Probabilidad Básica e Inferencia Estadística

UNIVERSIDAD VERACRUZANA

FACULTAD DE ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA

ESPECIALIZACIÓN EN MÉTODOS ESTADÍSTICOS

NOMBRE DEL CURSO:

PROBABILIDAD BÁSICA E
INFERENCIA ESTADÍSTICA

FERNANDO VELASCO LUNA

MARIO MIGUEL OJEDA RAMÍREZ

XALAPA, VERACRUZ, MÉXICO
AGOSTO 2010

1

CONTENIDO
Pag.
UNIDAD I
Conceptos básicos y álgebra de eventos…………………. 3
I.1 Ensayos aleatorios, espacio muestral y eventos aleatorios……………….. 3
I.2 Álgebra de eventos en espacios muestrales………………..……………... 12
I.3 Probabilidad, reglas de probabilidad………………..……………………. 16
I.4 Probabilidad condicional………………..………………..………………. 23
I.5 Independencia………………..………………..………………..………… 26

UNIDAD II
Variables aleatorias y distribución de probabilidad… 28
II.1 Variable aleatoria y distribución de probabilidades……………………... 28
II.2 Variables aleatorias discretas y continuas………………..……………… 32
II.3. Momentos de variables aleatorias………………..……………………... 36
II.4. Propiedades de la esperanza y la varianza………………..…………….. 39

UNIDAD III
Algunas distribuciones discretas…………………………... 41
III.1. Distribución Bernoulli………………..………………..……………….. 41
III.2. Distribución Binomial………………..………………..……………….. 45
III.3. Distribución Geométrica………………..………………..…………….. 51
III.4. Distribución Poisson………………..………………..………………… 55
III.5. Distribución Hipergeometrica………………..………………..……….. 61

Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Velasco L.F. Ojeda R.M.M.

2

Pag.
UNIDAD IV
Algunas distribuciones continuas…………………………. 66
IV.1.1 Distribución Uniforme………………..………………..……………... 66
IV.1.1 Distribución Uniforme Discreta………………..………………….. 66
IV.1.2 Distribución Uniforme Continua………………..………………… 69
IV.2 Distribución Normal………………..………………..…………………. 72
IV.3 Distribución Beta………………..………………..…………………….. 80
IV.4 Distribución Exponencial………………..………………..……………. 85

UNIDAD V
Distribuciones muestrales…………………………………… 90
V.1 Muestras Aleatorias………………..………………..…………………… 90
V.2 Teorema Central del Limite………………..……………………………. 92
V.3 Distribución Ji-Cuadrada………………..………………..……………... 96
V.4 Distribución F de Fisher………………..………………..………………. 101
V.5 Distribución t de Student………………..………………..……………… 107

Referencias 112


3

I. Conceptos básicos y álgebra de eventos

Objetivo: Que el participante conozca, comprenda y maneje los conceptos
relacionados con eventos y probabilidad.

Introducción

El objetivo de estudio de la estadística es explicar el comportamiento de un
fenómeno aleatorio, para lo cual hace uso de herramientas, entre las cuales
se encuentra la probabilidad. El concepto de probabilidad es de suma
importancia. En esta unidad se tratan los conceptos básicos relacionados
con el concepto de probabilidad y la forma de trabajar ésta.

I.1. Ensayos aleatorios, espacio muestral y eventos aleatorios

básicos de ensayo aleatorio, de espacio muestral, tipos de espacio muestral
y eventos.

La primera pregunta que se tiene que formular es ¿qué estudia la
estadística?

lejournaldepaula.blogspot.com digitalmediadesign2009.com


4

albertorayo.wordpress.com jardinplantas.com

nosoyelmismo.wordpress.com clubbycooosmos.com elcinegratis.com

zuzo.blogspot.com dermocosmetica.umh.es nosoyelmismo.wordpress.com

La estadística la mayoría de las veces se define como la ciencia que
tiene que ver con la obtención, tabulación, análisis e interpretación de
datos. Basándose en la definición anterior se tiene que la estadística para su
existencia necesita datos. Para la obtención de datos es necesario llevar a
cabo un experimento o ensayo, es decir, un proceso mediante el cual se
obtiene una observación.

La estadística tratar de explicar las variaciones que se presentan en
diversos problemas, tales variaciones son debidas a influencias que ocurren


5

cuando se realiza un ensayo o experimento. La estadística estudia el
comportamiento de la variable de interés cuando se realiza el ensayo. Al
realizar un ensayo no se sabe con exactitud cual va a ser el resultado que se
obtenga, por ejemplo, un grupo de los más capacitados científicos no
podrían decir exactamente cual va a ser el resultado de su experimento, aun
cuando todo bajo control.

lacomunidad.elpais.com

En la Física se tiene la siguiente relación entre la velocidad de un
objeto, la distancia que a recorrido y el tiempo que tarda en recorre dicha
d
distancia v  , tal relación aunque no es de todo exacta se podría
t
considerar como tal, a esta clase de ensayos se les conocer como ensayos
deterministas. Por el otro lado fenómenos en los cuales existe
incertidumbre debida a la variabilidad de los datos se les denomina ensayos
aleatorios. Lo anterior da pie a la siguiente definición

Definición 1.1.1 Experimento o ensayo aleatorio es aquel que puede dar
lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza
cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento.

Ejemplos. 1.1.1 Diversos ejemplos de experimentos y de experimentos
aleatorios.

6

Ejemplo (Biología)
D. El color de una margarita
A. Número de hojas en una planta

mojatexchile.ning.com

Ejemplo (Economía)
D. Habrá fluctuación en el tipo de cambio durante un año.
A. Tipo de cambio del respecto al dólar en el mes próximo.

mercado-divisas.com

Ejemplo (Educación)

safa.edu.uy
D. Habrá alumnos de primer grado el próximo año.
A. El número de alumnos que aprobaran el curso


7

Ejemplo (Medicina)
D. Número de hombres que resultaran embarazados mañana.
A. Número de huesos rotos durante una fractura de pie.

el-nacional.com

Ejercicio 1.1.1 Qué el participante de 2 ejemplos de experimentos y 2 de
experimentos aleatorios.

Cuando se realiza un ensayo aleatorio se obtiene un conjunto de
posibles resultados. Lo anterior nos lleva a la siguiente definición:

Definición 1.1.2 El espacio muestral de un experimento aleatorio es el
conjunto formado por todos los posibles resultados del experimento
aleatorio. El espacio muestral es denotado por S.

Ejemplos. 1.1.2
 Lanzar una moneda, posibles resultados Cara, Cruz,

cienciainfinita.com
así S  Cara, Cruz.


8

 Lanzar un dado, posibles resultados, 1, 2, 3 , 4, 5, 6,

parchis.wordpress.com
así S  
1,2,3,4,5,6.

 Presentar un examen, posibles resultados, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

Urse.edu.mx
así S  5,6,7,8,9,10.
 Presentar un examen, posibles resultados, 5,10 , así S  5, 10 .

 Mujeres que compran determinada marca de crema de belleza

wiki.biensimple.com
Así S  0,1,2,..., 1000


9

 Número de dedos rotos al fracturarse las dos manos,

el-nacional.com
así S  0,1,2,...,10
 Número alumnos de primer grado el próximo año, así
S  1,...,1000 ,.. .


Ejercicio 1.1.2
 Que el participante de 4 ejemplos de espacio muestral relacionados
con su área de trabajo.

Tipos de espacios muestrales

Ejemplos 1.1.3
 Lanzamiento de un dado, los posibles resultados son: 1, 2, 3, 4, 5, 6,
así S  
1,2,3,4,5,6.

 Un agrónomo desea contar el número de bacterias de determinada
plaga en una planta, así el espacio muestral será S  0, 1, 2, ...50,....
 Se desea estudiar el tiempo de vida de un foco de 100 watts, el
espacio muestral será S   t t  0 .


10

Definición 1.1.3 Un espacio muestral se denomina numerable finito si el
espacio muestral tiene un número finito de elementos, es decir, si el
número de resultados de mi experimento aleatorio es finito.

Definición 1.1.4 Un espacio muestral se denomina numerable infinito si
el espacio muestral tiene un número infinito de elementos pero se puede
contar, y más aún, se puede poner en relación a los números naturales.

Definición1.1.5 Un espacio muestral se denomina no numerable si el
espacio muestral tiene un número infinito de elementos los cuales no se
pueden poner en relación con los naturales.

Ejercicio 1.1.3 Que el participante de 3 ejemplos de cada tipo de espacio
muestral.

Cuando el investigador realiza un experimento aleatorio por lo
general no es de su interés el conjunto total de resultados, sino solamente
un subconjunto de éstos. Al ser el espacio muestral de un experimento
aleatorio un conjunto se pueden formar a partir de este subconjuntos de
resultados, tales subconjuntos nos llevan a la siguiente definición.

Definición 1.1.6 Dado un experimento aleatorio, un evento aleatorio es un
subconjunto del espacio muestral. El evento es denotado por las letras A, B,
etc. Si el evento esta formado por sólo un resultado diremos que es un
evento simple, si por el contrario el evento consta de dos o mas resultados,
definiremos el evento como evento compuesto.

Ejemplos 1.1.4
 Lanzamiento de una moneda, S  Cara, Cruz.
A  Cara, B  Cruz, C  Cara, Cruz, D   


11

 Lanzar un dado, S  
1,2,3,4,5,6.

A  , B  2,4,6, C  
1 1,3,5 , D   , etc.

 Presentar un examen, S  5,6,7,8,9,10.
A  7, B  8,9, C  9,10, D   , etc.

 Presentar un examen, S  5, 10.
A  7, B  7,9.4, etc.

Ejercicio 1.1.4.
 El participante elabora un escrito de 3 imágenes de las imágenes
siguientes donde describa: la característica de interés, el
experimento, el espacio destral y 5 posibles eventos. Además dará
dos ejemplos relacionados con su área de trabajo. .

star110.lacoctelera.net gentedigital.es .

. es.fordesigner.com ptobal.wordpress.com


12

El evento A ocurre si cuando se realiza el experimento el resultado
que ocurre es un elemento del evento. Así en el ejemplo del lanzamiento de
un dado se definen los eventos como B  2,4,6, C    y si al llevarse
1,3,5

acabo el experimento el resultado es un 3, entonces, ocurre el evento C, y
no ocurre el evento B.

Definición 1.1.7 Dado un experimento aleatorio, el evento imposible es el
evento que no tiene elementos, mientras que el evento seguro es el
conjunto de todos los posibles resultados, es decir, el espacio muestral S .

I.2. Álgebra de eventos en espacios muestrales finitos

Objetivo: Que el participante conozca y sea capaz de realizar operaciones
relacionadas con el álgebra de eventos.

Definición 1.2.1 Sean A y B dos eventos, se dice que estos eventos son
eventos excluyentes si ellos no pueden ocurrir en forma simultanea. Los
eventos A1 , A 2 , ..., A n se denominan eventos mutuamente excluyentes si
cualquier par de estos son eventos excluyentes.

Ejemplo 1.2.1
i) Mujeres que compran determinada marca de crema de belleza

Los eventos A  0,1,2,3,4, 5 y B  50,...,200  son excluyentes


13

ii) Se tienen los eventos relacionados al número de hamburguesas que se
come un adulto

todanoticia.com
Sean los eventos A   , B  3,4,5, C  6,7, entonces
1,2,3

 A y B no son excluyentes,
 A y C son excluyentes,
 B y C son excluyentes,
 A , B y C son mutuamente excluyentes, ya que aunque A y B no lo
son, C si lo es con A, además de B con C.

Cuando se tienen dos o más eventos aleatorios, a partir de éstos se
pueden formar otros eventos, tal como se muestra a continuación.

Definición 1.2.2 Sean A y B dos eventos, el evento unión de los eventos
A y B es el evento formado por la unión de los subconjuntos A y B , es

decir, por la unión de los resultados del evento A o del evento B . El
evento unión se denota por A  B .

El evento A  B ocurre si ocurre el evento A o el evento B .

El evento A  B no ocurre cuando ni ocurre el evento A ni ocurre el
evento B .


14

Ejemplo 1.2.2 Hugo Sánchez anota en un partido de fútbol como máximo
5 goles, así S  0, 1,2,3,4,5. Sean los eventos:
 A  anota a lo más 3 goles  0,1,2,3
 B  anota por lo menos 3 goles  3,4,5
 C  anota 4 goles  4,
entonces se tiene que los eventos A  B , B  C y A  C están formados por
 A  B  anota a lo más 3 goles o por lo menos 3 goles  0,1,2,3, 4, 5
 B  C  anota por lo menos 3 goles o anota 4 goles  3,4,5
 A  C  anota a lo más 3 goles o anota 4 goles  0,1,2,3, 4

colchonero.com

Ejercicio 1.2.1 Dar ejemplos.

Definición 1.2.3 Sean A y B dos eventos, el evento intersección de los
eventos A y B es el evento formado por la intersección de los subconjuntos

A y B , es decir, por la intersección de los resultados del evento A y del
evento B . El evento intersección se denota por A  B .

El evento intersección ocurre si ocurre el evento A y ocurre el
evento B .
El evento A  B no ocurre cuando
 No ocurre el evento A aunque ocurre el evento B ,
 Ocurre el evento A pero no ocurre el evento B ,
 No ocurre el evento A ni ocurre el evento B .
 Es decir, con un evento de los dos que no ocurra, ya no ocurre
el evento intersección.

15

entonces se tiene que los eventos A  B , B  C y A  C están formados de
la siguiente manera
A  B  anota a lo más 3 goles y por lo menos 3 goles  3

B  C  anota por lo menos 3 goles y anota 4 goles  4

A  C  anota a lo más 3 goles y anota 4 goles   

Definición 1.2.4 Sea el evento A , el evento complemento del evento A es
el evento formado por todos los resultados del espacio muestral que no
forman al evento A. El evento complemento del evento A se denota por
A C . el evento complemento de A ocurre cuando no ocurre el evento A. El

evento A C no ocurre cuando ocurre el evento A.

entonces se tiene que los eventos A C , B C y C C están formados de la
siguiente manera
A C  no anota a lo más 3 goles (anota más de 3, es decir, 4 o 5)  4,5

B C  no anota por lo menos 3 goles (anota menos de 3, es decir, 0, 1 o 2)  0,1,2,

C C  no anota 4 goles  0,1,2,3,5


16

Ejercicio 1.2.2. Dar ejemplos.

I.3. Probabilidad, reglas de probabilidad

Objetivo: Que el participante conozca y comprenda el concepto de
probabilidad y las principales reglas en su aplicación.

Se puede definir la probabilidad desde un punto de vista muy formal
y elegante (ver Ash, Royden), pero para los fines que se persiguen en este
curso es algo completamente innecesario. Aquí el interés es conocer qué es
la probabilidad, conocer su aplicación y de suma importancia adquirir la
capacidad para la interpretación.

Lo primero que se debe de conocer es a que se le aplica la
probabilidad. Para responder la pregunta se trata el siguiente ejemplo: Es
muy común preguntar ¿En el lanzamiento de un dado cuál es la
probabilidad de que el resultado del lanzamiento sea un seis? Aunque no
se dice explícitamente ya se sabe por las secciones anteriores que la frase
“resultado del lanzamiento sea un seis” es un evento.

Del ejemplo anterior se puede ver que se habla de obtener la
probabilidad de un evento. Si se denota el evento “resultado del
lanzamiento sea un seis” por medio de A , se tiene que se desea obtener la
Probabilidad de A . Ahora bien en vez de estar escribiendo la
“ Probabilidad de A ” se tiene una notación para expresar lo anterior la cual es:
PA  , la P es una abreviatura de probabilidad, la A representa al evento del

cual se desea obtener su probabilidad de ocurrencia. Cuando se aplica la


17

probabilidad al evento se obtiene un valor numérico el cual es un número
que siempre toma el valor entre cero y uno.

En el ejemplo anterior se tiene que PA   , el porqué de este valor
1
6
se basa en la regularidad estadística

¿Qué es la regularidad estadística? Si observamos un experimento aleatorio
un gran número de veces, bajo las mismas condiciones y se calcula el
porcentaje de veces que ocurre un resultado de todos los resultados posibles
esta proporción es prácticamente constante. La probabilidad se basa en la
regularidad estadística. A continuación se dará la idea de probabilidad.

Es una forma matemática de representar la regularidad estadística.

es.fordesigner.com

Un agrónomo desea contar el número de bichos de determinada
plaga en una planta, se sabe de estudios anteriores que a lo mas hay 4
bichos por planta, así el espacio muestral será S  0, 1, 2, 3, 4. Si la
probabilidad del resultado “existen 2 bichos” se evalúa como 0.12, lo que
se hace es medir el resultado “existen 2 bichos” y el valor 0.12 o 12 por
ciento, indica que si se realiza, bajo las mismas condiciones, el
experimento, se tiene que el resultado “existen 2 bichos” ocurre

18

aproximadamente el 12% de las veces, es decir, si se realiza 100 veces el
experimento en 12 ocasiones se tendrá que existen 2 bichos en la planta. Si
el agrónomo observa una planta determinada y cuenta el número de bichos
en la planta, no se puede predecir si este será de 2 bichos, sólo se puede
decir que el porcentaje de plantas con dos bichos es del 12%.

Se debe hacer notar que podría haberse dado la interpretación
anterior de la siguiente manera: si se realiza 50 veces el experimento en 6
ocasiones se tendrá que existen 2 bichos en la planta. o, si se realiza 25
veces el experimento en 3 ocasiones se tendrá que existen 2 bichos en la
planta.

De lo anterior se tiene que la probabilidad de un evento aleatorio
tiene por objeto evaluar la proporción indicada por la regularidad
estadística, los valores que esta probabilidad puede asumir siempre serán
cantidades entre cero y uno.

Se tienen entonces que la probabilidad es una representación
matemática de la regularidad estadística, para lo cual es necesario llevar a
cabo el experimento aleatorio un número de veces y por cada vez que se
repita el experimento observar el resultado, lo cual lleva a la definición de
la probabilidad desde el punto de vista frecuentista o de frecuencia relativa,
la cual es la definición frecuencial y se expresa formalmente por medio de:
nA
P A   Lim
n  n
nA
P A   Lim
n  n

donde A es el evento aleatorio de interés
n es el numero de veces que se realiza el experiment o,
n A es el número de veces que ocurre el evento A


19

La definición de mayor uso en la práctica es la definición clásica de
probabilidad la cual es:

P A  
Número casos favorables
Número casos posibles

Existe la forma de modelos probabilísticos, la cual se basa en la
representación a través de ecuaciones de un fenómeno aleatorio. Además
existe la idea de probabilidad subjetiva la cual se basa en el grado de
creencia del individuo respecto a la ocurrencia del evento aleatorio de
interés. (Estadística bayesiana)

Sea S  r1 , r2 ,...rt  el espacio muestral del experimento aleatorio, tal
que la probabilidad del resultado ri es pi , es decir, Pri   pi , y sea A
cualquier evento aleatorio, entonces la probabilidad del evento aleatorio A
es definida por
PA   Pri    pi

ri  A

Para obtener la probabilidad del evento A  0,1,2,3 de acuerdo a la
definición anterior
PA   Pri    pi

ri  A

Se tiene


20

S  r1  0, r2  1, r3  2, r4  3, r5  4, r6  5

y A  anota a lo más 3 goles  0,1,2,3, así

PA    Pri   Pr1   Pr2   Pr3   Pr4 
1 1 1 1
   
6 6 6 6
4

6

Ejemplo 1.3.2 Dos agrónomos observan el número de bichos en dos
plantas, una cada agrónomo, y se anota la suma de los dos conteos, se sabe
de ejemplos anteriores que en cada planta hay a lo más 4 bichos, en este
caso el espacio muestral es S   , y se tiene la siguiente
relación

ri 0 1 2 3 4 5 6 7 8
pi

ri 0 1 2 3 4 5 6 7 8
pi 1 2 3 4 5 4 3 2 1
25 25 25 25 25 25 25 25 25

Sea A  a lo más 3 bichos en las dos plantas  0,1,2,3 entonces
PA    Pri   P0  P1  P2  P3
1 2 3 4
   
25 25 25 25
10
  0.4,
25


21

Interpretación la cual tiene una interpretación de la forma siguiente, si los
agrónomos observarán 200 plantas de dos en dos y sumaran el número de
bichos en las dos plantas, entonces, en 40 casos la suma de los bichos en las
dos plantas sería de a lo más 3.

Reglas de probabilidad

Sea A un evento, la probabilidad del evento A cumple las siguientes
propiedades:

 La probabilidad de cualquier evento es un valor entre cero y uno,
0  PA  1

 La probabilidad del evento seguro es uno, PS  1 .
 La probabilidad del evento imposible es cero, P   0 .
 La suma de las probabilidades de todos los elementos del espacio
muestral o de todos los eventos simples es uno,  Pr    p
i i  1.

Sean A y B dos eventos, entonces

 La probabilidad del evento unión es igual a la probabilidad del
evento A mas la probabilidad del evento B , menos la probabilidad
del evento intersección PA  B  PA  PB  PA  B .
 La probabilidad del evento complemento es igual a uno menos la
probabilidad del evento, PA c   1  PA .

Ejemplo 1.3.3 Un maestro desea conocer el número de faltas de ortografía
en una hoja de redacción, se sabe que a lo más hay 6 faltas, así
S  0, 1,2,3,4,5,6.


22

vivapy.wordpress.com

Sean los eventos:
 A  hay a lo más 3 faltas de ortografía  0,1,2,3
 B  hay entre 3 y 5 faltas de ortografía  3,4,5
 C  hay 4 o 5 faltas de ortograíia  4,5,
Para obtener las probabilidades de los eventos, en primer lugar se deben
tener la probabilidad de cada uno de los posibles resultados del
experimento aleatorio, lo cual se tiene en la siguiente tabla

ri 0 1 2 3 4 5 6
pi 1 1 1 1 1 1 1
7 7 7 7 7 7 7

PA   PB  PC  
4 3 2
, ,
7 7 7
El interés del maestro es obtener la probabilidad del evento A  B , para lo
cual es necesario obtener la probabilidad del evento A  B , en este caso se
tiene A  B es el evento que existan exactamente 3 faltas de ortografía en la

redacción, así PA  B  , de lo anterior se tiene
1
7


23

PA  B PA   PB  PA  B
4 3 1 6
     0.8571
7 7 7 7

Interpretación
Si se revisaran 100 hojas de redacción, entonces en aproximadamente 86
hojas se tendrían a lo mas 5 faltas de ortografía o en otras palabras en
aproximadamente 14 hojas se tendrían exactamente 6 faltas de ortografía.

Ejercicio 1.3.2
 Obtener probabilidad de A  C y C  B e interpretar.
 Obtener probabilidad de PA  Cc  e interpretar

1.4 Probabilidad condicional

Objetivo: Que el participante conozca y comprenda el concepto de
probabilidad condicional.

Probabilidad condicional

Un doctor desea conocer cual es la probabilidad de que una persona
adulta mejore con un medicamento, si de estudios anteriores se conoce la
siguiente información
Edad
Mejora Joven Adulta Total
SI 70 10 80
NO 80 40 120
Total 150 50 200

Este es un problema de restricción ya que se pide la probabilidad de que
una persona que se sabe con anticipación que es adulta mejore en su salud,

24

que es muy distinto a pedir la probabilidad de que una persona no
importando si es adulta o joven muestre mejora después de administrarle el
medicamento.

En el caso de que no importe la edad el espacio muestral esta formado por
todos los posibles resultados, pero en el caso de que se conoce con
anticipación que la persona es adulta el espacio muestral esta formado por
los resultados solamente de las personas adultas.

En general en ocasiones se desea obtener la probabilidad de algún evento A
dado que a ocurrido un evento B, este tipo de probabilidad se denomina
probabilidad condicional (probabilidad condicionada) y se obtiene de la
siguiente manera

Sean A y B dos eventos aleatorios, tal que PB  0 se define la
probabilidad condicional de A dado B como
PA y B
PA B  
P B

Ejemplo 1.4.1. Un doctor desea conocer cual es la probabilidad de que una
persona adulta que sufre de depresión, mejore con el medicamento, si de
estudios anteriores se conoce la siguiente información

hoypadres.com


25

Edad
Mejora Joven Adulta Total
SI 70 10 80
NO 80 40 120
Total 150 50 200
En este ejemplo se tienen los eventos A  Mejore, B  Persona adulta y la
probabilidad de interés es la del evento la persona mejora dado que es
adulta, es decir, se desea obtener la probabilidad del evento A condicionado
al B, tal probabilidad se obtiene a partir de
P A y B
PA B 
P B

para obtener la probabilidad anterior es necesario conocer P A y B y

P B. Al hacer uso de la definición de probabilidad frecuencial, se tiene lo

siguiente P A y B   0.05 y P B 
10 50
 0.25 , ahora sustituyendo se
200 200
P A y B 0.05
obtiene: PA B    0.2
P B 0.25

la cual tiene la siguiente interpretación: si se administra el medicamento a
100 personas adultas en promedio 20 de éstas van a mejorar en su salud.

Ahora si se desea obtener la probabilidad de que la persona sea adulta dado
P B y A  0.05
que se conoce que mejoró: PB A     0.125
P A  0.4

la cual tiene la siguiente interpretación: de cada 1000 personas que se sabe
mejoraron en su salud al tomar el medicamento, se tiene que en promedio
125 de éstas son adultas.

Ejercicio 1.4.1 LIBRO


26

I.5. Independencia.

Objetivo: Que el alumno conozca y maneje el concepto de eventos
independientes.

El doctor del ejemplo anterior desea conocer cual es la probabilidad de que
una persona adulta mejore con un medicamento DISTINTO al anterior, si
de estudios anteriores se conoce que la mejora del paciente tomando o no
del nuevo medicamento no presenta relación con la edad del paciente.

Así la ocurrencia del evento “persona es adulta” no altera para nada la
ocurrencia del evento ”mejore” así la probabilidad condicional de
PA B  PA 

Definición 1.5.1 El evento A se dice independiente del evento B si
PA B   P A 

Observación 1.5.1 Al ser el evento A independiente del evento B también
se tiene que el evento B es independiente del evento A, por lo anterior se
dice que los eventos A y B son independientes.

En ocasiones la definición de independencia está dada por lo siguiente:

Definición 1.5.2 El evento A es independiente del evento B si
PA  B  PA P B

Ejemplo 1.5.1 El INEGI desea hacer un estudio sobre familias con dos
hijos, niño y niña, así el espacio muestral es S  MM,MH,HM, HH.


27

ahorrodiario.com
Sean los eventos A  Primer hijo mujer , B  Segundo hijo mujer . ¿Son estos
eventos independientes?
Ejercicio 1.5.1
 Resolver el problema anterior.


28

II. Variables aleatorias y distribución de probabilidad

relacionados con las variables aleatorias y las distribuciones de
probabilidad.

Introducción

Cuando el investigador lleva acabo un experimento aleatorio es posible
obtener más de un espacio muestral, dependiendo de la característica de
interés bajo estudio. Por ejemplo, dos compañeros de la facultad de
Economía presentan su examen de Inglés, entonces el espacio muestral
asociado con observar el resultado del examen será S  AA, AR, RA, RR ,
mientras que si el interés es conocer el número de aprobados el espacio
muestral será S  0,1,2. La asignación de valores numéricos a los
elementos del espacio muestral puede pensarse como una función del
espacio muestral a un conjunto de números reales, tales funciones son
conocidas como variables aleatorias. En esta unidad estudiaremos los
conceptos relacionados con las variables aleatorias.

II.1. Variable aleatoria y distribución de probabilidades

Definición 2.1.1 Una variable aleatoria es una función, del espacio
muestral a los números reales. Es decir, una variable aleatoria asocia a cada
elemento del espacio muestral un número real. Ya que el valor que tome la
variable depende del resultado del experimento aleatorio es por lo cual del
nombre variable aleatoria.


29

Ejemplo 2.1.1 Un jugador lanza dos monedas y observa los resultados. Se
tiene que el espacio muestral es S   A, A,  A, C , C, A, C, C . Defínase a X
como el número de cruces observadas. Los valores que toma la variable
aleatoria son 0, 1, 2 , los puntos muestrales asociados a cada valor de la
variable aleatoria son

Valor de X 0 1 2
Elementos del espacio muestral  A, A C, A, A, C  C, C 

Ejemplo 2.1.2 En un laboratorio clínico trabajan tres biólogos y tres
químicos. Se desea formar un grupo de tres científicos para una labor
especial y se decide que la elección sea al azar para no introducir algún
sesgo. El espacio muestral es
S  B, B, B, B, B, Q, B, Q, B, Q, B, B, B, Q, Q, Q, B, Q, Q, Q, B, Q, Q, Q

Sea X el número de biólogos en el grupo. Los valores que toma la variable
aleatoria son 0, 1, 2 y 3 , los puntos muestrales asociados a cada valor de la

Valor de X 0 1 2 3
Elementos del B, Q, Q B, B, Q
espacio Q, Q, Q Q, B, Q Q, B, B  B, B, B
muestral Q, Q, B  B, Q, B 

Ejercicio 2.1.1. Dar 2 ejemplos de variables aleatorias.

Dado un experimento aleatorio y su espacio muestral se puede
definir una variable aleatoria. Esta variable aleatoria por definición toma


30

valores los cuales son números reales. Para cada uno de estos valores que
toma la variable aleatoria se puede obtener la probabilidad de ocurrencia.
Esta probabilidad se obtiene a partir de los elementos muestrales asociados
al valor particular que toma la variable aleatoria.

Notación. Por lo que respecta a la notación, se utilizarán mayúsculas como
X, para denotar variables aleatorias, y minúsculas como x, para denotar
valores particulares que pueda tomar una variable aleatoria.

Notación. Sea X una variable aleatoria cuyos valores son x1, x2 ,..., xn ,... la
probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor particular xi es
denotado por PX  xi 


Valor de X 0 1 2
Elementos del espacio muestral  A, A C , A,  A, C  C, C 

La probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor 1 está dada de
la siguiente manera. De la tabla anterior se tiene que los elementos
muestrales asociados al valor de 1 son C , A,  A, C  , además se tiene que este
es el evento E  Se observa exactament e una cruz  C, A,  A, C  y de la unidad I

se tiene PE   , así se tiene que PX  1  .
1 1
2 2


31


El objetivo de la Estadística es explicar el comportamiento de la
variable aleatoria bajo estudio, se puede dar una idea de tal
comportamiento a partir del comportamiento de la muestra que se tiene. El
comportamiento de la muestra se da en términos de los valores de variables
aleatorias, y por eso es imperativo que conozcamos las probabilidades de
estos valores, lo cual nos lleva a obtener probabilidades de eventos. Dado
que ciertos tipos de variables aleatorias ocurren con mucha frecuencia en la
práctica, es útil disponer de la probabilidad para cada valor de una variable
aleatoria. Este conjunto de probabilidades se llama distribución de
probabilidades.

Definición 2.1.2 La función de distribución de probabilidad de la
variable aleatoria X es aquella función que va acumulando las
probabilidades hasta un valor especificado, también se conoce como
función de distribución acumulativa o función de distribución. La
función de distribución de probabilidad se denota por medio de FX x  y se
define como
FX x   PX  x  .

Nota. La función de distribución de probabilidades es una probabilidad, así
que debe tomar valores entre cero y uno.


32

Valor de X 0 1 2

La distribución de probabilidades para este caso es

FX 0  PX  0  PX  0 
1
,
4

FX 1  PX  1  PX  0  PX  1 
1 2 3
  ,
4 4 4

FX 2  PX  2  PX  0  PX  1  PX  2 
1 2 1
   1.
4 4 4
Se tiene que

FX 1.74  PX  1.74  PX  0  PX  1 
1 2 3
  ,
4 4 4

FX 23  PX  23  PX  0  PX  1  PX  2 
1 2 1
   1,
4 4 4
FX - 6  PX  -6  0 .

Nota 2.1.1 La grafica de la función de distribución de probabilidades tiene
una forma escalonada.

II.2. Variables aleatorias discretas y continuas

Objetivo: Que el participante conozca, comprenda y maneje los tipos de
variables aleatorias: discretas y continuas.

Sea X una variable aleatoria cuyos valores son x1, x2 ,..., xn ,... , el
conjunto x1, x2 ,..., xn ,... puede ser numerable finito, numerable infinito o no
numerable. Dependiendo del tipo de conjunto que sea x1, x2 ,..., xn ,... es el
tipo en el cual se etiqueta la variable aleatoria.


33

Definición 2.2.1 Una variable aleatoria, se denomina variable aleatoria
discreta si solamente puede tomar un número finito o numerable infinito
de valores distintos. Es decir, si el conjunto x1 , x2 ,..., xn ,... es ya sea
numerable finito o numerable infinito.

La probabilidad inducida por la variable aleatoria discreta se obtiene
sumando las probabilidades correspondientes a los elementos del espacio
muestral.

Ejemplo 2.2.1 En el ejemplo del lanzamiento de las dos monedas sea X el
número de cruces observadas, la probabilidad de que la variable aleatoria
discreta X tome el valor 1 está dada de la siguiente manera. Los elementos
muestrales asociados al valor de 1 son C , A,  A, C  , además se tiene que este
es el evento E  Se observa exactament e una cruz  C, A,  A, C  y de la unidad I

se tiene PE   , así PX  1  .
1 1
2 2

Aunque las variables aleatorias no son eventos se puede hablar de la
probabilidad de ocurrencia de determinado valor de la variable aleatoria.

Cuando se tiene una variable aleatoria discreta la función relacionada
con la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los valores de la variable
aleatoria se denomina función de probabilidad, esto es, la función de
probabilidad de la variable aleatoria discreta se define como PX  xi  y se
denota por medio de f x i  , así
f xi   PX  xi 

La función de distribución de probabilidad y la función de
probabilidad de una variable aleatoria discreta están relacionadas de la
siguiente manera


34

FX x    f x i 
xi  x

Propiedad. La función de probabilidad cumple las condiciones
 f x   0
  f x   1


Valor de X 0 1 2

La función de probabilidad para este caso es

f 0  PX  0 
1
,
4

f 1  PX  1 
2
,
4

f 2  PX  2 
1
.
4
Gráfica


35

Ejercicio 2.2.1. Dar un ejemplo

Definición 2.2.2 Una variable aleatoria, se denomina variable aleatoria
continua si el conjunto x1, x2 ,..., xn ,... es un conjunto no numerable. Es
decir si su rango de valores que la variable puede tomar es continuo.
Gráfica

Definición 2.2.3 Sea X una variable aleatoria continua, la función f x 
cuya gráfica produce la curva anterior se denomina función de densidad
de la variable aleatoria continua.

La función de distribución de probabilidad y la función de densidad
de una variable aleatoria continua están relacionadas de la siguiente manera
a
FX a    f x dx
-

Nota 2.2.1. Si X una variable aleatoria continua, entonces
b
Pa  X  b    f x dx
a

Nota 2.2.2. Si X una variable aleatoria continua, entonces PX  a   0
Propiedad. La función de densidad cumple las condiciones
 f x   0

  f x dx  1
-


36

II.3. Momentos de variables aleatorias

Valor Esperado

El objetivo principal de la función de densidad o función de
probabilidad de una variable aleatoria es la de proporcionar información
respecto al comportamiento de tal variable aleatoria. Pensemos en la
calificación de la asignatura de Historia de los alumnos de tercero de
bachillerato en la escuela “López Obrador”. Si el director del plantel
deseara saber cual es el comportamiento de la calificación en forma rápida
no seria aconsejable que se le preguntara a cada estudiante su calificación
en tal asignatura. Una forma rápida y más que otra cosa
REPRESENTATIVA de la variable calificación es la calificación promedio
en Historia de los alumnos de tercer semestre. El ejemplo anterior nos lleva
a la siguiente definición.

Definición 2.3.1 Sea X una variable aleatoria, el valor esperado de la
variable aleatoria X se define como

 x f x  si X es discreta

EX   
 x f x  si X es continua


donde la sumatoria se hace para todos los posibles valores de la variable
aleatoria y la integral se hace sobre todos los posibles valores para los
cuales f x   0 .


37

Ejemplo 2.3.1 Sea la variable aleatoria discreta X con función de
probabilidad dada de la siguiente manera

0.05 si X  1
0.25 si X  2


f x   0.30 si X  3
0.20 si X  4

0.20
 si X  5

Se tiene que X es una variable aleatoria discreta así su valor esperado está
dado por medio de  x f x  . Para este caso en particular.
EX   x f x  1* 0.05  2 * 0.25  3* 0.30  4 * 0.2  5 * 0.2
 0.05  0.50  0.90  0.80  0.80  3.05

Así si se quisiera predecir el próximo valor de la variable aleatoria el valor
más apropiado sería 3.

Ejemplo 2.3.2 Sea la variable aleatoria continua X con función de
densidad

f x  
x
0  x2
2
entonces
2
EX    x f x dx   x dx
x
0 2
2
2
x2 x3 8
  dx  
0 2 6 0
6

Así si se quisiera predecir el próximo valor de la variable aleatoria el valor
8
más apropiado sería .
6


38

Varianza

El director la escuela “López Obrador” tiene conocimiento de que la
calificación promedio en la asignatura de Historia de los alumnos del
plantel es de 8.5, pero que también la calificación promedio en Historia de
los alumnos del plantel “Calderón” es de 8.5 ¿Es el comportamiento el
mismo en las dos escuelas respecto a la calificación en la asignatura de
Historia?

ddicrociodiaz.blogspot.com

Para responder se necesita la siguiente definición.

Definición 2.3.2 Sea X una variable aleatoria, la varianza de la variable
aleatoria X se define como
 X- EX  2 f x  si X es discreta

Var X   

 X- EX  f x  si X es continua
2

donde la sumatoria se hace para todos los posibles valores de la variable
aleatoria y la integral se hace sobre todos los posibles valores para los
cuales f x   0 .


39

La varianza de una variable aleatoria nos da información respecto a
la dispersión de los valores de la variable aleatoria. El concepto de varianza
de la variable aleatoria es el mismo para variables discretas o continuas.

Observación. De la definición de varianza y de valor esperado de una
variable aleatoria se tiene que

Var X  E X- EX 2 

II.4. Propiedades de la esperanza y la varianza

Propiedades de la esperanza La esperanza tiene las siguientes
propiedades. Sea X una variable aleatoria y c , c1 y c 2 números, entonces
 Ec  c
 Ec X  cEX

 Ec1  c2 X  c1  c2 EX

Propiedades de la varianza La varianza tiene las siguientes propiedades.
Sea X una variable aleatoria y c un número, entonces
 Var c   0

 
 Var X  E X 2  EX
2

 Var c X  c 2 Var X

Ejemplo 2.4.1 Obtener la varianza de la siguiente variable aleatoria
discreta la cual tiene función de probabilidad
0.05 si X  1
0.25 si X  2


f x   0.30 si X  3
0.20 si X  4

0.20
 si X  5


40

Se tiene en primer lugar que obtener el valor esperado. Para este caso
EX  3.05 , ahora se puede hacer uso de la propiedad

 
Var X  E X 2  EX
2

para la cual se necesita EX 2  la cual toma el valor ¿?

 
Var X  E X 2  3.05 
2
 9.3025 

Así tenemos que la varianza de la variable aleatoria es y su desviación
estándar toma el valor .

Ejercicio 2.4.1 Por parte de los participantes.


41

III Algunas distribuciones discretas

Objetivo: Que el participante conozca y maneje algunas de las variables
aleatorias discretas, así como la función de probabilidad de cada una de
éstas.

Introducción

Como se estableció en la Unidad II cuando se tiene una variable
aleatoria discreta, información acerca de su comportamiento se puede
obtener a partir de su función de probabilidad. Tal función de probabilidad
puede estar dada en forma de una expresión algebraica. En esta unidad se
tratan las principales variables aleatorias de tipo discreto, así como la
correspondiente función de probabilidad.

III.1. Distribución Bernoulli

La señora López está indecisa si comprar o no la crema antiacné

saludmedicina.com
Su decisión la basara en si tiene menos de 2 infecciones o no.


42

Una industria fármaco bióloga desea sacar al mercado un nuevo
medicamento, para lo cual realiza un experimento y la decisión de sacarlo
al mercado dependerá si el paciente muestra o no mejora respecto a la
enfermedad que presenta.

dermocosmetica.umh.es

El anterior es un problema donde el espacio muestral es numerable
finito, ya que solamente se tienen dos posibles resultados para el
experimento S  SM, NM. Sea la variable aleatoria definida de la siguiente
manera
1 si M ejora

X : 
0 si No M ejora


así se tiene que el conjunto de valores de la variable aleatoria es 0,1 por lo
cual la variable aleatoria es una variable aleatoria discreta.

En el ejemplo anterior el rango de la variable aleatoria es discreto,
por lo cual es una variable aleatoria discreta, pero además, la variable
aleatoria solamente puede tomar dos valores. En general existen variables
aleatorias en las cuales sólo existen dos valores en su rango. Lo anterior
nos lleva a la siguiente definición.


43

Definición 3.1.1 Un experimento se denomina Bernoulli si los posibles
resultados del experimento son solamente dos. Comúnmente a uno de los
dos resultados se le denomina éxito (E) y al otro fracaso (F).

safa.edu.uy gentedigital.es

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Observación 3.1.1 Posibles resultados del experimento dos.

Observación 3.1.2 Éxito (EVENTO DE INTERÉS) y fracaso

Nota 3.1.1 Ya sea que se trate como probabilidad de la variable aleatoria o
la probabilidad del evento éxito, ésta se denota por medio de p y al
probabilidad de fracaso por q , la cual por las propiedades de probabilidad
es 1 - p ¿Porqué?

Nota 3.1.2 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria la cual
tiene una distribución Bernoulli están dados por medio de:


44

EX  p y Var X  1  p .

Ejemplo 3.1.1 Un alumno de la facultad de Estadística presenta un examen
de la asignatura de técnicas básicas de muestreo, su interés, como es de
esperarse, es aprobar la asignatura, así que los posibles resultados del
experimento son APROBAR o REPROBAR. S  A, R. Lo cual en
términos de la variable aleatoria sería
1 si Aprueba

X : 
0 si Reprueba


con alguna probabilidad de éxito p .

Ejemplo 3.1.2 El maestro de la asignatura técnicas básicas de muestreo,
quien le imparte clases al alumno del ejemplo anterior tiene el interés de
conocer cuál fue la calificación del alumno en el examen, así que los
posibles resultados del experimento son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. el cual
ya no sería un experimento Bernoulli.

Ejemplo 3.1.3 Un alumno de la facultad de Estadística presenta un examen
de la asignatura de técnicas básicas de muestreo

Valor de X 0 1
Probabilidad asociada 1- p p

La distribución de probabilidades para este caso es
FX 0  PX  0  PX  0  1  p , FX 1  PX  1  PX  0  PX  1  1 ,

FX 0.74  PX  0.74  PX  0  1  p ,

FX 2  PX  2  PX  0  PX  1  1.


45

Grafica de la función de distribución.

Para una variable aleatoria Bernoulli su función de probabilidad está
dada por medio de f x   PX  x   p x 1 - p1-x , con x  0,1 . Así

f 0  PX  0  p 0 1 - p   1 p
1-0

f 1  PX  1  p1 1 - p  p
1-1

Grafica de la función de probabilidad

Ejercicio. Dar 2 ejemplos de variables aleatorias Bernoulli con valores de
p, con graficas.

III.2. Distribución Binomial

Una industria fármaco bióloga desea sacar al mercado un nuevo
medicamento, para lo cual realiza un experimento. El nuevo medicamento
es probado en 50 pacientes los cuales presentan la enfermedad bajo
exactamente las mismas condiciones. El interés es conocer cuantos
pacientes de los 50 muestran mejora respecto a la enfermedad.


46

El anterior es un problema donde el espacio muestral es numerable
finito. La cantidad de pacientes que mostraron mejora puede tomar 51
posibles valores, así la variable aleatoria toma los valores 0,1,2,…,50.

En el ejemplo de la industria fármaco bióloga el rango de la variable
aleatoria es discreto, por lo cual es una variable aleatoria discreta, pero
además, el experimento consta de experimentos Bernoulli, cada uno de
ellos con la misma probabilidad de mejora (E), digamos p .

Definición 3.2.1 Un experimento se denomina Binomial si éste está
compuesto por n experimentos Berrnoulli, y el interés es el número X de
éxitos en estos n experimentos Bernoulli, los cuales se suponen que son
independientes

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47

Supuestos
 Se realizan n experimentos Bernoulli,
 Probabilidad de éxito p ,
 Los experimentos son independientes

La variable aleatoria de interés es el número de éxitos en los n
experimentos, por lo cual X puede tomar los valores 0,1,2,...,n .

La función de probabilidad está dada por
n
f x   PX  x    p x 1 - p 
n -x
x
 
n n!
donde   
 x  x!n  x ! , y n! es el factorial.
 

Ejemplo 3.2.1 El grupo 302 de la facultad de Estadística el cual tiene 15
alumnos presenta un examen de la asignatura de técnicas básicas de
muestreo, su interés de cada alumno, como es de esperarse, es aprobar la
asignatura, así que los posibles resultados del experimento son APROBAR
o REPROBAR. S  A, R. Pero al profesor le interesa conocer la cantidad
de alumnos que aprobaron el examen, así que los posibles valores de la
variable aleatoria son 0, 1, 2,.., 15. Así se tiene
15 
f x   PX  x    p x 1 - p 
15- x
x 
 
Si la probabilidad de aprobar el examen es 0.8, se tiene que la probabilidad
de que exactamente seis alumnos aprueben el examen es
15 
f 6  PX  6    p 6 1 - p 
15-6
6 
 
15!
 0.86 0.29
6! 9!
15 * 14 * 13 * 12 * 11* 10
 0.86 0.29
6 * 5 * 4 * 3* 2 * 1
 0.0006717


48

Interpretación. Se tiene que si se tuvieran 100,000 grupos de 15 alumnos
cada uno de éstos y se presentaran un examen de muestreo que tiene una
probabilidad de ser aprobado de 0.8, entonces en aproximadamente 67 de
estos grupos aprobarían exactamente 6 alumnos.

La Probabilidad de que aprueben a lo más 5 alumnos es
15  15 
FX 5  PX  5   p 0 1 - p    p1 1 - p  
15-0 15-1
0  1 
   
15  15 
  p 2 1 - p    p 3 1 - p  
15-2 15-3
2  3 
   
15  15 
  p 4 1 - p    p 5 1 - p  .
15-4 15-5
4  5 
   
tiene una distribución Binomial están dados por medio de:
EX  np y Var X  np(1  p) .

Ejercicio 3.2.1 Dar 2 ejemplos de variables aleatorias Binomial.

Probabilidad en Excel Los pasos a seguir para obtener la probabilidad de
una variable aleatoria discreta con distribución Binomial son:

1. Entrar a Excel a la pestaña de Insertar, en la parte marcada con función


49

2. Aparece la siguiente ventana

3. Irse a la pestaña de seleccionar una categoría y elegir Estadística

4. Elegir BINOM y aceptar


50

5. Aparece la ventana de la Binomial

6a. Calcular la probabilidad f 6

Resultado


51

6b. Calcular FX 5

Resultado

III.3. Distribución Geométrica

La industria fármaco bióloga anterior desea sacar al mercado otro
medicamento, para lo cual realiza un experimento. El nuevo medicamento
es probado en pacientes los cuales presentan la enfermedad bajo
exactamente las mismas condiciones, pero se desea conocer en cuantos
pacientes se debe probar hasta que ocurra un éxito, estos es hasta que uno
de los pacientes muestre mejora.


52

El anterior es un problema donde el espacio muestral es numerable.
La cantidad de pacientes necesarios hasta que ocurra la primera mejora es
numerable tomando los valores 1,2,…,20,…, así que la variable aleatoria
número de experimentos necesarios hasta que ocurra el primer éxito es una
variable aleatoria discreta, se tiene que el experimento consta de
experimentos Bernoulli, cada uno de ellos con la misma probabilidad de
mejora (E), digamos p .

Definición 3.3.1 Una variable aleatoria se denomina geométrica si el
interés es el número de experimentos necesarios hasta que ocurra el
primer éxito, cada uno de estos experimentos es un ensayo Bernoulli, los
cuales se suponen que son independientes.

Supuestos
 Se realizan experimentos Bernoulli hasta obtener un éxito,
 Probabilidad de éxito p ,
 Los experimentos son independientes.

La variable aleatoria de interés es el número de experimentos necesarios
hasta obtener el primer éxito por lo cual X puede tomar los valores 1,2,... .

f x   PX  x   p1 1 - p
x -1
La función de probabilidad está dada por
donde p denota la probabilidad de éxito y x  1,2,... .

tiene una distribución Geométrica están dados por medio de:
1 p
EX   y Var X  2 .
1
p p


53

Ejemplo 3.3.1 El Biólogo Rivas va a analizar cultivos de bacterias hasta
detectar bacterias tipo B1. Se sabe de estudios anteriores que en promedio
se analizan 8 cultivos antes de encontrar bacterias tipo B1. ¿Cuál es la
probabilidad de que el biólogo Rivas analice 3 cultivos para encontrar la
bacteria tipo B1?

digitalmediadesign2009.com
Se tiene a una variable aleatoria geométrica ya que se desea conocer el
número de experimentos necesarios “analizar cultivos” antes de obtener un
éxito “bacterias tipo B1”. El biólogo Rivas cuenta con la información de

que EX  8 , de lo cual se obtiene que
1
 8 , así p  0.125 . Se desea obtener
p

la probabilidad de analizar 3 cultivos para encontrar bacterias tipo B1.
Si es necesario analizar 3 cultivos para encontrar bacterias tipo B1, se tiene
que en los 2 primeros cultivos no se encontraron bacterias tipo B1, así
PX  3  p1 1 - p   p1 1 - p   0.1250.875
3-1 2 2

 0.096

Interpretación. Así se tiene que si en 1000 ocasiones el biólogo Rivas se
pusiera a analizar cultivos de bacterias hasta encontrar un cultivo de
bacterias tipo B1 en 96 de estas 1000 ocasiones necesitaría analizar 3
cultivos hasta detectar bacterias tipo B1.

una variable aleatoria discreta con distribución Geométrica son:


54

1, 2 y 3 son los mismos que la distribución Binomial

4. Elegir NEGBINOMDIST y aceptar

5. Aparece la ventana de la Binomial Negativa


55

6. Calcular la probabilidad de que sea al tercer ensayo el exito

Resultado

III.4 Distribución Poisson

Una maestra de escuela secundaria desea conocer el número
promedio de faltas de ortografía que existe en cada página del libro de texto
de la asignatura de español. Un agente de transito desea conocer el número
promedio de accidentes automovilísticos que ocurren en la avenida Ávila
Camacho en un día. Un biólogo desea conocer el número promedio de
plagas en una planta.


56

taringa.net mexicotop.com

La maestra no se pondría a escribirle faltas de ortografía a las
páginas del libro. El agente de transito no se pondría a producir accidentes
de autos. El biólogo no se pondría a poner plagas en las plantas. Todos
estos hechos no ocurren como resultado de llevar a cabo un experimento,
sino al azar. No es de interés conocer el número de no faltas de ortografía,
no es de interés conocer el número de no accidentes automovilísticos, así
como tampoco el número de no plagas en una planta.

Ahora se tiene que ha mayor número de palabras en la pagina el
número de faltas de ortografía es mayor. A mayor lapso de tiempo el
número de accidentes es mayor, y a mayor tamaño del la planta el número
de plagas es mayor. O viceversa.

En todos los casos la variable aleatoria es
X  número de veces que ocurre el resultado de interés en una unidad .

Los posibles valores que puede tomar la variable son 0,1,2,3,4,…, el
cual es un conjunto numerable, así que se trata de una variable aleatoria
discreta.


57

La función de densidad está dada por
e x
f x   P X  x   x  0,1,2,...
x!

Definición 3.4.1 Una variable aleatoria X es una variable aleatoria poisson
si tiene la siguiente función de probabilidad
e   x
f x   P X  x   x  0,1,2,...
x!

Supuestos.
 La probabilidad de que ocurra más de una vez el resultado de interés
en una unidad muy pequeña es cero.
 El número de ocurrencias del resultado de interés es proporcional al
tamaño de la unidad.
 El número de ocurrencias del resultado de interés en cada unidad, es
independiente del número de ocurrencias en cualquiera otra unidad.

tiene una distribución Poisson están dados por medio de:
EX   y Var X   .

Ejemplo 3.4.1 Una maquina despachadora de café, tiene, en promedio, tres
fallas a la semana. ¿Cuál es la probabilidad de que la maquina despache
café sin fallas durante una semana?

chicadelatele.com

58

Se tienen los siguientes componentes del experimento:
 X : Número de fallas en la semana
 Unidad Una semana
  3
 Evento No hay falla durante la semana

La función de probabilidad toma la forma
e 3 3 x
f x   P X  x   x  0,1,2,...
x!
y para el caso de interés se tiene X  0 , así
e 3 30
f 0  PX  0   e 3  0.05
0!
Interpretación. Si durante 100 semanas se contaran el número de fallas en
la maquina de café, se tendría que en 5 de estas semanas no ocurriría
ninguna falla en la maquina.

Ejemplo 3.4.2 Una maquina despachadora de café, tiene, en promedio, tres
fallas a la semana. ¿Cuál es la probabilidad de que la maquina despache
café sin fallas durante la mitad de la semana? Los componentes del
experimento son los mismos que los del ejemplo 3.4.1 únicamente con la
excepción que el numero promedio para este caso particular es de 1.5, es
decir,   1.5 , así la probabilidad de interés es
e 1.5 1.5
0
f 0  PX  0   e 1.5  0.22
0!
Interpretación. Si durante 100 medias semanas se contaran el número de
fallas en la maquina de café, se tendría que en 22 de estas medias semanas
no ocurriría ninguna falla en la maquina.


59

Ejercicio 3.4.1 En la Florida, USA, hay en promedio 6 huracanes cada
ocho meses.

fgarcia.diariolibre.com
 ¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos ocho meses se
presenten 5 huracanes?
 ¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos cuatro meses se
presenten 5 huracanes?

Ejercicio 3.4.2 Dar ejemplos por parte de los participantes de variables
aleatorias Poisson.

una variable aleatoria discreta con distribución Poisson son:


4. Elegir POISSON y aceptar


60

5. Aparece la ventana de la Poisson

6. Calcular la probabilidad de que no falla durante la semana

Resultado


61

III.5 Distribución Hipergeométrica

En una bolsa hay 3 bolas blancas y 2 negras, se extraen dos bolas de
la urna, lo cual puede ser con reemplazo o sin reemplazo. Cuando se hace
CON reemplazo se extrae la bola y se regresa a la urna, por lo cual cada
extracción de bolas sería un evento Bernoulli, con X número de bolas
negras extraídas, lo cual seria un experimento Binomial. Si el experimento
se hace SIN reemplazo la variable aleatoria ya no se distribuye como una
Binomial, sino que es una distribución Hipergeométrica, la cual se basa en
la siguiente definición

acertijosymascosas.com
Definición 3.5.1 Una variable aleatoria X es una variable aleatoria
hipergeométrica si tiene la siguiente función de probabilidad

 D  N  D 
 
 x  n  x 

f x   PX  x      x  0,1,2,..., n
 N
 
n 
 

Supuestos.
 En el experimento hay N elementos, de los cuales D tienen la
característica de interés y el resto, N-D, no la tienen.
 El experimento es SIN reemplazo
 Se extrae una muestra de tamaño n.
 La variable aleatoria es el número de elementos con la características
que hay entre los n seleccionados.

62

Nota 3.5.1 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X la
cual tiene una distribución Hipergeométrica están dados por medio de:
Nn
EX   n y Var X  np1 - p 
D
 .
N  N 1 

Ejemplo 3.5.1 En un laboratorio hay 4 químicos y 3 biólogos, se forma un
comité de dos personas.

larioja.com

¿Cuál es la probabilidad de que el comité este formado por dos químicos?
Los datos del experimento son:
 X : Número de químicos en el comité
 N  7, D  4, n  2 .
 Evento: los dos miembros son químicos
de lo anterior se tiene que la función de probabilidad toma la forma
 4  7  4 
 
 x  2  x 

f x   PX  x      x  0,1,2.
 7
 
 2
 

y para el caso de interés se tiene X  2 , así


63

 4  7  4   4  3 
 
 2  2  2   2  0 
   
f 2   PX  2         
7 7
 
 2  
 2
   
4! 4 * 3 * 2 *1
*1 *1
 2!2!  2 *1 * 2 *1
7! 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 *1
5!2! 5 * 4 * 3 * 2 *1 * 2 *1
6 2
   0.29
21 7

Interpretación. Si hubiera 100 laboratorios cada uno con 4 químicos y 3
biólogos y se formará en cada laboratorio un comité de dos personas de las
7 disponibles, entonces, en promedio en 29 comités los dos miembros que
forman tal comité serían dos químicos.

Ejercicio 3.5.1 Un comité de 3 personas se forma de un grupo de 2
abogados y 4 contadores. Encontrar la función de probabilidad para el
número de abogados en el comité.

abogadosdeempresa.com.mx

Ejercicio 3.5.2 Dar ejemplos por parte de los participantes de variables
aleatorias Hipergeométrica.


64

una variable aleatoria discreta con distribución Hipergeométrica son:


4. Elegir DIST.HIPERGEOM y aceptar

5. Aparece la ventana de la Hipergeométrica


65

6. Calcular la probabilidad de que en un laboratorio hay 4 químicos y 3
biólogos, se forma un comité de dos personas.
¿Cuál es la probabilidad de que el comité este formado por dos químicos?
Los datos del experimento son:
 X : Número de químicos en el comité
 N  7, D  4, n  2 .
 Evento: los dos miembros son químicos

En excel

Resultado


66

UNIDAD IV. Algunas distribuciones continuas

Objetivo: Que el participante conozca, identifique y maneje las variables
aleatorias continuas más comunes, así como la función de densidad de cada
una de éstas.

Introducción

Como se estableció en la Unidad II cuando se tiene una variable
aleatoria continua, información acerca de su comportamiento se puede
obtener a partir de su función de densidad. Tal función de densidad puede
estar dada en forma de una expresión algebraica. En esta unidad se tratan
las principales variables aleatorias de tipo continuo, así como su
correspondiente función de densidad.

IV.1. Distribución Uniforme

IV.1.1 Distribución Uniforme Discreta

liceorosenthal.edu.co lasescapadas.com

Un alumno del tercer semestre de la licenciatura en Estadística está
interesado en conocer cual es su promedio que lleva de las 15 asignaturas
que ha cursado hasta ese momento, para lo cual anota las 15 calificaciones


67

obtenidas, las suma, y esta suma la divide entre 15, el número total de
asignaturas. ¿Por qué las divide entre 15?

En el ejemplo anterior el rango de la variable aleatoria es discreto,
por lo cual es una variable aleatoria discreta, y le damos la misma
importancia a cada una de las asignaturas, esto lo podemos expresar
diciendo que tratamos en forma uniforme a cada uno de los posibles
valores que puede tomar la variable aleatoria. Lo anterior nos lleva a la
siguiente definición.

Definición 4.1.1.1 Una variable aleatoria X se distribuye en forma
uniforme (caso discreto) si su función de probabilidad está dada por

f x   si x es uno de los valores x1 , x2 ,..., xn 
1
n
Notación. X ~ UDn  .

Nota 4.1.1.1 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria
discreta la cual se distribuye en forma uniforme es
x  E x 
 xi y Var X   i
2
EX  
n n

Ejemplo 4.1.1.1 Un alumno de la especialidad en métodos estadísticos
presenta el segundo examen de la asignatura de probabilidad básica. La
escala de calificaciones es del 6 al 9.5 tomando valores de .5 a .5 ¿Cuál es
la probabilidad de que obtenga un 7.5 de calificación?, ¿Cuál es la
probabilidad de que obtenga una calificación entre 7.5 y 9?

Sea X definida como la calificación obtenida por el alumno en el examen,
entonces X ~ UDn  . Para responder la primera pregunta basta con obtener


68

en primer lugar la función de probabilidad de la variable aleatoria, la cual
es en este caso

f x   si x es uno de los valores 6, 6.5, 7, 7.5, 8, 8.5, 9, 9.5
1
8
así la probabilidad de que la variable aleatoria tome exactamente el valor

de 7.5 es PX  7.5  f 7.5   0.125.
1
8
Interpretación: Si se les aplicara el segundo examen a 1000 alumnos,
donde la escala de calificaciones es del 6 al 9.5 tomando valores de .5 a .5,
en promedio 125 de éstos obtendrían una calificación de 7.5.

Ahora la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor de entre
7.5 y 9 es obtenida de la siguiente manera
P7.5  X  9  f 7.5  f 8  f 8.5  f 9
1 1 1 1 4 1
     
8 8 8 8 8 2
Interpretación: Si se les aplicara el segundo examen a 1000 alumnos,
donde la escala de calificaciones es del 6 al 9.5 tomando valores de .5 a .5,
en promedio 500 de éstos obtendrían una calificación de entre 7.5 y 9.
0.15
0.14
0.13
f(x)
0.12
0.11
0.10

Calificación

Grafica de la función de probabilidad


69

Ejercicio 4.1.1.1 Dar 2 ejemplos de variables aleatorias que tengan
distribución uniforme discreta.

IV.1.2 Distribución Uniforme Continua

Un alumno del tercer semestre de la licenciatura en Estadística está
interesado en conocer cual es la probabilidad de que el profesor de
Matemáticas llegue entre los primeros 10 minutos después de la hora de
entrada, si se sabe que éste puede llegar entre las 10:00 y las 10:20 horas.

En el ejemplo anterior el rango de la variable aleatoria es continuo,
por lo cual es una variable aleatoria continuo, y le damos la misma
importancia a cada una de los minutos, esto lo podemos expresar diciendo
que tratamos en forma uniforme a cada uno de los posibles valores que
puede tomar la variable aleatoria. Lo anterior nos lleva a la siguiente
definición.

Definición 4.1.2.1 Una variable aleatoria X se distribuye en forma
uniforme (caso continuo) en el intervalo a, b si su función de densidad
está dada por
 1
 si a  x  b
f x    b  a
0
 otro caso

Notación. X ~ Ua, b .

Nota 4.1.2.1 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria
continua la cual se distribuye en forma uniforme es


70

EX  
ab
y Var X 
b - a 2 .
2 12

Ejemplo 4.1.2.1 Dos amigas se ponen de acuerdo para tomar un café y se
quedan de ver entre las cinco y cinco treinta de la tarde, si una de ellas llega
a las cinco en punto

omniyourlife.8m.com

¿Cuál es la probabilidad de que tenga que esperar?
a) a lo mas 10 minutos
b) por lo menos 20 minutos
c) a lo mas 15 minutos
d) entre 10 y 20 minutos.
Sea X definida como la hora en la que la segunda amiga llega al café,
entonces X ~ Ua, b . Es de gran ayuda hace un dibujo de la situación


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