19. TGeemoam3etría 33..11..1.TPMrairgaedomineddoairmduneeátánrngíugaloulsoueslenusarsetressistemas: Sexagesimal:elgradosexagesimalseobtienedividiendoen360 ungradosexagesimalsedivideen partesigualesunángulo
ompleto; 60 minutosyunminutoen60 segundos(1◦ = 60′ y1′ = 60′′Centesimal:Elgrado
entesimalseobtienedividiendoelángulo
ompletoen ). 400 grado
entesimalsedivideen partesiguales;un 100 minutosyunminutoen100 segundos(1◦ = 100′ y1′ = 100′′Radianes:Eselánguloqueinter
eptasobrela
ir
unferen
iaunar
odelongitudigualalradio.).
obtienela
oresponden
iaentregradosyradianes. r
ymediantereglasdetressimplese
= 2 r
Un radian
r
l
lr
Medida en radianes: Segúnloanterior,unángulode360◦ mideenradianes2r
rad. 3.1.2. AÁpnagrtuirlodseaohroirean
toandsidoesraremossiempreunsistemasdeejesde
oordenadasperpendi
ulares,OX yOY ,ytodoslosánguloslosituaremosdemodoqueunodesuslados
positivo.
r
360◦ ≡ 2 rad., 180◦ ≡ rad., 90◦ ≡
2
oin
idan
onelsemiejeOX Y
origen de ángulos
O X
X
1111 19
20. Cualquiersemire
ta sentido
ontrarioala
soanguojraigsednel=reOlojdleosn
iroánsdidoesráanregmulooss:pos1ityivos2.
oLmosoáensgulosobtenidosgirandoenel 1.Losángulos
omo2 3.1.3s.eobÁtinengeunlgoirsanmdoayenorelessendtiedoalasagujasdelrelojseránlosnegativos. que 2 Aunqueunángulo
ompletomideradianes 360◦ o2 Sseep
ounedsiedeerxaprqeusear
udaelqlauifeorrnmúamerorealrepresenrtaadliaamneesd,ipdoaddeemuons
áonngsuildoerteanriáenngduoloesnd
euemnatayoqruaemsipelmitupdre. + k · 2,donde esunángulo
omprendidoentre0 y2Ejemplo:Elángulo . 2,835◦ = 315◦ + 360◦ · 7,esde
3.1.4. girardespués Razonestriqguoenpoermteénet
rei
aalsIV
ir,eselresultadodedarvueltas
ompletasy 7 315◦ uadrante. Consideremosla
ir
unferen
iaderadior yunánguloir
unferen
iaenunpunto .Elsegundoladodelángulo
ortaráala P = (x, y).
y Vánagmuolos
audaelquniierralalsorhaazroenmesostruigsaonndomoélatsri
aosorpdaernaadáansgudleolspaugnutdoosenuntriángulore
P(x,y)
Razóntrsigenonoométri
tánguloyparaun Pa Enuntriángulore
x
tángul.o Ángulo
ualquiera sen =
tangente cateto opuesto
y
sen =
hipotenusa
r
x
r tg =
oseno cos =
se
ante cateto contiguo
cos =
hipotenusa
cateto opuesto
y
tg =
cateto contiguo
r
x
y sec =
otangente cotg =
cateto contiguo
cateto opuesto
r
y dLeasraradzioonestrigonométri
asnodependendelradiodela
ir
unferen
ia.Podemostomaruna
cotg =
.Tampo
hipotenusa
r
sec =
cateto contiguo
x
ir
unferen
ia 1ose
ante cosec =
hipotenusa
cateto opuesto
cosec =
odependedeltriángulore
táng2u0loquesetome.
21. 3.1.5. ESlisgignnooddeelalsarsazroanzeosntreigsontormigétorni
oasmdéepternid
eansdelsignodelaab
isa”x” signodelaordenada (signodel
oseno)ydel ”y” (sigIn
ouadderlasnetneo).I
uadrante I
uadrante IV
uadrante
0 /2 /2 3/2 3/2 2 seno + + − −
oseno + − − + tangente + − + −
otangente + − + − se
ante + − − +
ose
ante + + − − 3.1.6.1.Rela
ionesentrelasrazonestrigonométri
as sen2 +cos2 = 1.Deestarela
2. quesea . iónsededu
eque:
y
par
ualquiera −1 ≤ sen ≤ 1 −1 ≤ cos ≤ 1 tg =
4. sen
cos
= cosec 1
y 1
tg
= cotg y
omo
onse
uen
iacotg =
cos
sen 3. 1
3.1.7. 5.ordeLnaasdraasz.onestrigonométri
6.sen
Razonestrigonométri
= sec cos
1 + tg2 = sec2 asdelosángulos:,,,y1 + cotg2 = cosec2 0◦90◦180◦270◦ 360◦asdeestosángulosseobtieneinmediatamente,observando.susab
isasy
otangente tangente oseno seno se
ante noestádenida
3
0◦ ≡ 0 rad. noestádenida
noestádenida 90◦ ≡
rad. noestádenida 180◦ ≡ rad. noestádenida 270◦ ≡
rad. 2
2
0 1 0 −1
1 0 −1 0 0 0 0 0 1 −1 ose
ante noestádenida noestádenida 1 noestádenida
−1 21
22. 3.1.8. Razonestrigonométri
asdelosángulos:30◦,60◦ y45◦.
rad. seno 1
tangente
30◦ ≡
rad. 60◦ ≡
rad. 45◦ 6
3
≡
4
√2
√2 3
se
ante 2
1 2√3
√3
2
√2
2
oseno √3
2
1
2
3.2. RDaoszáonnguelosstseridgi
oenn
oommpéletmrein
taarisosd
3
ueanádonsguumlaons
√3 1
otangente √3
omplem√e2ntarios 90◦ o
√3
3
rad.Siunángulomide mentarioserá su
o2 √2
3
omple-
90◦ − ose
ante 2
2√3
3
2
2 − .
Se
umplenlassiguientesrela
iones:
x'
y'
y
x
x=y'
y=x' sen(90◦ − ) = cos cos(90◦ − ) = sen tg(90◦ − ) = cotg Ejemplo:sen 30◦ = cos 60◦ ycos 30◦ = sen 60◦ 3.3. RSeedpuued
e
nidóanrloaslsigpurieinmtese
raso
su:adrante
eSsitáenelsegundo
uadrante 90◦ 180◦ enton
eselángulo180◦− pertene
ealprimer
uadrante.Losángulosquesuman
180◦
omoson y180◦ − selamansuplementarios.
y' x' 22
y x
x=-x'
y=y'
23. Severi
aenton
es:
sen = sen(180◦ − ) cos = −cos(180◦ − ) tg 3.3.1. Siestáenelter
er
uadrante = −tg(180◦ − ) 180◦ 270◦ enton
eselángulo − 180◦ pertene
ealprimer
uadrante.
Sededu
eque:
y
x'
x
y'
x=-x'
y=-y' sen = −sen( − 180◦) cos = −cos( − 180◦) tg = tg( − 180◦) 3.3.2. Siestáenel
uarto
uadrante 270◦ 360◦ enton
eselángulo360◦ − pertene
ealprimer
uadrante.
Severi
aenton
es:
x
x'
x=x'
y=-y' y
y'
sen = −sen(360◦ − ) cos = cos(360◦ − ) tg = −tg(360◦ − ) 3.4. RSeaazonestrigonométri
unángulo
ualquierapositivoy
asdeunángulonegativo − el
orespondientenegativo.
x
x'
y
y'
x=x'
y=-y' Severi
aenton
es:
sen = −sen(−) cos = cos(−) tg = −tg(−) 23
24. 3.5.haRlRaeresslooolsvlteurreu
sniáóntrgniuálnodgsu:elotrer
itáánngguluoelsohsalrlaer
totdáonssgusuelloemsentosdes
ono
idos.Enuntriángulohayque A,B yC ylostreslados:a,b yc.
c PararLeasoplvreorpiuendatdriáqnugeuliondrie
atáqnugeulloasseumpuaeddeenloustiltirzeasr:ángulosdeuntriánguloes180◦triángulosre
tángulos,sielángulo .Enel
asode A esre
PararLEeaslostledvoeerrenumin
aitodrnieáensPgidtueálgolaorsrea
rsta.áznognueslothriagyonqoumeé
C b
A
torni
to,a
B
qdueleá
nognuol
oerreu
ntoo,dteeneilelonsdoeqeuniv
auleenata
oqnuoe
eerstloossddooss.elementosnopuedenserlosdosángulosagudos,ya
oa
se.runmínimod.edoselementosdeltriángulo,además B + C = 90◦24
25. TFeumna
i4ones 4.1. COobEEnsller
pvoreaenp
sliouotsmodsoiegdduueineeagnatlfesluaosmleninjaea
dmaidópetlenoulsen.:fó
Tnoi
eharemedsetipáneenondleofudgneí
saiuóndudrea
laióvne.lo
idaddelmismo. dlEleanmlAataodoLdlaataorssyafdull(ooeaesrslzdvpaeuajrre
reamoi
a
nibipoóqllneodusseedqealsuaneleatlaelratmrermilaoiaseram
endisoaadn)hod,aasedmypmeoeuatsnnasdlalaaesmsrdealdlelnaaeeml
parieaaódnrnquedumreeaeno
dtlsiroeó:esnlav)d.aodlsoisrtmeasangd
iTnedneLUdparneeanmrdefouliaesnn
Variabledependienteo Variableindependienteonieaiutdunedaesvusasorriaevsbaplreei
datebivploeesns(d
eeelnntprdroees
liodosedvmaealousranesas. iiunnngdaeeLnpgaieersnarfdínuain,e
obteniendolosvaloresde grá
aounaexpresiónanalíti
eaittone
pi
tóeoinórlnetqa
nt.)
iedosyamqddoueedllaeamdváseiisdtpunae.aon
uenosetruorsneeqsapueroeset:nlaadb
elieóu
nneeúnenntrtier
:eodsoulvassasmlvodaarolgodsnreeimtsluaaddgevenpasiretoinuavddbaeelrensiadpdbeuelpeelesdon,esddveiveaemnlnotiorered.soddaqdeuae:eslaquesejapreviamente. laamv
eaadrdiiaaabnvlteaelaounrntdaeeritloaarb.vlaar,iaubnlae n
sdoioivteniandnetisaeandtaioen.mtUelaartnseilsiv
aenlaque,atravésdeunafórmula,dándolevaloresalavariablexyazairaelrnoeenr
meiaMsosnsauetpexmumpeéesárritli
iamo
asse,isngptsuauoilneeenssatt(oqeufqníesuolietl
aaaes
,sietóqnenutlípaimpasoir
auade,aexlbefpusiro,nelt
soaiagonríntauoe,nsleaad
efovusan
vamos nror
imiaibóbíenalne:,
x yx −→ y = f(x) Leremos:sealafun
iónf denidaenA ⊂ R(
onjuntooriginal)yquetomavaloresenRa
ada (
le
orespondeunúni
o;designael
onjuntonal); f : A ⊂ R −→ R
x ∈ A y ∈ Rf riterioquenospermite
al
ularelvalorde
y(imagendex),
ono
idoxEjemplo:Seaflafun
i(óonridgeinanli)d.a:
x −→ y = 2x Sees
ribetambiénf(x) = 2x.Estaeslafun
iónquea
adavalordex leha
f : R −→ R
emos
orespondersudoble.
•
Podemosformarunatabla
onalgunosvalor-x01e1sde-y022lafun
ión: 23 46
•
enLealspfulann
oio.nLeastgarmáb
iéanlalasfoprmodaermánostoredporsesleonstparungtroás
daemlepnlatenomdedeialantfeorumnasistemadeejes
fun
iónanteriorsería: .Lagrá
oordenados 25 adela
(x, f(x))
36. 9.aE)fe
túalassiguientesopera
iones: x
x − 2
10.aR)esuelvelassiguientese
x
x
+
+
x − 1
= )x2 − 3x + 2
f)d)g)e)h)x4 − 10x2 + 9 = 0 x3 − x2 − 4 = 0 x6 + 7x3 − 8 = 0 √x2 − 1 + 1 = x √x + 5 + √2x + 8 = 7 x − √x =
= b)1 + x
1 − x
+
x − 1
1 + x
+
x2
1 − x2 =
)
a
b −
b
a
·
a
b
+
b
a
·
ab
a2 + b2
= d) 3x + 3
12 − 12x
:
(x + 1)2
x2 − 1
ua
iones: 5(x − 4)
x
√x 11.aR)esuelvelassiguientese
4 −
e)g)f))d)12.aR)esuelvelassiguientese
−4x−2
h)16x−2 = (0, 5)3x+1 2x = 3 3x+2 + 3x+1 + 3x + 3x−1 = 120 2x+1 − 3 · 2x−1 = 4 52x+1 − 24 · 5x+1 = 125 9x − 2 · 3 = −5
x
3 −
7
5
=
3x
5 − x − 5 b)3 − x
1 − x2 −
1
1 − x
=
2 + x
x + 1
ua
ionesexponen
iales: 5x = 125 b)3x−1 =
ua
ioneslogarítmi
b)
1
3
as: log2 8 = x logx 3 =
)4 log2(x2 + 1) = log2 81 d)2 log2(x − 1) = 3 + log2 x e)log(5x − 4) − log 2 =
2 f)4 log5(x + 2) = 3 + log5(x + 2) g)log 2 + log(11 − x2)
= 2 13.aR)esuelvelossiguientessistemasdee
ua
iones:
1
2
log(x + 4)
d)log(5 − x)
x
2 − y = 3
11
2x − 4y = 12
4
b)
x =
2
3
y
2y = 3x − 5
)
3x + y
2 −
x − 2y
3
=
7
6
2x + y
3 −
y − 3x
j)4
4x − 4−1 · y = 40
=
2x + y = 3
x2 + y2 = 2
e)
y + 3 = x2 − 2x
x + 1 = y
f)
x − 1 = 2y √x + y = 2 + √x − y g)
2x + 5y = 9
2x+2 − 5y+1 = −9
h)
2x + 2y = 24
2x+y = 128
i)
2x =
433
4y
g)3 log x − log y = 1
log x + 2 log y = 5
1 3x −
k)
i)
| − 5x + 1| ≤ 2 36
log x − log y = 1
x2 − y2 = 4
l)
log(x + y) − log(x − y) = log 5
2x
2y = 2 14.aR)esuelvelassiguientesine
ua
iones: x2 − 6x + 8 0 b)(2x − 3)2 1
)x2 − 8x + 1 ≥ x − 19 d)3x − 6
x + 1
0 e)x − 3
x + 5 ≥ 4 f)2x + 3
x − 1
2x − 5
6
3 −
3 − 6x
4
h)x − 4
4
+ 1 ≤
4 + x
8
37. 15.aH)alasin
al
uladora: sen(−135◦) b)cos 120◦
)tg(−60◦) d)sen 3630◦ e)sen 210◦ 16.Sicos x = −1/2 ytg x 0,
al
ulasen x17.Si . tg x = −2 yx estáenelsegundo
uadrante,
al
ulacos x18.aR)esuelvelassiguientese
ua
iones: . cos x =
)tg x = 1 d)tg x = −√ 19. a)Demuestra: cos x
1 + sen x
cos x b)Simpli
alaexpresión: sen x
1 + cos x
sen x 20.aR)epresentagrá
1
2
amentelassiguientesre
b)tasyparábolas: y = 3x y = −7
b)sen x = 0
x + 2 d)y = x2 − 4x + 7 e)y = −x2 + 5 21.Halalae
ua
ióndelare
taquepasaporlospuntosP(1, 7) yQ(−2, 4)22.aH)alaeldominiodelassiguientesfun
=
1 − sen x
b)iones: +
1 + cos x
. f(x) = x2 − 3x + 4 f(x) =
)y =
1
2
x2 − 4
x3 − 9x
)f(x) = √x2 − 3x + 2 d)f(x) =
s
x2 − 1
x + 2
37