Límites de funciones

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Límites de funciones
Gracias a las propiedades de los límites podemos resolver problemas de una manera más sencilla.
Límites de funciones polinomiales y racionales
Ejemplo 1
Calcula:
lim
x→2
1
x
+
x − 2
x2 − 4
• Sin el apoyo de las propiedades de los límites que se acaban de mencionar, empezaríamos
realizando la suma de fracciones algebraicas que está indicada en la función.
• Mejor calculamos dos límites, aplicando la propiedad III.
lim
x→2
1
x
+ lim
x→2
x − 2
x2 − 4
• El primero de los límites es inmediato, dado que al sustituir no obtenemos división entre
cero:
lim
x→2
1
x
=
1
2
• El segundo límite lo calculamos factorizando el denominador:
lim
x→2
x − 2
x2 − 4
= lim
x→2
x − 2
(x + 2)(x − 2)
• Ahora podemos simpliﬁcar la fracción, con lo que obtenemos:
lim
x→2
x − 2
(x + 2)(x − 2)
= lim
x→2
1
x + 2
=
1
2 + 2
=
1
4
• Así que:
lim
x→2
1
x
+
x − 2
x2 − 4
= lim
x→2
1
x
+ lim
x→2
x − 2
x2 − 4
=
1
2
+
1
4
=
3
4
• Se te queda como ejercicio veriﬁcar con el uso de una tabla de valores que el resultado es
correcto.
Ejemplo 2
Calcula:
lim
x→3
x2 + 11
x + 1
aplicando la propiedad V de los límites.
• Este problema se resolvió en la página ??.
www.aprendematematicas.org.mx 1/17

• Aplicamos directamente la propiedad V de los límites para verificar el resultado:
lim
x→3
x2 + 11
x + 1
=
lim
x→3
(x2 + 11)
lim
x→3
(x + 1)
=
(3)2 + 11
3 + 1
=
20
4
= 5
• Y ambos resultados son correctos.
• Observa que como en el numerador como en el denomimador tenemos funciones polinomi-
ales, podemos sustituir directamente el valor al cual tienen las funciones.
• También debes notar que el denominador no se hace cero. Eso nos permite evaluar inmedi-
atamente el límite.
Sin embargo, algunos límites no existen.
Ejemplo 3
Calcula:
lim
x→1
x2 + 11
x − 1
aplicando la propiedad V de los límites.
• Este problema es parecido al anterior.
• Aplicamos directamente la propiedad V de los límites:
lim
x→1
x2 + 11
x − 1
=
lim
x→1
(x2 + 11)
lim
x→1
(x − 1)
=
(3)2 + 11
1 − 1
=
12
0
• Pero no tiene sentido dividir entre cero.
• Si tratamos de resolver el problema tratando de simplificar, nos damos cuenta que no pode-
mos factorizar el binomio x − 1 de x2 + 11.
• Esto nos indica que conforme nos acercamos a x = 1 la gráfica de la función
y =
x2 + 11
x − 1
crece mucho, porque precisamente en x = 1 esta gráfica tiene una asíntota.

x
−5−3−1 1 3 5 7 9
f (x)
−10
−8
−6
−4
−2
1
5
7
9
11
13
15
• Cuando nos acercamos a x = 1 por la derecha, la función tiende a crecer infinitamente. Es
decir,
lim
x→1+
x2 + 11
x − 1
= ∞
• Por otra parte, cuando x se acerca mucho a 1 por la izquierda, la función se hace negativa y
se va a menos infinito:
lim
x→1−
x2 + 11
x − 1
= −∞
• Si ambos límites laterales fueran iguales, por ejemplo, que ambos se fueran a +∞, entonces
concluiríamos que el límite es ese valor.
• Pero no ocurre así, los dos límites laterales son distintos. Entonces,
lim
x→1
x2 + 11
x − 1
no existe.
Definición
1
Límite lateral
Cuando calculamos el límite lim
x→x0
f (x) usando valores de x tales que xi < x0, entonces decimos que
hemos calculado el límite lateral por la izquierda.
Por otra parte, si calculamos el mismo límite pero usando valores de x tales que xi > x0, entonces decimos
que hemos calculado el límite lateral por la derecha.
Cuando los dos límites son iguales decimos que el límite existe y es igual al valor común obtenido
en ellos.
Cuando los límites laterales no coinciden decimos que el límite lim
x→x0
f (x) no existe.
Ejemplo 4
Calcula:
lim
x→0
1
x

• Ya sabemos que la función y = 1/x no está deﬁnida cuando x = 0.
• Además, cuando x es negativo, los valores de y que le corresponden también son negativos.
• Y cuando x es positivo, los valores que le corresponden de y también son positivos.
• Cuando x es muy cercano a cero, los valores de y crecen.
• Por ejemplo, considere, x =
1
10k
, con k ∈ N, entonces:
1
x
=





1
1
10k





=
10k
1
= 10k
• Conforme k crece, los valores de x se acercan cada vez más a cero, porque x =
1
10k
. Profesor:
Haga notar que:
x · y = 1
y que
1
10k
· 10k
= 1
• Pero los valores de y se hacen cada vez más grandes: y = 10k.
• Observa que x > 0 implica que y > 0.
• Cuando x sea negativo ocurrirá lo mismo, pero ahora los valores de y serán negativos.
x
−5−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5
y
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
y =
1
x
• Entonces, por una parte, el límite por la izquierda:
lim
x→0−
1
x
= −∞
Observa la
notación:
lim
x→0−
f (x)
indica el límite
por la izquierda,
mientras que:
lim
x→0+
f (x)
indica el límite
por la derecha.
• Y el límite por la derecha:
lim
x→0+
1
x
= ∞
• Como ambos límites son diferentes, el límite:
lim
x→0
1
x
no existe.

Es importante hacer notar que no todos los límites de funciones racionales cuando x tiende a cero
no existen.
El verdadero problema surge cuando el denominador de la función racional se hace cero. Entonces
habrá que ver que los límites laterales coincidan.
Ejemplo 5
Calcula:
lim
x→0
1
x2
• En este caso, la función tampoco está definida para x = 0.
• De nuevo, la gráfica presenta una asíntota en x = 0.
• Pero y siempre es positiva, porque x aparece elevada al cuadrado.
• Esto nos indica que los límites laterales tienden a infinito los dos.
• Esto es evidente de la gráfica de la función:
x
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
y
1
2
3
4
5
y =
1
x2
• El límite por la izquierda es:
lim
x→0−
1
x2
= ∞
• Y el límite por la derecha:
lim
x→0+
1
x2
= ∞
• Como ambos límites son iguales,
lim
x→0
1
x2
= ∞
Ejemplo 6
Calcula:
lim
x→3
2 x − 6
6 x2 − 18 x

• Si empezamos sustituyendo x = 3 en la función obtenemos una indeterminación:
y(3) =
2 (3) − 6
6 (3)2 − 18 (3)
=
0
0
• Así que lo que tenemos que hacer es factorizar:
lim
x→3
2 x − 6
6 x2 − 18 x
= lim
x→3
2 x − 6
3x (2 x − 6)
• Podemos escribir:
lim
x→3
2 x − 6
6 x2 − 18 x
= lim
x→3
1
3 x
=
1
9
• Como el denominador no se hace cero en el último límite, podemos evaluar la función en
x = 3.
• También podemos justificar este resultado usando la propiedad V de los límites.
• Se te queda como ejercicio.
Algunos límites parecen difíciles, pero no lo son.
Ejemplo 7
Calcula:
lim
x→2
x − 2
√
x − 2
• Si sustituimos x = 2 en la función obtenemos cero sobre cero:
y(2) =
2 − 2
√
2 − 2
=
0
0
• Así que tenemos que simplificar la expresión (si es posible).
• Recuerda que
√
p ·
√
p = p para cualquier valor p. Entonces,
lim
x→2
x − 2
√
x − 2
= lim
x→2
√
x − 2 ·
√
x − 2
√
x − 2
= lim
x→2
√
x − 2
• Ahora sí podemos evaluar el límite porque no tenemos división entre cero:
lim
x→2
x − 2
√
x − 2
= lim
x→2
√
x − 2 =
√
2 − 2 =
√
0 = 0
• Y terminamos.
Debes tener en mente que no siempre basta con sustituir el valor al cual tiende x. También hay
que verificar que este valor esté en el dominio de la función.
El dominio de la función y =
√
x − 2 es: x ≥ 2, porque el radicando debe ser no negativo para
que la función asigne un valor a y.

El siguiente ejemplo termina el anterior.
Ejemplo 8
Calcula:
lim
x→2
√
x − 2
• Primero debemos observar que x = 2 es el mínimo valor que puede tomar x para que la
función y =
√
x − 2 nos devuelva un valor para y.
• Por ejemplo, si x = 1, obtenemos: y(1) =
√
1 − 2 =
√
−1.
• Como no nos devuelve un número real, decimos que no está definida para x < 2. Profesor:
Sugiera que
grafiquen la
función.
• Esto nos hace imposible calcular el límite por la derecha de esta función.
• En otras palabras, el límite por la izquierda no existe.
• Por otra parte, el límite por la derecha se puede calcular fácilmente.
• Dado que la función está definida para x ≥ 2, tenemos:
lim
x→2+
√
x − 2 =
√
2 − 2 =
√
0 = 0
• Pero para que el límite lim
x→2
√
x − 2 exista, se requiere que los límites laterales sean iguales.
• Como un límite lateral no existe (el izquierdo), es imposible que los dos límites laterales
sean iguales y por eso
lim
x→2
√
x − 2 no existe.
La moraleja que debes aprender de los dos ejemplos anteriores es que no basta con simplificar y
sustituir. Siempre tienes que tener en mente que para que el límite:
lim
x→x0
f (x) exista,
deben existir los dos límites laterales por la izquierda y por la derecha:
lim
x→x−
0
f (x) y lim
x→x+
0
f (x)
En el caso de que la función no esté definida a la izquierda o a la derecha de x0 nos impide calcular
el límite por ese lado, por lo que el límite no existe.
Ejemplo 9
Calcula:
lim
x→0




1
x2
+
5
x
+ 6
1
x
+ 3




• Ya sabemos que cuando x → 0, el cociente 1/x no está definido.

• Podemos hacer un cambio de variable, definiendo: u = 1/x, entonces:
1
x2
+
5
x
+ 6
1
x
+ 3
=
u2 + 5 u + 6
u + 3
• La fracción en términos de u puede simplificarse si factorizamos el numerador:
u2 + 5 u + 6
u2 + 3
=
(u + 2)(u + 3)
u + 3
= u + 2
Profesor:
Mencione que el
denominador se
hace cero cuando
u = −3, que im-
plica x = −1/3.
• Y al regresar a escribirlo en términos de x tenemos:
lim
x→0




1
x2
+
5
x
+ 6
1
x
+ 3



 = lim
x→0
1
x
+ 2
• Esto puede descomponerse como una suma de límites, gracias a la propiedad III de los
límites:
lim
x→0
1
x
+ 2 = lim
x→0
1
x
+ lim
x→0
(2)
• Por la propiedad I, tenemos: lim
x→0
(2) = 2, pero ya sabíamos que
lim
x→0
1
x
no existe (página 3).
• Entonces, el límite
lim
x→0




1
x2
+
5
x
+ 6
1
x
+ 3



 tampoco existe.
Limites de funciones trigonométricas
En los siguientes ejemplos vamos a estudiar los límites de funciones trigonométricas que más
frecuentemente se encuentran en la resolución de problemas en matemáticas, ingeniería, adminis-
tración, ciencias sociales y otras ramas del conocimiento.
Ejemplo 10
Calcula:
lim
x→0
sin x
x
• Si sustituimos x = 0 en la función, obtenemos cero sobre cero.
• Así que tendremos que utilizar otra forma.
• Primero nos basaremos en la gráfica para tener una idea y después utilizaremos una forma
algebraica para verificar el resultado.

• La gráfica de la función es la siguiente:
x
−3 −2 −1 0 1 2 3
y
−1
1
y =
sin x
x
• De la gráfica inmediatamente podemos concluir que el límite buscado es 1, es decir:
lim
x→0
sin x
x
= 1
• Observa que la función no está definida para x = 0 debido a la división entre cero.
• Ahora vamos a jusfiticar el resultado por medio de un método algebraico.
• Suponemos que x es un ángulo medido en radianes, positivo.
• Si x fuera negativo, el resultado puede calcularse por medio de este mismo método, recor-
dando que sin(−x) = − sin(x).
• Observa que:
sin x
x
=
− sin(x)
−x
de manera que al cambiar el signo de x el resultado sigue siendo válido.
• Consideramos la siguiente figura:
1
1
sinx
cos x
tan x
x
• El área del triángulo inscrito al arco de circunferencia es menor al área del sector circular
del arco de x radianes.
• Igualmente el área del sector circular del arco es menor al área del triángulo más grande.

• Así que se cumple la siguiente desigualdad:
Área interno ≤ Asector ≤ Área externo
1
2
sin x cos x ≤
1
2
x ≤
1
2
tan x
• Dividiendo ambos lados de la desigualdad entre 1
2 sin x, obtenemos:
cos x ≤
x
sin x
≤
1
cos x
• Cuando x se acerca mucho a cero cos x se acerca mucho a 1.
• Entonces, cuando x tiende a cero, tenemos que:
1 ≤
x
sin x
≤ 1
• El recíproco
sin x
x
, por tanto, debe también tender a uno:
lim
x→0
sin x
x
= 1
Con este resultado podemos calcular otros límites de funciones trigonométricas.
Ejemplo 11
Calcula:
lim
x→0
sin(2x)
sin(3x)
• Dado que x se aproxima a cero sin llegar a serlo, podemos multiplicar por 2 x en el numera-
dor y denominador de la función sin(2x).
• De la misma manera, multiplicamos por 3 x en el numerador y denominador de la función
sin(3x), así obtenemos:
lim
x→0
sin(2x)
sin(3x)
= lim
x→0





2 x
sin(2x)
2 x
3 x
sin(3x)
3 x





= lim
x→0





2
sin(2x)
2 x
3
sin(3x)
3 x





• Ahora aplicamos las propiedades II y V de los límites para obtener:
lim
x→0
sin(2x)
sin(3x)
=
lim
x→0
2
sin(2x)
2 x
lim
x→0
3
sin(3x)
3 x
=
2 lim
x→0
sin(2x)
2 x
3 lim
x→0
sin(3x)
3 x
• Ahora aplicamos el resultado que obtuvimos en el ejemplo anterior haciendo u = 2 x y
v = 3 x, con lo que tenemos: Profesor:
Mencione que si
x → 0, entonces
u = 2 x → 0 como
v = 3 x → 0.
lim
x→0
sin(2x)
sin(3x)
=
2 lim
x→0
sin(2x)
2 x
3 lim
x→0
sin(3x)
3 x
=
2 lim
u→0
2
sin(u)
u
3 lim
v→0
sin(v)
v
=
2 · (1)
3 · (1)
=
2
3

• Entonces,
lim
x→0
sin(2x)
sin(3x)
=
2
3
Ejemplo 12
Calcula:
lim
x→0
sin2
(3x)
x tan(2x)
• Necesitamos transformar la función a funciones cuyos límites ya conozcamos.
• En el primer paso multiplicamos por (3x)2 en el numerador y en el denominador de la
fracción:
sin2
(3x)
x tan(2x)
=
sin2
(3x)
(3x)2
·
(3x)2
x tan(2x)
=
sin(3x)
(3x)
2
·
(3x)2
x tan(2x)
• El primer factor ya tiene la forma de un límite conocido, haciendo u = 3x.
• Ahora recuerda que tan α =
sin α
cos α
.
• Sustituyendo esta identidad en el segundo factor obtenemos:
sin2
(3x)
x tan(2x)
=
sin(3x)
(3x)
2
·
9x
sin(2x)
cos(2x)
=
sin(3x)
(3x)
2
·
9x cos(2x)
sin(2x)
• Este resultado puede reescribirse como:
sin2
(3x)
x tan(2x)
= 9
sin(3x)
(3x)
2
·
2x cos(2x)
2 sin(2x)
=
9
2
·
sin(3x)
(3x)
2
·
2x
sin(2x)
· cos(2x)
• Ahora ya podemos calcular el límite:
lim
x→0
sin2
(3x)
x tan(2x)
= lim
x→0
9
2
·
sin(3x)
(3x)
2
·
2x
sin(2x)
· cos(2x)
• Aplicamos las propiedades de los límites para simpliﬁcar el cálculo:
lim
x→0
sin2
(3x)
x tan(2x)
= lim
x→0
9
2
·
sin(3x)
(3x)
2
·
2x
sin(2x)
· cos(2x)
=
9
2
· lim
x→0
sin(3x)
(3x)
2
·
2x
sin(2x)
· cos(2x)
=
9
2
· lim
x→0
sin(3x)
(3x)
2
· lim
x→0
2x
sin(2x)
· lim
x→0
(cos(2x))
=
9
2
· lim
x→0
sin(3x)
(3x)
2
·





1
lim
x→0
sin(2x)
2x





· lim
x→0
(cos(2x))
=
9
2
· (1)2
(1)(1) =
9
2

• Entonces,
lim
x→0
sin2
(3x)
x tan(2x)
=
9
2
Ejemplo 13
A través de una gráfica calcula:
lim
x→0
sin
1
x
• La gráfica de la función y = sin
1
x
es la siguiente:
x
−3 −2 −1 0 1 2 3
y
−1
−0.5
0.5
1
y = sin
1
x
• Observa que conforme x se acerca a cero, 1/x crece muy rápidamente.
• Entonces, podemos transformar el límite como sigue:
lim
x→0
sin
1
x
= lim
x→∞
(sin x)
• Pero cuando x se hace muy grande la función sin x varía entre −1 y 1.
• En otras palabras, no existe una asíntota horizontal a la cual se aproxime la función sin x
cuando x tiende a infinito.
• Por tanto este límite no existe.
lim
x→0
sin
1
x
= lim
x→∞
(sin x) → no existe.
El siguiente ejemplo está muy relacionado con el anterior.
Ejemplo 14
Calcula:
lim
x→0
x · sin
1
x
• Vamos a empezar con la gráfica de la función para darnos una idea del resultado del límite:

x
−3 −2 −1 0 1 2 3
y
−1
−0.5
0.5
1
y = x · sin
1
x
• Al parecer tiende a cero.
• Vamos a justificarlo usando las propiedades de los límites.
lim
x→0
x · sin
1
x
= lim
x→0
(x) · lim
x→0
sin
1
x
• Nosotros ya sabemos que el segundo factor siempre está en el intervalo [−1, 1].
• Como el primer factor se acerca mucho a cero, cuando x tiende a cero estaremos multipli-
cando un número muy pequeño por otro número en el intervalo [−1, 1].
• El resultado de ese producto debe ser un número muy cercano a cero, como lo muestra la
gráfica de la función.
• Estrictamente hablando,
lim
x→0
(x) = 0
• Entonces, el límite es:
lim
x→0
x · sin
1
x
= 0
Hay muchas aplicaciones en diferentes ramas de las ciencias de los límites de funciones trigonométri-
cas. En este apartado solamente hemos explicado los más frecuentes y los que te pueden dar una
idea de cómo resolver límites de funciones trigonométricas.
Otras funciones que hemos estudiado en otros semestres son las funciones exponenciales y las
logarítmicas.
Limites de funciones exponenciales y logarítmicas
Ejemplo 15
Calcula:
lim
x→0
2−x
• Las funciones exponenciales están definidas para todo x real.
• Cuando x = 0, 2−x = 1.
• Entonces, si hacemos que los valores de x se acerquen a 0, esperamos que 2x se acerque a 1.

• Matemáticamente:
lim
x→0
2−x
= 1
• La gráﬁca nos muestra eso:
x
−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
f (x)
1
2
3
4
5
6
7
8
y = 2−x
Ejemplo 16
Calcula:
lim
x→0
1 − e−x
• De nuevo, cuando x tiende a cero, e−x tiende a 1.
• Pero no queremos el límite de la función e−x cuando x tiende a cero, sino de 1 − e−x.
• Así que aplicando las propiedades de los límites, obtenemos:
lim
x→0
1 − e−x
= lim
x→0
(1) − lim
x→0
e−x
= 1 − 1 = 0
• La gráﬁca muestra el mismo resultado geométricamente:

x
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
y
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
y = 1 − e−x
• Observa que cuando x crece mucho, los valores de y tienden a 1.
Observa que la gráfica siempre nos ayuda a verificar el resultado de calcular un límite.
Sin embargo, también podemos calcular los límites sin necesidad de una gráfica.
Dependiendo del caso, decidiremos si utilizar la gráfica para verificar el resultado que obtuvimos
al calcular el límite o para ayudarnos a calcularlo.
Ejemplo 17
Calcula:
lim
x→0
(1 − ln(x))
• Cuando x tiende a cero por la derecha, ln(x) se va a −∞.
• Pero por la izquierda, ln(x) no está definida.
• De esto nos damos cuenta con la gráfica.
• Entonces, cuando x tiende a cero, − ln(x) se va a ∞, porque el signo menos refleja la gráfica
respecto al eje x.
• Aplicando las propiedades de los límites, podemos calcular el límite por la derecha:
lim
x→0+
(1 − ln(x)) = lim
x→0+
(1) − lim
x→0+
(ln(x))
= 1 − (−∞)
= ∞
• Pero no podemos calcular el límite por la izquierda, porque la función ln(x) no está definida
para x ≤ 0.

• Entonces,
lim
x→0
(1 − ln(x)) no existe.
Ejemplo 18
Calcula:
lim
x→0
(ln |x|)
• En este caso, dado que el argumento de la función siempre es no negativo, la función está
definida para toda x, excepto en x = 0.
• Cuando x tiende a cero por la derecha, ln |x| se va a −∞.
• Igual ocurre por la izquierda, debido a la simetría de la función |x|.
• Entonces, cuando x tiende a cero, ln |x| se va a −∞, tanto por la izquierda como por la
derecha.
• Luego,
lim
x→0
(ln |x|) = −∞
• La gráfica de la función es la siguiente:
x
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
y
−3
−2
−1
0
1
y = ln |x|
Ejemplo 19
La población de una especie de rata que vive en el mercado de un municipio se calcula con la
siguiente fórmula:
P(t) =
840 000
700 + 500 · e−1.02t
donde la población inicial es de 700 ratas (t = 0), y t es el tiempo medido en días. Si no se
utilizan raticidas para controlar la población, ¿cuál será la población de ratas a los 30 días?
• Primero debes observar que el denominador de la función nunca se hace cero. Profesor:
El modelo dado
es ficticio. Pero
las poblaciones de
ciertas especies
presentan el
comportamiento
de éste.
• Eso se debe a que:
700 + 500 · e−1.02t
= 0 ⇒ −
7
5
= e−1.02t
pero la función exponencial nunca toma valores negativos. Entonces, el denominador nunca
se hace cero.

• Luego, el límite:
lim
t→30
P(t) = lim
t→30
840 000
700 + 500 · e−1.02t
existe.
• Vamos a calcularlo.
• Como la función está definida para toda t ∈ R, tenemos que evaluar la función en t = 30:
lim
t→30
P(t) = lim
t→30
840 000
700 + 500 · e−1.02t
=
840 000
700 + 500 · e−1.02(30)
= 1200
• Entonces, si en un mercado hay 700 ratas al inicio del mes, al final del mismo habrá 1200
ratas.
Créditos
Albert
Einstein
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es com-
partir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 01 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
efrain@aprendematematicas.org.mx

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