descri be l a aguj a horari a.
( 15 + x) es el arco que descri be el mi nut ero.
15 + x = 12x
x = 15/ 11 m in
Las aguj as se super pondr án a la 3 h 16 mi n 21 s
15

16. Un r eloj m ar ca la s 2 en p unt o. ¿A qué h or a f or m arán sus a guj as po r
pr im er a vez un ángulo r ect o?
Las aguj as del r e loj f or m an un áng ulo r ect o a l as 2 h 25 m i n y un po co
m ás, que llam ar em os x.
x es el arco que descri be l a aguj a horari a.
25 + x, es el arco que descri be el mi nut ero.
25 + x = 12x
x = 25/ 11 m in
Las aguj as del r eloj conf orm ar án un ángulo d e 90° a las 2h 27 mi n 16 s.
Ecuaci o nes de 2º grado
Resol uci ón de ecuaci one s de segundo grado
Una ec ua ción de segundo g r ado es toda expr esión de la f or m a:
ax 2 + bx +c = 0 con a ≠ 0.
Se r esuelve m edi ant e la siguient e f ór m ula:
16

17. Ej em plo:
Si es a<0, es m ás pr ác t i co mul ti pli ca r l os dos mi embros por ( − 1).
Ecuaci o nes de segundo grado i ncompl et as
Se dic e que una ecu ació n de segu ndo gr ad o es i ncompl et a cuando
al guno de l os coef i ci ent es, b o c, o ambos, son i gual es a cero.
Resol uci ón de ecuaci one s de segundo grado i ncompl et as
ax 2 = 0
La sol uci ón es x = 0.
17

18. ax 2 + bx = 0
Ext r aem o s f act or com ún x:
ax 2 + c = 0
Despej a m os:
18

19. Est udi o de l as sol uci ones de l a ecuaci ón de 2º grado
ax 2 +bx +c = 0
b 2 − 4ac se l lam a DISCRIMINANTE de la ec uación y per m it e aver iguar
en cada ecuació n el núm er o de solu ciones. P odem os dist ingu ir t r es casos:
b 2 − 4 ac > 0
La ecua ci ón t i ene dos sol uciones, que son númer os r eal es
di st i nt os.
b 2 − 4ac = 0
La ecuac i ón t i ene una sol uci ón dobl e.
19

20. b 2 − 4ac < 0
La ecuac i ón no tiene sol uci ones real es.
Pr opi eda des de l as sol uci ones de l a ecuaci ón de 2º grado
La suma de l as sol uci ones de un a ecuaci ón de segundo gr ado es
igua l a:
El produ ct o de l as sol uci ones de una ecua ción de s egundo g r ado es
igua l a:
Fact ori zaci ón de un t ri nomi o de segundo grado
a x 2 + bx +c = 0
a · (x -x1 ) · (x -x2 ) = 0
20