2º problemas resueltos t 6 ley de gravitación universal

FÍSICA 2º BACHILLERATO
UNIDAD 6: LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
PROBLEMAS RESUELTOS 1
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA
TEMA 6: LEY DE GRAVITACIÓNUNIVERSAL
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 1
Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho
mayor. El planeta 1 describe una órbita circular de radio r1 = 108 km con un periodo
de rotación T1 = 2 años, mientras que el planeta 2 describe una órbita elíptica cuya
distancia más próxima es r1 = 108 km y la más alejada es r2 = 1,8 · 108
km tal y como
muestra la figura. ¿Cuál es el periodo de rotación del planeta 2?
Para un objeto que recorre una órbita elíptica su distancia media al astro central
coincide con el valor del semieje mayor de la elipse.
De la figura adjunta se deduce que la distancia media del planeta 2 a la estrella es:
Aplicando la tercera ley de Kepler:
Y sustituyendo:
Despejando el periodo de rotación del planeta 2 es: T2 = 3,3 años.
PROBLEMA 2
Calcula la masa del Sol, considerando que la Tierra describe una órbita circular de
150 millones de kilómetros de radio. T = 365,25 días
Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento de traslaci´on de la Tierra, se
cumple que:

Sustituyendo la velocidad de la Tierra por su relación con el periodo de traslación, se
tiene:
El periodo es (tomando el año como 365,25 días): T = 3,156 · 107
s
Sustituyendo:
PROBLEMA 3
La masa de la Luna es 1/81 de la masa de la Tierra y su radio es 1/4 del radio de la
Tierra. Calcula lo que pesará en la superficie de la Luna una persona que tiene una
masa de 70 kg.
Aplicando la ley de gravitación universal en la superficie de la Luna, se tiene:
Sustituyendo:
PROBLEMA 4
Expresa en función del radio de la Tierra, a qué distancia de la misma un objeto que
tiene una masa de 1 kg pesará 1 N.
Aplicando la ley de gravitación universal:
Aplicando la relación:
se tiene:

PROBLEMA 5
Calcula el momento angular de la Tierra respecto al centro del Sol, despreciando el
movimiento de rotación de la Tierra sobre sí misma y considerando a la órbita de la
Tierra como circular. Datos: MT = 6 · 1024
kg; rórbita = 1,5 · 108
km
La velocidad de traslaci´on de la Tierra alrededor del Sol es:
Considerando a la Tierra y al Sol como objetos puntuales y suponiendo que la órbita de la
Tierra es circular alrededor del Sol, entonces el vector de posición y el vector velocidad de
la Tierra respecto al Sol son siempre perpendiculares. Por tanto, el momento angular de la
Tierra respecto del Sol es un vector perpendicular al plano de la ´orbita del planeta, cuyo
módulo es:
PROBLEMA 6
La Tierra en su perihelio está a una distancia de 147 millones de kilómetros del Sol
y lleva una velocidad de 30,3 km/s. ¿Cuál es la velocidad de la Tierra en su afelio, si
dista 152 millones de kilómetros del Sol?
SOLUCIÓN
La dirección de la fuerza con la que actúa el Sol sobre la Tierra coincide con la dirección
del vector de posición de la Tierra respecto del Sol, por lo que el momento angular de la
Tierra respecto del Sol permanece constante a lo largo de toda la trayectoria.
El momento angular en el afelio es igual al momento angular en el perielio.
Aplicando la definición de momento angular y como el vector de posición es perpendicular
a la velocidad, se tiene:
Sustituyendo:

PROBLEMA 7
Calcula el periodo de la estación espacial internacional (ISS), sabiendo que gira en
una órbita situada a una distancia media de 400 km sobre la superficie de la Tierra.
Datos: RT = 6370 km; g0 = 9,8 m/s2
SOLUCIÓN
El radio de la órbita es: r = RT + 400 km = 6370 · 103
+ 400 · 103
= 6,77 · 106
m.
Aplicando la segunda ley de Newton y considerando la órbita circular, se tiene:
Como:
Sustituyendo, se tiene que el periodo es:
PROBLEMA 8
Un satélite artificial se dice que es geoestacionario si está siempre en la vertical de
un cierto punto de la Tierra. ¿A qué altura están los satélites geoestacionarios?
¿Cuál es el momento angular respecto del centro de la Tierra de un satélite
geoestacionario de 500 kg de masa? Datos: RT = 6370 km; g0 = 9,8 m/s2
SOLUCIÓN
Para que un sat´elite sea geoestacionario su periodo de revoluci´on tiene que ser el
mismo que el de la Tierra: T = 24 h.
Aplicando la segunda ley de Newton a la órbita, de radio r, y como
se tiene:
Despejando y operando:

queda:
Sustituyendo y como T = 8,6 · 104 s, se tiene:
La altura del satélite sobre la superficie de la Tierra es:
La órbita geoestacionaria está situada sobre el ecuador, por lo que el momento angular
del satélite es un vector perpendicular al plano del ecuador terrestre.
La velocidad del satélite es:
Como los vectores de posición y velocidad del satélite son perpendiculares, su módulo es:
Para que una órbita sea estable debe pasar por el centro de la Tierra, ya que en caso
contrario la dirección del vector fuerza y del vector de posición del satélite respecto del
centro de la órbita no son paralelos y el momento angular del satélite respecto del centro
de la órbita no se conserva.
Para que el satélite sea geoestacionario su periodo tiene que ser el mismo que el de la
Tierra. Por Tanto, un satélite geoestacionario estén en la vertical de un punto del ecuador
terrestre, no puede estar situado sobre la vecrtical de un punto de España, ni de ningún
lugar fuera de la línea ecuatorial.

PROBLEMA 9
El periodo de rotacion de la Tierra alrededor del Sol es un año y el radio de la órbita
es 1,5×1011
m. Si Júpiter tiene un periodo de aproximadamente 12 años, y si el radio
de la órbita de Neptuno es de 4,5×1012
m, calcula:
a) El radio de la órbita de Júpiter.
b) El periodo del movimiento orbital de Neptuno.
Datos
T = 1 año = 3,2×107
s
roT = 1,5×1011
m
TJ = 12 años = 3,8×108
s
roN = 4,5×1012
m
SOLUCIÓN
a) La 3a
ley de Kepler dice que los cuadrados de los periodos T de revolucion de los
planetas alrededor del Sol son directamente proporcionales a los cubos de los radios R de
las orbitas (aproximadamente circulares). Aplicando esto a la Tierra y a Jupiter:
b) Aplicando la misma ley entre la Tierra y Neptuno:

PROBLEMA 10
La distancia Tierra-Luna es aproximadamente 60 RT, siendo RT el radio de la Tierra,
igual a 6 400 km. Calcula:
a) La velocidad lineal de la Luna en su movimiento alrededor de la Tierra.
b) El correspondiente periodo de rotacion en dias.
Datos
RT = 6 400 km = 6,4×106
m
rorb = 60 RT = 3,8×108
m
G = 6,67×10-11
N・・・・m2
kg-2
MT = 5,98×1024
kg
Como la unica fuerza sobre la Luna que actua es la fuerza gravitatoria que ejerce la
Tierra,
la Luna describe una trayectoria aproximadamente circular con velocidad de valor
constante, por lo que la aceleración sólo tiene componente normal aN,
Despejando la velocidad v y sustituyendo los datos,
b) Despejando el periodo, T, de la velocidad del M.C.U.

PROBLEMA 11
Se desea poner en orbita un satelite artificial a una altura de 300 km de la superficie
terrestre. Calcula:
a) La velocidad orbital que se le ha de comunicar al satelite.
b) El periodo de rotacion.
Datos: G = 6,67×10-11
N・・・・m2
kg-2
RT = 6,38×106
m MT = 5,98×1024
kg
Sol: a) vO = 7,73 km/s; b) T = 1,50 horas
El radio de la orbita vale:
Como la unica fuerza que actua sobre el satelite es la fuerza
gravitatoria que ejerce la Tierra,
Suponiendo que el satelite describe una trayectoria aproximadamente circular con
velocidad de valor constante, la aceleracion solo tiene componente normal aN,

PROBLEMA 12
Europa, satelite de Júpiter, fue descubierto por Galileo en 1610. Sabiendo que el
radio de la órbita que describe es de 6,7×105 km y su periodo de 3 dias, 13 horas y
13 minutos, calcula:
a) La velocidad de Europa relativa a Júpiter.
b) La masa de Júpiter.
Datos. G = 6,67×10-11
Nm2
kg-2
SOLUCIÓN
a)
b) Como la unica fuerza que actua sobre Europa
es la fuerza gravitatoria que ejerce JúpiterSuponemos que Europa describe una trayectoria
aproximadamente circular con velocidad de valor constante, por lo que la aceleración sólo
tiene componente normal aN,
Despejando la masa M de Jupiter:

PROBLEMA 13
La menor velocidad de giro de un satélite en la Tierra, conocida como primera
velocidad cósmica, es la que se obtendria para un radio orbital igual al radio
terrestre RT. Calcula:
a) La primera velocidad cósmica.
b) El periodo de revoluciòn correspondiente.
Datos: G = 6,67×10-11
Nm2
kg-2
RT = 6,38×106
m MT = 5,98×1024
kg
SOLUCIÓN
Como la unica fuerza que actua sobre el satelite es la fuerza gravitatoria que ejerce la
Tierra,
El satélite describe una trayectoria aproximadamente circular con velocidad de valor
constante, por lo que la aceleración sólo tiene componente normal aN,

PROBLEMA 14
Un satelite artificial con una masa de 200 kg se mueve en una órbita circular la
5×107
m sobre la superficie terrestre.
a) ¿Qué fuerza gravitatoria actúa sobre el satélite?
b) ¿Cual es el periodo de rotación del satélite?
Datos: g0 = 9,81 m/s2
RT = 6 370 km
SOLUCIÓN
a) El radio de la orbita vale:
Como no se tienen los datos de la constante de la gravitación universal ni de la masa de
la Tierra, habrá que tener en cuenta que en la superficie de la Tierra, el peso de un cuerpo
mg0 es igual a la fuerza gravitatoria
Por tanto, sustituyendo G MT por g0 RT
2
, en la expresion de la fuerza,
b) Como la unica fuerza que actua sobre el satelite es la fuerza gravitatoria que ejerce la
Tierra,
El satelite describe una trayectoria aproximadamente circular con velocidad de valor
constante, por lo que la aceleracion solo tiene componente normal aN,

PROBLEMA 15
Un satélite artificial describe una órbita circular de radio 2 RT en torno a la Tierra.
Calcula:
a) La velocidad orbital.
b) El peso del satelite en la órbita si en la superficie de la Tierra pesa 5 000 N
Datos: RT = 6 400 km G = 6,67×10–11
Nm2
kg-2
g0 = 9,8 m / s2
SOLUCIÓN
a) Como la unica fuerza que actua sobre el satelite es la fuerza gravitatoria que ejerce la
Tierra,
el satélite describe una trayectoria aproximadamente circular con velocidad de valor
constante, por lo que la aceleración solo tiene componente normal aN,
Como no se tienen los datos de la constante de la gravitacion universal ni de la masa de
b) La única fuerza que actua sobre el satelite es su peso, o sea, la atracción gravitatoria
de la Tierra. Por la ley de Newton de la gravitación universal En la superficie de la Tierra:
En la órbita de radio r:
Dividiendo

PROBLEMA 16
Un astronauta de 75 kg gira alrededor de la Tierra (dentro de un satelite artificial) en
una órbita situada a 10 000 km sobre la superficie de la Tierra. Calcula:
a) La velocidad orbital y el periodo de rotación.
b) El peso del astronauta en esa órbita.
Datos: g0 = 9,80 m/s RT = 6 400 km
SOLUCIÓN
a) El radio de la orbita vale:
Como no se tienen los datos de la constante de la gravitaciÓn universal ni de la masa de
la Tierra, habrÁ que tener en cuenta que en la superficie de la Tierra, el peso de un cuerpo
b) La única fuerza que actúa sobre el astronauta es su peso, o sea, la atracción
gravitatoria de la Tierra. Por la ley de Newton de la gravitación universal, en la órbita de
radio r:

PROBLEMA 17
Un satélite artificial de 100 kg describe órbitas circulares a una altura de 6 000 km
sobre la superficie de la Tierra. Calcula:
a) El tiempo que tarda en dar una vuelta completa.
b) El peso del satélite a esa altura.
Datos: g0 = 9,80 m/s2
; RT = 6 400 km
SOLUCIÓN
Despejando la velocidad:
Y teniendo en cuenta su relación con el periodo:
queda que el periodo es:
b) Sustituyendo G MT por g0 RT2
, en la expresión de la fuerza gravitatoria, (peso)

PROBLEMA 18
Un satélite artificial de 500 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra con
un radio de 2×104 km. Calcula:
a) La velocidad orbital y el período.
b) La energía mecánica y la potencial.
c) Si por fricción se pierde algo de energía, ¿qué le ocurre al radio y a la velocidad?
Datos g0 = 9,8 m·s-2
; RT = 6 370 km
SOLUCIÓN
El periodo orbital del satélite es el del movimiento circular uniforme de velocidad 4,46×103
m/s. Despejando el periodo, T, de la velocidad del M.C.U.
b) La energía mecánica es la suma de las energías cinetica y potencial. La energía
potencial viene dada por:
Y la energía cinética
La energía total será:
c) La energía mecánica se puede expresar en función del radio de la órbita. Ya vimos
antes que
Despejando y sustituyendo m vorb
2
en la expresión de la energía mecánica, quedaría

Si disminuye la energía mecánica, (es más negativa), el radio de la órbita también se hace
más pequeno, por lo que el satélite se acerca a la superficie de la Tierra.
La velocidad, por el contrario, aumentará, pues su relación con el radio puede obtenerse
de la ecuacion anterior:
y cuanto mas pequeno es el radio de la orbita mas grande es su velocidad.
PROBLEMA 19
Se desea poner en órbita un satélite de 1800 kg que gire a razón de 12,5 vueltas por
día. Calcula:
a) El periodo del satélite.
b) La distancia del satélite a la superficie terrestre.
c) La energía cinetica del satélite en esa órbita.
Datos: G = 6,67×10-11
Nm2
kg-2
; RT = 6 378 km; MT = 5,98×1024
kg
SOLUCIÓN
a) El periodo es la inversa de la frecuencia:
La altura será:
c) La velocidad del satélite en su órbita será:

Y la energía cinética
PROBLEMA 20
Un satélite artificial con una masa de 200 kg se mueve en una órbita circular
alrededor de la Tierra con una velocidad constante de 10 800 km/h. Calcula:
a) ¿A que altura está situado?
b) Haz un grafico indicando que fuerzas actuan sobre el satelite y calcula la energia
total
Datos: g0 = 9,8 m/s2
RT = 6 370 km
La altura será:
b) La energía mecánica vendrá dada por la expresión:
sustituyendo datos:

PROBLEMA 21
Se desea poner en órbita un satélite geoestacionario de 25 kg. Calcula:
a) El radio de la órbita.
b) Las energías cineética, potencial y total del satélite en la órbita.
Datos. G = 6,67×10-11
Nm2
kg-2
MT = 5,98×1024
kg
SOLUCIÓN
despejando el radio de la órbita
b) De la ecuación de v2
en función del radio de la órbita, se puede escribir para la energía
cinética
La energía mecánica es la suma de cinética y potencial y por tanto:

PROBLEMA 22
Los satélites Meteosat son satélites geoestacionarios (situados sobre el ecuador
terrestre y con periodo orbital de un día). Calcula:
a) La altura a la que se encuentran, respecto a la superficie terrestre.
b) La fuerza ejercida sobre el satélite.
c) La energía mecánica.
Datos: RT = 6,38 106
m; MT = 5,98 1024
kg; msat = 8 102
kg; G = 6,6710-11
Nm2
kg-2
La fuerza que ejerce la Tierra sobre el satélite es gravitatoria
El cálculo de la energía cinética sería:
La energía total será la suma de las dos:

PROBLEMA 23
Un satélite artificial de 300 kg gira alrededor de la Tierra en una órbita circular de
36 378 km de radio. Calcula:
a) La velocidad del satélite en la órbita.
b) La energía total del satélite en la órbita.
Datos: g0 = 9,80 m/s2
RT = 6 378 km
SOLUCIÓN
PROBLEMA 24
Se lanza un proyectil verticalmente desde la superficie de la Tierra, con una
velocidad inicial de 3 km/s. Calcula:
a) ¿Qué altura máxima alcanzará?
b) La velocidad orbital que habrá que comunicarle a esa altura para que describa
una órbita circular.
Datos. G = 6,67×10-11
Nm2
kg-2
RT = 6 370 km MT = 5,98×1024
kg
SOLUCIÓN
a) Como la fuerza gravitatoria es una fuerza
conservativa, la energia mecanica del
proyectil en el suelo sera la misma que la
que tendra en el punto de altura maxima.
En una primera aproximacion, se supone
que el valor de la gravedad se mantiene
constante entre ambos puntos gh = g0.
Entonces:

Tomando como origen de energia potencial el suelo, Ep (suelo) = 0, y sabiendo que en la
altura maxima la velocidad sera cero
Pero si calculamos el valor de la aceleración de la gravedad a esa altura, en la que
vemos que:
por lo tanto, hay que utilizar la expresion de la energía potencial gravitatoria referida al
infinito. Si EP (∞) = 0
b) Como la única fuerza sobre del satélite que actúa es la fuerza gravitatoria que ejerce la
Tierra,

PROBLEMA 25
a) Calcular el radio que deberia tener la Tierra, conservando su masa, para que la
velocidad de escape fuese igual que la de la luz, c = 300.000 kms-1
(!extrano agujero
negro!)
b) Ante un colapso de este tipo .variará el periodo de rotación de la Luna alrededor
de la Tierra?
Datos: G = 6,67×10-11
Nm2
kg-2
RT = 6 370 km MT = 5,98×1024
kg
SOLUCIÓN
a) Para conseguir que un cuerpo "escape" de la atracción gravitatoria, deberemos
comunicarle una energÍa que permita situarlo en un punto en el que no esté sometido a
dicha atracción. Esto ocurre a una distancia "infinita" del centro de la Tierra y en la que se
cumple que ET = 0.
Aplicando el principio de conservacion de la energía mecánica a ambos puntos (superficie
terrestre e infinito) resultara:
Despejando R'T y sustituyendo:
El radio de este “extrano” agujero negro coincide con su horizonte de sucesos.
De alguna manera tiene sentido un radio tan pequeno, aunque no pueda existir.
Los agujeros negros pueden formarse por el colapso gravitatorio de estrellas mucho
mayores que el Sol, en las que, una vez agotado el combustible nuclear (hidrogeno) cuya
proceso de fusion nuclear equilibra la fuerza gravitatoria, ésta provoca un colapso
gravitatorio total, pasando por la compresión de los electrones hasta el interior del núcleo
y la desaparicion de masa en una singularidad.
Los radios de los horizontes de sucesos de esos agujeros negros originados por las
estrellas tienen algunos kilómetros, pero también la masa de las estrellas que los
producen es 106
veces mayor que la de la Tierra.
b) No, puesto que el periodo orbital de un satélite alrededor de un astro no depende del
radio del astro que crea el campo gravitatorio, sólo de su masa, y esta no varía.
Como la única fuerza sobre la Luna que actúa es la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra
sobre la Luna,
Como la velocidad en un movimiento circular uniforme de radio r (M.C.U.) es:

que no depende del radio de la tierra.

PROBLEMA 26
Las relaciones entre las masas y los radios de la Tierra y la Luna son: MT/ML= 79,63
y RT/RL = 3,66.
a) Calcula la gravedad en la superficie de la Luna.
b) Calcula la velocidad de un satelite girando alrededor de la Luna en una órbita
circular de 2 300 km de radio.
c) ¿Dónde es mayor el periodo de un pendulo de longitud L, en la Tierra o en la
Luna?
Datos: g0 = 9,80 ms-2
; RL = 1 700 km
SOLUCIÓN
a) El peso de un objeto cerca de la superficie de la Tierra es la fuerza con la que la Tierra
lo atrae:
Analogamente, el peso de un objeto cerca de la superficie de la Luna es la fuerza con la
que la Luna lo atrae:
Dividiendo la primera ecuacion entre la segunda, queda:
b) Como la unica fuerza sobre el satelite a tener en cuenta es la fuerza gravitatoria que
ejerce la Luna,
Como no se tienen los datos de la constante de la gravitacion universal ni de la masa de
la Luna, habra que tener en cuenta que en la superficie de la Luna, el peso de un cuerpo
mgL es igual a la fuerza gravitatoria

Por tanto, sustituyendo GML por gLRL
2
, en la expresión de la velocidad, «v» y sustituyendo
los datos,
c) El periodo T de un pendulo de longitud L en un lugar donde la gravedad sea g viene
dado por la ecuacion:
Dividiendo las expresiones correspondientes a la Tierra y a la Luna:
PROBLEMA 27
Un satélite artificial de 64,5 kg gira alrededor de la Tierra en una órbita circular de
radio R = 2,32 RT. Calcula:
a) El periodo de rotación del satélite.
b) El peso del satélite en la órbita.
Datos: g0 = 9,80 m/s2
RT = 6 370 km
SOLUCIÓN
Como no se tienen los datos de la constante de la gravitación universal ni de la masa de
a) Como la única fuerza que actúa sobre el satelite es la fuerza gravitatoria que ejerce a
Tierra,
Despejando la velocidad

que queda:
b) Sustituyendo G MT por g0 RT2
, en la expresion de la fuerza gravitatoria, (peso)

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