MATHS-LYCÉE.FR: ressources mathématiques (cours, vidéos, méthodes, QCM, ex et contrôles corrigés) pour le lycée Contrôle première S loi binomiale et variable aléatoire Deux exercices BAC S

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Premi`ere S-Devoir Chapitre 9: loi binomiale
DS 9-4 : probabilit´es-loi binomiale (dur´ee 90mn)
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ressources math´ematiques pour les ´el`eves de lyc´ee de la seconde `a la terminale
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MATHS-S.FR- Corrig´e complet DS 9-4
Exercice 1 ( 10 points )
D’apr`es BAC S Asie 2013.
Dans cet exercice, les probabilit´es seront arrondies aux centi`emes.
Partie A
Un grossiste ach`ete des boˆıtes de th´e vert chez deux fournisseurs. Il ach`ete 80% de ses boˆıtes chez le
fournisseur A et 20% chez le fournisseur B.
10% des boˆıtes provenant du fournisseur A pr´esentent des traces de pesticides et 20% de celles provenant
du fournisseur B pr´esentent aussi des traces de pesticides.
On pr´el`eve au hasard une boˆıte du stock du grossiste et on consid`ere les ´ev`enements suivants :
- ´ev`enement A : ”la boˆıte provient du fournisseur A” ;
- ´ev`enement B : ”la boˆıte provient du fournisseur B” ;
- ´ev`enement S : ”la boˆıte pr´esente des traces de pesticides”.
En utilisant un tableau `a double entr´ee, calculer les probabilit´es ci-dessous.
1. Que signifie l’´ev`enement B ∩ S ?
Calculer sa probabilit´e.
2. Justifier que la probabilit´e que la boˆıte pr´elev´ee ne pr´esente aucune trace de pesticides est ´egale `a
0, 88.
3. On constate que la boˆıte pr´elev´ee pr´esente des traces de pesticides.
Quelle est la probabilit´e que cette boˆıte provienne du fournisseur B ?
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Partie B
Le g´erant d’un salon de th´e ach`ete 10 boˆıtes chez le grossiste pr´ec´edent. On suppose que le stock de ce
dernier est suffisamment important pour mod´eliser cette situation par un tirage al´eatoire de 10 boˆıtes avec
remise.
On consid`ere la variable al´eatoire X qui associe `a ce pr´el`evement de 10 boˆıtes, le nombre de boˆıtes sans
trace de pesticides.
1. Justifier que la variable al´eatoire X suit une loi binomiale dont on pr´ecisera les param`etres.
2. Calculer la probabilit´e que les 10 boˆıtes soient sans trace de pesticides.
3. Calculer la probabilit´e qu’au moins une boˆıte pr´esente des traces de pesticides.
4. Calculer la probabilit´e qu’au moins 8 boˆıtes ne pr´esentent aucune trace de pesticides.
Partie C
`A des fins publicitaires, le grossiste affiche sur ses plaquettes : ”88% de notre th´e est garanti sans trace
de pesticides” .
Un inspecteur de la brigade de r´epression des fraudes souhaite ´etudier la validit´e de l’affirmation. `A cette
fin, il pr´el`eve 50 boˆıtes au hasard dans le stock du grossiste et en trouve 12 avec des traces de pesticides.
On suppose que, dans le stock du grossiste, la proportion de boˆıtes sans trace de pesticides est bien ´egale
`a 0, 88.
On note F la variable al´eatoire qui, `a tout ´echantillon de 50 boˆıtes, associe la fr´equence des boˆıtes ne
contenant aucune trace de pesticides.
1. Donner l’intervalle de fluctuation asymptotique de la variable al´eatoire F au seuil de 95%.
2. L’inspecteur de la brigade de r´epression peut-il d´ecider, au seuil de 95%, que la publicit´e est men-
song`ere ?
Exercice 2 ( 10 points )
D’apr`es BAC Asie 2012
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Premi`ere S-Devoir Chapitre 9: loi binomiale
Soit k un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2. Une urne contient k boules noires et 3 boules blanches.
Ces k + 3 boules sont indiscernables au toucher. Une partie consiste `a pr´elever au hasard successivement et
avec remise deux boules dans cette urne. On ´etablit la r`egle de jeu suivante :
- un joueur perd 9 euros si les deux boules tir´ees sont de couleur blanche ;
- un joueur perd 1 euro si les deux boules tir´ees sont de couleur noire ;
- un joueur gagne 5 euros si les deux boules tir´ees sont de couleurs diff´erentes ; on dit dans ce cas l`a qu’il
gagne la partie.
Partie A
Dans la partie A, on pose k = 7.
Ainsi l’urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires indiscernables au toucher.
1. Un joueur joue une partie. On note p la probabilit´e que le joueur gagne la partie, c’est-`a-dire la
probabilit´e qu’il ail tir´e deux boules de couleurs diff´erentes.
D´emontrer que p = 0, 42.
2. Soit n un entier tel que n > 2. Un joueur joue n parties identiques et ind´ependantes.
On note X la variable al´eatoire qui comptabilise nombre de parties gagn´ees par le joueur, et pn la
probabilit´e que le joueur gagne au moins une fois au cours des n parties.
a) Expliquer pourquoi la variable X suit une loi binomiale de param`etres n et p.
b) Exprimer pn en fonction de n, puis calculer p10 en arrondissant au milli`eme.
Partie B
Dans la partie B, le nombre k est un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2.
Un joueur joue une partie.
On note Yk la variable al´eatoire ´egale au gain alg´ebrique du joueur.
1.a) Justifier l’´egalit´e : p (Yk = 5) =
6k
(k + 3)2
.
b) ´Ecrire la loi de probabilit´e de la variable al´eatoire Yk
2. On note E(Yk) l’esp´erance math´ematique de la variable al´eatoire Yk
On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l’esp´erance E(Yk) est strictement positive.
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D´eterminer les valeurs de k pour lesquelles ce jeu est favorable au joueur.
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