Rasuk yang dibebankan menghasilkan momen lentur positif dan negatif. Momen lentur maksimum boleh ditentukan dengan menggunakan persamaan dM/dx = 0. Titik kontra lentur adalah titik di mana rasuk berubah dari melendut ke meleding."

1. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/ 8/1
UNIT 8
DAYA RICIH &
MOMEN LENTUR
OBJEKTIF
Objektif am : Mempelajari dan memahami tentang momen
lentur dan gambarajah momen lentur.
Objektif Khusus : Di akhir unit ini, pelajar akan dapat :-
 menerangkan dan memilih tanda lazim bagi momen lentur
 mengira magnitud dan menentukan tanda bagi momen lentur
 membina gambarajah momen lentur bagi rasuk

2. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/ 8/2
8.0 PENGENALAN
Momen lentur ialah jumlah aljabar momen daya yang bertindak disebelah kanan atau
kiri di sesuatu keratan rasuk. Ia biasanya ditandai dengan M.
8.1 TANDA LAZIM BAGI MOMEN LENTUR
Daya yang bertindak di sebelah kiri atau kanan di keratan rasuk menghasilkan momen
kearah ikut jam atau lawan jam. Seperti daya ricih, tanda lazim bagi momen lentur juga
perlu ditetapkan untuk memastikan tanda yang sama digunakan bagi sebelah kiri atau
kanan keratan yang dipertimbangkan.
Rajah 8.1 menunjukkan tanda lazim yang akan digunakan bagi momen lentur.
Momen lentur diambil positif jika paduan momen ke sebelah kiri bertindak kearah ikut
jam kesebelah kanan kearah lawan jam. Oleh itu bagi momen lentur negatif paduan
momen bertindak kearah lawan jam kesebelah kiri dan kearah ikut jam kesebelah kanan.
Sebaliknya momen lentur positif melendutkan rasuk manakala momen lentur negatif
meledingkan rasuk.
X X
Paduan momen Momen lentur M
Paduan momen Momen lentur M
X
X
(a) Momen lentur positif (b) Momen lentur
negatif
Rajah 8.1: Tanda Lazim Bagi
Momen Lentur

3. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/ 8/3
8.2 MAGNITUD MOMEN LENTUR
Contoh-contoh berikut menunjukkan kaedah yang digunakan untuk mencari tindak balas
di penyokong sesuatu rasuk. Persamaan keseimbangan iaitu  F = 0 dan
 M = 0 digunakan.
Contoh 8.1
Sebatang rasuk disokong secara mudah di A dan C dan bebankan seperti Rajah 8.2 . Dapatkan
daya ricih dan momen lentur tersebut.
10 kN
A B C
1m 3m
Rajah 8.2: Rasuk Yang Disokong Mudah Dan Dikenakan Beban Timpu
Penyelesaian :
Rajah Jasad Bebas
10 kN
A B C
1m 3m
RA RC

4. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/ 8/4
Daya tindakbalas disangga M A = M A
F = F
RA + R C = 10 kN 10(1) = RC (4)
10
RC = = 2.5 kN
4
RA = 10 – 2.5 = 7.5 kN
Daya Ricih Momen Lentur
A : 7.5 kN 0<x<1
B : 7.5 – 10 = -2.5 kN M = 7.5x
C : -2.5 + 2.5 = 0 kN pada, x =0, M=0
x =1, M=7.5
1<x<4
M – 7.5x + 10(x-1)
M = 7.5x – 10(x-1)
pada, x =1, M=7.5
x =4, M=0
Contoh 8.2
Sebatang rasuk disokong secara mudah di A dan D dan bebankan seperti Rajah 8.3. Dapatkan
daya ricih dan momen lentur tersebut.
15 kN/m
A B  C D
0.5 m 2m 2m
Rajah 8.3: Rasuk Disokong Mudah Dan Dikenakan Beban
Teragih Seragam

5. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/ 8/5
Penyelesaian :
Rajah Jasad Bebas
15 kN/m
A B
 C D
0.5 m 2m 2m
RA RD
M A = M A F = F
2
RD (4.5) – 15 (2) ( + 0.5) = 0 RA + RD – F = 0
2
4.5 RD – 30 (1.5) = 0 RA + (10) – (15  2) = 0
45
RD = = 10 kN RA = 20 kN
4 .5
15 kN/m
A B
 C D
0.5 m 2m 2m
RA = 20 RD = 10

6. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/ 8/6
Jadual 8.1 : Jadual daya ricih dan momen lentur
Julat Rajah Jasad Bebas Daya Ricih & Momen
Lentur
M V = 20
x = 0, V = 20
x = 0.5, V = 20
x
0  x  0.5 M = 20x
x=0, M=0
RA = 20 kN V x=0.5, M=10
V = 20 – 15(x-0.5)
15 kN/m X = 0.5, V = 20
M X = 2.5, V = -10

M=20x -15(x-0.5)(x-0.5)
2
0.5  x  2.5 0.5 x-0.5 x=0.5, M=10
x=2.5, M=20
V
RA = 20 kN
15 kN/m V = 20-30 = -10
M
 x = 2.5, V = -10
x = 4.5, V = -10
2.5  x  4.5 0.5 2 x-2.5 M=20x-15(2)(x-1.5)
M=20x-30(x-1.5)
x=2.5, M=20
V
x=4.5, M=0
RA = 20 kN

7. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/ 8/7
8.3 GAMBARAJAH MOMEN LENTUR
F = 10 kN
X N
x
A C B
5m 5m
X N
Rajah 8.4 (a): Rasuk Disokong Mudah Yang Dipotong Pada
Kedudukan X-X
Keratkan rasuk pada jarak x dari A. Gambarajah jasad bebas bagi sebelah kiri dan kanan
keratan ini adalah seperti Rajah 8.4 (b).
10 kN
x
V
M M
V
RA = 5 kN
RB = 5 kN
Rajah 8.4 (b): Kedududkan Daya Ricih Dan
Momen LenturPada Keratan X-X

8. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/ 8/8
Kita perlu menentukan nilai momen lentur di beberapa keratan rasuk dan bagi julat
0 < x < 5. Kita keratkan rasuk di XX. Rasuk Rajah 8.4(a). Mengambil momen pada
keratan ini memberi
 MNN = 0
M – 5x = 0
M = 5x
pada x = 0, M = 0
x = 5, M= 25
Persamaan ini memberi hubungan momen lentur (M) dengan jarak dari A (x). Nyatakan
bahawa di atas GML kita perlu melukiskan satu garis lurus yang bercondong dengan
kecerunan +5 diantara titik A hingga ke titik C.
Diantara 5 m hingga ke 10 m, rasuk dikerat pada NN. Rujuk Rajah 8.4(c). Mengambil
momen pada keratan ini memberi
MNN = 0
M + 10(x-5) – 5x = 0
M = 50 – 5x
pada, x = 5, M = 25
x = 10, M= 0
10 kN N
M
V
x
N
RA = 5 kN
Rajah 8.4 (c): Kedudukan Daya Ricih Dan
Momen Lentur Pada Keratan N-N

9. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/ 8/9
Oleh itu kita melukiskan garis bercondong ke kiri dengan kecerunan –5 di atas GML.
GMLnya adalah seperti Rajah 8.5.
F = 10 kN
5m 5m
F = 10 kN
RA = 5 kN RB = 5 kN
5
GDR
-5
25 kNm
GML
Rajah 8.5: Gambarajah Momen Lentur

10. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/ 8/10
Merujuk kepada Rajah 8.6 (a) dan mengambil momen pada keratan XX, kita dapati,
 MXX = 0
dan M + 4x ( x 2 ) – 16 (x) = 0
M = 16x – 2x2
Persamaan ini menunjukkan bahawa perhubungan di antara momen lentur dan x
berbentuk parabola. Tanda negatif dihadapan kuantiti x2 iaitu –2 menunjukkan bahawa
parabola ini bentuk cembung.
Pada, x = 0, M = 0
pada, x = 4, M = 32
pada, x = 8, M = 0
W = 4 kN/m
 B
A
8m
Rajah 8.6 (a)
Di sini tindak balas RA = RB = 16 kN
Pertimbangkan gambarajah jasad bebas bagi keratan XX.
x x
2 2
M

V
4x
RA = 16 kN
Rajah 8.6 (b)

11. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/ 8/11
GML boleh dilukiskan dan adalah seperti Rajah 8.7.
Rajah Jasad Bebas

B
32 kN
RA = 16 kN RB = 16 kN
G/rajah 16
Daya Ricih
(kN)
-16
32 kNm
G/rajah
Momen Lentur
Rajah 8.7

12. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/ 8/12
Contoh 8.3
Lakarkan gambarajah daya ricih dan momen lentur untuk rasuk Rajah 8.8.
F = 10 kN
RA = 5 kN Rajah 8.8 RB = 5 kN
Penyelesaian :
Rajah Jasad Bebas
F = 10 kN
X N
x
RA = 5 kN X N RB = 5 kN
GDR
5
-5
25 kN/m
GML

13. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/ 8/13
8.4 MOMEN LENTUR MAKSIMUM
Dalam kes-kes di mana sebatang rasuk dibebankan dengan beban-beban mudah,
kedudukan dan nilai momen lentur maksimum boleh didapati secara pemeriksaan
gambarajah momen lentur. Bagi bebanan gabungan nilai dan kedudukan momen lentur
maksimum sukar diperolehi daripada gambarajah momen lentur. Oleh itu hakikat
bahawa nilai maksimum atau minimum sesuatu fungsi diberi apabila dy dx = 0
digunakan. Bagi momen lentur persamaan dM dx = 0 digunakan untuk menentukan
kedudukan nilai maksimum.
8.5 TITIK KONTRALENTUR
Bagi rasuk yang dibebankan seperti Rajah 8.9 di bawah, momen lentur adalah positif di
antara bahagian AB dan negatif di antara bahagian BC.
10 kN 4 kN
A B C D
2m 2m 2m
RA = 3 kN RC = 11 kN

GML
A B C D

meleding
melendut
K
Rajah 8.9

14. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/ 8/14
Dari Rajah pepesongan rasuk didapati bahagian AB melendut (momen lentur positif)
manakala bahagian BC meleding (momen lentur negatif). Titik K di mana kelengkungan
berubah dari keadaan meleding ke melendut disebutkan sebagai titik kontralentur iaitu
titik di mana momen lentur bertukar tanda dari positif ke negatif atau sebaliknya.
Kedudukan titik ini boleh didapati dengan menyelesaikan persamaan M = 0 bagi julat
yang berkenaan.
Dari Rajah 8.9, kita dapati titik kontralentur berlaku di antara julat 2 < x < 4. Di sini
momen lentur
M = 3x – 10 (x – 2)
= -7x + 20
Untuk menentukan titik kontralentur, kita letakkan M = 0, oleh itu
M = -7x + 20 = 0
20
x= = 2.86 m
7
Contoh 8.4
Sebatang rasuk ABCD berukuran panjang 9 m disokong secara mudah di B dan C
dengan
AB = 2m dan BC = 6m. Lihat Rajah 8.10 Rasuk ini membawa beban teragih seragam 12
kN/m ke atas keseluruhan rasuk. Lakarkan GDR dan GML bagi rasuk ini dan tentukan:
a) Kedudukan dan nilai momen lentur maksimum
b) Kedudukan titik kontralentur
12 kN/m

B
2m 6m 1m
RB = 63 kN
RC = 45 kN
Rajah 8.10

15. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/ 8/15
Penyelesaian:
39
12
GDR
(kN)
-24
39.38 -33
GML
(kN/m)
X1 X2 X3
-6
-24
Mengambil momen pada B
 MB = 0
-6RC + 12 (9) ( 9 2 - 2) = 0
 RC = 45 kN
Mengambil momen pada C
 MC = 0
6RB - 12 (9) ( 9 2 - 1) = 0
 RB = 63 kN

16. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/ 8/16
Semakan,
RA + RC = 108
45 + 63 = 108
Kiraan adalah betul.
Jadual 8.2 : Jadual Daya Ricih Dan Momen Lentur
Julat x Gambarajah Jasad Bebas Daya Ricih (kN) &
Momen Lentur (kNm)
V = -12x
x = 0, V = 0
x x = 2, V = -24
 12 x 2
0<x<2
 M=
2
M
x = 0, M = 0
x = 2, M = -24
12x
V
V = -12x + 63
x = 2, V = 39
x x = 8, V = -33
M
 12 x 2
2<x<8  M=
2
+ 63 (x-2)
x = 2, M = -24
x = 8, M = -6
2m 12x
V
63 kN
V = -12x + 63 + 45
x
M x = 8, V = 12
x = 9, V = 0

 12 x 2
M= + 63 (x-2)
8<x<9 2
63 kN 45 kN + 45 (x-8)
V
12x x = 8, M = -6
x = 9, M = 0

17. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/ 8/17
GDR dan GML adalah seperti ditunjukkan. Momen lentur maksimum Mm berlaku di antara
2<x<8
 12 x 2
Di sini M= + 63 (x-2)
2
dM
= -12x + 63 = 0
dx
 x = 5.25
 12(5.25) 2
Momen lentur maksimum Mm = + 63 (5.25 - 2) = 39.38 kNm
2
Untuk menentukan titik kontralentur, letakkan M = 0
 12 x 2
M= + 63 (x-2) = 0
2
 -6x2 + 63x – 126 = 0
6x2 – 63x + 126 = 0
 b  b 2  4ac
x =
2a
63  632  4  6  126
=
26
dan x = 7.81 atau 2.69

18. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/ 8/18
AKTIVITI 8
UJI KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA.
SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUMBALAS DIHALAMAN BERIKUTNYA.
8.1 Apakah momen lentur ?
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
8.2 Sebatang rasuk disokong secara mudah di A dan D dan bebanan seperti Rajah 8.2.
Kirakan daya ricih dan momen lentur rasuk tersebut.
10 kN 20 kN
A B C D
1m 2m 1m
Rajah 8.2

19. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/ 8/19
8.3 Lukiskan gambarajah daya ricih dan momen lentur bagi rajah di bawah;
Rajah Jasad Bebas
10 kN
A B C
1m 3m
RA RC
Rajah 8.3
8.4 Lukiskan gambarajah daya ricih dan momen lentur untuk pembebanan rasuk seperti
Rajah 8.4
15 kN/m
A B C D
0.5 m 2m 2m
RA = 20 kN RD = 10 kN
Rajah 8.4

20. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/ 8/20
MAKLUM BALAS 8
TAHNIAH KERANA ANDA TELAH MENCUBA.!!!!!!!!!
Maklum balas
8.1 Momen lentur ialah jumlah aljabar momen daya yang bertindak disebelah kanan atau
kiri di sesuatu keratan rasuk.
8.2 Rajah Jasad Bebas
10 kN 20 kN
A B C D
1m 2m 1m
RA RD
M D = M D
-RA (4) + 10 (3) + 20 (1) = 0
4RA = 50
50
RA = = 12.5 kN
4
F = F

21. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/8/21
RA + RD = 10 + 20
RD = 17.5 kN
Daya Ricih Momen Lentur
A : 12.5 kN 0<x<1
B : 12.5 – 10 = 2.5 kN M = 12.5x
C : 12.5 –10 – 20 = -17.5 kN pada, x =0, M=0
D : 12.5 – 10 – 20 + 17.5 = 0 x =1, M=12.5
1<x<3
M= 12.5x - 10(x-1)
pada, x =1, M=12.5
x =3, M=17.5
3<x<5
M = 12.5x - 10(x-1)-20(x-3)
pada, x =3, M=17.5
x =4, M=0
8.3
Daya tindakbalas di sangga Daya Ricih
F = F A : 7.5 kN
RA + R C = 10 kN B : 7.5 – 10 = -2.5 kN
RA = 10 – 2.5 = 7.5 kN C : -2.5 + 2.5 = 0 kN
M A = M A

22. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/8/22
10(1) = RC (4)
10
RC = = 2.5 kN
4
Momen Lentur
0<x<1 1<x<4
M = 7.5x M – 7.5x + 10(x-1)
pada, x =0, M=0 M = 7.5x – 10(x-1)
x =1, M=7.5 pada, x =1, M=7.5
x =4, M=0
10 kN
A B C
1m 3m
RA = 7.5kN RC = 2.5 kN
7.5
G/Rajah
Daya Ricih
(kN)
-2.5
7.5 kNm
G/rajah
Momen Lentur

23. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/8/23
8.4 Jadual 8.4 : Jadual daya ricih dan momen lentur
Julat Rajah Jasad Bebas Daya Ricih (kN) &
Momen Lentur
(kNm)
M V = 20
x = 0, V = 20
x = 0.5, V = 20
x
0  x  0.5 M = 20x
x=0, M=0
RA = 20 kN V x=0.5, M=10
V = 20 – 15(x-0.5)
15 kN/m X = 0.5, V = 20
M X = 2.5, V = -10

M=20x -15(x-0.5)(x-0.5)
2
0.5  x  2.5 0.5 x-0.5 x=0.5, M=10
x=2.5, M=20
V
RA = 20 kN
15 kN/m V = 20-30 = -10

M x = 2.5, V = -10
x = 4.5, V = -10
2.5  x  4.5 M=20x-15(2)(x-1.5)
0.5 2 x-2.5
M=20x-30(x-1.5)
x=2.5, M=20
V x=4.5, M=0
RA = 20 kN

24. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/8/24
15 kN/m
A B C D
0.5 m 2m 2m
RA = 20 RD = 10
20
GDR
(kN)
0
-10
20 kNm
10 kNm 

GML
(kNm)

25. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/8/25
PENILAIAN KENDIRI
Anda telah menghampiri kejayaan. Sebelum mencuba cuba soalan dalam penilaian kendiri
ini, anda perlulah memahami dan mahir didalam unit sebelumnya. Semak jawapan dari
pensyarah modul anda.
Selamat mencuba dan semoga berjaya !!!!!!!!!!!!!
1. Sebatang rasuk dibebankan seperti Rajah 1. Kirakan nilai Daya Ricih, momen lentur dan
lukiskan Gambarajah Daya Ricih dan momen lentur.
5 kN 10 kN
5 kN/m
A B C D

1m 2m 1m
Rajah 1
2. Sebatang rasuk sepanjang 6 m disokong mudah pada A dan B. Beban-bebannya
dikenakan seperti Rajah 2.
2 kN 5 kN
2 kN/m 2 kN/m
E
C D
A B
1.5 m
1.5 m
3m
6m
Rajah 2

26. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/8/26
a) Kirakan daya tindakbalas pada penyokong RA dan RB
b) Kirakan magnitud daya ricih dan momen lentur pada setiap titik A, C, D, E dan B
c) Lakarkan daya ricih dan momen lentur
d) Nyatakan momen lentur maksimum dan jaraknya dari titik A

27. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/8/27
MAKLUMBALAS KENDIRI
Adakah anda telah mencuba ?
Adakah anda telah mencuba??????????????
Jika “Ya”, sila semak jawapan anda.
Jawapan
1.
Rajah Jasad Bebas
5 kN 10 kN
5 kN/m
A  B C D
1m 2m 1m
RA = 10.625 RB = 9.375

28. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/8/28
Julat Rajah Jasad Bebas Daya Ricih (kN) &
Momen Lentur
(kNm)
V = 10.625 – 5x
5 kN/m x = 0, V = 10.625

x = 1, V = 5.625
M
0 x1 M=10.625x-5x (x/2)
x =0, M=0
x x =1, M=8.125
V
RA = 10.625 kN
V = 10.625 – 5 – 5
5 kN/m V = 0.625
 M x = 1, V = 0.625
x = 3, V = 0.625
1 x3 M=10.625x -5(1)(x -1/2) -
5(x -1)
x =1, M=8.125
1m x-1 V x =3, M=9.375
RA = 10.625 kN
5 kN
10 kN M
5 kN/m V = 10.625 – 5 – 5 – 10
3 x4
 V = -9.375
x = 3, V = -9.375
x = 4, V = -9.375
1m 2m x-3 V M=10.625x -5(1)(x-1/2)-
RA = 10.625 kN 5(x-1) -10(x-3)
x =3, M=9.375
x =4, M=0

29. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/8/29
5 kN 10 kN
5kN/m
G/rajah
Jasad Bebas
A  B C D
1m 2m 1m
RA = 10.625 RB = 9.375
10.625
G/rajah
Daya Ricih
(kN) 5.625
0.625
0
-9.375
9.375 kNm

8.125 kNm
G/rajah
Momen Lentur 
(kNm)

30. DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/8/30
2. a) RA = 6.875 kN ; RB = 9.125 kN
b)
Titik Daya Ricih (kN) Momen Lentur (kNm)
A + 6.875 0
C + 1.875 8.060
D + 1.875 10.875
E - 6.125 11.440
B - 9.125 0
c) Gambarajah Daya Ricih
V (kN)
6
3
L (m)
3 6
-3
-6
-9
Gambarajah Momen Lentur
M (kNm)
12
8
4
L (m)
3 6
d) Mmaks = 11.75 kNm ; 3.94 m