TÜREV 03

1. 12/03/13 1

2. TÜREV KAVRAMI
TANIM: f : A R , y=f(x) fonksiyonu ve a ∈ A da sürekli
olmak üzere
f ( x) − f (a)
lim
x→a x−a limiti bir reel sayı ise bu değere f fonksiyonunun
df
(a)
x=a noktasındaki türevi denir. f’(a) veya dx sembolleri ile
gösterilir. x → a ⇔ ( x − a) → 0
h > 0 olmak üzere, x=a+h ise x - a =h dır. ⇔h→0
f ( x) − f (a ) f ( a + h) − f ( a )
lim lim
x →a x−a h→0 h
= olur.
12/03/13 2

3. ÖRNEK: f: R →R , f(x)=x2 fonksiyonunun x=2 noktasındaki
türevini bulalım.
ÇÖZÜM= f(x)=x2 fonksiyonu x=2 de süreklidir
f ( x) − f (2)
f ′(2) = lim x →2
x−2
x2 − 4 ( x − 2)( x + 2)
f ′(2) = lim x →2 = lim x →2 =4
x−2 x−2
12/03/13 3

4. SOLDAN SAĞDAN TÜREV
TANIM: A ⊂ R, a ∈ A
1. lim x → a _ f ( x ) − f (a ) Limitinin bir reel sayıdeğeri varsa
x−a
bu değere f fonksiyonunun a noktasındaki soldan türevi denir ve
f’(a-) şeklinde gösterilir.
2. + f ( x) − f (a) Limitinin bir reel sayı değeri
lim x → a
x−a
varsa bu değere f fonksiyonu, a noktasındaki sağdan türevi denir
ve f’(a+) şeklinde gösterilir.
12/03/13 4

5. f’(a-)= f’(a+) ise , f fonksiyonu a noktasında türevlidir. Bu durumda f’(a-)
= f’(a+) = f’(a) dır.
≠
f’(a-) f’(a+) ise fonksiyonun a noktasında türev yoktur.
4 x − 2, x ≥ 2ise 
ÖRNEK: f: R R , f(x)=
 2  a)f’(2 -)=?
 x + 2, x < 2ise  b)f’(2+)=?
ÇÖZÜM: f(2) = 6 olduğundan fonksiyon x=2 de süreklidir.
f ( x ) − f ( 2)
2
− x −4
a) lim x →2
−
lim x →2
= lim x→2 ( x + 2) = 4
=
x−2 x −2
4 x −8
lim x→2
f ( x) − f (2)
+ lim x→2
+
lim 4 = 4
b) = x −2 =
12/03/13 x − 2 5

6. TÜREVİN SÜREKLİLİKLE İLİŞKİSİ
Teorem: A ⊂ R, a ∈ A olmak üzere; f :A→R fonksiyonu a
noktasında türevli ise bu noktada süreklidir.
1. y=f(x) a A , da türevli ise x=a da süreklidir.
2.f '(a) =f(a) ve f(x) x=a da sürekli olmalıdır ki f(x) , x =a da türevli
olsun
3.Bir fonksiyonun kritik noktalarında türevi araştırılırken bu
noktalarda süreksiz ise türevsizdir. Sürekliyse sağdan ve soldan
türevlerini eşitliğine bakılır.
12/03/13 6

7. Örnek: x −2
2
hangi noktalarda türevsizdir?
f ( x) = 2
x −2−2
Çözüm: f fonksiyonu paydanın 0 olduğu noktalarda tanımsız dolayısıyla
süreksizdir.
x2 − 2
f ( x) = 2
x −2−2 x=-1 ve x=2 noktalarında
süreksiz dolayısıyla türevsizdir.
12/03/13 7

8. BİR ARALIKTA TÜREVLENEBİLME
TANIM: a,b∈ olmak üzere f : ( a, b) → R
fonksiyonunun (a,b) aralığının her noktasında türev varsa f
A⊂R
fonksiyonu (a,b) aralığında türevlidir. olmak üzere
f : A→ R fonksiyonu A tanım kümesinin her noktasında türevli
ise f fonksiyonu tanımlı kümesinde türevlidir.
12/03/13 8

9. TÜREV ALMA KURALLARI
1) f(x)= c f’(x) = 0
2) f(x) = xn f’(x) = n . xn-1
3) (c . f (x) )’ = c . f’(x)
4) [ f ( x ) + g ( x ) ]′ = f ′( x) + g ′( x)
′
5)
[ f ( x).g ( x)] = f ′( x).g ( x) + g ′( x). f ( x)
′
6)  f ( x)  = f ′( x).g ( x) − g ′( x). f ( x)
 g ( x) 
  [ g ( x)] 2
12/03/13 9

10. TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
F(a+h) Y=f(x)
F(a)
α
a a+h
kesen teğet
12/03/13 10

11. BC f ( a + h) − f ( a ) f ( a + h) − f ( a )
mAB=tan α = = =
AC ( a + h) − a h
AB kirişinin eğimi h → 0 için AT teğetinin eğimine eşit olacağından
f ( a + h) − f ( a ) f ' ( a )
mAT = lim h→0 =
( a + h) − a
O halde y= f(x) fonksiyonunun grafiğini x=a noktasındaki teğetinin
eğimi f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevine eşittir. B noktası,
B(a-h , f(a-h)) şeklinde alınarak da yukarıdaki yorum yapılabilir.
12/03/13 11

12. TEĞET VE NORMAL DENKLEMLERİ
y t
f(a) Y=f(x)
.
n
x
a
12/03/13 12

13. A (a, f(a)) noktasından çizilen teğet denklemini
bulmak için önce eğim bulunur. Fonksiyonun bu
noktadaki türevi eğimi vereceğinden
y-f(a) =f'(a) . (x- a) teğet denklemi bulunur.
1 1
m t .m n = −1 mn = − =−
mt f ' (a )
Anoktasındaki
normal denklemi ise
şöyle olur: 1 . (x-a)
y − f (a ) = −
f ' (a )
12/03/13 13

14.
Örnek: F(x) -x 2+2x –3 parabolünün x=3 apsisli noktasındaki
teğetinin ve normalinin denklemini bulalım.
Çözüm: x=3, y=-6 olur. F'(x)= -2x +2 olduğundan
teğetin eğimi: mı =f'(3)=(-2 . 3)+2 =-4
normalin eğimi: mn =-1/mı=-1/f'(3) =-1/-4 =1/4
teğet denklemi: y-(6)=-4(x-3) y=-4x +6
normal denklemi : y-(6)=1/4(x-3) y=x/4- 27/4
12/03/13 14

15. A.ARTAN ve AZALAN
FONKSİYONLAR
i) Her x1, x2∈ A için, x1<x2 iken, f(x1)< f(x2) ise,
fonksiyonu, A kümesinde, artandır.
12/03/13 15

16. m=tanα= f ’(x1)>0 ise, f fonksiyonu (a,b)
aralığında artandır.
12/03/13 16

17. ii) Her x1, x2∈ A için, x1<x2 iken, f(x1)> f(x2) ise, f
fonksiyonu, A kümesinde, azalandır.
12/03/13 17

18. m=tanα= f ’(x1)<0 ise, f fonksiyonu (a,b)
aralığında azalandır.
12/03/13 18

19. f:[a,b]→R fonksiyonu, (a,b) aralığında artan ve
türevli ise,
fonksiyonun bu aralıktaki türevi pozitiftir
Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında artan bir fonksiyon ise
bu aralığın her elemanı için f’(x)>0’dır.
a b
f’(x) +++++
f(x) artan
12/03/13 19

20. SONUÇ
f:[a,b]→R, fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan ve türevli
ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi negatiftir.
Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan fonksiyon ise
bu aralığın her elemanı için, f’(x)<0’dır.
a b
f’(x) -----
f(x) azalan
12/03/13 20

21. 12/03/13 21

22. Soru: f(x)=x2-2x fonksiyonunun artan veya
azalan olduğu aralıkları bulunuz?
Çözüm:
:
Fonksiyonunun, artan veya azalan olduğu aralıkları
bulabilmek için, türevinin işaretini incelemeliyiz.
-∞ 1 +∞
f(x)=x2-2x ⇒ f’(x)= 2x-2
f’(x) - +
2x-2=0 ⇒ x=1 olur.
f(x)
azalan artan
12/03/13 22

23. mx + 1
Soru: ∀×∈R-{-2} için, f(x)= x + 2
fonksiyonu-
nun daima artan olabilmesi için, m ne olmalıdır?
Çözüm
:
Fonksiyonun daima artan olabilmesi için, f’(x)>0 ol-
malıdır.
m.( x + 2) − 1.(mx + 1) mx + 2m − mx − 1 2m − 1
f’(x)= ( x + 2) 2
= ( x + 2) 2
= ( x + 2) 2
2m − 1
Buradan;
( x + 2) 2
〉0 ⇒ 2m − 1 〉 0 ⇒ m〉
1
2
bulunur.
12/03/13 23

24. y
Y=f(x)
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun [-3,4] aralığındaki gra-
fiğini görmektesiniz.Bu grafiğe göre, f(x)’in türevinin
pozitif veya negatif olduğu aralıkları bulunuz?
12/03/13 24

25. Çözüm :
a) [-3,-1) aralığında,
Fonksiyon azalan olduğundan,f ’(x)< 0 ‘dır.
b) (-1,3) aralığında,
Fonksiyon artan olduğundan, f ‘(x) > 0’dır.
c) (3,4) aralığında,
Fonksiyon azalan olduğundan, f ’(x)< 0 ‘dır
12/03/13 25

26. y
Y=f’(x)
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun, [-3,4] aralığında-
ki türevinin grafiğini görmektesiniz. Grafiğe ba-
karak, f(x)’in artan ve azalan olduğu aralıkları bu
lunuz?
12/03/13 26

27. y
Y=f’
Çözüm : (x)
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
a) [-3,-2) aralığında: x
f’(x) > 0 olduğundan, f(x) bu aralıkta artan’dır.
b) (-2,0) aralığında:
f’(x) < 0 olduğundan, f(x) bu aralıkta azalan’dır.
c) (0,4] aralığında:
x=3 noktası hariç, f’(x) > 0 olduğundan,f(x) bu aralıkta
artan’dır.
12/03/13 27

28. B. MAKSİMUM ve MİNUMUM
DEĞERLERİN BULUNMASI
12/03/13 28

29. 1. YEREL MAKSİMUM NOKTASI:
Tanım: f:[a,b]→R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x0∈(a,b) ve
ε > 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ε,xo+ ε) aralığında en büyük
değerini x0 noktasında alıyorsa, (x0,f(x0)) noktasında bir
yerel maksimumu vardır.
f(x0) değerine, fonksiyonun bir yerel maksimum değeri
denir.
a x0 b
f(x0)
f ’(x) + -
Y=f(x)
f(x) f(x0)
a b
x0- ε x0 x o+ ε
Maksimum
12/03/13 29

30. 2. YEREL MİNİMUM NOKTASI:
Tanım:f:[a,b]→R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x0∈(a,b) ve
ε > 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ε,xo+ ε) aralığında en küçük
değerini x0 noktasında alıyorsa, (x0,f(x0)) noktasında bir
yerel minimumu vardır.
f(x0) değerine, fonksiyonun bir yerel minimum degeri
denir.
a x0 b
f ’(x) - +
Y=f(x) f(x) f(x0)
x0- ε x0 x o+ ε
a b
Minimum
f(x0)
12/03/13 30

31. Sonuç:
Yerel f(b) y=f(x)
maksimum
f(c) +
++ - - +
a + - d +
+ c - + b
+ -
+ f(a) - +
- +
-
- +
f(d) Yerel minimum
f ’(x)>0 f ’(x)<0 f ’(x)>0
12/03/13 31

32. 12/03/13 32

33. Soru :
f(x)= x3-3x2+1 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel
minimum noktalarını bulunuz?
Cözüm
:
Önce, f(x)’in türevini alıp, türevin işaretini incelemeliyiz:
f’(x)= 3x2-6x = 0 ⇒ -∞ 0 2 +∞
x1= 0 ve x2= 2 f’(x) + 0 - 0 +
x1= 0 ⇒ f(0)= 1
f(x) 1 -3
x2= 2 ⇒ f(2)= -3
12/03/13 33

34. Soru :y
Şekilde, y=f(x) fonksiyo-
nunun türevinin grafiğini
görüyorsunuz. Bu grafiğe
+ +x bakarak, y=f(x) fonksiyo-
- -4 -2 –1 0 3 5 - nunun, yerel maksimum ve
y=f ’(x) yerel minimum noktalarını
bulunuz?
Cözüm
: -4 5
f’(x) - + -
f(x)
12/03/13 34

35. C. İKİNCİ TÜREVİN
GEOMETRİK ANLATIMI
12/03/13 35

36. f:[a,b] →R fonksiyonu, (a,b) aralığında ikinci basamaktan
türevli olsun:
y=f(x)
B
A
α θ
a x1 x2 b
Eğrinin çukurluk yönü yukarı doğru bakmaktadır.
a’dan b’ye, teğetlerin eğim açılarının büyüdüğüne dikkat!
12/03/13 36

37. y=f(x)
B
A
α θ
a x1 x2 b
Bu teğetlerin eğimleri;
m1= tanα=f’(x1) ve m2=tanθ=f’(x2)
α<θ ⇒ tanα< tanθ ⇒ f’(x1) < f’(x2) ‘dir.
Yani;
x1< x2 için, f’(x1) < f’(x2) olduğundan, f’ fonksiyonu artan’dır.
f’ 12/03/13
fonksiyonu artan olduğundan, türevi, f’’(x) > 0 ‘dır.
37

38. Şimdi de, eğrilik yönü aşağı doğru olan bir eğri inceleyelim:
B
A
α θ
a x1 x2 b
a’dan b’ye , teğetlerin eğim açılarının küçüldüğüne dikkat!
Bu teğetlerin eğimleri;
m1= tanα=f’(x1) ve m2= tanθ =f’(x2) ‘dir.
12/03/13 38

39. B
A
α θ
a x1 x2 b
α>θ ⇒ tanα> tanθ ⇒ f’(x1) > f’(x2) ‘dir.
Yani;
x1< x2 için, f’(x1) > f’(x2) olduğundan, f’ fonksiyonu azalan’dır.
f’ fonksiyonu azalan olduğundan, türevi, f’’(x) < 0 ‘dır.
12/03/13 39

40. SONUÇ:
Bir f fonksiyonu için, aralı- Bir f fonksiyonu için, aralı-
ğın her noktasında, f’’(x)< 0 ğın her noktasında, f’’(x)> 0
oluyorsa, f fonksiyonunun bu oluyorsa, f fonksiyonunun bu
aralıktaki grafiğinin çukurluk aralıktaki grafiğinin çukurluk
yönü aşağı doğrudur. yönü yukarı doğrudur.
f’’(x)< 0 ⇒Konkav(İç bükey) f’’(x)> 0 ⇒Konveks(Dış bükey)
12/03/13 40

41. Soru :
f:R →R, f(x)= x3+x2-2x fonksiyonunun, konveks ve konkav
olduğu aralıkları araştırınız?
Çözüm :
Öncelikle, f’in ikinci türevini alıp, işaretini incelemeliyiz.
- ∞ -1/3 +∞
f’(x)=3x2+2x-2
f’’(x) - +
f’’(x)=6x+2 = 0 f(x)
x= -1/3
12/03/13 41

42. Bir önceki örnekte görüldüğü gibi, fonksiyon eğrisi, eğrilik
yönünü bazı noktalarda değiştirmektedir:
Tanım
:
Bir f fonksiyonunun grafiğinin, çukurluğunun yön değiş-
tirdiği ve fonksiyonun sürekli olduğu noktaya,
Dönüm (büküm) noktası
denir.
12/03/13 42

43. Şekilleri dikkatle inceleyiniz!!!
f(x0)
f(x0)
a 0 x0 b 0 a x0 b
f ’’(x)<0 f ’’(x)>0 f ’’(x)>0 f ’’(x)<0
f ’’(x0)=0 f ’’(x0)=yok
Dönüm noktası Dönüm noktası
12/03/13 43
DİKKAT: İkinci türevin işaret değiştirdiği nokta DÖNÜM noktasıdır.

44. Uygulamalar
12/03/13 44

45. 1. f: R→R, f(x)= x4+x3-2x fonksiyonunun, konveks ve
konkav olduğu aralıkları ve varsa, dönüm noktalarını
bulunuz?
Çözüm :
f’(x)= 4x3+3x2-2 f’’(x)= 12x2+6x
İkinci türevin kökleri:
6x=0 x1= 0
12x2+6x=0 6x(2x+1) = 0
(2x+1)= 0 x2=-1
12/03/13 45

46. x -∞ -1/2 0 +∞
f’’(x) + - +
f(x)
konveks konkav konveks
Dönüm Dönüm
noktası noktası
12/03/13 46

47. 2. f: R→R, f(x)=(x-2)4 fonksiyonunun, varsa, dönüm
noktasını bulunuz?
Çözüm :
f’(x)=4(x-2)3 ve f’’(x)= 12(x-2)2
12(x-2)2=0 ⇒ x1=x2=2
x - ∞ 2 + ∞
f’’(x) + +
f(x)
konveks konveks
12/03/13 ? 47

48. x=2 noktası, ikinci türevin kökü olduğu halde, dönüm
noktası değildir
Türev bu noktada, işaret değiştirmemektedir!
Yani; f’’(x0)=0 olması, x0 noktasının DÖNÜM noktası
olmasını gerektirmez!!!!
12/03/13 48

49. 12/03/13 49

50. x 2 − 7 x + 10
1. lim 2 limitinin değerini bulunuz?
x →2 x − 3x + 2
Çözüm :
x 2 − 7 x + 10 0
lim 2 = belirsizliği var
x →2 x − 3x + 2 0
x 2 − 7 x + 10 2x − 7 2.2 − 7 −3
lim 2 lim
= x→2 2x − 3 = 2.2 − 3 = 1 = −3
x →2 x − 3x + 2
12/03/13 50

51. 1 + cos x
3. lim limitinin değerini bulunuz?
x→ π sin x
Çözüm :
1 + cos x 0
lim = belirsizliği var
x→ π sin x 0
1 + cos x - sinx
lim = lim
x→ π sin x x→π cosx
− sinπ 0
= = 0
cosπ −1
12/03/13 51

52. ln( x + 1)
4. lim x limitinin değerini bulunuz?
x→∞ e + cos x
Çözüm :
ln( x + 1) ∞
lim x = belirsizliği var
x→∞ e + cos x ∞
1
ln( x + 1) 0
lim x lim x + 1
= x→∞ x
x→∞ e + cos x e - sinx ∞
0
12/03/13 52

53. ln(sin x )
5. lim limitinin değerini bulunuz?
x→0 ln(sin 2x )
Çözüm :
ln(sin x ) ∞
lim = belirsizliği var
x → 0 ln(sin 2x )
∞
ln(sin x ) cosx/sinx
lim = lim
x → 0 ln(sin 2x ) x→0 2cos2x/sin2x
cosx/sinx Cosx.sin2x
lim lim
= x→0
x→0 2cos2x/sin2x 2cos2x.sinx
12/03/13 53

54. 1
lim ⋅ e x limitinin değerini bulunuz?
6. x → ∞
x
Çözüm :
1
lim ⋅ e x = 0 •
x→∞ x
∞
1 ex ∞
lim ⋅ e x = lim =
x→∞ x x→∞ x ∞
ex
=∞ = ∞
ex e∞
lim = lim =
x→∞ x x→∞ 1 1 1
12/03/13 54

55. Cosx.sin2x 2sinx.cosx
lim
x→0 2cos2x.sinx
2.sinx.cos2x 2. cos 2 0 2. 1
lim = = = 1
x→0 2cos2x.sinx 2. cos(2.0 ) 2. 1
12/03/13 55

56. 7. lim x. sin
x→∞
( x)
2
limitinin değerini bulunuz?
Çözüm :
lim x. sin ( x ) = ∞ •0
2
x→∞
2
sin( )
lim x = 0
x →∞ 1 0
x
2 −2 2
sin( ) ⋅ cos
x lim x
2
x
lim = = lim 2. cos(2 / x ) = 2
x →∞ 1 x →∞ −1 x→ ∞
x
12/03/13 x 2 56

57.  1 1 
8. lim  −  limitinin değerini bulunuz?
x → 1 x − 1 ln x 
Çözüm :
 1 1 
lim 
x → 1 x − 1
−  =
ln x 
∞- ∞
 1 1   ln x − x + 1  0
lim  −  = lim 
 ln x ⋅ ( x − 1)  =

x → 1 x − 1 ln x  x →1
  0
12/03/13 57

58. 1
 ln x − x + 1  −1
lim  x
 ln x ⋅ ( x − 1)  =
 lim
1
=
x →1
  x →1
⋅ ( x − 1) + ln x
x
1 −x
x 1− x 0
lim = lim =
x →1
( x − 1) + x. ln x x → 1 ( x − 1) + x. ln x
0
x
Bu aşamada, L’Hospital kuralı bir kere daha uygulanır:
12/03/13 58

59. SUNUMUZ BURADA SONA
ERMİŞTİR...
12/03/13 59